数列单调性及其应用、数列周期性及其应用 讲义-2026届高三数学二轮复习

数列：数列单调性及其应用、数列周期性及其应用复习讲义 数列：数列单调性及其应用、数列周期性及其应用复习讲义 考点目录 数列单调性及其应用 数列周期性及其应用 知识点解析 一、数列单调性及其应用 1.核心特征：判断数列的增减性，或利用单调性求参数范围、最值、通项相关问题，核心看相邻项的大小关系。 2.解题思路：定判断方法，比相邻项，结合性质求结论 （1）选判断方法：根据数列类型（通项型/递推型）选作差法（主流）或作商法（各项同号时用）； （2）求相邻项关系：作差（判断正负）/作商（判断与1的大小），化简得核心式； （3）结合题意求解 ① 判断单调性：根据核心式的符号/与1的关系下结论； ② 求参数：根据单调性列不等式（恒成立问题转最值）； ③ 求最值：单调数列的最值出现在首项/末项（有界数列）。 （4）方法技能 ① 作差法是通法，优先使用，化简时注意因式分解/合并同类项； ② 含参数的单调性问题，需分类讨论参数范围； ③ 递推数列的单调性，可先由前几项找规律，再严格证明； ④ 数列是离散型函数，单调性与对应函数单调性一致（定义域为正整数），可借助函数单调性辅助分析。 二、 数列周期性及其应用 1.核心特征：数列的项按固定规律重复出现，核心找周期T，利用周期性将任意项转化为周期内的项求解。 2.解题思路：算前几项，找重复规律，定周期，化未知为已知 （1）递推求前几项：根据数列的通项/递推公式，依次计算，直到出现重复的项； （2）确定周期T：若对任意正整数n成立，则周期为T； （3）利用周期性转化：将所求项的下标转化为（，k为非负整数），则； （4）计算结论：求即可得，求和则先求一个周期的和，再乘周期数加剩余项的和。 3.方法技能 ① 找周期的关键是“算前几项+找重复”，递推数列必用此方法； ② 常见周期特征：如（T=2）、（T=6），可熟记快速判断； ③ 周期数列的最值/前n项和，均围绕“一个周期”展开计算； ④ 证明周期性需严格验证，不可仅由前几项直接下结论。 3、 两类题型共性技巧 1.均以数列的通项/递推公式为核心依据，需熟练掌握公式的变形与运算； 2.均可结合函数思想辅助分析（单调性对应函数增减、周期性对应函数周期）； 3.求解时均需化简变形（作差/作商化简、递推式变形），注重代数运算能力。 考点一 数列单调性及其应用 【例题分析】 例1．（25-26高三下·山东菏泽·月考）已知数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 【答案】C 【详解】A选项：数列满足， 当，可得，A选项错误； B选项：若，可得，且恒成立， 由，又函数在上单调递减， 可得时，， 时，，故不是单调递增数列，B选项错误； C选项：若是常数列，即，即，解得，C选项正确； D选项：若，可得，， 则，， 所以数列不是单调递增数列，D选项错误． 例2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且数列为单调递减数列， 所以对任意的，，即， 可得对任意的恒成立，所以， 解得，故实数的取值范围是. 例3．（25-26高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 【答案】 【详解】，，则， 所以； 令，则数列的前项和为， 有， 当时，，即，下面用数学归纳法证明： ①当时，成立， ②假设时，成立， 当时，，即时也成立， 由①②可知，当时，，即， 所以时，，时，当时，有最小值， 满足的的最小值为3. 例4．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______. 【答案】 【详解】由，得， 则数列的前5项中的最大值是. 故答案为：. 例5．（2026·安徽安庆·一模）设为数列的前n项和，已知，且． (1)求数列的通项公式： (2)设数列满足，证明：，并求的最大项． 【答案】(1) (2)证明见解析，最大项为 【详解】（1）由，得， 当时，， 则， 即，则， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则. （2）由（1）知，， 则，所以. 由于数列为递减数列，则时，取得最大值，即的最大项为. 例6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)1 【详解】（1）等式两边同除以，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知，即得． （2）由（1）知，． 当为偶数时， 当为奇数时，． 综上，． （3）当时，；当时， 有，可得． 所以，．记，则． 令，则， 可得在区间上单调递增，则，即得，即． 所以当时，，即，可知数列从第4项开始每一项均小于1． 因为，所以数列的最大项是第三项， 其值为1，即得数列的最大项为1． 【变式训练】 变式1．（2026·贵州安顺·一模）已知数列满足，．若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，，且对于任意，都有成立， 则，可得， 由可得，即得，即. 又由及可得，则， 易知为递增数列，则，且， 因函数在上为增函数，则， 由题意可知数列单调递增且有上界2，故极限存在，设，则. 对取极限得，即. 函数在上单调递增，故，解得， 故实数c的取值范围是. 变式2．（2026·广东汕头·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由，得，则， 而，解得，则，， 由和，得，则， ，由，得数列单调递减，当时，， 则当时，，所以使得的的最小值为4051. 故选：B 变式3．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】当时，， 而， 若是递增数列，则恒成立， 得到的最小值是，解得； 当时，， 若是递增数列，则恒成立， 即，解得，且，解得， 综上，，即. 故答案为：. 变式4．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知数列满足：，，．则数列的通项公式可以是_____________．（写出一个符合要求的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，可知数列为递减数列，当时，验证如下， 符合题意， ，故通项公式可以是. 变式5．（2026·江苏·一模）已知数列各项均不为零，，，. (1)当时，求的前50项和； (2)若，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为数列各项均不为零，，， 所以当时，由， 所以有 ， 所以此时该数列的周期为，因此， 所以的前50项和为； （2）由， 因为，， 所以， 因为， 所以，或， 因为是正整数，所以，即 当时，由， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此，所以， 显然恒成立，所以正整数的最小值为. 变式6．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求满足的最大整数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公比为，则， 因为，所以，则， 则，即， 整理得，解得或（舍去），则， 所以． （2）由（1）可知， 故 ， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 故随着的增大而增大， 又， ， 所以满足的最大整数． 考点二 数列周期性及其应用 【例题分析】 例1．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】依题意得． 故数列的周期为3，所以． 例2．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知数列满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】C 【详解】由， 则， 所以， 所以数列是周期为3的周期数列， 对做除法得：，即除以3余1， 因此. 例3．（2026·云南昭通·模拟预测）记为数列的前n项和，已知数列满足，则______. 【答案】 【详解】当 为奇数时，,当 为偶数时，;     因此， . 故答案为：0. 例4．（25-26高三上·甘肃天水·月考）若数列满足，，则的前项的和为 ________ 【答案】2026 【详解】因为，， 所以，， ，，，， 可以发现数列是以为周期的周期数列， 记的前项的和为， 所以. 故答案为：． 例5．（2025·河南·三模）在前n项和为的等比数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，，…，是，，…，的任意排列，表示其中同时满足条件①和②（）的排列的个数，为数列的前n项和． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：能被2整除． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）设数列的公比为q， 由，得， ∴，解得或， 若，则由，得， ∴，与矛盾， ∴， 若，则由，得， ∴，，符合， ∴，， ∴． 故数列的通项公式为：． （2）（ⅰ）∵， ∴或． 当，则，，…，各项分别除以2后， 恰是，，…，满足条件①②的排列，其个数为； 当，，则，此时，，…，各项分别除以8后， 恰是，，…，满足条件①②的排列，其个数为； 当，，设是该排列中第一个出现的2的偶数次幂， 则前k个数应是2，，，…，，应是或． 由条件②知，排在后的各数，要么都小于，要么都大于． ∵4在后面，此时仅有1个排列，即递增排出所有2的奇数次幂，再依递减的顺序排出所有的2的奇数次幂． 综上，得到递推关系． ∵，，…，，， 将所有式子相加，得：， ∵， ∴，得证． （ⅱ）∵，，， 由递推公式可得除以2的余数依次为：1，1，0，0，0，1，0，1，1，0，0，0，1，0，1，…， 猜测余数列以7为周期，事实上，令表示除以2的余数， 则 ∴数列的周期为7，又， ∴， ∴能被2整除，命题得证． 例6．（2025·湖北·模拟预测）定义：在数列中，若，记被（为大于1的正整数）除所得余数为，称数列为数列的“模数列”.若存在最小的正整数，使得由构成的集合为，则称为数列的“覆盖周期”.已知数列的前项和为，且. (1)求证：是等差数列； (2)若，数列的公差为的“模4数列”为，求的前50项的和； (3)若，数列的“模6数列”为，求出使数列的“覆盖周期”的数列的公差的所有值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【详解】（1）已知，. 两式相减： 因为，所以 ① 同理可得 ② ① ②得：，即. 在中令，得， 化简得，所以是等差数列. （2）已知，公差为，则. 分别计算，；，；，；，. ，所以前50项和为. （3）已知等差数列首项，可得，且，，即可能取值为，，，，. 下面我们对的每一个可能取值进行分析： 当时： 根据通项公式，可得的值依次为. 假设是除以的余数，那么的值依次为，之后数列会重复出现这个数，即周期，满足题意. 当时： 由通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，数列的周期为，不满足周期的条件. 当时： 根据通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，数列的周期为，不满足周期的条件. 当时： 由通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，数列的周期为，不满足周期的条件. 当时： 根据通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，之后数列会重复出现这个数，即周期，满足题意. 综上，符合条件的的值为或. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河南驻马店·期末）一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为等和数列的公和．已知等和数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【详解】因为数列为等和数列，所以， 所以，. 所以. 所以. 故选：D 变式2．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知数列的通项公式为为其前项和，则（    ） A．1012 B． C．1013 D． 【答案】D 【详解】， ，． ． 则 ， 故选：D． 变式3．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的首项，，则______． 【答案】 【详解】由题设有， 由累加法可得，， 即，， 故，， ，， 而的周期为，故是周期为的数列， 且， 故. 故答案为：. 变式4．（2026·陕西延安·一模）已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为________． 【答案】2 【详解】由题目的条件可以知道,即， 所以有,且除以5的余数为2， ;除以5的余数为3， ;除以5的余数为1， ;除以5的余数为2， ;除以5的余数为3， 显然,余数呈现2,3,1的周期循环，所以，即除以5的余数与的相同为2. 故答案为：2 变式5．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知数列满足． (1)若，求的值； (2)若，满足，恒有，求集合； (3)若，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）已知，且． 当时，； 当时，，绝对值为意味着或者， 若，结合等条件可算出； 若，则． （2）因为，且，所以， 那么或者． 若，则，根据递推关系会得出所有，这与矛盾． 若，当时，通过依次往前推，能得到时，，此时符合条件； 当时，同样根据递推关系能算出，． 已知 且 ，因为 时数列呈周期变化，周期 ，即 ． 要找使 的 的集合．在周期数列中，从 开始，周期为 3， 设 （），当 取合适值时能涵盖所有使 的正整数 ，所以 ．   当 时，因为 时 ，那么 ，不符合题意，舍去这种情况． 综上所得，所求的集合． （3）由 可得 ． ，根据 进行放缩： ． 把右边式子拆分：． 进一步变形为 ． 移项可得 ，即 ． 变式6．（2026·湖北·模拟预测）已知无穷数列满足：，为正整数，且，. (1)若，，求； (2)证明：“存在，使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件； (3)若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或3或5 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为对任意成立； 令得，所以，则或3， 若，由，则，则或3， 若，由，则，则或5， 因为，综上所述：或3或5. （2）记，， 必要性：若是周期为3的周期数列，或， 当时，数列前5项为：，，，，， 由得，该式当且仅当或时成立， 与，为正整数矛盾； 当时，数列前5项为：，，，，， 由得，则或（舍，此时）， ，，此时数列：，，0，，，0，，，0，…存在，使得， 另一方面：取数列：1，1，0，1，1，2，3，5，…其中当时，， 此时数列不是周期数列， 综上，“存在，使得”是“是周期为3的周期数列”的必要不充分条件. （3）不存在，理由如下： 等价于（*）或（**）， 首先说明不存在，使得，否则由得记为， 所以，，， 依此类推得前项为…，，0，，，0，，，0（第项）， 则，要么相等，要么有一项为0，矛盾，因此对任意成立， 其次，不存在，使得以及同时成立，否则两式相加得，矛盾. （ⅰ）若（*）式只对有限个正整数才成立，不妨设当且仅当时（*）式成立，其中， 则当时，（**）式恒成立，此时恒成立， 由此易知当，因此数列是无界数列， （ⅱ）若存在无限个正整数使得（*）式成立，不妨设当且仅当时（*）式成立， 其中，考虑与，为方便书写记为，，， 则， 若，则， 若，则，…，，， 则， 此时， 无论哪种情况总有成立，即恒成立， 记，则恒成立，由此易得数列是无界数列， 所以，存在使得，故不存在符合题意的，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：数列单调性及其应用、数列周期性及其应用复习讲义 数列：数列单调性及其应用、数列周期性及其应用复习讲义 考点目录 数列单调性及其应用 数列周期性及其应用 知识点解析 一、数列单调性及其应用 1.核心特征：判断数列的增减性，或利用单调性求参数范围、最值、通项相关问题，核心看相邻项的大小关系。 2.解题思路：定判断方法，比相邻项，结合性质求结论 （1）选判断方法：根据数列类型（通项型/递推型）选作差法（主流）或作商法（各项同号时用）； （2）求相邻项关系：作差（判断正负）/作商（判断与1的大小），化简得核心式； （3）结合题意求解 ① 判断单调性：根据核心式的符号/与1的关系下结论； ② 求参数：根据单调性列不等式（恒成立问题转最值）； ③ 求最值：单调数列的最值出现在首项/末项（有界数列）。 （4）方法技能 ① 作差法是通法，优先使用，化简时注意因式分解/合并同类项； ② 含参数的单调性问题，需分类讨论参数范围； ③ 递推数列的单调性，可先由前几项找规律，再严格证明； ④ 数列是离散型函数，单调性与对应函数单调性一致（定义域为正整数），可借助函数单调性辅助分析。 二、 数列周期性及其应用 1.核心特征：数列的项按固定规律重复出现，核心找周期T，利用周期性将任意项转化为周期内的项求解。 2.解题思路：算前几项，找重复规律，定周期，化未知为已知 （1）递推求前几项：根据数列的通项/递推公式，依次计算，直到出现重复的项； （2）确定周期T：若对任意正整数n成立，则周期为T； （3）利用周期性转化：将所求项的下标转化为（，k为非负整数），则； （4）计算结论：求即可得，求和则先求一个周期的和，再乘周期数加剩余项的和。 3.方法技能 ① 找周期的关键是“算前几项+找重复”，递推数列必用此方法； ② 常见周期特征：如（T=2）、（T=6），可熟记快速判断； ③ 周期数列的最值/前n项和，均围绕“一个周期”展开计算； ④ 证明周期性需严格验证，不可仅由前几项直接下结论。 3、 两类题型共性技巧 1.均以数列的通项/递推公式为核心依据，需熟练掌握公式的变形与运算； 2.均可结合函数思想辅助分析（单调性对应函数增减、周期性对应函数周期）； 3.求解时均需化简变形（作差/作商化简、递推式变形），注重代数运算能力。 考点一 数列单调性及其应用 【例题分析】 例1．（25-26高三下·山东菏泽·月考）已知数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 例2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 例4．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______. 例5．（2026·安徽安庆·一模）设为数列的前n项和，已知，且． (1)求数列的通项公式： (2)设数列满足，证明：，并求的最大项． 例6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 【变式训练】 变式1．（2026·贵州安顺·一模）已知数列满足，．若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东汕头·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 变式3．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 变式4．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知数列满足：，，．则数列的通项公式可以是_____________．（写出一个符合要求的答案即可） 变式5．（2026·江苏·一模）已知数列各项均不为零，，，. (1)当时，求的前50项和； (2)若，求正整数的最小值. 变式6．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求满足的最大整数． 考点二 数列周期性及其应用 【例题分析】 例1．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 例2．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知数列满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 例3．（2026·云南昭通·模拟预测）记为数列的前n项和，已知数列满足，则______. 例4．（25-26高三上·甘肃天水·月考）若数列满足，，则的前项的和为 ________ 例5．（2025·河南·三模）在前n项和为的等比数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，，…，是，，…，的任意排列，表示其中同时满足条件①和②（）的排列的个数，为数列的前n项和． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：能被2整除． 例6．（2025·湖北·模拟预测）定义：在数列中，若，记被（为大于1的正整数）除所得余数为，称数列为数列的“模数列”.若存在最小的正整数，使得由构成的集合为，则称为数列的“覆盖周期”.已知数列的前项和为，且. (1)求证：是等差数列； (2)若，数列的公差为的“模4数列”为，求的前50项的和； (3)若，数列的“模6数列”为，求出使数列的“覆盖周期”的数列的公差的所有值. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河南驻马店·期末）一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为等和数列的公和．已知等和数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 变式2．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知数列的通项公式为为其前项和，则（    ） A．1012 B． C．1013 D． 变式3．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的首项，，则______． 变式4．（2026·陕西延安·一模）已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为________． 变式5．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知数列满足． (1)若，求的值； (2)若，满足，恒有，求集合； (3)若，证明：． 变式6．（2026·湖北·模拟预测）已知无穷数列满足：，为正整数，且，. (1)若，，求； (2)证明：“存在，使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件； (3)若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $