6.4.3.2·正弦定理【10个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.2·正弦定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：正弦定理解三角形】 【练方法】 知识梳理 核心公式：（为外接圆半径） 变形：，， 适用场景：已知两角及一边（AAS/ASA）、已知两边及其中一边的对角（SSA） 解题思路 1.明确已知条件，判断类型（AAS/ASA/SSA） 2.若为AAS/ASA：先由内角和求第三个角，再用正弦定理求未知边 3.若为SSA：用正弦定理求另一边所对的角，注意多解情况 4.验证结果：内角和为，大边对大角 名师点睛 AAS/ASA类型解唯一，SSA类型可能出现一解、两解或无解 计算时优先用内角和求角，简化计算 注意角的范围，避免出现角度和超过的错误 （2024·黑龙江大庆·一模）已知的内角的对边分别为，且．经典例题1例题 (1)请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求的值； ①，；②，． (2)若，，求的面积． （24-25高二下·广东湛江·期中）在中，内角所对的边分别是，已知.经典例题2例题 （1）求的值；     （2）求的值. （23-24高一·湖南·课后作业）在中，小试牛刀1 （1）若c＝5，，，则______； （2）若，，，则______． （24-25高一·全国·课后作业）在中，小试牛刀2 (1)已知，，，求这个三角形的最长边的长； (2)已知，，，求a，c，B； (3)已知，，，求c； (4)已知，求B． （24-25高一下·全国·课后作业）（1）在中，已知，，，求和；小试牛刀3 （2）在中，已知，，，求． 【题型2：正弦定理求角】 【练方法】 知识梳理 变形公式：，， 核心：已知两边及其中一边的对角，求另一边所对的角 解题思路 1.代入正弦定理，得 2.计算的值，结合求角 3.根据大边对大角判断解的个数：若，则，可能有两解；若，则，只有一解 4.验证内角和是否为 名师点睛 时，可能为锐角或钝角，需结合边的大小判断 若，则无解；若，则 大边对大角是判断解个数的关键，不可遗漏 （25-26高三上·河南·月考）记的内角的对边分别为，若，则____.经典例题1例题 （24-25高三上·贵州遵义·月考）在中，若，，则_________.经典例题2例题 （25-26高三上·广东·月考）已知锐角的面积为，，，则______.小试牛刀1 （2025·四川成都·一模）已知分别为三个内角的对边，若，则______.小试牛刀2 （25-26高三上·天津武清·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_________.小试牛刀3 【题型3：正弦定理结合余弦定理求边长】 【练方法】 知识梳理 场景：已知条件混合边角关系，需同时用正弦定理和余弦定理 核心：边角互化，将边化角或角化边，建立方程求解 解题思路 1.若已知边角混合式，用正弦定理将边化为角，或用余弦定理将角化为边 2.化简得到关于边或角的方程 3.求解方程，得到未知边或角 4.验证结果符合三角形条件 名师点睛 优先将边化角，利用三角函数性质简化计算 若出现平方项，优先用余弦定理 注意边角互化时的等价性，避免增根 （2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·山东滨州·一模）在中，已知，则的长为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·河南南阳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则（    ）小试牛刀1 A． B．2 C．3 D．4 （北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）在中，，，，则（    ）．小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，若，则边的值为（    ）小试牛刀3 A． B．1 C． D．2 【题型4：正弦定理判断三角形解的个数】 【练方法】 知识梳理 已知两边及角，解的个数判断： ：无解 ：一解（直角） ：两解 ：一解 解题思路 1.计算的值 2.比较与、的大小关系 3.根据上述结论判断解的个数 4.若有解，再用正弦定理求角 名师点睛 画图辅助判断更直观：以为圆心，为半径画弧，看与的交点个数 若为钝角，只有当时才有解 此题型是高考易错点，需熟练掌握判断方法 （25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·山西太原·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）经典例题2例题 A． B．，， C． D．，， （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ）小试牛刀3 A．9 B． C．11 D．12 【题型5：正弦定理判断三角形的形状】 【练方法】 知识梳理 核心方法：边角互化，将条件转化为角或边的关系，判断是否为等腰、等边、直角、钝角或锐角三角形 常见转化：， 解题思路 1.利用正弦定理将边化为角，或用余弦定理将角化为边 2.化简得到角的关系（如、）或边的关系（如） 3.根据角或边的关系判断三角形形状 4.注意“等腰直角三角形”需同时满足等腰和直角条件 名师点睛 若，则或，两种情况都要考虑 若，则角为钝角，三角形为钝角三角形 不要误将“有一个角是锐角”的三角形当成锐角三角形 【多选题】（2025·陕西咸阳·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ）．经典例题1例题 A．若，，，则有两解 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 （24-25高一下·辽宁·月考）中，内角的对边分别为，以下选项为正确的是（ ）经典例题2例题 A．若，则一定为锐角三角形 B．若，，，则有两解 C．