专题2 提升点3 分段数列模型-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

　分段数列模型 类型一　按奇、偶项分段 　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(1＋sin2)an＋cos2(n∈N*). (1)求a2，a3，a4，并证明：a2m＋1＋1＝2(a2m－1＋1)(m∈N*)； (2)求数列{an}的前2n项和S2n. 【解】　(1)a2＝(1＋1)a1＋0＝2，a3＝(1＋0)a2＋1＝3，a4＝(1＋1)a3＋0＝6. a2m＋1＝(1＋sin2)a2m＋cos2＝a2m＋1. a2m＝[1＋sin2]a2m－1＋cos2＝2a2m－1， 即a2m＋1＝2a2m－1＋1，故a2m＋1＋1＝2(a2m－1＋1)(m∈N*). (2)由(1)可得a2m＋1＋1＝2(a2m－1＋1)且a1＋1＝2≠0，所以数列{a2m－1＋1}是首项、公比均为2的等比数列， 故a2m－1＋1＝2m， 即a2m－1＝2m－1，a2m＝2a2m－1＝2m+1－2. 故故an＝ 故S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝(21＋22＋…＋2n－n)＋(22＋23＋…＋2n+1－2n) ＝－n＋－2n＝3·2n+1－3n－6. 【解题技法】　此题先把an表示成形如an＝k∈N*的形式，再进行求解，要注意区分奇数项、偶数项的表示形式及项数． 　已知数列{an}的各项均不为零，前n项和为Sn，满足a1＝，Sn＝(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求S2n－1. 解：(1)由题意知，当n＝1时，a1＝S1＝，可得a2＝2. 当n≥2时，由Sn＝，得Sn－1＝，所以Sn－Sn－1＝an＝，又an≠0，整理可得an＋1－an－1＝2， 所以数列{an}中的奇数项是以为首项，2为公差的等差数列， 数列{an}中的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，当n为奇数时，an＝a1＋(－1)×2＝n－； 当n为偶数时，an＝a2＋(－1)×2＝n. 综上所述，an＝ (2)S2n－1＝a1＋a2＋…＋a2n－2＋a2n－1 ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n－2) ＝[1＋3＋…＋(2n－1)－n]＋[2＋4＋…＋(2n－2)] ＝－n＋ ＝n2－n＋n2－n＝2n2－n. 类型二　按递推关系分段 　已知数列{an}满足a1＝7，an＋1＝ (1)写出a2，a3，a4； (2)证明：数列{a2n－1－6}为等比数列； (3)若bn＝a2n，求数列{n·(bn－3)}的前n项的和Sn. 【解】　(1)由a1＝7，an＋1＝ 可得a2＝a1－3＝4，a3＝2a2＝8，a4＝a3－3＝5. (2)证明：由题可得a2n＋1－6＝2a2n－6＝2a2n－1－6－6＝2(a2n－1－6)，又a2×1－1－6＝a1－6＝1，则数列{a2n－1－6}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a2n－1－6＝2n-1，即a2n－1＝6＋2n-1，bn＝a2n＝a2n－1－3＝3＋2n-1，n·(bn－3)＝n·2n-1， Sn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n-1， 2Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 两式相减可得－Sn＝20＋21＋22＋…＋2n-1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1， 所以Sn＝(n－1)·2n＋1. 【解题技法】　利用递推关系，先分成奇数项、偶数项，再利用等差(等比)数列的知识求解；或进一步拓展为an＋1＝利用累加(累乘)、构造等方法求解． 　大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理．已知大衍数列{an}满足a1＝0，an＋1＝数列{bn}满足bn＝a2n－a2n－1，则b5＝________，数列{(－1)nan}的前50项和与数列{bn}的前________项和相等． 解析：当n＝2k，k∈N*时，a2k＋1＝a2k＋2k，① 当n＝2k－1，k∈N*时，a2k＝a2k－1＋2k.② 由①②得a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*，所以a3－a1＝4，a5－a3＝8，…，a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*， 累加得a2k＋1－a1＝4＋8＋…＋4k＝2k2＋2k， 所以a2k＋1＝2k2＋2k. 令2k＋1＝n，k∈N*， 则n≥3且n为奇数，an＝， 当n＝1时，a1＝0满足上式， 所以当n为奇数时，an＝， 此时an＋1＝an＋n＋1＝， 所以当n为偶数时，an＝. 所以an＝ 故b5＝a10－a9＝－＝10. bn＝a2n－a2n－1＝－＝2n， 所以数列{bn}的前n项和为2×(1＋2＋3＋…＋n)＝n2＋n. 数列{(－1)nan}的前50项和为－a1＋a2－a3＋a4－…－a49＋a50＝2×(1＋2＋…＋25)＝2×＝650，令n2＋n＝650，解得n＝25(负值已舍去). 答案：10　25 类型三　按数列前、后段分段 　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2a－11，求数列{|bn|}的前n项和Tn. 【解】　(1)an＋1＝Sn＋2， 则当n≥2时，an＝Sn－1＋2， 两式相减得an＋1－an＝an， 所以an＋1＝2an(n≥2). 当n＝1时，a2＝S1＋2，得a2＝4＝2a1， 所以对于任意n∈N*，an＋1＝2an， 故{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an＝2n. (2)bn＝log2a－11＝2n－11， 则{bn}的前n项和Bn＝b1＋b2＋…＋bn＝n(n－10)＝n2－10n. 因为当n≤5时，bn<0，当n≥6时，bn>0， 所以当n≤5时，Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Bn＝10n－n2， 当n≥6时，Tn＝－b1－b2－…－b5＋b6＋b7＋…＋bn＝Bn－2B5＝n2－10n＋50. 故Tn＝ 【解题技法】　通项公式形如an＝k∈N*的分段数列问题，是将数列从某项分段，前、后两段特点或性质有所不同，求解时需要分段进行运算，关键点是确定分界点k. 　已知数列{an}，并且an＝ n∈N*，若{an}是递减数列，则实数x的取值范围是________． 解析：当n≤5时，(1，a1)，(2，a2)，(3，a3)，(4，a4)，(5，a5)这五个点分布在开口向上的抛物线an＝n2－5xn＋4上，则n≤5时数列单调递减⇔对称轴方程n＝>，得x>. 当n>5时，由数列单调递减，可得x－23<0，解得x<23. a5>a6，得29－25x>x－23，解得x<2. 综上，若{an}是递减数列，则实数x的取值范围是(，2). 答案：(，2) 学科网（北京）股份有限公司 $