10.5 分式方程（第1课时 分式方程的概念）（教学设计）数学新教材苏科版八年级下册

10.5 分式方程 第1课时 教学设计 1.教学内容 本课基于苏科版八年级下册第十章《分式》10.5 分式方程第 1 课时，核心知识点是分式方程的概念及判定标准，分式方程“去分母—化整—验根”的基本思想与操作步骤。 2.内容解析 本节课通过“服装加工”“两位数互换”等熟悉情境，引出含未知数的分母，从而形成“分式方程”概念；再借助对比一元一次方程，突出分式方程“分母含未知数”的本质特征。随后选取可化为一元一次方程的典型例题，强调“最简公分母去分母—转化为整式方程—验根”的解题流程，渗透“转化与化归”思想。知识价值体现在： ①帮助学生完成从“分式”到“分式方程”的认知迁移； ②培养从实际问题抽象、建模、检验的数学建模能力； ③为后续学习“可化为一元二次方程的分式方程”及“分层函数”奠定解题方法基础。 教学重点是概念判定与去分母转化，难点是对“最简公分母”的选择及舍去增根的验根意识。全课以问题情境—探究归纳—例题训练—反思提升为主线，层层递进、突出学以致用。 1.教学目标 •能从实际情境中抽象出分式方程，了解分式方程的概念，并会正确识别分式方程。 •掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会转化和化归思想。 2.目标解析 • 能说出分式方程的定义； • 给出 5 个含分式的方程，能准确判断其是否为分式方程并说明理由； • 能把“服装加工”“两位数互换”等情境正确转化为分式方程。 • 面对 、 等典型题，能够： ① 选取最简公分母并正确去分母； ② 解得一元一次方程并做验根； ③ 解释“增根”产生的原因，能判断并剔除增根； • 在解决简单实际问题时，能完整经历“建模—求解—检验—解释”的过程，体现转化思想。 3.重点难点 • 教学重点：分式方程概念及其判定方法，去分母并转化为一元一次方程的步骤与原因。 • 教学难点：正确确定最简公分母并全面去分母，增根的产生原因及验根环节的必要性。 学生已系统学习了一元一次方程、分式及其运算，具备基本的化简、通分能力，对“等量关系列方程”也较熟悉。因此： • 识别“分母含未知数”这一概念认知较易建立； • 去分母操作与一元一次方程求解属于迁移学习，学生能较快掌握。 但存在两大易错点：忽视整式项也应同时乘最简公分母，导致去分母不完整； 缺乏验根意识，易把增根误认为真根。此外，实际情境建模（如时间、速度、商品等量关系）对部分学生仍具挑战，需要通过多样化情境与小组讨论来降低抽象难度，强化模型思想。 创设情景，引入新课 问题情境： 情景引入 问题 甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同．怎样用方程来描述其中的等量关系？ 分析：设甲每天加工服装 x 件，加工服装20件用＿＿天．乙每天加工服装＿＿＿＿件，加工服装24件用＿＿＿天． 甲、乙所用的时间相同，根据这个相等关系，可得方程_________． 解：，(x＋1)，,＝ 【设计意图】通过“服装加工”“数字换位”两则贴近生活的故事，将学生熟悉的“速度×时间=路程”与“数字组成”自然过渡到含未知数分母的方程，让学生在自主填空与比较中发现“新面孔”，激发探究欲望，明确本节课的学习方向——认识并解分式方程。 探究点：分式方程的概念 1.讨论交流 一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字互换，那么所得的两位数与原两位数的比值是．怎样用方程来描述其中的等量关系？ 分析：设十位数字是x，则原两位数是＿＿＿＿，个位数字与十位数字互换后的两位数是＿＿＿＿． 由新两位数与原两位数的比值是，可得方程＿＿＿＿＿＿． 解：10x＋4，4×10＋x，＝ 教师提问：=和＝这两个方程有什么共同特点？与一元一次方程有什么区别？ 学生思考：分母中都含有未知数。 教师总结：等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 2.新知巩固 下列方程中哪些是分式方程？为什么？ (1)＝1； (2) ＝ (3) ＋； (4) ＝8； (5) ＝1； (6)－2＝x (a≠0) 提示：①根据分式方程概念中的条件，判断方程中分母是否含未知数． ②判断一个方程是不是分式方程，不能对方程进行约分、通分等变形，也不能用等式性质变形. ③π是常数，不是未知数. 解：（2）（4）是分式方程， 4.典例分析 例1 解方程：＝ 解：方程两边同乘 x (x＋1)，得 20(x＋1)＝24x． 解这个一元一次方程，得 x＝5． 把x＝5代入原方程：左边＝4，右边＝4， 左边＝右边． 原方程的解是x＝5． 例2 解方程：－＝0． 解：方程两边同乘 x (x－1)，得 3(x－1)－2x＝0． 解这个一元一次方程，得 x＝3． 把x＝3代入原方程：左边＝－＝0， 右边＝0，左边＝右边． 所以原方程的解为x＝3． 5.方法技巧 解分式方程时，在方程的两边同乘各分式的最简公分母，可转化为整式方程，本章只讨论可以转化为一元一次方程的分式方程． 解分式方程的一般步骤： 1. 化：方程两边同乘以各分母的最简公分母, 将分式方程转化为整式方程； 2. 解：解这个整式方程； 3. 验：将所求得的整式方程的解代入原方程检验； 4. 写：写出原分式方程的解． 6.做一做 解下列方程： (1) ＝； (2) ＝； (3)－＝； (4) ＋＝1． 解：(1)方程两边同乘4 (10x＋4)，得 4(40＋x)＝7(10x＋4)． 解这个一元一次方程，得 x＝2． 把x＝2代入原方程：左边＝＝， 右边＝，左边＝右边． 所以原方程的解为x＝2． (2)方程两边同乘 x (x－1)，得 9(x－1)＝8x． 解这个一元一次方程，得 x＝9． 把x＝9代入原方程：左边＝＝1， 右边＝＝1，左边＝右边． 所以原方程的解为x＝9． (3)方程两边同乘3x，得 45－15＝2x． 解这个一元一次方程，得 x＝15． 把x＝15代入原方程：左边＝－＝， 右边＝，左边＝右边． 所以原方程的解为x＝15． (4)方程两边同乘2x－5，得 x－5＝2x－5． 解这个一元一次方程，得 x＝0． 把x＝0代入原方程：左边＝＋＝1， 右边＝1．左边＝右边． 所以原方程的解为x＝0． 【设计意图】通过“先观察—再讨论—后归纳”的阶梯式活动，突破初学者在“分母含/不含未知数”上的易错点，巩固概念。 1．解分式方程－3＝时，去分母可得_________________． 解：1－3(x－2)＝－4 2.已知x＝1是分式方程＝的解，则a的值为_______． 解：-3． 3.对于非零实数a，b，规定a⊕b＝－．若(2x－1)⊕2＝1，则x的值为____. 解：C. 4.小玉在解方程＝去分母时，方程右边的“－1”项没有乘6，因而求得的解是x＝10，试求a的值. 解：错误去分母得4x－2＝3x＋3a－1，把x＝10代入，得a＝3． 5. (1) 已知＝，求m． (2) 已知＝（其中a，b，c为常数），求m． 解：(1) ∵ ＝ ，∴ ＝， ∴ －2＝3＋m，m＝－5． (2) ∵ 由＝，得 ＝＋ ， ∴ ax＋b＝ax＋ac＋m，∴ x≠－c时，m＝b－ac． 【设计意图】紧扣课堂核心内容，分“识别—求解—填空”三层梯度，让学生经历“概念—方法—应用”的完整知识链条，及时查漏补缺。 主板书 10.5 分式方程 第1课时 探究点 分式方程的概念 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题10.5第1-4题。 2. 探究性作业：习题10.5第5题。 学科网（北京）股份有限公司 $