专题3 小题考法1 立体几何初步-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

专题三　立体几何 1 返回首页 二轮专题复习 小题考法1　立体几何初步 3 命题点一　表面积与体积 B 返回首页 二轮专题复习 【解析】　如图，连接A1C1，AC，则A1C1＝2，AC＝4，过A1作A1E⊥AC于E， 返回首页 二轮专题复习 所以A1E⊥AB，而A1F∩A1E＝A1，A1F，A1E⊂平面A1FE， 返回首页 二轮专题复习 (2)(2025·松江模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CC1的中点，若△BPD1以BD1为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是________． 返回首页 二轮专题复习 破解空间几何体的表面积问题的关键 (1)会转化：空间图形平面化． (2)会分类：能识别所给的几何体是规则的几何体，还是不规则的几何体，还是简单的组合体． (3)用公式：对于规则的几何体或简单的组合体，只需利用公式即可求解． 返回首页 二轮专题复习 C 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 2．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了___________平方单位． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 A 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)(2025·重庆模拟)已知三棱锥S-ABC如图所示，AS，AB，AC两两垂直，且AS＝AB＝AC＝3，点E，F分别是棱AS，BS的中点，点G是棱SC上靠近点C的三等分点，则空间几何体EFG-ABC的体积为________． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 破解空间几何体的体积问题的常用方法 (1)公式法：直接利用公式计算． (2)割补法：把不规则的几何体分割(补)成规则的几何体，便于计算其体积． (3)等体积法：根据体积公式计算，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等． 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　1.(2025·贵州三模)如图，体积为2π的圆柱的轴截面ABCD为正方形，点E在底面圆周上，则三棱锥C-ABE体积的最大值为(　　) B 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 60 返回首页 二轮专题复习 解析：因为AB∥EF∥CD，AF∥BC∥DE，且AB⊥BC，可得BC⊥CD，CD⊥DE，DE⊥EF，EF⊥AF，AF⊥AB，连接BE，延长CB与EF相交于点N，延长AB与DE相交于点M，所以AM⊥DE，CN⊥EF，所以四边形ABNF和四边形CDMB为矩形，所以AF＝CD＝BM＝BN， 所以四边形BNEM为正方形，所以BM＝ME＝EN＝BN＝AF＝CD＝4，即EF＝DE＝12，由此可得组合体关于平面SBE对称． 过点B作BQ∥AR，交RS于点Q，连接QN，过点B作BP∥CT，交TS于点P，连接PM， 返回首页 二轮专题复习 所以平面AFR∥平面BNQ，平面CDT∥平面BMP， 所以组合体体积V＝V三棱柱AFR-BNQ＋V三棱柱CDT-BMP＋V四棱锥S-BMEN＋V三棱锥S-BMP＋V三棱锥S-BNQ， 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 [例3]　(多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　) A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1D C．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1D 命题点二　位置关系 BD 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 方法二：对于A，由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AD，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C⊂平面AA1C1C，所以AD⊥平面AA1C1C，由题意知AD不垂直平面AA1C1C，矛盾，所以AD与A1C不垂直，故A错误； 对于B，因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，因为D为BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确； 返回首页 二轮专题复习 对于C，AB∥A1B1，AD与AB相交，所以AD与A1B1异面，故C错误； 对于D，CC1∥AA1，CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确． 返回首页 二轮专题复习 判断空间中位置关系的方法 (1)利用定理、定义、公理等直接判断； (2)作出简单图示，利用图示进行说明； (3)将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析说明． 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　(多选)(2025·合肥质量检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱C1D1上的动点(不含端点)，则下列说法中正确的有(　　) A．DC∥平面BPD1 B．B1C⊥BP C．四面体PAB1C的体积为定值 D．存在点P，使得平面BB1P⊥平面AA1P AB 返回首页 二轮专题复习 解析：因为D1P∥DC，DC⊄平面BPD1，D1P⊂平面BPD1，所以DC∥平面BPD1，A正确； 如图1，连接BC1，则BC1⊥B1C.因为D1C1⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，所以D1C1⊥B1C.因为D1C1∩BC1＝C1，D1C1，BC1⊂平面BC1D1，所以B1C⊥平面BC1D1.因为BP⊂平面BC1D1，所以B1C⊥BP，B正确； 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 命题点三　展开问题 A 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边． 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　(多选)(2025·白银模拟)如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为3π，△SAB是圆锥的一个轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，则(　　) ABC 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 对于C，如图，由C点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到C点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长CC′， 返回首页 二轮专题复习 [例5]　(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，H分别是AB，BC，AA1，CC1的中点，用一个平面α截该正方体，截面面积为S，则下列结论正确的是(　　) 命题点四　截面问题 ABD 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 对于C，α经过点E，F，G，设I，J分别是C1D1，A1D1的中点， 则截面为正六边形GEFHIJ，不经过点D1，C错误； 返回首页 二轮专题复习 对于D，α经过点E，F，D1，延长EF，交DA的延长线于M，交DC的延长线于Q， 返回首页 二轮专题复习 作截面的两种常用方法 (1)平行线法：解题关键是利用截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个平面平行． (2)延长线交点法：解题关键是利用截面上的点至少有两个点在几何体的同一个平面上． 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　1.一棱长为a的正四面体木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，且使截面平行于直线VB和AC，则在木块表面画线的总长度为(　　) A．a B．2a C．4a D．无法确定 B 返回首页 二轮专题复习 解析：如图，在平面VAC内过点P作MN∥AC，分别交VA，VC于点M，N， 则VM＝VN＝MN，MA＝NC. 在平面VAB内作ME∥ VB交AB于点E，在平面VBC内作NF∥ VB交BC于点F，则ME＝MA，NF＝NC，所以ME∥NF，ME＝NF，故截面为平行四边形MNFE， 所以在木块表面画线的总长度为2(MN＋ME)＝2(VM＋MA)＝2VA＝2a. 返回首页 二轮专题复习 2．如图，已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，且点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点．过点A，E，F作三棱柱截面交C1B1于点P，则线段B1P的长度为________． 返回首页 二轮专题复习 解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2， 返回首页 二轮专题复习 阿基米德几何体 返回首页 二轮专题复习 图2中的阿基米德多面体是过正方体共顶点的三条棱中点的八个截面截去八个相同的三棱锥后得到的，它是一个十四面体——其中八个面为正三角形，六个面为正方形．近年来与阿基米德几何体相似的高考数学试题成为了高考热点之一，也是各地模拟题的常考题型，例如2024年新课标Ⅰ卷T5是与阿基米德球相似的问题． 返回首页 二轮专题复习 B 返回首页 二轮专题复习 A 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 AC 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 则AE＝＝1，由正四棱台的性质可得A1E⊥平面ABCD， 故∠A1AE即为侧棱和底面所成角， 故∠A1AE＝60°，在Rt△A1AE中，可得A1A＝2，A1E＝， 过A1作A1F⊥AB于F，连接EF，因为AB⊂平面ABCD， V四面体PAB1C＝S△AB1C·h(h为点P到平面AB1C的距离)，因为D1C1与平面AB1C不平行，所以点P到平面AB1C的距离不是定值，所以四面体PAB1C的体积不是定值，C错误； 解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以2πr×＝πr，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π. $