4.3.1 (第2课时)等比数列的概念 课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 学习目标 学科素养 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算.(重点) 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.(重点) 3.掌握等比数列的综合应用问题.(难点) 数学抽象 逻辑推理 数学运算 人教A版2019选择性必修第二册 第2课时 等比数列的性质及应用 复习导入 1.等比数列定义: 2.等比中项:a, G, b成等比数列. 3.通项公式: 通项公式的一般形式: (指数型函数) 4.等比数列的函数特征: 公比q可以是正数、负数,不可为0. 当q >0时,等比数列的各项符号相同. 当q<0时,等比数列的各项符号正负交替,但所有的奇数项 (或偶数项)的符号相同.等比数列为摆动数列. 当0<q<1,a1>0时,等比数列为递减数列; a1<0时,等比数列为递增数列; 当 q >1 ,a1>0时,等比数列为递增数列; a1<0时,等比数列为递减数列; 当q=1时,等比数列为非零常数列. 复习导入 5.对称设项法求解等比数列 与等比数列有关的数的设项技巧: (1)如果是三个数成等比数列,可设为, a, aq或a, aq, aq2. (2)如果是四个数成等比数列,可设为, aq, aq3或a, aq, aq2, aq3. 复习导入 6.判定等比数列常用的方法: {an}为等比数列 {an}为等比数列 复习导入 探究新知 教材P34 探究新知 教材P34 探究新知 1.确定新数列的首项: 2.计算新数列的公比: 性质1:等比数列每相邻两项之间插入项构成新等比数列 思考:如果等比数列中每相邻两项之间插入个数,那么新等比数列的公比是多少?通项公式是多少? 3.写出新数列的通项公式: 设等比数列的公比为 探究新知 教材P40-习题4.3 2. 已知一个无穷等比数列{an}的首项为a1, 公差为q. (1) 将数列{an}中的前k项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是, 它的首项和公比分别是多少? (2) 依次取出数列{an}中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是, 它的首项和公比分别是多少? (3) 在数列{an}中,从第一项起,每隔10项取出一项,组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗? 探究新知 由教材P40习题4.3-第2题可得等比数列的如下性质: 性质2:若{an}是等比数列,公比为q,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公比为qm的等比数列. (若下标成等差数列,则对应的项成等比数列) 问题1:你能证明该性质吗? 证明: ∵{an}是等比数列,公比为q. ∴ak+m=akqm,ak+2m=akq2m. 即(ak+m)2=akak+2m. 即ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公比为qm的等比数列. 探究新知 问题2:观察等比数列: 2 ,4 ,8 ,16 ,32,64,128,256, …,说出16是哪两项的等比中项?并找到它们满足的规律? 2 ,4 ,8 ,16 ,32,64,128 等比数列: 追问:观察项的角标满足什么关系?由此你能得到什么一般性的结论吗?并且加以证明. 探究新知 猜想:若{an}是公比为q的等比数列,正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则aman=apaq. 证明: 探究新知 由此可得等比数列的如下性质: 性质3:若{an}是公比为q的等比数列,正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则aman=apaq. 推论1:特别地: 若m+n=2k(m,n,k∈N*),则有aman=ak2. 推论2:对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1an=a2an-1=…=akan-k+1=…. aman=apaq m+n=p+q 反例:常数列 追问:其它条件不变,若aman=apaq,能得到m+n=p+q吗? 不能 如:a2a8=a52 等式两边作和的项数必须一样多 思考:2+3=5,a2+a3=a5 成立吗? 不成立 推广:m+n+p=x+y+z,则amanap=axayaz. 探究新知 教材P31 5.已知数列{an}是等比数列. (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么? 当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗? 探究新知 教材P34 2.设数列{an}, {bn}都是等比数列,分别研究下列数列是否是等比数列,若是,证明结论;若不是,请说明理由. 问题3:根据本题你能得到一般性的结论吗? 探究新知 性质4:数列{an}, {bn}都是等比数列, 公比分别为p, q,则数列{anbn}是公比为 的等比数列. pq 推广:若数列{an}, {bn}都是等比数列, 公差分别为p, q, 为常数则有 数列 是等比数列,公比为 ; 数列 是等比数列,公比为 ; 数列 是等比数列,公比为 ; 数列 是等比数列,公比为 ; 数列 是等比数列,公比为 ; 由练习2可得等比数列的如下性质: p p2 | p | 探究新知 练习1.已知为等比数列. (1)若 <m></m> ,求 <m></m> ; (2)若 <m></m> , <m></m> ,求 <m></m> ; (3)若 <m></m> , <m></m> ,求 <m></m> 的值. 解:(1)在等比数列 <m></m> 中, <></m> , <</m> , <m></m> . (2)由题意得, <m></m> ,即 <m></m> , <m></m> , <m></m> . (3)由等比数列的性质知, <m></m> , <m></m> <m></m> . 探究新知 练习2.已知等比数列 <m></m> 的通项公式为 <m></m> . (1)求公比 <m></m> ; (2)判断数列 <m></m> 的单调性. 解:(1)由 <m></m> 得公比 <m></m> . (2)解法一:由于 <m></m> ,公比 <m></m> ,且 <m></m> , 所以等比数列 <m></m> 为递增数列. 解法二:由 <m></m> , 得 <m></m> , 所以 <m></m> , 所以等比数列 <m></m> 为递增数列. 探究新知 教材P31 证明数列单调性的方法 作差法: 探究新知 教材P31 证明数列单调性的方法 作商法: 探究新知 证明数列单调性的方法 探究新知 证明数列单调性的方法 探究新知 证明数列单调性的方法 课堂小结 1.确定新数列的首项: 2.计算新数列的公比: 性质1:等比数列每相邻两项之间插入项构成新等比数列 3.写出新数列的通项公式: 设等比数列的公比为 课堂小结 性质2:若{an}是等比数列,公比为q,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公比为qm的等比数列. (若下标成等差数列,则对应的项成等比数列) 性质3:若{an}是公比为q的等比数列,正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则aman=apaq. 推论1:特别地: 若m+n=2k(m,n,k∈N*),则有aman=ak2. 推论2:对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1an=a2an-1=…=akan-k+1=…. aman=apaq m+n=p+q 推广:m+n+p=x+y+z,则amanap=axayaz. 课堂小结 性质4:数列{an}, {bn}都是等比数列, 公比分别为p, q,则数列{anbn}是公比为 的等比数列. pq 推广:若数列{an}, {bn}都是等比数列, 公差分别为p, q, 为常数则有 数列 是等比数列,公比为 ; 数列 是等比数列,公比为 ; 数列 是等比数列,公比为 ; 数列 是等比数列,公比为 ; 数列 是等比数列,公比为 ; p p2 | p | 证明数列单调性的方法: 课堂小结 课堂小结 证明数列单调性的方法: 作业布置 1.导学案:P29-P31. 2.课时作业(十) 1.求满足下列条件的数: (1)在9与243中间插入2个数,使这4个数成等比数列; (2)在160与-5中间插入4个数,使这6个数成等比数列. 解:(1)在9与243中间插入2个数,使这4个数成等比数列, 设等比数列为数列,公比为, 则 ,解得, 所以在9与243中间插入2个数为27、81. 解:(2)在160与中间插入4个数,使这6个数成等比数列, 设等比数列为数列,公比为,则 ,解得, 所以在160与-5中间插入4个数为-80、40、-20、10. 1.求满足下列条件的数: (1)在9与243中间插入2个数,使这4个数成等比数列; (2)在160与-5中间插入4个数,使这6个数成等比数列. (+1为奇数)或(为偶数) 解法1:, 令,得,即,, 所以当时, ,数列单调递增; 当时, ,数列单调递减. 所以时,取得最大值,最大值为. 5.已知数列的通项公式为,求使取得最大值时的的值. 5.已知数列的通项公式为,求使取得最大值时的的值. 1. 等比数列的单调性如下表: 的范围 等比数列的单调性 单调递减 不变 单调递增 单调递增 不变 单调递减 摆动数列 2.结合数列单调性定义,作差或作商(作商需满足())判断. 递增数列;递减数列; 常数列. 递增数列;递减数列; 常数列. (+1为奇数)或(为偶数) 1. 等比数列的单调性如下表: 的范围 等比数列的单调性 单调递减 不变 单调递增 单调递增 不变 单调递减 摆动数列 2.结合数列单调性定义,作差或作商(作商需满足())判断. 递增数列;递减数列; 常数列. 递增数列;递减数列; 常数列. $