8.2 第三课时 正方形 新课预习讲义（题型归纳+常考题型+巩固测试）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期

本讲义聚焦正方形的核心知识点，系统梳理定义（邻边相等且有一个直角的平行四边形）、性质（四边相等、四角直角、对角线相等垂直平分等）、判定（从平行四边形、矩形、菱形进阶）及公式（对角线、周长、面积），构建从平行四边形到矩形、菱形再到正方形的特殊四边形知识体系。 资料亮点在于题型全面（16类，含折叠、动点、重叠面积等），易错点突出（如对角线性质区分、面积公式等），例题与变式结合。通过性质对比（如菱形与正方形对角线差异）、折叠计算等实例，培养学生抽象能力与推理意识，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

8.2 第三课时 正方形 新课预习讲义（苏科版） 💦 题型归纳 题型1正方形性质理解. 题型2根据正方形的性质求角度. 题型3根据正方形的性质求线段长. 题型4根据正方形的性质求面积. 题型5正方形折叠问题. 题型6求正方形重叠部分面积. 题型7根据正方形的性质证明. 题型8正方形的判定定理理解 题型9证明四边形是正方形. 题型10添一个条件使四边形是正方形. 题型11根据正方形的性质与判定求线段长. 题型12根据正方形的性质与判定求面积. 题型13(特殊)平行四边形的动点问题. 题型14四边形中的线段最值问题. 题型15四边形其他综合问题. 题型16巩固测试题（20题）. ☘ 重点知识●梳理 ◉【知识点一、正方形定义】 1.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（如图正方形ABCD） ◉【知识点二、正方形性质】（重点） 1.四条边都相等且对边平行 AB=BC=CD=AD AB∥CD， AD∥BC 2. 四个角都是直角（90°） ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 3. 对角线相等且互相垂直平分 AC=BD,AC⊥BD ◆每条对角线平分一组对角（分成 45° 角） 即AC平分∠BAD和∠BCD; BD平分∠ABC和∠ADC.可以得出正方形的对角线将每个90°内角分成两个45°的角。(如上图) 4. 位置关系与分割： ◆对角线将正方形分割成四个全等的等腰直角三角形（即△AOB、△BOC、△COD、△DOA）（常用于面积计算和全等证明） 5. 对称性 ◆正方形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点。绕此点旋转180°后，图形能与自身完全重合； ◆正方形是轴对称图形，有四条对称轴，其中两条是对边中点的连线，另外两条是对角线所在的直线。 ◉【知识点三、正方形判定】（重点） 1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形（基础定义法）； 2.有一组邻边相等的矩形是正方形； 3.有一个角是直角的菱形是正方形； 4.对角线互相垂直的矩形是正方形； 5.对角线相等的菱形是正方形。 结论：判定一个四边形为正方形的一般步骤为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形。 ◉【知识点四、对角线、周长与面积公式】 对角线长：d=aˑ(a为正方形边长) 周长：C=4a（a 为正方形边长） 面积：S=a2=d2（a为边长，d为对角线长） ◉【知识点五、正方形常见考点+易错点提醒】 ◆常见考点： 1.判断关于正方形的边、角、对角线及对称性的表述是否正确； 2.已知正方形的边长、周长、对角线中的一种，求另外几种量（重点掌握对角线求面积的公式）； 3.运用正方形的核心性质，计算相关角度和线段的长度； 4.先证平行四边形，再证为矩形或菱形，最终证为正方形”的思路证明； 5.正方形折叠后，计算重叠部分的边长、角度或面积； 6.结合正方形背景的几何综合题，判断三角形形状、推导线段间的关系。 ◆易错点提醒 1.不能仅凭对角线相等或垂直判定正方形，需同时满足“相等、垂直”且为平行四边形 2.注意区分三者对角线差异——矩形对角线相等、菱形对角线垂直、正方形两者兼具； 3.对角线求正方形面积时，切记正确公式为S=d2，避免记混； 4.正方形共有4条对称轴，不要误记为2条; 5.证明正方形不可省略步骤，需先证明该四边形是平行四边形. ✏ 常见考点●精讲精练 题型1正方形性质理解 例1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 变式1．瓷砖镶嵌是一种充满艺术美的技艺，如图是放置的正方形瓷砖，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．若点A的坐标为，则点C的坐标为____________． 变式2．定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形”． (1)在已经学过的四边形“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等直四边形”的是___________．（填序号） (2)如图，在正方形中，点E、F分别在、上，，分别连接、、，和交于点M．求证：四边形是“等直四边形”． 题型2根据正方形的性质求角度 例2．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则______度． 变式2．如图，已知是正方形的对角线．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型3根据正方形的性质求线段长 例3．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 变式1．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 变式2．（1）已知：，，求的值； （2）以的直角边为边分别作正方形和正方形．若的面积为5，正方形与正方形的面积和为36，求的长． 题型4根据正方形的性质求面积 例4．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为______． 变式2．如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 题型5正方形折叠问题 例5．如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 变式1．已知正方形的边长是，点E是边上一点，把沿折叠，若点B的对应点落在正方形的对角线上，则线段的长是________． 变式2．如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 题型6求正方形重叠部分面积 例6．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 变式2．正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． (1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． (2)在这段时间内，求与的函数关系式． (3)当，求的值． 题型7根据正方形的性质证明 例7．用对折的方法证明一个四边形是正方形，则对折次数最少是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点E，F，连接，，若，，则的长为 _______________ ． 变式2．（1）如图1，在正方形中，、相交于点O，且，则和的数量关系为_____． （2）如图2，在正方形中，E、F、G分别是边、、上的点，，垂足为H．求证：． 题型8正方形的判定定理理解 例8．下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 变式1．已知命题“正方形的四个角都是直角”，则它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 变式2．如图，已知，请你用尺规作图法作正方形，且保证点D、E在的右侧．（保留作图痕迹，不写作法） 题型9证明四边形是正方形 例9．我们知道当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形发展为特殊图形，如图是小颖从“对角线、边或者角”的角度对平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的梳理，其中对应序号的条件填写正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变式1．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 变式2．如图，已知矩形， (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交边于点． ②过作，垂足为； (2)求证：四边形是正方形． 题型10添一个条件使四边形是正方形 例10．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 变式1．有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的______（填“对”或“不对”） 变式2．如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到________时，四边形是矩形． (3)进行怎样的变化才能使边上存在点O，使矩形是正方形？为什么？ 题型11根据正方形的性质与判定求线段长 例11．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 变式1．如图，在腰长为8的等腰直角，且，是的中点，是边上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结．在点运动过程中，线段长度的最小值为_____． 变式2．如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，再将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若点在线段上，，则的最小值为________． 题型12根据正方形的性质与判定求面积 例12．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 变式2．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它表明了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．小明用四个全等的直角三角板围成图2，中间是个小正方形，外围是个大正方形．直角三角板的直角边长分别为a，b，斜边长为c． (1)用含有a，b的代数式表示小正方形的面积和大正方形的面积； (2)证明勾股定理． 题型13（特殊）平行四边形的动点问题 例13．如图，在正方形中，点沿折线匀速运动，到点时停止，过点作于点，作于点，设点运动的路程为，四边形的面积为，能大致表示与之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为________． 变式2．已知：如图，在直角梯形中，，动点P从A点开始沿边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒 (1)t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)t为何值时，四边形是等腰梯形？ 题型14四边形中的线段最值问题 例14．如图，在矩形ABCD和矩形EFGH中，，，两矩形重叠部分为平行四边形，且点E与点D重合，则图中阴影部分的周长的最大值是（   ） A．17 B．15 C．14 D．12 变式1．如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 变式2．如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 题型15四边形其他综合问题 例15．在中，若，的周长为y，则定义为这个平行四边形的坐标．如图所示，直线将第一象限划分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域．现有如下四个结论： ①对于任意平行四边形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意矩形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ③对于任意菱形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ④对于任意正方形，其坐标一定位于区域Ⅲ中． 其中，正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 变式1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE、BF．下列说法： ①四边形DEBF为平行四边形 ②若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形 ③若AE＝5，则四边形DEBF为菱形 ④若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形 正确的有：_____（填序号）． 变式2．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． (1)如图1，在8×5的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出2个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐四边形，并画出相应的四边形． (2)如图2，在四边形中，，，，平分．试说明：是四边形的和谐线； (3)已知，在四边形中，，，是四边形的和谐线，直接写出的长_____． ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 2．下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有三个角是直角的平行四边形是正方形 3．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C．D． 5．如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（   ） A．43 B．45 C．46 D．49 6．如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（    ） A．49 B．65 C．78 D．97 7．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 8．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 二、填空题 9．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是______． 10．在四边形中，，，，，则四边形的形状是___________． 11．已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 12．如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 13．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    14．如图是的高，，若，则的面积是 ____________________． 三、解答题 15．如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E为直线上一个动点． （1）的大小为 _______°． （2）在直线上存在一个点E，使得点E满足，请你借助给定的网格，并利用不带刻度的直尺作出，并简要说明你是怎么找到点E的_____． 17．如图，在矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动．若，求的最小值． 18．如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 19．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 20．阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 第三课时 正方形 新课预习讲义（苏科版） 💦 题型归纳 题型1正方形性质理解. 题型2根据正方形的性质求角度. 题型3根据正方形的性质求线段长. 题型4根据正方形的性质求面积. 题型5正方形折叠问题. 题型6求正方形重叠部分面积. 题型7根据正方形的性质证明. 题型8正方形的判定定理理解 题型9证明四边形是正方形. 题型10添一个条件使四边形是正方形. 题型11根据正方形的性质与判定求线段长. 题型12根据正方形的性质与判定求面积. 题型13(特殊)平行四边形的动点问题. 题型14四边形中的线段最值问题. 题型15四边形其他综合问题. 题型16巩固测试题. ☘ 重点知识●梳理 ◉【知识点一、正方形定义】 1.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（如图正方形ABCD） ◉【知识点二、正方形性质】（重点） 1.四条边都相等且对边平行 AB=BC=CD=AD AB∥CD， AD∥BC 2. 四个角都是直角（90°） ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 3. 对角线相等且互相垂直平分 AC=BD,AC⊥BD ◆每条对角线平分一组对角（分成 45° 角） 即AC平分∠BAD和∠BCD; BD平分∠ABC和∠ADC.可以得出正方形的对角线将每个90°内角分成两个45°的角。(如上图) 4. 位置关系与分割： ◆对角线将正方形分割成四个全等的等腰直角三角形（即△AOB、△BOC、△COD、△DOA）（常用于面积计算和全等证明） 5. 对称性 ◆正方形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点。绕此点旋转180°后，图形能与自身完全重合； ◆正方形是轴对称图形，有四条对称轴，其中两条是对边中点的连线，另外两条是对角线所在的直线。 ◉【知识点三、正方形判定】（重点） 1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形（基础定义法）； 2.有一组邻边相等的矩形是正方形； 3.有一个角是直角的菱形是正方形； 4.对角线互相垂直的矩形是正方形； 5.对角线相等的菱形是正方形。 结论：判定一个四边形为正方形的一般步骤为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形。 ◉【知识点四、对角线、周长与面积公式】 对角线长：d=a·(a为正方形边长) 周长：C=4a（a 为正方形边长） 面积：S=a2=d2（a为边长，d为对角线长） ◉【知识点五、正方形常见考点+易错点提醒】 ◆常见考点： 1.判断关于正方形的边、角、对角线及对称性的表述是否正确； 2.已知正方形的边长、周长、对角线中的一种，求另外几种量（重点掌握对角线求面积的公式）； 3.运用正方形的核心性质，计算相关角度和线段的长度； 4.先证平行四边形，再证为矩形或菱形，最终证为正方形”的思路证明； 5.正方形折叠后，计算重叠部分的边长、角度或面积； 6.结合正方形背景的几何综合题，判断三角形形状、推导线段间的关系。 ◆易错点提醒 1.不能仅凭对角线相等或垂直判定正方形，需同时满足“相等、垂直”且为平行四边形 2.注意区分三者对角线差异——矩形对角线相等、菱形对角线垂直、正方形两者兼具； 3.对角线求正方形面积时，切记正确公式为S=d2，避免记混； 4.正方形共有4条对称轴，不要误记为2条; 5.证明正方形不可省略步骤，需先证明该四边形是平行四边形. ✏ 常见考点●精讲精练 题型1正方形性质理解 例1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 变式1．瓷砖镶嵌是一种充满艺术美的技艺，如图是放置的正方形瓷砖，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．若点A的坐标为，则点C的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形性质及关于原点对称的点的坐标，熟知中心对称的性质是解题的关键． 根据所给图形，得点与点关于原点对称，再根据中心对称的性质即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合， ∴点与点关于原点对称． ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 变式2．定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形”． (1)在已经学过的四边形“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等直四边形”的是___________．（填序号） (2)如图，在正方形中，点E、F分别在、上，，分别连接、、，和交于点M．求证：四边形是“等直四边形”． 【答案】(1)④ (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“等直四边形”的定义是解此题的关键． （1）根据“等直四边形”的定义并结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐项分析即可得解； （2）由正方形的性质可得，，证明，得出，，再结合三角形内角和定理证明出，即可得证． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故不符合题意； ②矩形的对角线相等但不一定垂直，故不符合题意； ③菱形的对角线垂直但不一定相等，故不符合题意； ④正方形的对角线相等且互相垂直，故符合题意； 故答案为：④； （2）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是“等直四边形”． 题型2根据正方形的性质求角度 例2．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形为正方形，得到，平分，即可求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，平分， ∴． 变式1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角度的计算,以及正方形的性质；解题的关键是通过观察图形构造全等三角形，找出与之间的关系．先证明，再利用正方形的角平分线将直角分为两个，得出与之间的关系． 【详解】 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵是正方形角平分线 ∴ 即 故答案为． 变式2．如图，已知是正方形的对角线．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、作角平分线等知识点，熟练掌握正方形的性质与三角形外角的性质以及用尺规作角平分线是解题的关键． 如图：作的平分线交于点E即可． 【详解】解：如图，点E即为所求． ∵正方形中，是对角线， ∴， 由作图可知，平分， ∴． 题型3根据正方形的性质求线段长 例3．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键． 变式1．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（1）已知：，，求的值； （2）以的直角边为边分别作正方形和正方形．若的面积为5，正方形与正方形的面积和为36，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式乘法中的差的完全平方公式，算术平方根的性质，利用整体代入法求式子的值是解本题的关键． （1）利用整式的完全平方公式将式子展开，再将代入即可求解； （2）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据题意求出值，再代入的展开式中，即可求得． 【详解】（1）解：； （2）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，则， 由题意，得，，， ∴， ∵， ∴， 即． 题型4根据正方形的性质求面积 例4．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质，得，，，从而，利用“”，得，则，进而阴影部分，同理可求另一阴影部分的面积，相加即可求解． 【详解】解：如图所示： 三个边长分别是3，4，5的正方形， ，，， ，， ， ()， ， 则， 正方形的边长为4， ， 即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4， 同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为， 则图中阴影部分的面积和为． 故选：B． 变式1．如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据,，，即可求得答案． 【详解】解： ∵正方形和正方形的边长分别为a、b， ∴， ∴ ， ∵． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握正方形边角性质，正方形面积公式，梯形面积公式，三角形面积公式． 变式2．如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，证明四边形为矩形，利用证明，得出，即可得出结论； （2）借助（1）的结论得出四边形的面积等于正方形的面积，求出，即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且， ∴四边形的面积等于正方形的面积，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 题型5正方形折叠问题 例5．如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 变式1．已知正方形的边长是，点E是边上一点，把沿折叠，若点B的对应点落在正方形的对角线上，则线段的长是________． 【答案】或 【分析】本题考查正方形和折叠，勾股定理，等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键，分点B的对应点落在上和点B的对应点落在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∴， 当点B的对应点落在上时，如图： 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点与点重合时，此时与点重合，满足题意，如图， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 变式2．如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质： （1）连接，证明，即可解答； （2）设，则，，在中，根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，，， ， ， ∴， ； （2）解：设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ，， ∴ ． 题型6求正方形重叠部分面积 例6．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 变式1．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 变式2．正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． (1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． (2)在这段时间内，求与的函数关系式． (3)当，求的值． 【答案】(1)4，0 (2) (3)或 【分析】本题考查平移性质、分段函数，正方形的性质，分类讨论及数形结合是解答的关键． （1）利用平移性质，结合分别求解即可； （2）先求得临界点，再分三情况讨论，利用正方形或矩形面积公式即可求解； （3）由（2）中关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 当秒时，，此时点D与点E重合，则； 当秒时，，此时点E与点A重合，则， 故答案为：4，0； （2）解：当时，，此时点F与点A重合； 分三种情况讨论： 在这段时间内，如图，， ∴； 当时，小正方形在大正方形内部， ； 在这段时间内，如图： 则，则， ∴； 综上，； （3）当时，由或解得：或， 故t的值为或． 题型7根据正方形的性质证明 例7．用对折的方法证明一个四边形是正方形，则对折次数最少是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】正方形需要同时满足“是菱形（四边相等、对角线垂直）”和“是矩形（四个角为直角、对角线相等）”，所以我们需要通过对折来分别验证这两类性质． 【详解】解：A、对折次，只能验证一组对边相等或一条对角线对称，无法同时验证菱形和矩形的核心性质，不符合题意； B、第一次沿一组对边中点的连线对折，若两部分完全重合，则证明该四边形是矩形；第二次再沿一条对角线对折，若两部分完全重合，则证明这个矩形的邻边相等，因此是正方形。故最少需要次，符合题意； C、对折次虽然也能证明，但不是最少次数，不符合题意； D、对折次次数过多，不是最少次数，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定、轴对称的性质。解题关键是理解对折操作所对应的几何性质，明确正方形需要同时满足菱形和矩形的判定条件． 变式1．如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点E，F，连接，，若，，则的长为 _______________ ． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质，利用“”证得，得到，根据题意易证四边形是矩形，然后由矩形的性质和直角三角形的性质，求得，的长度，进而可知为等腰直角三角形，从而求得的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式2．（1）如图1，在正方形中，、相交于点O，且，则和的数量关系为_____． （2）如图2，在正方形中，E、F、G分别是边、、上的点，，垂足为H．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）证明即可证明结论； （2）过点E作于点M，得出四边形为矩形，则，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）在正方形中，， ， ， ， ， ； （2）过点E作于点M， ， 则四边形为矩形． ， 在正方形中，， ． ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． 题型8正方形的判定定理理解 例8．下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故A正确； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，故B正确； C．有一个角是直角的菱形是正方形，故C正确； D．对角线相等且互相垂直的四边形，如果对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是正方形，故D错误． 变式1．已知命题“正方形的四个角都是直角”，则它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了逆命题，正方形的判定．写出逆命题，判定真假即可． 【详解】解：命题“正方形的四个角都是直角”的逆命题是“四个角都是直角的四边形是正方形”，是假命题． 故答案为：假． 变式2．如图，已知，请你用尺规作图法作正方形，且保证点D、E在的右侧．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线，作线段，正方形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点B作的垂线，再以点为圆心，的长度为半径，画弧交的垂线于点D，然后分别以点为圆心，的长度为半径，画弧，这两弧交于点，此时，即四边形是菱形，又因为∠ABD=90°，则四边形是正方形，即可作答． 【详解】解：如图所示，正方形即为所求．（作法不唯一） 题型9证明四边形是正方形 例9．我们知道当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形发展为特殊图形，如图是小颖从“对角线、边或者角”的角度对平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的梳理，其中对应序号的条件填写正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系，熟记相关图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：当四边形为平行四边形时，若①是，则四边形为菱形，故A不符合题意； 当四边形为平行四边形时，若②是，则四边形为菱形，故B符合题意； 当四边形为矩形时，若③是，则四边形仍为矩形，故C不符合题意； 当四边形为菱形时，若④是，则四边形仍为菱形，故D不符合题意； 故选：B． 变式1．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 【答案】0.5 【分析】连接，交于点，由，可知四边形是平行四边形，进而推断出四边形是正方形，然后利用正方形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点． ，， 四边形是平行四边形． 在正方形中，，， ， 四边形是正方形， ，． ， ， ， 即点到边的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，掌握正方形的性质与判定是解决本题的关键． 变式2．如图，已知矩形， (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交边于点． ②过作，垂足为； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法作图即可； （2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：∵平分， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 题型10添一个条件使四边形是正方形 例10．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．先根据给定条件判断平行四边形是否为矩形或菱形，再结合正方形的判定定理(对角线互相垂直的矩形是正方形、邻边相等的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形)逐一分析不同条件组合能否判定为正方形，最终得出②③组合不能判定为正方形，其余符合条件的组合可以判定的结论． 【详解】解：A、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以②③组合不能判定为正方形，故此选项错误，符合题意； B、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ④矩形的对角线互相垂直说明是正方形(对角线垂直的矩形是正方形)； 所以②④组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； C、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； 所以①②组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； D、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以①③组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； 根据正方形的判断方法可知：满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形是正方形． 故选：A． 变式1．有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的______（填“对”或“不对”） 【答案】对 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据题意，证明四边形是正方形，再作判断． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形， 现在文文选择了③④，你认为文文选择的对， 故答案为：对． 变式2．如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到________时，四边形是矩形． (3)进行怎样的变化才能使边上存在点O，使矩形是正方形？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形 (3)，详见解析 【分析】本题考查矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键： （1）根据角平分线+平行线模型容易证明，根据等角对等边可得，同理可得，由此即可得出； （2）当O为中点时，结合（1）可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴. （2）解：当点O在边上运动到边中点时，四边形是矩形，理由如下， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形， 故答案为：边中点． （3）解：当的，且O在中点时，四边形是正方形，理由如下， 由（2）得，四边形是矩形， ∵，，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 题型11根据正方形的性质与判定求线段长 例11．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 变式1．如图，在腰长为8的等腰直角，且，是的中点，是边上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结．在点运动过程中，线段长度的最小值为_____． 【答案】8 【分析】连接，证明，可得，故在过且垂直于的直线上运动，从而知当时，最小，再求出此时的长度即可． 【详解】解：连接，如图： ，，是的中点， ，，， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， 在过且垂直于的直线上运动， 当时，最小，此时，重合，如图： ，， 四边形是正方形， ， 长度的最小值为8； 故答案为：8． 【点睛】本题考查旋转的性质，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是证明在过且垂直于的直线上运动． 变式2．如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，再将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若点在线段上，，则的最小值为________． 【答案】(1)正方形，见解析 (2) 【分析】此题考查了正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识． （1）根据旋转的性质得到，．证明四边形是平行四边形．由即可证明四边形是正方形； （2）作点关于对称的点，连接交于点P，则，，连接，此时为最小值，根据勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， 理由：由旋转得，． ． ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． ， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，作点关于对称的点，连接交于点P，则，，连接，此时为最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：. 题型12根据正方形的性质与判定求面积 例12．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 又∵，， ∴， ∴， ， 同理可知：， ∴阴影部分是矩形， 在中，由勾股定理得， 由面积公式得，即， 得， 同理可得：， 在中，由勾股定理得， 则， 同理可得：， ∴阴影部分是正方形， 图中阴影部分的面积与正方形的面积之比． 故选：D． 变式1．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 变式2．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它表明了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．小明用四个全等的直角三角板围成图2，中间是个小正方形，外围是个大正方形．直角三角板的直角边长分别为a，b，斜边长为c． (1)用含有a，b的代数式表示小正方形的面积和大正方形的面积； (2)证明勾股定理． 【答案】(1)小正方形的面积是，大正方形的面积是； (2)见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解决本题的关键． （1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）根据大正方形是由中间一个小正方形加四个直角三角形组合而成，由此面积证明即可． 【详解】（1）解：∵直角三角板的直角边长分别为a，b， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是， ∵直角三角板的斜边长为c， ∴大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积是． （2）证明：在图2中，大正方形的面积为． 又∵大正方形的面积为中间一个小正方形的面积加四个直角三角形的面积， 即， 整理得，， 即． 题型13（特殊）平行四边形的动点问题 例13．如图，在正方形中，点沿折线匀速运动，到点时停止，过点作于点，作于点，设点运动的路程为，四边形的面积为，能大致表示与之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，二次函数与一次函数的图像特征，动点问题的分段函数分析，将面积转化为关于的代数表达式是解题关键． 根据点在和上的不同位置分段建立面积函数，通过分析函数类型与增减性确定图像特征，进而得出答案． 【详解】解：设正方形边长为， 当点沿运动： 根据题意，， ，，， 四边形为矩形， 为正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 函数图像为开口向下的抛物线； 当点沿运动： 四边形为矩形，， ， ， 函数图像为一次函数，随的增加而增加． 综上，表示与之间的函数关系的图象先是开口向下的抛物线，然后是随的增加而增加的一次函数． 故选：． 变式1．如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为________． 【答案】或； 【分析】本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴，或， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 变式2．已知：如图，在直角梯形中，，动点P从A点开始沿边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒 (1)t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)t为何值时，四边形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形、等腰梯形的判定与性质应用，掌握对各种图形的认识，同时学会数形结合的数学解题思想是解题的关键． （1）四边形为平行四边形，即，列出等式求解； （2）四边形为等腰梯形，即，过点作交于F，根据勾股定理列出等式即可得出． 【详解】（1）由题意得：，， ， ， 要使四边形为平行四边形，只需保证， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为平行四边形； （2）由（1）知， 所以要使四边形为等腰梯形，即的时， 如图所示： 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即 解得：， 即当时，四边形为等腰梯形． 题型14四边形中的线段最值问题 例14．如图，在矩形ABCD和矩形EFGH中，，，两矩形重叠部分为平行四边形，且点E与点D重合，则图中阴影部分的周长的最大值是（   ） A．17 B．15 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握运用勾股定理是解题的关键． 先证明是菱形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当点与点重合时，阴影部分的周长最大． ∵，，， ∴， ∴，． ∵四边形为平行四边形，， ∴为菱形． 设，则． 在中，，即， 解得，所以， ∴菱形的周长为． 故选：A． 变式1．如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连结，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得三点共线时最大即可求解． 【详解】如图，连接，取的中点，连接，， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴根据勾股定理，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得三点共线时最大， 此时． 变式2．如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质以及最短路径问题的求解，关键是利用对称点将折线转化为直线段，依据“两点之间线段最短”确定最小值．首先利用正方形对角线是对称轴，找到点关于的对称点，将转化为，把的和转化为；然后根据两点之间线段最短，确定当为与交点时，和最小，最小值为的长度；最后由正方形面积求出边长，结合等边三角形边长相等得到的长度，即为所求最小值． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴点与点关于直线C对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当点为与的交点时，的和最小，最小值为线段的长； ∵正方形的面积为6， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为； 故答案为：． 题型15四边形其他综合问题 例15．在中，若，的周长为y，则定义为这个平行四边形的坐标．如图所示，直线将第一象限划分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域．现有如下四个结论： ①对于任意平行四边形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意矩形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ③对于任意菱形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ④对于任意正方形，其坐标一定位于区域Ⅲ中． 其中，正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，不等式的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，难度适中．理解坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键．根据利用不等式的性质得出，即可判断①；根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，利用三角形任意两边之和大于第三边，勾股定理得到的取值范围，即可判断． 【详解】解：如图，中，， 设，则，， ∵ ， ∴对于任意平行四边形，坐标位于直线的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确，符合题意； 如图，矩形中，， 设，则，， 当时， ∵， ∴， ， ， ∴对于任意矩形，坐标位于直线的上方，可能位于区域Ⅳ中，故结论②正确，符合题意； 如图，菱形中，， 则， 设，则，， ∵， ∴， ， ∴对于任意菱形，坐标位于直线的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论③错误，不符合题意； 如图，正方形中，， 则，， ∴， ∵， ， ∴对于任意正方形，坐标位于直线的下方，直线的上方，一定位于区域Ⅲ中，故结论④正确，符合题意； 故选：B． 变式1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE、BF．下列说法： ①四边形DEBF为平行四边形 ②若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形 ③若AE＝5，则四边形DEBF为菱形 ④若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形 正确的有：_____（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵O为BD的中点， ∴OB=OD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠CDO=∠EBO，∠DFO=∠OEB， ∴△FDO≌△EBO（AAS）， ∴OE=OF， ∴四边形DEBF为平行四边形，故①正确； ∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝6， ∴， 假设DE⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴当AE=3.6时，DE⊥AB， ∴四边形DEBF为矩形，故②正确； ∵AB=10，AE＝5，AD⊥BD， ∴ED=BE=AE， ∴四边形DEBF为菱形，故③正确； 由③得，当AE＝5时，四边形DEBF为菱形， ∴当AE＝4.8时，四边形DEBF不为菱形， ∴若AE＝4.8，四边形DEBF不可能为正方形，故④错误； 故答案为：①②③ ． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，正方形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 变式2．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． (1)如图1，在8×5的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出2个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐四边形，并画出相应的四边形． (2)如图2，在四边形中，，，，平分．试说明：是四边形的和谐线； (3)已知，在四边形中，，，是四边形的和谐线，直接写出的长_____． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据和谐四边形的定义，作出图形即可； （2）证明即可； （3）首先根据题意画出图形，然后由是四边形的和谐线，可以得出是等腰三角形，从图3，图4两种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和的直角三角形性质就可以得出结论． 【详解】（1）解：∵若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形， ∴作图如下： （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是四边形的和谐线； （3）解：如图3，4 ∵是四边形的和谐线， ∴是等腰三角形， ∵， 如图3，当时， ∴，， ∴是正三角形， ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，当时，， 当时， ∵是四边形的和谐线， ∴， ∴综上所述，满足条件的的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图一应用与设计，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解和谐四边形的定义，属于中考常考题型． ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的对角线特征来逐一判断选项即可． 【详解】解：A.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等且垂直，A选项不符合题意； B.正方形的对角线相等且互相垂直平分，B选项符合题意； C.菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，C选项不符合题意． D.矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，D选项不符合题意． 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有三个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，涉及知识点：特殊四边形的判定条件、命题真假的判断．解题技巧是逐一分析每个选项，根据判定定理判断正误；解题关键是准确记忆特殊四边形的判定条件，避免混淆判定定理；易错点是忽略判定定理的前提条件（如 “平行四边形”）． 【详解】∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），∴ A正确； ∵ 对角线相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），∴ B错误； ∵ 有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），∴ C错误； ∵ 有三个角是直角的平行四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，∴ D错误． 故选A． 3．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 4．如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 5．如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（   ） A．43 B．45 C．46 D．49 【答案】A 【分析】根据正方形的面积的计算方法，勾股定理可得，四个三角形的面积为，可求出的值，将变形后，代入求值即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是23，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴， ∴四个全等的三角形的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴的值是43， 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，正方形的性质，三角形的面积，掌握勾股定理的计算，正方形，全等三角形面积的关系是解题的关键． 6．如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（    ） A．49 B．65 C．78 D．97 【答案】A 【分析】分别设A、B两个正方形的边长为和，利用正方形性质，可知叠放在一起后阴影部分的小正方形边长是，并列在一起后边长为，用和表示出阴影部分面积，列出方程组解答即可求出和的长，即可得出结果． 【详解】解：设A正方形边长为，B正方形边长为， 由图可知①中小正方形的边长为，面积为1， ， ， ， 由图可知②中新构造出的正方形边长为， 面积， ， ， ， 解得：或（舍去）， 当时，， 新构成的正方形面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． 7．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 8．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是连接构造全等三角形． 连接，由得到点E是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴点E是的中点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为8，即， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为16． 故选：C． 二、填空题 9．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解∶ ①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，不符合题意； 故答案为：； 10．在四边形中，，，，，则四边形的形状是___________． 【答案】正方形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定． 先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形，进而证明菱形是正方形即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形． 故答案为：正方形． 11．已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】/22.5度 【分析】利用正方形的性质得到，，从而证得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质求得，最后利用角平分线的定义即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分， ∴． 12．如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【答案】17 【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形为正方形，再根据勾股定理求出的长，就可得到． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，， ∴, ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 设， ∵， ∴， 在正方形中，， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 13．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【答案】 180 5 【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5．    【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 14．如图是的高，，若，则的面积是 ____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，以为边作正方形，可得，设，用含x的式子表示出的值，在直角中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作正方形，在上取，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴在中，， 即， 解得，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 【答案】详见解析 【分析】由题意易得四边形是矩形，然后通过证明得，进而问题可求解． 【详解】证明：，， ，． 又， 四边形是矩形． 是边的中点， ． ， ． 又， ， ， 四边形是正方形． 16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E为直线上一个动点． （1）的大小为 _______°． （2）在直线上存在一个点E，使得点E满足，请你借助给定的网格，并利用不带刻度的直尺作出，并简要说明你是怎么找到点E的_____． 【答案】 90 把向右平移2个单位，再向上平移6个单位使C点与D点重合，则B点的对应点为E点． 【分析】本题考查了勾股定理的定理，正方形的判定与性质，平移作图，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，利用网格求出，然后利用，判断的形状，并求得； （2）连接、，利用网格，先判断为等腰直角三角形，，那么，把向右平移2个单位，再向上平移6个单位使C点与D点重合，则B点的对应点为E点，然后证明四边形为正方形，接着得到，即为所作． 【详解】解：（1）连接，如图，     ∵，，， ， ， 为直角三角形，； 故答案为：90； （2）连接、， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形，， ， 把向右平移2个单位，再向上平移6个单位使C点与D点重合，则B点的对应点为E点， ， ∴点E在直线上， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为正方形， ∴， ∴为所作． 故答案为：把向右平移2个单位，再向上平移6个单位使C点与D点重合，则B点的对应点为E点． 17．如图，在矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动．若，求的最小值． 【答案】 【分析】作关于的对称点，在上截取，连接交于，在上截取，此时的值最小，可得四边形是平行四边形，从而可得，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，在上截取，连接交于，在上截取，此时的值最小，且，． ∵四边形是矩形， ∴，． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵，，为的中点， ∴， ∴，， ∴由勾股定理可得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质． 18．如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)A，或； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可，对应边的夹角即为旋转角，再根据正方形的每一个角都是直角解答； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得的面积等于的面积，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A为旋转中心，在四边形中，， ∴， ∴，， 所以，逆时针旋转了或顺时针； 故答案为：A，或； （2）解：由旋转性质知，， ∴四边形是正方形， ∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴四边形的面积=正方形的面积， ∵， ∴四边形的面积． 19．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 【答案】(1) (2) (3)8或4 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； 故答案为： （2）解：结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为8或4； 故答案为：8或4． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 20．阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【答案】(1)D (2)平分；见解析 (3) 【分析】（1）根据“等补四边形”的定义进行判断即可； （2）延长，过点A作于点E，作于点F，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）根据解析（2）可知：平分，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故选：D． （2）解：平分；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵在“等补四边形”中，，，， ∴根据解析（2）可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，勾股定理，补角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $