专题1 小题考法1 三角恒等变换、平面向量-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

小题考法1　三角恒等变换、平面向量 命题点一 平面向量的运算 [例1]　(1)(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 图1 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 (2)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心，且与BD相切的圆上，则·的取值范围为__________． 【解析】　 (1)如图，设点A(3，3)，B(0，2)，C(2，0)，由题意知，视风风速对应的向量为，船速对应的向量为，因为船行风风速对应的向量与船速对应的向量为相反向量，所以船行风风速对应的向量为，则真风风速对应的向量为－＝＝(－2，2)，||＝＝2，而2∈(1.6，3.3)，故该时刻的真风为轻风． (2)如图，以C为原点建立平面直角坐标系， 则A(1，2)，D(1，0)，B(0，2)， 所以＝(0，－2)，kBD＝＝－2， 所以直线BD的方程为y＝－2x＋2， 即2x＋y－2＝0， 所以点C到直线BD的距离为＝，即圆C的半径为，所以圆C的方程为x2＋y2＝. 设P(x，y)，由点P在圆C上可得－≤y≤， 因为＝(x－1，y－2)， 所以·＝－2(y－2)＝4－2y，由－≤y≤得，4－≤4－2y≤4＋， 即·的取值范围为. 【答案】　(1)A　(2) (1)进行平面向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四边形法则或三角形法则求解； (2)求向量数量积的三种方法 ①定义法；②坐标法；③利用向量数量积的几何意义． [对点训练]　1.(2025·佛山一模)已知单位向量a，b满足|a＋b|＝1，则下列说法正确的是(　　) A．〈a，b〉＝150° B．|a－b|＝3 C．向量a＋b在向量a上的投影向量为a D．b⊥ 解析：选D.因为单位向量a，b满足|a＋b|＝1， 则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1，所以a·b＝－， 所以cos 〈a，b〉＝＝－， 又0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°，故A错误； |a－b|＝＝＝＝，故B错误； (a＋b)·a＝a2＋b·a＝12＋＝，所以向量a＋b在向量a上的投影向量为a＝a，故C错误； b·＝b·a＋b2＝－＋×12＝0，所以b⊥，故D正确． 2．(多选)如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是(　　) A．当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B．λμ的最大值为 C．μ的取值范围为[0，1] D．λ＋μ的取值范围为 解析：选AC.根据题意，以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设BC＝2，则B(0，0)，E(0，1)，D(2，2)， 设M(t，2)，则0≤t≤2，由于＝λ＋μ， 所以(t，2)＝λ(0，1)＋μ(2，2)， 整理得则 对于A，当M为AD的中点时，t＝1，故λ＋μ＝2－1＋＝，故A正确； 对于B，λμ＝(2－t)·＝t－t2＝－(t－1)2＋，因为0≤t≤2，所以当t＝1时，λμ取最大值，最大值为，故B错误； 对于C，因为μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，故μ的取值范围为[0，1]，故C正确； 对于D，λ＋μ＝2－，0≤t≤2，故λ＋μ的取值范围为[1，2]，故D错误． 命题点二 三角恒等变换 角度1　求值 [例2]　(1)(2025·黑龙江一模)已知7＋tan ＝0，2tan (α－β)－1＝0，则tan 2α＝(　　) A．－ B． C． D．－ (2)若cos ＝，sin ＝－，α∈，β∈，则cos (α＋β)＝________． 【解析】　(1) 由7＋tan ＝0，可得tan β＝－，由2tan (α－β)－1＝0，可得tan (α－β)＝，且tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝， 故tan 2α＝＝＝. (2)由β∈，得＋β∈，又sin＝－， 则cos ＝－＝－＝－，又α∈，所以α－∈，又cos＝， 所以sin ＝＝， 所以cos(α＋β)＝－cos ＝－cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝－. 【答案】　(1)C　(2)－ 给值求值问题的解题策略 给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示出来，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－等，要善于观察各个角之间的关系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系． [对点训练]　1.已知sin ＋sin α＝，则sin ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.由sin ＋sin α＝， 可得cos α－sin α＋sin α＝， 即sin α＋cos α＝sin ＝， 所以sin ＝sin ＝－cos ＝2sin2－1＝－. 2．(2025·武汉二模)已知tanαtan β＝2，cos (α－β)＝，则cos (α＋β)＝________． 解析：依题意，tan αtan β＝＝2，则sin αsin β＝2cos αcos β，由cos (α－β)＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，解得cos αcos β＝，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－cos αcos β＝－. 答案：－ 角度2　求角 [例3]　(1)(2025·重庆模拟)设tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　) A． B．－ C．或－ D． (2)若cos 2α＝－，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)因为tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7，所以tan α＜0，tan β＜0，又α，β∈，所以α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，则tan (α＋β)＝＝＝， 所以α＋β＝－. (2)由α∈，可得2α∈， 因为cos 2α＝－，则sin 2α＝＝， 又β∈，则β－α∈， 因为sin(β－α)＝，则cos (β－α)＝－＝－，故cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝－×－×＝， 又因为α＋β∈，所以α＋β＝. 【答案】　(1)B　(2)B 给值求角的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． [对点训练]　1.(2025·漳州一模)已知α∈，若sin ＋cos ＝0，则α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.sin ＝－cos 2α， 所以－cos 2α＋cos ＝0，即cos 2α＝cos ， 即cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α).又α∈，所以cos α＋sin α＞0，所以cos α－sin α＝，即cos ＝.又α∈，所以α＋∈，所以α＋＝，所以α＝. 2．(2025·贵阳模拟)已知α，β∈，且tan (α－β)＝－，tan α＝－，则α－2β的值为________． 解析：tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝＝＞0，且β∈， 所以0＜β＜.又α∈，tan α＝－<0，所以α∈，所以－π＜α－β＜0，因为tan (α－β)＝－＜0，所以－＜α－β＜0，所以－π＜α－2β＜0.tan (α－2β)＝tan [(α－β)－β]＝＝＝－1，所以α－2β＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $