培优专题13电磁感应中的能量问题 讲义-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

高中物理人教版选择性必修二教案 第二章 电磁感应 培优专题13 电磁感应中的能量问题 学习目标 1. 理解电磁感应现象中的能量转化。 2. 掌握电磁感应中相关做功和功率问题的解决方法。 3. 掌握电磁感应焦耳热的计算方法，会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题。 【专题解读】 1.电磁感应中的能量转化 闭合电路中产生感应电流的过程，是其他形式的能转化为电能的过程.电磁感应中能量问题的实质是电能的转化问题，桥梁是安培力. 2.求解焦耳热的三种方法 3. 能量转化问题的分析程序：先电后力再能量 能力提升1　　电磁感应中的能量问题 【导学】 如图所示,用丝线把闭合金属环悬挂于点O,图中虚线的左边有匀强磁场,右边则没有磁场,用手拨动金属环,使悬线偏离竖直位置,放手后,金属环摆动,但金属环的摆动会很快停下来。试从能量转化角度解释这一现象。若整个空间都有向外的匀强磁场,还会有这种现象吗? 【方法归纳】 1.电磁感应现象中的能量转化 2.焦耳热Q的计算方法及适用条件 (1)焦耳定律:Q=I2Rt,适用于电流恒定的电磁感应问题。 (2)功能关系:对于纯电阻电路,克服安培力所做的功等于焦耳热Q。即Q=W克安。 (3)能量转化:Q等于其他能的减少量,适用于所有电磁感应问题。 【典例1】[2023浙江6月]如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L.细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接.在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其他电阻.开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角θ＝；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（　　） A.电源电动势E0＝R B.棒产生的焦耳热Q＝（1－）Mgl C.从左向右运动时，最大摆角小于 D.棒两次过最低点时感应电动势大小相等 训练1 如图所示，间距为l的平行金属导轨与水平面间的夹角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B.有一质量为m、长为l的导体棒在ab位置以初速度v沿导轨向上运动，最远到达a'b'处，导体棒向上滑行的最远距离为x.已知导体棒的电阻也为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.导体棒与导轨始终保持垂直且接触良好，下列说法正确的是（　　） A.导体棒受到的最大安培力为 B.导体棒损失的机械能为mv2－mgxsinθ C.导体棒运动的时间为 D.整个电路产生的焦耳热为mv2－mgx（sinθ＋μcosθ） 能力提升2　　电磁感应中的功能关系 常见的功能关系 做功情况 能量变化 重力做功 重力势能发生变化 弹簧弹力做功 弹性势能发生变化 合外力做功 动能发生变化 做功情况 能量变化 除重力和系统内弹力以外的其他力做功 机械能发生变化 滑动摩擦力做功 有内能产生 静电力做功 电势能发生变化 安培力做正功 电能转化为其他形式的能 克服安培力做功（动生型电磁感应） 其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能 【典例2】如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R的定值电阻.平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场.质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止.已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中（　　） A.通过金属棒的最大电流为 B.通过金属棒的电荷量为 C.克服安培力所做的功为mgh D.金属棒上产生的焦耳热为mg（h－μd） 训练2 (2025·四川成都高二期中)如图为相距L的光滑平行导轨,圆弧部分竖直放置,平直部分固定于水平地面上,矩形MNPQ区域内(MQ足够长)存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场,导轨右端连接定值电阻R。一质量为m、长为L、电阻为r的金属棒ab从圆弧轨道上高h处由静止释放。金属棒ab与导轨始终接触良好,不计导轨电阻,重力加速度大小为g。从金属棒ab开始运动到停止运动的过程中,下列说法正确的是(　　) A.金属棒ab刚进入磁场时的速度大小为 B.金属棒ab刚进入磁场时,金属棒ab两端的电压为BL C.金属棒ab进入磁场后做匀减速直线运动 D.金属棒ab克服安培力做的总功为mgh 答案　D 解析　金属棒ab从释放到刚进入磁场时,根据动能定理有mgh=mv2,解得v=,故A错误;金属棒ab刚进入磁场时,根据法拉第电磁感应定律有E=BLv,金属棒ab两端的电压为U=E,解得U=BL,故B错误;金属棒ab进入磁场后,安培力提供加速度,有=ma,可知金属棒ab做加速度减小的减速直线运动,故C错误;根据能量守恒定律可知金属棒ab克服安培力做的总功为mgh,故D正确。 随堂对点自测 1.(电磁感应中的能量问题)(2025·广东东莞高二月考)如图所示,相距L=40 cm的两光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置,在M、P两点间接一阻值为R=0.5 Ω的电阻,在两导轨间的矩形区域OO1O1'O'内有垂直导轨平面向里、宽为d=0.7 m的匀强磁场,磁感应强度B=0.5 T。一质量m=20 g、电阻r=0.1 Ω的导体棒ab垂直的搁在导轨上,与磁场的上边界相距d0=0.8 m。现使ab棒由静止开始释放,棒ab在离开磁场前已做匀速直线运动(棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平),导轨电阻不计。g取10 m/s2,求: (1)棒ab离开磁场下边界的速度大小; (2)棒ab进入磁场瞬间的加速度大小和方向; (3)棒ab在通过磁场区域的过程中,电阻R上产生的焦耳热。 答案　(1)3 m/s　(2) m/s2　竖直向上 (3)0.175 J 解析　(1)棒ab在离开磁场前已做匀速直线运动,则有mg-ILB=0 由闭合电路欧姆定律得I= 由法拉第电磁感应定律有E=BLv 联立解得v==3 m/s。 (2)棒ab进入磁场前做自由落体运动,则有 2gd0= 解得v0==4 m/s 根据牛顿第二定律可得-mg=ma 解得a= m/s2,方向竖直向上。 (3)棒ab从静止释放到离开磁场区域的过程中,根据能量守恒定律可得mg(d0+d)=mv2+Q 解得Q=0.21 J 电阻R上产生的焦耳热为QR=Q=0.175 J。 2.(电磁感应中的功能关系) (2025·四川成都高二期末)如图所示,足够长的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上,间距L=1 m,导轨左端并联接入定值电阻R1、R2 ,阻值均为2 Ω,空间存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小B=2 T。质量m=1 kg,电阻r=1 Ω的金属棒PQ在F=4 N的水平恒力作用下由静止开始运动,经过x=5 m达到稳定状态。导轨电阻不计,金属棒PQ始终与导轨垂直并保持良好接触。求: (1)金属棒PQ达到稳定时的速度大小v; (2)金属棒PQ从静止到达到稳定的过程 ①金属棒产生的热量Q; ②通过电阻R1的电荷量q。 课后巩固训练 基础对点练 1.(2025·湖北襄阳高二期中)如图所示,足够长的“U”形光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°),其中MN与PQ平行且间距为L,导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直,导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑,并与两导轨始终保持垂直且接触良好,ab棒接入电路的部分的电阻为R,重力加速度为g,某一时刻金属棒的速度大小为v,则关于金属棒ab在这一过程中的说法正确的是(　　) A.ab棒中电流的方向由a到b B.ab棒所受到的安培力方向与金属棒的运动方向相反且做负功 C.加速度的大小为 D.下滑过程中速度的最大值是 2.(2025·河北衡水高二期中)如图所示,两根相距为L的平行光滑直导轨ab、cd,b、d间连有一定值电阻R,导轨电阻忽略不计。MN为放在ab和cd上的一导体棒,其电阻也为R。整个装置水平放置处于匀强磁场中,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于导轨所在平面。现对MN施加力F使它沿导轨方向以速度v匀速运动。令U表示MN两端电压的大小,则(　　) A.M端电势低于N端 B.U=BLv,流过定值电阻R的感应电流由d→R→b C.U=BLv,流过定值电阻R的感应电流由b→R→d D.外力F所做的功等于电阻R和导体棒上产生的焦耳热之和 3.如图所示电路,两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上,导轨下端接有电阻R,导轨电阻不计,斜面处在竖直向上的匀强磁场中,电阻可忽略不计的金属棒ab质量为m,受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用。金属棒沿导轨匀速向上滑动,则它在上滑高度h的过程中,以下说法正确的是(　　) A.作用在金属棒上各力的合力做功为零 B.重力做的功等于系统产生的电能 C.金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热 D.恒力F做的功与安培力做的功之和等于金属棒增加的机械能 4.[2024江西九校联考/多选]如图所示，有一足够大的光滑水平面上存在非匀强磁场，其磁场分布沿x轴正方向均匀增大，沿y轴方向是不变的，磁场方向垂直纸面向外.现有一闭合的矩形金属线框，质量为m，以速度大小为v0、方向沿其对角线且与x轴成30°角开始向右运动，以下关于线框的说法正确的是（　　） A.线框一直做曲线运动 B.最初阶段线框中感应电流的方向沿顺时针方向 C.线框中感应电流大小保持不变 D.线框运动中产生的内能为m 5. 如图所示，一质量为2m的足够长U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，bc边长为L，不计金属框电阻.一长为L的导体棒MN置于金属框上，导体棒的阻值为R、质量为m.装置处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中.现给金属框水平向右的初速度v0，在整个运动过程中MN始终与金属框保持良好接触且垂直，则（　　） A.刚开始运动时产生的感应电流方向为M→N→c→b→M B.导体棒的最大速度为 C.通过导体棒的电荷量为 D.导体棒产生的焦耳热为m 6. 两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为L,底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的绝缘轻弹簧下端,金属棒和导轨垂直且接触良好,导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,磁感应强度方向如图所示。金属棒和导轨的电阻不计。现将金属棒从轻弹簧原长位置由静止释放,则(　　) A.释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g B.金属棒向下运动时,流过电阻的电流方向为a→b C.金属棒的速度为v时,所受的安培力大小为F= D.电阻上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量 7.(2025·河南信阳期末)如图,两条足够长平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ,间距为L。导轨上端接有一平行板电容器和一电阻,其阻值R可调整,电容器的电容为C。导轨处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m、电阻为r的金属棒,金属棒可沿导轨静止下滑,且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。重力加速度为g。则金属棒运动达到稳定时(　　) A.可调电阻R的阻值越大,流过金属棒的电流越小 B.可调电阻R的阻值越大,电容器所带的电荷量越大 C.金属棒两端的电压始终为 D.金属棒的热功率始终为r 8.[2023江西抚州乐安二中校考]如图所示，质量为3m的重物与一质量为m的导线框用一根绝缘细线连接起来，挂在两个高度相同的定滑轮上，已知导线框电阻为R，横边边长为L.有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场上、下边界的距离、导线框竖直边长均为h.初始时刻，磁场的下边缘和导线框上边缘的高度差为2h，将重物从静止开始释放，导线框加速进入磁场，穿出磁场前已经做匀速直线运动，滑轮质量、摩擦阻力均不计，重力加速度为g.则下列说法正确的是（　　） A.导线框进入磁场时的速度为 B.导线框进入磁场后，若某一时刻的速度为v，则加速度为a＝g－ C.导线框穿出磁场时的速度为 D.导线框通过磁场的过程中产生的热量Q＝5mgh－ 9.[2024山东青岛调研/多选]如图，两平行金属导轨ABC和A'B'C'的间距为0.5m，其中AB、A'B'段光滑，长度为1.2m、与水平方向的夹角为30°，BC、B'C'段水平.空间中存在方向分别与两导轨平面垂直的磁场，磁感应强度大小均为2T.现将导体棒b放置于水平导轨某处，导体棒a自最高端AA'由静止释放，当a棒开始匀速运动时，b棒刚好能保持静止.a棒到达BB'后再经过0.36s恰好不与b棒发生碰撞.已知导体棒a、b的质量均为0.1kg，接入电路中的电阻分别为4Ω和1Ω，两导体棒与水平导轨的动摩擦因数相同，运动过程中导体棒始终与导轨接触良好且垂直，导轨电阻不计，重力加速度g＝10m/s2.下列说法正确的是（　　） A.a棒匀速运动时的速度大小为2m/s B.棒与水平导轨间的动摩擦因数为0.5 C.b棒初始位置与BB'相距0.35m D.a棒下滑过程中，系统损失的机械能为0.4J 综合提升练 10.如图甲所示，相距L＝1m的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角θ＝37°，导轨电阻不计，质量m＝1kg、接入电路电阻为r＝0.5Ω的导体棒ab垂直于导轨放置，导轨的PM两端接在外电路上，定值电阻阻值R＝1.5Ω，电容器的电容C＝0.5F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场.在开关S1闭合、S2断开的状态下将导体棒ab由静止释放，导体棒的v－t图像如图乙所示，运动过程中导体棒始终与导轨接触良好且垂直，sin37°＝0.6，取重力加速度g＝10m/s2. （1）求磁场的磁感应强度大小B； （2）在开关S1闭合、S2断开的状态下，当导体棒下滑的距离x＝5m时，定值电阻产生的焦耳热为21J，此时导体棒的速度与加速度分别是多大？ （3）现在开关S1断开、S2闭合的状态下，由静止释放导体棒，求经过t＝2s时导体棒的速度大小. 11.如图所示,水平放置的U形导轨足够长,置于方向竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B=5 T,导轨宽度L=0.4 m,左侧与R=0.8 Ω的定值电阻连接。右侧有导体棒ab跨放在导轨上,导体棒ab质量m=2.0 kg,电阻r=0.2 Ω,与导轨的动摩擦因数μ=0.2,其余电阻可忽略不计。导体棒ab在大小为10 N的水平外力F作用下,由静止开始运动了x=60 cm后,速度达到最大,g=10 m/s2。求: (1)导体棒ab运动的最大速度是多少? (2)当导体棒ab的速度v=1 m/s时,导体棒ab的加速度是多大? (3)导体棒ab由静止达到最大速度的过程中,电阻R上产生的热量是多少? 12.(2025·山西运城高二期中)如图所示,上端接有R=1.5 Ω的定值电阻的两平行粗糙导轨,间距为L=0.25 m,足够长的倾斜部分和水平部分圆滑连接,倾斜部分与水平面的夹角θ=37°,倾斜部分有一垂直导轨向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B=4 T,水平部分没有磁场。垂直于导轨的质量为m=0.5 kg、电阻为r=0.5 Ω的金属棒ab,从斜面上足够高的某处由静止释放,运动中与导轨有良好接触。已知金属棒与轨道间的动摩擦因数μ=0.5,其余电阻不计,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求: (1)金属棒ab在倾斜轨道上的最大速率; (2)金属棒ab在水平轨道的运行路程; (3)若金属棒从高度h=0.9 m处滑下(进入水平轨道前已处于平衡状态),电阻R上产生的热量。 培优加强练 13. （2023上海）如图（a），单匝矩形线框cdef位于倾角θ＝30°的斜面上，斜面上有一长度为D的匀强磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，磁感应强度大小为B＝0.5T，已知线框边长cd＝D＝0.4m，质量m＝0.1kg，总电阻R＝0.25Ω.现对线框施加一沿斜面向上的恒力F使之向上运动，运动一段时间后，撤去外力F.线框与斜面间的动摩擦因数μ＝，线框速度随时间变化的图像如图（b）所示.求：（重力加速度g取9.8m/s2） 图（a）　　　　　图（b） （1）外力F的大小； （2）cf的长度L； （3）回路产生的焦耳热Q. 14.[2023浙江6月]某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成闭合回路.装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示.导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零；在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小B1＝kI（其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小B2＝2kI，方向与B1相同.火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v0进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停.已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距d＝，导电杆电阻为R.导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻.在火箭落停过程中， （1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L； （2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系； （3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W； （4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理人教版选择性必修二教案 第二章 电磁感应 培优专题13 电磁感应中的能量问题 学习目标 1. 理解电磁感应现象中的能量转化。 2. 掌握电磁感应中相关做功和功率问题的解决方法。 3. 掌握电磁感应焦耳热的计算方法，会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题。 【专题解读】 1.电磁感应中的能量转化 闭合电路中产生感应电流的过程，是其他形式的能转化为电能的过程.电磁感应中能量问题的实质是电能的转化问题，桥梁是安培力. 2.求解焦耳热的三种方法 3. 能量转化问题的分析程序：先电后力再能量 能力提升1　　电磁感应中的能量问题 【导学】 如图所示,用丝线把闭合金属环悬挂于点O,图中虚线的左边有匀强磁场,右边则没有磁场,用手拨动金属环,使悬线偏离竖直位置,放手后,金属环摆动,但金属环的摆动会很快停下来。试从能量转化角度解释这一现象。若整个空间都有向外的匀强磁场,还会有这种现象吗? 提示　金属环进出磁场的过程中产生感应电流,环中会有电热产生,部分机械能转化为内能,故金属环摆动几次便停下来。若整个空间都有向外的匀强磁场,则金属环中无感应电流产生,机械能守恒,金属环会一直摆动(不考虑空气阻力)。 【方法归纳】 1.电磁感应现象中的能量转化 2.焦耳热Q的计算方法及适用条件 (1)焦耳定律:Q=I2Rt,适用于电流恒定的电磁感应问题。 (2)功能关系:对于纯电阻电路,克服安培力所做的功等于焦耳热Q。即Q=W克安。 (3)能量转化:Q等于其他能的减少量,适用于所有电磁感应问题。 【典例1】[2023浙江6月]如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L.细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接.在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其他电阻.开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角θ＝；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（　C　） A.电源电动势E0＝R B.棒产生的焦耳热Q＝（1－）Mgl C.从左向右运动时，最大摆角小于 D.棒两次过最低点时感应电动势大小相等 解析　作出静止时导体棒的受力图如图所示，由于θ＝，故安培力F＝Mg，又F＝BIL，电流I＝，解得E0＝，A错误；开关S接2，导体棒先向左运动，回路中有电流，棒会产生焦耳热，然后由于重力的作用，棒向右运动，由于二极管的作用，此过程回路中无电流，棒不会产生焦耳热，故导体棒向右通过最低点时速度不为0，即Ek＞0，由能量守恒定律可知，棒完成一次振动的过程产生的焦耳热满足Q＋Ek＝Mgl(1－ cos θ)，所以Q＜Mgl(1－ cos θ)＝(1－)Mgl，B错误；导体棒从右向左摆动，会产生焦耳热，故由能量守恒定律可知，其从右向左运动到最左侧时摆角小于，由对称性可知导体棒从左向右摆动时，最大摆角也小于，C正确；导体棒第二次通过最低点的速度小于第一次通过最低点的速度，故两次通过最低点的速度大小不等，由E＝BLv可知，产生的感应电动势大小也不相等，D错误. 答案 C 训练1 如图所示，间距为l的平行金属导轨与水平面间的夹角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B.有一质量为m、长为l的导体棒在ab位置以初速度v沿导轨向上运动，最远到达a'b'处，导体棒向上滑行的最远距离为x.已知导体棒的电阻也为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.导体棒与导轨始终保持垂直且接触良好，下列说法正确的是（　BCD　） A.导体棒受到的最大安培力为 B.导体棒损失的机械能为mv2－mgxsinθ C.导体棒运动的时间为 D.整个电路产生的焦耳热为mv2－mgx（sinθ＋μcosθ） 解析　根据E＝Blv，可以知道速度最大时感应电动势最大，电流和安培力也最 大，所以初始时刻导体棒受到的安培力最大，根据F＝BIl，I＝，可得F＝， 故A错误；从初始位置到滑行最远时，损失的机械能为ΔE＝mv2－mgx sin θ，故B正 确；导体棒向上滑动的过程，由动量定理可得Blt＋(mg sin θ＋μmg cos θ)t＝mv，而 t＝t＝＝，联立解得t＝，故C正确；导体棒上滑过程中克 服重力、滑动摩擦力和安培力做功，根据能量守恒定律可得整个电路产生的焦耳热 为Q＝mv2－mgx( sin θ＋μ cos θ)，故D正确. 答案 BCD 能力提升2　　电磁感应中的功能关系 常见的功能关系 做功情况 能量变化 重力做功 重力势能发生变化 弹簧弹力做功 弹性势能发生变化 合外力做功 动能发生变化 做功情况 能量变化 除重力和系统内弹力以外的其他力做功 机械能发生变化 滑动摩擦力做功 有内能产生 静电力做功 电势能发生变化 安培力做正功 电能转化为其他形式的能 克服安培力做功（动生型电磁感应） 其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能 【典例2】如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R的定值电阻.平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场.质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止.已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中（　BD　） A.通过金属棒的最大电流为 B.通过金属棒的电荷量为 C.克服安培力所做的功为mgh D.金属棒上产生的焦耳热为mg（h－μd） 解析　金属棒由静止释放下滑到弯曲部分底端，根据动能定理有mgh＝m，金属棒在磁场中运动时产生的感应电动势E＝BLv，当金属棒刚进入磁场时，产生的感应电动势最大，感应电流最大，Imax＝＝，A错误；金属棒穿过磁场区域的过程中通过金属棒的电荷量q＝t＝t＝＝，B正确；对整个过程由动能定理得mgh－W克安－μmgd＝0，金属棒克服安培力做的功W克安＝mgh－μmgd，C错误；由功能关系可得，金属棒上产生的焦耳热Q＝W克安＝mg(h－μd)，D正确. 答案 BD 训练2 (2025·四川成都高二期中)如图为相距L的光滑平行导轨,圆弧部分竖直放置,平直部分固定于水平地面上,矩形MNPQ区域内(MQ足够长)存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场,导轨右端连接定值电阻R。一质量为m、长为L、电阻为r的金属棒ab从圆弧轨道上高h处由静止释放。金属棒ab与导轨始终接触良好,不计导轨电阻,重力加速度大小为g。从金属棒ab开始运动到停止运动的过程中,下列说法正确的是(　　) A.金属棒ab刚进入磁场时的速度大小为 B.金属棒ab刚进入磁场时,金属棒ab两端的电压为BL C.金属棒ab进入磁场后做匀减速直线运动 D.金属棒ab克服安培力做的总功为mgh 答案　D 解析　金属棒ab从释放到刚进入磁场时,根据动能定理有mgh=mv2,解得v=,故A错误;金属棒ab刚进入磁场时,根据法拉第电磁感应定律有E=BLv,金属棒ab两端的电压为U=E,解得U=BL,故B错误;金属棒ab进入磁场后,安培力提供加速度,有=ma,可知金属棒ab做加速度减小的减速直线运动,故C错误;根据能量守恒定律可知金属棒ab克服安培力做的总功为mgh,故D正确。 随堂对点自测 1.(电磁感应中的能量问题)(2025·广东东莞高二月考)如图所示,相距L=40 cm的两光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置,在M、P两点间接一阻值为R=0.5 Ω的电阻,在两导轨间的矩形区域OO1O1'O'内有垂直导轨平面向里、宽为d=0.7 m的匀强磁场,磁感应强度B=0.5 T。一质量m=20 g、电阻r=0.1 Ω的导体棒ab垂直的搁在导轨上,与磁场的上边界相距d0=0.8 m。现使ab棒由静止开始释放,棒ab在离开磁场前已做匀速直线运动(棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平),导轨电阻不计。g取10 m/s2,求: (1)棒ab离开磁场下边界的速度大小; (2)棒ab进入磁场瞬间的加速度大小和方向; (3)棒ab在通过磁场区域的过程中,电阻R上产生的焦耳热。 答案　(1)3 m/s　(2) m/s2　竖直向上 (3)0.175 J 解析　(1)棒ab在离开磁场前已做匀速直线运动,则有mg-ILB=0 由闭合电路欧姆定律得I= 由法拉第电磁感应定律有E=BLv 联立解得v==3 m/s。 (2)棒ab进入磁场前做自由落体运动,则有 2gd0= 解得v0==4 m/s 根据牛顿第二定律可得-mg=ma 解得a= m/s2,方向竖直向上。 (3)棒ab从静止释放到离开磁场区域的过程中,根据能量守恒定律可得mg(d0+d)=mv2+Q 解得Q=0.21 J 电阻R上产生的焦耳热为QR=Q=0.175 J。 2.(电磁感应中的功能关系) (2025·四川成都高二期末)如图所示,足够长的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上,间距L=1 m,导轨左端并联接入定值电阻R1、R2 ,阻值均为2 Ω,空间存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小B=2 T。质量m=1 kg,电阻r=1 Ω的金属棒PQ在F=4 N的水平恒力作用下由静止开始运动,经过x=5 m达到稳定状态。导轨电阻不计,金属棒PQ始终与导轨垂直并保持良好接触。求: (1)金属棒PQ达到稳定时的速度大小v; (2)金属棒PQ从静止到达到稳定的过程 ①金属棒产生的热量Q; ②通过电阻R1的电荷量q。 答案　(1)2 m/s　(2)①9 J　②2.5 C 解析　(1)当金属棒达到稳定时,感应电动势为 E=BLv 感应电流为I= 其中R总=r+ 由平衡条件有F=ILB 联立解得v=2 m/s。 (2)①对系统由功能关系得 Fx=mv2+Q总 金属棒产生的热量Q=Q总 解得Q=9 J。 ②通过金属棒的电荷量 q0=Δt,=,ΔΦ=BLx q=q0·=2.5 C。 课后巩固训练 基础对点练 1.(2025·湖北襄阳高二期中)如图所示,足够长的“U”形光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°),其中MN与PQ平行且间距为L,导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直,导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑,并与两导轨始终保持垂直且接触良好,ab棒接入电路的部分的电阻为R,重力加速度为g,某一时刻金属棒的速度大小为v,则关于金属棒ab在这一过程中的说法正确的是(　　) A.ab棒中电流的方向由a到b B.ab棒所受到的安培力方向与金属棒的运动方向相反且做负功 C.加速度的大小为 D.下滑过程中速度的最大值是 答案　B 解析　根据右手定则可知,ab棒中电流的方向由b到a,故A错误;根据左手定则可知,ab棒所受到的安培力方向沿导轨向上,与金属棒的运动方向相反,故安培力做负功,故B正确;根据牛顿第二定律有mgsin θ-ILB=ma,ab棒中的电流为I=,联立解得加速度的大小为a=gsin θ-,故C错误;下滑过程中速度最大时,有mgsin θ=ImLB,ab棒中的最大电流为Im=,则下滑过程中速度的最大值是vm=,故D错误。 2.(2025·河北衡水高二期中)如图所示,两根相距为L的平行光滑直导轨ab、cd,b、d间连有一定值电阻R,导轨电阻忽略不计。MN为放在ab和cd上的一导体棒,其电阻也为R。整个装置水平放置处于匀强磁场中,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于导轨所在平面。现对MN施加力F使它沿导轨方向以速度v匀速运动。令U表示MN两端电压的大小,则(　　) A.M端电势低于N端 B.U=BLv,流过定值电阻R的感应电流由d→R→b C.U=BLv,流过定值电阻R的感应电流由b→R→d D.外力F所做的功等于电阻R和导体棒上产生的焦耳热之和 答案　CD 解析　根据右手定则,可知导体棒中的电流方向由N指向M,导体棒可以看为一个等效电源,可知M为等效电源的正极,即M端电势高于N端,故A错误;感应电动势为E=BLv,则MN两端电压为U==BLv,根据上述可知,流过定值电阻R的感应电流由b→R→d,故B错误,C正确;导轨光滑,导体棒匀速运动,动能不变,根据功能关系可知,外力F所做的功等于电阻R和导体棒上产生的焦耳热之和,故D正确。 3.如图所示电路,两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上,导轨下端接有电阻R,导轨电阻不计,斜面处在竖直向上的匀强磁场中,电阻可忽略不计的金属棒ab质量为m,受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用。金属棒沿导轨匀速向上滑动,则它在上滑高度h的过程中,以下说法正确的是(　　) A.作用在金属棒上各力的合力做功为零 B.重力做的功等于系统产生的电能 C.金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热 D.恒力F做的功与安培力做的功之和等于金属棒增加的机械能 答案　ACD 解析　因为金属棒匀速运动,所以动能不变,根据动能定理可得合力做功为零,故A正确;根据动能定理可得WF+WG+W安=0,解得WF+W安=-WG,即克服重力做功等于外力与安培力做功之和,因为动能不变,所以恒力F做的功与安培力做的功之和等于金属棒增加的机械能,故D正确;根据功能关系可知金属棒克服安培力做的功等于系统产生的电能,电能转化为电阻R上产生的焦耳热,故B错误,C正确。 4.[2024江西九校联考/多选]如图所示，有一足够大的光滑水平面上存在非匀强磁场，其磁场分布沿x轴正方向均匀增大，沿y轴方向是不变的，磁场方向垂直纸面向外.现有一闭合的矩形金属线框，质量为m，以速度大小为v0、方向沿其对角线且与x轴成30°角开始向右运动，以下关于线框的说法正确的是（　BD　） A.线框一直做曲线运动 B.最初阶段线框中感应电流的方向沿顺时针方向 C.线框中感应电流大小保持不变 D.线框运动中产生的内能为m 解析　由楞次定律可判断，最初阶段线框中感应电流的方向为顺时针方向，B正确；线框上、下边受到的安培力等大反向，线框左边受到的向右的安培力小于线框右边受到的向左的安培力，故线框整体受到的安培力方向水平向左，线框做减速运动，速度减小，回路中的感应电动势减小，感应电流减小，C错误；当线框水平向右的分速度减为零时，回路中 【点拨】感应电动势E=（B右-B左）lv，（B右-B左）和l恒定，所以E随v的减小而减小 的磁通量不再发生变化，感应电流为零，线框不再受安培力，沿y轴正方向做匀速直线运动，A错误；线框最终稳定时的速度大小v末＝v0 sin 30°＝v0，从线框开始运动到稳定的过程中，由能量守恒定律有m＝Q＋m，联立解得Q＝m，D正确. 答案 BD 5. 如图所示，一质量为2m的足够长U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，bc边长为L，不计金属框电阻.一长为L的导体棒MN置于金属框上，导体棒的阻值为R、质量为m.装置处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中.现给金属框水平向右的初速度v0，在整个运动过程中MN始终与金属框保持良好接触且垂直，则（　AC　） A.刚开始运动时产生的感应电流方向为M→N→c→b→M B.导体棒的最大速度为 C.通过导体棒的电荷量为 D.导体棒产生的焦耳热为m 解析　　金属框开始获得向右的初速度v0，根据右手定则可知电流方向为M→N→c→b→M，故A正确；以整体为研究对象，由于整体水平方向所受合力为零，所以整体水平方向动量守恒，最后二者速度相等，取初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有2mv0＝3mv，可得v＝v0，故B错误；对导体棒根据动量定理可得BLΔt＝mv－0，其中Δt＝q，可得通过导体棒的电荷量为q＝，故C正确；导体棒产生的焦耳热为Q＝×2m－×3mv2＝m，故D错误. 答案 AC 6. 两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为L,底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的绝缘轻弹簧下端,金属棒和导轨垂直且接触良好,导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,磁感应强度方向如图所示。金属棒和导轨的电阻不计。现将金属棒从轻弹簧原长位置由静止释放,则(　　) A.释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g B.金属棒向下运动时,流过电阻的电流方向为a→b C.金属棒的速度为v时,所受的安培力大小为F= D.电阻上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量 答案　AC 解析　释放瞬间,金属棒只受重力作用,所以其加速度等于重力加速度,选项A正确;金属棒向下切割磁感线,由右手定则可知,流过电阻的电流方向为b→a,选项B错误;当金属棒的速度为v时,感应电流I=,则安培力F=ILB=,选项C正确;由能量守恒定律可知,最终稳定后,重力势能的减少量等于轻弹簧弹性势能的增加量与电阻上产生的总热量之和,选项D错误。 7.(2025·河南信阳期末)如图,两条足够长平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ,间距为L。导轨上端接有一平行板电容器和一电阻,其阻值R可调整,电容器的电容为C。导轨处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m、电阻为r的金属棒,金属棒可沿导轨静止下滑,且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。重力加速度为g。则金属棒运动达到稳定时(　　) A.可调电阻R的阻值越大,流过金属棒的电流越小 B.可调电阻R的阻值越大,电容器所带的电荷量越大 C.金属棒两端的电压始终为 D.金属棒的热功率始终为r 答案　BD 解析　金属棒最终将在导轨上匀速运动,则有mgsin θ=ILB可得流过金属棒的电流I=,而 UC=IR,Q=CUC,由于电流I为定值,电阻R越大,电容器两端电压UC越大,电容器所带的电荷量Q越大,故A错误,B正确;金属棒切割磁感线产生感应电动势,在闭合回路中形成感应电流,相当于电源。根据闭合电路欧姆定律,可知金属棒运动达到稳定时两端电压为U=UC=IR=,故C错误;运动达到稳定时,金属棒的热功率为Pr=I2r=r,故D正确。 8.[2023江西抚州乐安二中校考]如图所示，质量为3m的重物与一质量为m的导线框用一根绝缘细线连接起来，挂在两个高度相同的定滑轮上，已知导线框电阻为R，横边边长为L.有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场上、下边界的距离、导线框竖直边长均为h.初始时刻，磁场的下边缘和导线框上边缘的高度差为2h，将重物从静止开始释放，导线框加速进入磁场，穿出磁场前已经做匀速直线运动，滑轮质量、摩擦阻力均不计，重力加速度为g.则下列说法正确的是（　B　） A.导线框进入磁场时的速度为 B.导线框进入磁场后，若某一时刻的速度为v，则加速度为a＝g－ C.导线框穿出磁场时的速度为 D.导线框通过磁场的过程中产生的热量Q＝5mgh－ 答案 B 解析　线框进入磁场前，根据重物与线框组成的系统机械能守恒得(3mg－mg)·2h＝(3m＋m)，解得线框进入磁场时的速度v1＝，故A错误.线框进入磁场后，若某一时刻的速度为v，对整体，根据牛顿第二定律得3mg－mg－＝(3m＋m)a，解得a＝g－，故B正确.线框穿出磁场时，根据平衡条件得3mg－mg＝F安，而F安＝，解得线框穿出磁场时的速度为v2＝，故C错误.设线框通过磁场的过程中产生的热量为Q. 对从静止到刚通过磁场的过程，根据能量守恒定律得Q＝(3mg－mg)·4h－(3m＋m)，将v2＝代入得Q＝8mgh－，故D错误. 9.[2024山东青岛调研/多选]如图，两平行金属导轨ABC和A'B'C'的间距为0.5m，其中AB、A'B'段光滑，长度为1.2m、与水平方向的夹角为30°，BC、B'C'段水平.空间中存在方向分别与两导轨平面垂直的磁场，磁感应强度大小均为2T.现将导体棒b放置于水平导轨某处，导体棒a自最高端AA'由静止释放，当a棒开始匀速运动时，b棒刚好能保持静止.a棒到达BB'后再经过0.36s恰好不与b棒发生碰撞.已知导体棒a、b的质量均为0.1kg，接入电路中的电阻分别为4Ω和1Ω，两导体棒与水平导轨的动摩擦因数相同，运动过程中导体棒始终与导轨接触良好且垂直，导轨电阻不计，重力加速度g＝10m/s2.下列说法正确的是（　BC　） A.a棒匀速运动时的速度大小为2m/s B.棒与水平导轨间的动摩擦因数为0.5 C.b棒初始位置与BB'相距0.35m D.a棒下滑过程中，系统损失的机械能为0.4J 答案 BC 解析　a棒匀速运动时，由平衡条件有mg sin 30°＝BIL，又I＝，E＝BLv，联立并代入数据解得v＝2.5 m/s，A错误；经分析可知，b棒所受的安培力大小与a棒的相等，又a棒匀速运动时，b棒恰能保持静止，对b棒由平衡条件有BIL＝μmg，解得μ＝0.5，B正确；对a棒从BB'运动到b棒位置的过程中，根据动量定理有－BLt－μmgt＝0－mv，又t＝q＝＝，联立解得x＝0.35 m，C正确；a棒下滑过程中，系统损失的机械能ΔE＝mgs sin 30°－mv2，代入数据解得ΔE＝0.287 5 J，D错误. 综合提升练 10.如图甲所示，相距L＝1m的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角θ＝37°，导轨电阻不计，质量m＝1kg、接入电路电阻为r＝0.5Ω的导体棒ab垂直于导轨放置，导轨的PM两端接在外电路上，定值电阻阻值R＝1.5Ω，电容器的电容C＝0.5F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场.在开关S1闭合、S2断开的状态下将导体棒ab由静止释放，导体棒的v－t图像如图乙所示，运动过程中导体棒始终与导轨接触良好且垂直，sin37°＝0.6，取重力加速度g＝10m/s2. （1）求磁场的磁感应强度大小B； （2）在开关S1闭合、S2断开的状态下，当导体棒下滑的距离x＝5m时，定值电阻产生的焦耳热为21J，此时导体棒的速度与加速度分别是多大？ （3）现在开关S1断开、S2闭合的状态下，由静止释放导体棒，求经过t＝2s时导体棒的速度大小. 答案　（1）2T　（2）2m/s　2m/s2　（3）4m/s 解析　（1）由题图乙可知，导体棒的最大速度vm＝3m/s 对应的感应电动势E＝BLvm 感应电流I＝ 当速度达到最大时，导体棒做匀速运动，导体棒受力平衡，有 BIL＝mgsinθ 解得B＝＝2T （2）导体棒和定值电阻串联，由公式Q＝I2Rt可知Qab∶QR＝1∶3，则导体棒ab产生的焦耳热Qab＝×21J＝7J，导体棒下滑x＝5m的距离，导体棒减少的重力势能转化为动能和回路中的焦耳热，由能量守恒定律有mgxsinθ＝m＋Qab＋QR 得导体棒的速度v1＝2m/s 此时感应电动势E1＝BLv1 感应电流I1＝ 对导体棒有mgsinθ－BI1L＝ma1 解得加速度a1＝2m/s2 （3）开关S1断开、S2闭合时，任意时刻对导体棒，根据牛顿第二定律有mgsinθ－BI2L＝ma2 感应电流I2＝，Δq＝CΔU Δt时间内，有ΔU＝ΔE＝BLΔv，a2＝ 解得a2＝2m/s2 表明导体棒下滑过程中加速度不变，导体棒做匀加速直线运动，t＝2s时导体棒的速度大小v2＝a2t＝4m/s. 11.如图所示,水平放置的U形导轨足够长,置于方向竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B=5 T,导轨宽度L=0.4 m,左侧与R=0.8 Ω的定值电阻连接。右侧有导体棒ab跨放在导轨上,导体棒ab质量m=2.0 kg,电阻r=0.2 Ω,与导轨的动摩擦因数μ=0.2,其余电阻可忽略不计。导体棒ab在大小为10 N的水平外力F作用下,由静止开始运动了x=60 cm后,速度达到最大,g=10 m/s2。求: (1)导体棒ab运动的最大速度是多少? (2)当导体棒ab的速度v=1 m/s时,导体棒ab的加速度是多大? (3)导体棒ab由静止达到最大速度的过程中,电阻R上产生的热量是多少? 答案　(1)1.5 m/s　(2)1 m/s2　(3)1.08 J 解析　(1)设导体棒ab运动的最大速度为vm,ab棒切割磁感线产生的电动势E=BLvm 根据闭合电路欧姆定律有Im= 当速度最大时,加速度为零,则有F=ImLB+μmg 解得最大速度vm=1.5 m/s。 (2)ab棒的速度v=1 m/s时,安培力为F安=ILB 根据闭合电路欧姆定律有I= 由牛顿第二定律F-F安-μmg=ma 解得a=1 m/s2。 (3)导体棒ab由静止达到最大速度的过程中,电流产生的热量为Q,由功能关系可得 Fx=μmgx+Q+m QR=Q=1.08 J。 12.(2025·山西运城高二期中)如图所示,上端接有R=1.5 Ω的定值电阻的两平行粗糙导轨,间距为L=0.25 m,足够长的倾斜部分和水平部分圆滑连接,倾斜部分与水平面的夹角θ=37°,倾斜部分有一垂直导轨向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B=4 T,水平部分没有磁场。垂直于导轨的质量为m=0.5 kg、电阻为r=0.5 Ω的金属棒ab,从斜面上足够高的某处由静止释放,运动中与导轨有良好接触。已知金属棒与轨道间的动摩擦因数μ=0.5,其余电阻不计,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求: (1)金属棒ab在倾斜轨道上的最大速率; (2)金属棒ab在水平轨道的运行路程; (3)若金属棒从高度h=0.9 m处滑下(进入水平轨道前已处于平衡状态),电阻R上产生的热量。 答案　(1)2 m/s　(2)0.4 m　(3)0.375 J 解析　(1)由题意可知,金属棒到达水平轨道之前已开始匀速运动,设最大速度为vmax,由法拉第电磁感应定律有E=BLvmax 感应电流为I= 对导体棒受力分析,有ILB+μmgcos θ=mgsin θ 联立解得vmax=2 m/s。 (2)金属棒在水平轨道上,由动能定理有 -μmgx=0-m 解得x=0.4 m。 (3)金属棒在倾斜轨道上运动时,由能量守恒定律有mgh=m+μmgcos θ+Q 解得Q=0.5 J 电阻R上产生的热量QR=Q=0.375 J。 培优加强练 13. （2023上海）如图（a），单匝矩形线框cdef位于倾角θ＝30°的斜面上，斜面上有一长度为D的匀强磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，磁感应强度大小为B＝0.5T，已知线框边长cd＝D＝0.4m，质量m＝0.1kg，总电阻R＝0.25Ω.现对线框施加一沿斜面向上的恒力F使之向上运动，运动一段时间后，撤去外力F.线框与斜面间的动摩擦因数μ＝，线框速度随时间变化的图像如图（b）所示.求：（重力加速度g取9.8m/s2） 图（a）　　　　　图（b） （1）外力F的大小； （2）cf的长度L； （3）回路产生的焦耳热Q. 答案　（1）F＝1.48N　（2）L＝0.5m　（3）Q＝0.4J 解析　（1）由题图（b）可知，在0～0.4s的时间内，线框做匀加速直线运动，进入磁场时的速度v1＝2.0m/s 结合题图（b）可知线框进入磁场前的加速度大小 a＝＝m/s2＝5m/s2 进入磁场前，对线框由牛顿第二定律得 F－mgsinθ－Ff＝ma 又Ff＝μFN，FN＝mgcosθ 代入数据得F＝1.48N （2）由题图（b）可知，线框以恒定的速度v1穿过匀强磁场，该过程中线框中产生的感应电动势E＝BLv1 线框中产生的感应电流I＝ 线框受到的安培力FA＝BIL 由平衡条件得F＝FA＋mgsinθ＋μmgcosθ 联立解得L＝0.5m （3）经分析可知，线框ed边离开磁场时，外力F被撤去，因为μ＝tanθ＝，所以线框离开磁场运动到最高点，即速度减为零后不会沿斜面向下滑动 设线框穿过磁场所用的时间为t，则有 t＝＝s＝0.4s 线框中的感应电流为 I＝＝A＝2A 根据焦耳定律可得 Q＝I2Rt＝22×0.25×0.4J＝0.4J. 14.[2023浙江6月]某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成闭合回路.装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示.导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零；在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小B1＝kI（其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小B2＝2kI，方向与B1相同.火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v0进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停.已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距d＝，导电杆电阻为R.导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻.在火箭落停过程中， （1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L； （2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系； （3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W； （4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小. 答案　（1）F＝3Mg　L＝　（2）E＝－t＋（t≤）　（3）U＝t－＋IR（t≤）　W＝－M＋　（4）来源为导电杆和火箭机械能的减少　M 解析　（1）导电杆所受的安培力大小F＝B1Id 又B1＝kI，d＝ 解得F＝3Mg 火箭落停过程中，由牛顿第二定律得F－Mg＝Ma 解得a＝2g 由运动学公式可得，火箭运动的距离L＝ 解得L＝ （2）导电杆向下运动的速度为v＝v0－at＝v0－2gt（t≤） 则回路中的感应电动势为E＝B2dv 又B2＝2kI 整理得E＝－t＋（t≤） （3）由于电路中的电流恒为I，导电杆下滑过程中的总电动势为 E总＝U＋E 且有I＝ 整理得U＝t－＋IR（t≤） 装置A输出的功率为P＝UI＝12Mg2t－6Mgv0＋I2R（t≤） 初始时刻，t＝0，P始＝－6Mgv0＋I2R 到达停靠平台时，t＝，P末＝I2R 由P－t关系可知，＝＝－3Mgv0＋I2R 则在火箭落停过程中，装置A输出的能量为 W＝·＝－M＋ （4）可回收能量的来源为导电杆和火箭机械能的减少 由能量守恒定律得W回＝MgL＋M－0 又由（1）得L＝ 解得W回＝M. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $