专题1 高考提能2 三角形中的特殊线段-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

高考提能2　三角形中的特殊线段 题型一 三角形的中线问题 [例1]　(2025·温州一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝ac－2c cos B. (1)求c； (2)若D为AB中点，CD＝，∠ACB＝60°，求△ABC的周长． 【解】　(1)方法一：由题意及正弦定理，得2sin B cos C＝c sin A－2cos B sin C， 则2sin (B＋C)＝c sin A，所以2sin A＝c sin A， 因为在△ABC中，sin A＞0，所以c＝2. 方法二：由题意及余弦定理的推论，得2b·＝ac－2c·，所以a2＋b2－c2＝a2c－a2－c2＋b2， 整理得2a2＝a2c，因为a＞0，所以c＝2. (2)方法一：利用向量关系，可得＝(＋)， 因此||2＝(b2＋a2＋ab)＝2， 又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB， 所以4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 因此ab＝2，a＋b＝，所以△ABC的周长为＋2. 方法二：因为∠ADC＋∠BDC＝π， 所以cos ∠ADC＋cos ∠BDC＝0. 因此＋＝0，所以a2＋b2＝6， 又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB， 所以4＝a2＋b2－ab，因此ab＝2，a＋b＝， 所以△ABC的周长为＋2. 方法三：以△ABC的边CA，CB为邻边将△ABC补成平行四边形(图略)，利用平行四边形边长与对角线长的关系可得，22＋(2)2＝2(a2＋b2)，所以a2＋b2＝6. 又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB，所以4＝a2＋b2－ab，因此ab＝2，a＋b＝，所以△ABC的周长为＋2. [对点训练]　已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin B＝b cos . (1)求角A的大小； (2)若D为BC的中点，AD＝，b＝2，求△ABC的面积． 解：(1)由正弦定理，得sin A sin B＝sin B cos ， 又B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin A＝cos ， 所以2sin cos ＝cos ， 因为A∈(0，π)，所以∈(0，)，所以cos ≠0， 所以sin ＝，解得＝，即A＝. (2)因为D为BC的中点，所以＝(＋)， 两边平方得到||2＝(||2＋||2＋2·) ＝(c2＋b2＋2bc cos )，又AD＝，b＝2， 所以＝(c2＋4＋2c)，整理可得c2＋2c－3＝0， 解得c＝1或c＝－3(舍去)， 所以△ABC的面积S＝bc sin ＝. 题型二 三角形的角平分线问题 [例2]　(2025·福州一模)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－2b cos A＝b. (1)求证：A＝2B； (2)若∠BAC的平分线交BC于D，AD＝1，sin B＝，求＋的值． 【解】　(1)证明：由正弦定理及题意得sin C－2sin B cos A＝sin B，因为A＋B＋C＝π， 所以sin (A＋B)－2sin B cos A＝sin A cos B－sin B cos A＝sin (A－B)＝sin B， 因为A∈(0，)，B∈(0，)，所以A－B∈(－，)， 因为y＝sin x在(－，)上单调递增， 所以A－B＝B，即A＝2B. (2)因为sin B＝，B为锐角，所以cos B＝，由(1)可知∠BAC＝2B，所以sin ∠BAC＝sin 2B＝2sin B cos B＝， 依题意有S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 所以bc sin ∠BAC＝(b＋c)×AD×sin B，又因为AD＝1，所以bc＝(b＋c)，化简得8bc＝5(b＋c)，两边同时除以bc可得8＝5()，所以＋＝. 角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解． 点拨　在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则＝. [对点训练]　(2025·岳阳一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. (1)求角A的大小； (2)若a＝，△ABC的角平分线AD与边BC相交于点D，且AD＝，求△ABC的面积． 解：(1)因为＝，所以由正弦定理可得＝， 所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，整理得b2＋c2－a2＝－bc， 所以cos A＝＝－，又0＜A＜π，所以A＝. (2)因为△ABC的角平分线AD与边BC相交于点D， 所以S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，所以bc sin ＝b·AD·sin ＋c·AD·sin ，所以bc＝(b＋c)， 在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC， 所以7＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc＝(bc)2－bc， 解得bc＝2或bc＝－(舍去). 所以△ABC的面积S＝bc sin ∠BAC＝×2×＝. 题型三 三角形的高线问题 [例3]　(2025·新余一模)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2a cos C＝2b－c. (1)求角A的大小； (2)若b＝4，BC边上的高为，求△ABC的周长． 【解】　(1)由题设及余弦定理的推论，得2a·＝2b－c，整理得b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝，又A∈(0，π)，则A＝. (2)由题意及(1)知bc sin ∠BAC＝a·，则c＝3a， 由cos ∠BAC＝＝，即c2＋9c－36＝(c＋12)(c－3)＝0，所以c＝3(负值已舍去)，故a＝， 所以△ABC的周长为7＋. (1)若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶； (2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出三角形的面积和底边长度． [对点训练]　(2025·北京卷改编)在△ABC中，cos A＝－，a sin C＝4. (1)求c； (2)若△ABC面积为10，求BC边上的高． 解：(1)因为cos A＝－，A∈(0，π)，所以sin A＝＝， 由正弦定理有a sin C＝c sin A＝c＝4，解得c＝6. (2)因为△ABC的面积是10，则S△ABC＝bc sin A＝b×6×＝10， 解得b＝5，由余弦定理及题意可得a＝＝＝9， 此时△ABC是存在的，设BC边上的高为AD， 则S△ABC＝a·AD＝AD＝10，即AD＝. 学科网（北京）股份有限公司 $