，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 （2026高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ）小试牛刀1 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【多选题】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知的内角，，的对边分别为，，，则（    ）小试牛刀2 A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【多选题】（2026高一·全国·专题练习）（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）小试牛刀3 A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 【题型6：正余弦定理求三角形的周长面积】 【练方法】 知识梳理 周长： 面积： 核心：先用正余弦定理求出未知边或角，再代入周长或面积公式 解题思路 1.用正余弦定理求出所有边或角 2.代入周长公式或面积公式 3.计算结果，注意单位和精度 4.验证结果符合三角形条件 名师点睛 面积公式选择：已知两边及夹角时，直接用对应公式最简便 若已知三边，可用海伦公式（） 计算时先算，再算面积，避免复杂运算 （江西赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试数学试题）在中，角的对边分别为，且.经典例题1例题 (1)若，求的值. (2)若的内切圆的面积为，求的面积. （25-26高三下·贵州遵义·开学考试）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．经典例题2例题 (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （2026·湖北宜昌·二模）在中，内角的对边分别是．小试牛刀1 (1)求的值； (2)若，求的面积． （25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. （2026·北京密云·一模）在中，.小试牛刀3 (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【B·能力提升题型】 【题型1：正弦定理求周长的取值范围】 【练方法】 知识梳理 核心：将周长表示为角的函数，利用三角函数值域求范围 常用变形：，，，结合消元 解题思路 1.用正弦定理将边化为角：，， 2.周长，利用消元 3.化简为单一三角函数（如的函数），求值域 4.结合角的范围，确定周长范围 名师点睛 若已知一边及对角，可设为定值，简化计算 常用三角恒等变换： 注意角的约束：，，，即 （2026高三·全国·专题练习）在锐角中，已知，且，求周长的取值范围经典例题1例题 （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足.经典例题2例题 (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. （2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）记的内角所对的边分别为，已知．小试牛刀1 (1)求； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. （2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．小试牛刀2 (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． （25-26高二上·广东·期中）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，.小试牛刀3 (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. 【题型2：正弦定理求面积的取值范围】 【练方法】 知识梳理 核心：将面积表示为角或边的函数，利用三角函数或基本不等式求范围 常用变形：，，代入得 解题思路 1.用正弦定理将边化为角，面积 2.利用消元，化简为单一三角函数 3.求三角函数的值域，得到面积范围 4.或用余弦定理结合基本不等式求的最值，再代入面积公式 名师点睛 若已知一边及对角，可设为定值，简化计算 常用不等式：，或 注意角的约束：， （25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）函数经典例题1例题 (1)求的值域及对称轴方程 (2)锐角中，角所对的边分别为且，，设面积为，周长为，求和的取值范围. （24-25高一下·湖南娄底·期末）在中，角的对边分别为，已知.经典例题2例题 (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 （24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.小试牛刀1 (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. （24-25高一下·河南濮阳·期末）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．小试牛刀2 (1)求角A； (2)若，求的面积S的取值范围； (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． （24-25高一下·福建漳州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．小试牛刀3 (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【题型3：正弦定理求角的范围】 【练方法】 知识梳理 核心：将边的条件转化为角的条件，利用三角函数不等式求角的范围 常用变形：，，边的大小关系转化为与的大小关系 解题思路 1.用正弦定理将边的条件转化为角的条件（如） 2.结合，化简为关于某一角的不等式 3.解三角函数不等式，得到角的范围 4.验证范围符合三角形内角条件 名师点睛 若，则，角为钝角，范围 若，则（大边对大角） 注意三角形内角和为，角的范围不能超出 【多选题】（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的可能取值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D．2 （24-25高一下·北京西城·期中）在中，已知经典例题2例题 (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围. （24-25高一下·浙江温州·期末）已知在中，点在BC上的射影落在线段BC上（不含端点），且满足，则角的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·湖北·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且．小试牛刀3 (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【题型4：正弦定理求边长的取值范围】 【练方法】 知识梳理 核心：将边长表示为角的函数，利用三角函数值域求范围 常用变形：，结合消元 解题思路 1.用正弦定理将边长表示为角的函数： 2.利用消元，化简为单一三角函数 3.求三角函数的值域，得到边长范围 4.或用余弦定理结合基本不等式求边的最值 名师点睛 若已知一边及对角，可设为定值，简化计算 常用不等式：，故 注意边的约束：两边之和大于第三边，即，， （2025·陕西西安·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.经典例题1例题 (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. （24-25高一下·浙江·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，满足．经典例题2例题 (1)求角． (2)为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． （24-25高一下·江苏南京·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.小试牛刀1 (1)求A； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)设点E为边BC上一点，若，且，求的值. （24-25高二下·安徽阜阳·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且.小试牛刀2 (1)求角的值； (2)求的取值范围. （24-25高一下·重庆北碚·期中）在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记（且）小试牛刀3 (1)时，若，求的值； (2)，为钝角，求角与的最大值； (3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值. 课后针对训练 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·二模）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·四川成都·二模）记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川眉山·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 4．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在中，内角的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为等腰三角形 D．的周长是 三、填空题 7．（25-26高一下·上海·月考）在中，角、、所对的边分别为，若，则_______． 8．（25-26高三上·四川内江·月考）在△ABC中，且（），则__________． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 10．（2026·山西大同·一模）已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 11．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，则_____． 四、解答题 12．（25-26高三上·江苏连云港·期末）在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 13．（25-26高三下·海南·月考）已知的内角的对边分别为，且为锐角，. (1)求； (2)若，求的面积. 14．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若D为的中点，，，求． 15．（2026·天津河东·一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. (1)求a，的值： (2)求的值； (3)求的面积. 16．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在中，内角的对边分别为．若． (1)已知，求三角形的三边长； (2)若，为中点，求外接圆半径． 17．（2026·宁夏银川·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 18．（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟考试数学试题）在锐角中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)求的最大值. 19．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 20．（2026·天津滨海新区·一模）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.2·正弦定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：正弦定理解三角形】 【练方法】 知识梳理 核心公式：（为外接圆半径） 变形：，， 适用场景：已知两角及一边（AAS/ASA）、已知两边及其中一边的对角（SSA） 解题思路 1.明确已知条件，判断类型（AAS/ASA/SSA） 2.若为AAS/ASA：先由内角和求第三个角，再用正弦定理求未知边 3.若为SSA：用正弦定理求另一边所对的角，注意多解情况 4.验证结果：内角和为，大边对大角 名师点睛 AAS/ASA类型解唯一，SSA类型可能出现一解、两解或无解 计算时优先用内角和求角，简化计算 注意角的范围，避免出现角度和超过的错误 （2024·黑龙江大庆·一模）已知的内角的对边分别为，且．经典例题1例题 (1)请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求的值； ①，；②，． (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择条件①，由余弦定理求出，再由正弦定理得出；选择条件②，由余弦定理求出，再由正弦定理得出； （2）由余弦定理求出，代入三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）选择条件①，， 由余弦定理，得 即，所以或，，， 由正弦定理 ，得 选择条件②，， 由余弦定理得，， 由正弦定理，得． （2）由余弦定理得， 所以 得，所以 （24-25高二下·广东湛江·期中）在中，内角所对的边分别是，已知.经典例题2例题 （1）求的值；     （2）求的值. 【答案】(1)(2)1 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得sinA,再利用正弦定理求解； （2）利用两角和的正弦公式求得sinB,然后利用正弦定理求得. 【详解】(1), 由正弦定理得： ； (2)为锐角， , . （23-24高一·湖南·课后作业）在中，小试牛刀1 （1）若c＝5，，，则______； （2）若，，，则______． 【答案】 ； . 【分析】（1）直接应用正弦定理进行求解即可； （2）根据三角形内角和定理，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可知：； （2）由三角形内角和定理可知：， 由正弦定理可知：， 故答案为：； （24-25高一·全国·课后作业）在中，小试牛刀2 (1)已知，，，求这个三角形的最长边的长； (2)已知，，，求a，c，B； (3)已知，，，求c； (4)已知，求B． 【答案】(1) (2)，， (3) (4)或. 【分析】（1）由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理即可求解； （3）由余弦定理列方程求解； （4）利用正弦定理边化角即可求解. 【详解】（1）这个三角形的最长边的长为， 由正弦定理： . （2）由已知 由正弦定理：， ， （3）由余弦定理得 解得（舍）或. （4） 由正弦定理得， ，又 或. （24-25高一下·全国·课后作业）（1）在中，已知，，，求和；小试牛刀3 （2）在中，已知，，，求． 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）利用正弦定理求出的值，由为钝角，可知角为锐角，可求出角的值，再利用内角和定理求出角的值，可得出，从而得出； （2）由三角形的内角和定理求出角的值，再利用正弦定理可求出的值. 【详解】（1）由正弦定理得，解得，，为锐角，， ，； （2）由三角形内角和定理得， ， 由正弦定理得． 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，正弦定理一般适用于两边与边的对角或两角一边这两种情形，考查计算能力，属于基础题. 【题型2：正弦定理求角】 【练方法】 知识梳理 变形公式：，， 核心：已知两边及其中一边的对角，求另一边所对的角 解题思路 1.代入正弦定理，得 2.计算的值，结合求角 3.根据大边对大角判断解的个数：若，则，可能有两解；若，则，只有一解 4.验证内角和是否为 名师点睛 时，可能为锐角或钝角，需结合边的大小判断 若，则无解；若，则 大边对大角是判断解个数的关键，不可遗漏 （25-26高三上·河南·月考）记的内角的对边分别为，若，则____.经典例题1例题 【答案】 【分析】由余弦定理可得，代入条件中化简可得，然后由正弦定理可得，此时条件转化为，最后利用基本不等式的性质和辅助角公式即可求解. 【详解】由余弦定理得，又， 所以，即； 由正弦定理，得，所以， 即，即； 因为，所以①，当且仅当时取等号； 又，所以，所以②， 当，即时，等号成立； 由①②知，即，此时； 所以. 故答案为：. （24-25高三上·贵州遵义·月考）在中，若，，则_________.经典例题2例题 【答案】 【分析】将角化边求出，将角化边后代入的值，可得，结合条件和正弦定理可得. 【详解】由可得，即， 解得或. 由可得，整理得, 两边同时除以得， 若，则，解得； 若，则，此时无实数解. 由可得. 故答案为： （25-26高三上·广东·月考）已知锐角的面积为，，，则______.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据正弦定理及已知条件可求出角C，然后再由面积公式求出AC，可知三角形为等腰三角形，即可由求出角B. 【详解】由正弦定理知，于是， 故，由得. 而，解得，于是，故. 故答案为： （2025·四川成都·一模）已知分别为三个内角的对边，若，则______.小试牛刀2 【答案】/ 【分析】由正弦定理可得，再利用化简可得，再结合两角差的正弦公式求解即可． 【详解】， ， 由正弦定理得， ， ， ， 又，，，即，，， 又，， ，即. 故答案为：. （25-26高三上·天津武清·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_________.小试牛刀3 【答案】/ 【分析】根据题设，由正弦定理及两角和的正弦公式化简可求得，进而求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理，得， 则， 则， 在中，，则，即， 又，所以，则. 故答案为：. 【题型3：正弦定理结合余弦定理求边长】 【练方法】 知识梳理 场景：已知条件混合边角关系，需同时用正弦定理和余弦定理 核心：边角互化，将边化角或角化边，建立方程求解 解题思路 1.若已知边角混合式，用正弦定理将边化为角，或用余弦定理将角化为边 2.化简得到关于边或角的方程 3.求解方程，得到未知边或角 4.验证结果符合三角形条件 名师点睛 优先将边化角，利用三角函数性质简化计算 若出现平方项，优先用余弦定理 注意边角互化时的等价性，避免增根 （2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求出，由的值和求出，利用诱导公式求出和，由，利用两角差的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的值，由得到，计算出的值，由是边上一点得到，代入数值得解. 【详解】，， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，，，， 在中，， ，， ，， ，， ，，， 是边上一点，. （2026·山东滨州·一模）在中，已知，则的长为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得，再根据余弦定理求得的长. 【详解】因为，所以由正弦定理， 得，所以. 因为，所以. 所以，即. 又，所以， 整理得，，即 因为，所以，所以. 所以，所以. 由余弦定理， 得，解得. 因为，所以. （2026·河南南阳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则（    ）小试牛刀1 A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先对 进行化简，求出角 ，再利用正弦定理将 转化为边的关系，最后结合余弦定理求出 的值. 【详解】由 ，得 ，即 ， 因为， ， 所以 ，即 ，化简得， 因为 ，所以 ， 则 ， ； 由正弦定理可得 （ 为 外接圆半径）， 所以 ，即 ，所以 ； 因为 ，根据余弦定理得 ， ，可得 ， 又因为 ，所以 ，则 ， 将 和 代入 中，可得 ， 移项可得 ，即 ，所以 . 故选：C. （北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）在中，，，，则（    ）．小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理角化边，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】 根据正弦定理，结合条件，可得： ，即. 又已知，代入得：，因此. 由余弦定理， 代入， ， 因此. （25-26高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，若，则边的值为（    ）小试牛刀3 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简得出，利用诱导公式化简得出，最后利用正弦定理即可. 【详解】由结合余弦定理可得， 化简得，则， 又，则， 则，即， 则由正弦定理，得. 故选：B 【题型4：正弦定理判断三角形解的个数】 【练方法】 知识梳理 已知两边及角，解的个数判断： ：无解 ：一解（直角） ：两解 ：一解 解题思路 1.计算的值 2.比较与、的大小关系 3.根据上述结论判断解的个数 4.若有解，再用正弦定理求角 名师点睛 画图辅助判断更直观：以为圆心，为半径画弧，看与的交点个数 若为钝角，只有当时才有解 此题型是高考易错点，需熟练掌握判断方法 （25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围. 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . （25-26高三上·山西太原·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）经典例题2例题 A． B．，， C． D．，， 【答案】C 【分析】利用正弦定理及三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】对于选项A，已知两边及夹角，由三角形全等的条件可知△ABC有唯一解． 对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解． 对于选项C，，，，有，∴， 又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解． 故选：C． （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. （24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有两解，列不等式求解可得结果. 【详解】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. （24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ）小试牛刀3 A．9 B． C．11 D．12 【答案】A 【分析】由题意知且，所得范围取交集，找出符合范围的a的值即可. 【详解】由正弦定理得：，且有两解，所以，且，所以，故符合题意的有A. 故选：A 【题型5：正弦定理判断三角形的形状】 【练方法】 知识梳理 核心方法：边角互化，将条件转化为角或边的关系，判断是否为等腰、等边、直角、钝角或锐角三角形 常见转化：， 解题思路 1.利用正弦定理将边化为角，或用余弦定理将角化为边 2.化简得到角的关系（如、）或边的关系（如） 3.根据角或边的关系判断三角形形状 4.注意“等腰直角三角形”需同时满足等腰和直角条件 名师点睛 若，则或，两种情况都要考虑 若，则角为钝角，三角形为钝角三角形 不要误将“有一个角是锐角”的三角形当成锐角三角形 【多选题】（2025·陕西咸阳·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ）．经典例题1例题 A．若，，，则有两解 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】AC 【分析】利用正弦定理求解判断AB；由可得，均为锐角，再结合同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式化简可得，进而判断C；根据正弦定理、二倍角公式求解判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，则， 所以，又，则， 所以有两解，则有两解，故A正确； 对于B，在中，，由正弦定理得，，故B错误； 对于C，由，可得，且，均为锐角， 所以， 则，所以也为锐角， 则为锐角三角形，故C正确； 对于D，由，由正弦定理得，， 则，所以或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：AC （24-25高一下·辽宁·月考）中，内角的对边分别为，以下选项为正确的是（ ）经典例题2例题 A．若，则一定为锐角三角形 B．若，，，则有两解 C．，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理即可判断A；由正弦定理即可判断B；举反例即可判断C；由得出为等腰三角形或直角三角形，即可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，即为锐角，但不能确定为锐角，故不一定为锐角三角形，故A错误； 对于B，， 所以有两解，故B正确； 对于C，若，满足，但为钝角三角形，故C错误； 对于D，或或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误； 故选：B． （2026高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ）小试牛刀1 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 【多选题】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知的内角，，的对边分别为，，，则（    ）小试牛刀2 A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【分析】由正弦定理和大角对大边判断A，利用平面向量数量积的定义判断B，结合题意并利用正弦定理与余弦定理判断C，变形得到，令，得到，由基本不等式求出最小值判断D即可. 【详解】对于A，若，由大角对大边得， 由正弦定理得， 故，故A正确； 对于B，由向量数量积的定义得， 则，即为锐角，但不确定是否是锐角， 可得不一定是锐角三角形，故B错误， 对于C，因为， 所以，得到， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，则为钝角三角形，故C正确， 对于D，由题意得， 则，可得， 即，故， 可得， 而为锐角三角形，故， 所以，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 【多选题】（2026高一·全国·专题练习）（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）小试牛刀3 A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 【答案】ACD 【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解. 【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设， 则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，，则，则为等腰三角形，故C正确； 对于D，， 因为，故，结合可得， 根据正弦定理 由正弦函数的性质可知有两解， 所以有两解，故D正确. 故选：ACD. 【题型6：正余弦定理求三角形的周长面积】 【练方法】 知识梳理 周长： 面积： 核心：先用正余弦定理求出未知边或角，再代入周长或面积公式 解题思路 1.用正余弦定理求出所有边或角 2.代入周长公式或面积公式 3.计算结果，注意单位和精度 4.验证结果符合三角形条件 名师点睛 面积公式选择：已知两边及夹角时，直接用对应公式最简便 若已知三边，可用海伦公式（） 计算时先算，再算面积，避免复杂运算 （江西赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试数学试题）在中，角的对边分别为，且.经典例题1例题 (1)若，求的值. (2)若的内切圆的面积为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和正弦公式得，求得，再根据两角和的正切公式进行求解； （2）根据三角形面积公式及内切圆半径公式，结合余弦定理，求得，进而求得的值，从而求出的面积. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以 在中，因为，所以有，即得，即， 因为，所以，即得，， 所以 . （2）内切圆的面积为，所以内切圆半径， 又，则有， 由余弦定理得 ， 所以，解得或（舍）， 所以， 则. （25-26高三下·贵州遵义·开学考试）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．经典例题2例题 (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦二倍角公式以及正弦定理求解，注意的取值范围，结果需要取舍； （2）选择①，利用正弦定理结合（1）分析得出结论；选择②③，利用同角三角函数关系式 、两角和的正弦公式以及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，因为为钝角，所以， 由，则， 因为，所以，即， 由正弦定理，，所以，解得， 由，所以. （2）选择①：因为，所以，这与矛盾，不满足题意； 选择②：因为，， 所以， 代入中得出， 由，所以， 所以 ， 所以； 选择③：将代入中得：， 由正弦定理，，所以， 由，所以， 由，所以， 所以 ， 所以. （2026·湖北宜昌·二模）在中，内角的对边分别是．小试牛刀1 (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和与差的正切公式，求得的值，结合三角形内角的取值范围，求得； （2）由余弦定理求出，再根据三角形面积公式求得的面积． 【详解】（1）因为 ， 且， 所以，整理得， 即. 所以或. 因为，所以，所以. 所以，所以，. （2）因为，， 所以由余弦定理，得 ，即，，所以. 所以. 所以的面积为. （25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式计算求解； （2）根据三角形面积公式及余弦定理计算求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 则， 在中，，则且， 所以，即，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长. （2026·北京密云·一模）在中，.小试牛刀3 (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，的面积；条件③：存在这样的三角形，的面积. 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）条件①，由的值得到的范围，结合的值得到这样的三角形不存在；条件②，由的值得到的范围，利用同角关系式求出，利用结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式求出；条件③，由利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用同角关系式求出，由结合两角和的正弦公式求出，利用三角形的面积公式求出. 【详解】（1），， ，，. （2）条件①，，， ，，不符合题意，不存在这样的三角形； 条件②，，， ，， ， ，，，， ； 条件③， ，其中为的外接圆的半径， ， ，，， ，，，，， ， ， . 【B·能力提升题型】 【题型1：正弦定理求周长的取值范围】 【练方法】 知识梳理 核心：将周长表示为角的函数，利用三角函数值域求范围 常用变形：，，，结合消元 解题思路 1.用正弦定理将边化为角：，， 2.周长，利用消元 3.化简为单一三角函数（如的函数），求值域 4.结合角的范围，确定周长范围 名师点睛 若已知一边及对角，可设为定值，简化计算 常用三角恒等变换： 注意角的约束：，，，即 （2026高三·全国·专题练习）在锐角中，已知，且，求周长的取值范围经典例题1例题 【答案】 【分析】正弦定理化边为角，利用和差角公式和半角公式，结合三角形为锐角三角形即可求解. 【详解】在锐角中，已知， 则有， 由正弦定理得， 所以周长 ， 因为锐角，有，所以， ，， 由正切函数单调性可知，所以. （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足.经典例题2例题 (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【详解】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. （2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）记的内角所对的边分别为，已知．小试牛刀1 (1)求； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题可先根据向量数量积的定义将展开，再结合正弦定理进行化简，进而求出. （2）本题可根据正弦定理将用角表示，再结合三角形内角和为以及锐角三角形的条件，求出周长的范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，由正弦定理得：， 所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，即. （2）由正弦定理得，所以， 所以， 又， 得， 因为为锐角三角形，即， 所以，， 即，， 则，所以的周长的取值范围为. （2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．小试牛刀2 (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B； （2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得， 即，即， 又，则. （2）由（1）知，又， 由正弦定理可得， 则 ， 由，得到，， 则，可得， 故周长的取值范围为． （25-26高二上·广东·期中）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，.小试牛刀3 (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围. 【详解】（1）由可得， 化简得， 则由正弦定理得 ， 又由余弦定理， 因，所以； （2）如图， 因内心为，则和分别平分和， 则，则， 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为. 【题型2：正弦定理求面积的取值范围】 【练方法】 知识梳理 核心：将面积表示为角或边的函数，利用三角函数或基本不等式求范围 常用变形：，，代入得 解题思路 1.用正弦定理将边化为角，面积 2.利用消元，化简为单一三角函数 3.求三角函数的值域，得到面积范围 4.或用余弦定理结合基本不等式求的最值，再代入面积公式 名师点睛 若已知一边及对角，可设为定值，简化计算 常用不等式：，或 注意角的约束：， （25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）函数经典例题1例题 (1)求的值域及对称轴方程 (2)锐角中，角所对的边分别为且，，设面积为，周长为，求和的取值范围. 【答案】(1)值域为，对称轴方程为， (2)， 【分析】（1）根据辅助角公式化简，即可利用整体法求解， （2）利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，由三角函数的性质求解值域即可得解. 【详解】（1）， 故值域为， 令,则，故对称轴方程为， （2）由得，故， 进而可得,由于为锐角，所以， 又，则, 由正弦定理可得 故 ， 由于为锐角三角形，故，则， 故,故，所以， 故, 周长 ， 由于，故，则， 故周长的取值范围为 （24-25高一下·湖南娄底·期末）在中，角的对边分别为，已知.经典例题2例题 (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到； （2）方法一：由为锐角三角形，得到的范围，三角形面积公式表示出的面积，整理成关于的函数，根据的范围得到面积的范围； 方法二：根据直角三角形的临界条件，得到为锐角三角形时面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以； （2）方法一：因为是锐角三角形，又， 所以，解得， ， 因为，∴，则， 从而. 方法二： 若为锐角三角形， 所以， 因为，，所以， 所以， 又因为， 所以. （24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.小试牛刀1 (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正余弦定理进行边角互化即可； （2）利用三角形的面积公式求出然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出的取值范围即可. 【详解】（1）， 故，即 故， 且，故. （2）由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 所以， 故面积的取值范围为. （24-25高一下·河南濮阳·期末）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．小试牛刀2 (1)求角A； (2)若，求的面积S的取值范围； (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式化简后可求得进而可求； （2）由三角形的面积，利用正弦䆙理求得，可求的面积S的取值范围； （3）利用正余弦定理求得，利用基本不等式可求得，利用三角形面积可求得，再结合的关系可求得的最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， ， ， ， 又， ．· （2）由，得． 由正弦定理得， 则． 又为锐角三角形， 得， 则，即， ，于是， 即的面积S的取值范围为．· （3）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r． 由（1）如，． 由余弦定理得，即， ， ．· ， （当且仅当时，等号成立）．· ， · （当且仅当时，等号成立）． 显然此时为等边三角形，满足题意， 故内切圆半径的最大值为．· （24-25高一下·福建漳州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．小试牛刀3 (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再化简即可得到角A； （2）由题意可得，将两边平方结合向量的数量积可得，再利用余弦定理得求得，进而得到周长； （3）由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，得，由，得； （2）因为D为中点，所以， 则， 所以，解得（舍）或， 由余弦定理得，所以， 所以的周长为； （3）在中，由正弦定理得， 所以， 所以 根据题意得，解得， 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 【题型3：正弦定理求角的范围】 【练方法】 知识梳理 核心：将边的条件转化为角的条件，利用三角函数不等式求角的范围 常用变形：，，边的大小关系转化为与的大小关系 解题思路 1.用正弦定理将边的条件转化为角的条件（如） 2.结合，化简为关于某一角的不等式 3.解三角函数不等式，得到角的范围 4.验证范围符合三角形内角条件 名师点睛 若，则，角为钝角，范围 若，则（大边对大角） 注意三角形内角和为，角的范围不能超出 【多选题】（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的可能取值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】利用余弦定理得出，再结合正弦定理以及两角和差的正弦公式得出，结合角的范围求出的范围即可. 【详解】因，则， 利用正弦定理得，，即， 则， 则， 因，则，则，即， 因，，，则，则， 则，故BC正确；AD错误. 故选：BC （24-25高一下·北京西城·期中）在中，已知经典例题2例题 (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，再结合余弦定理进行求解即可； （2）运用余弦定理和三角形面积公式进行求解即可； （3）运用两角差的正弦公式、辅助角公式把函数解析式化成为正弦型函数形式，最后利用正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）根据正弦定理将边角互化， 得到，化简可得， 即，再根据余弦定理， 因为，所以. （2）已知，，， 根据余弦定理，可得. 即，整理得. 解得或（边长不能为负，舍去）. 最后根据三角形面积公式， 可得. （3）设， 因为,在上递增，在上递减， 的最大值为， 而，故， 故范围是. （24-25高一下·浙江温州·期末）已知在中，点在BC上的射影落在线段BC上（不含端点），且满足，则角的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，且角均为锐角，根据，代入化简得，结合正弦定理、余弦定理及基本不等式化简可得，设，得，化简可得，结合，代入化简即可求解. 【详解】在中，因为在BC上的射影落在线段BC上（不含端点）， 所以，且角均为锐角， 因为，所以， 因为，所以， 化简得， 由正弦定理得， 因为，且， 所以，有， 所以，即， 若，此时，所以为等腰直角三角形，故， 若，不妨设，则，即， 所以，即， 因为，即， 因为函数在区间上单调递减， 所以， 即，化简可得 即，得， 所以角的取值范围是. 故选：A （24-25高一下·湖北·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可令，借助三角形边的和差大小关系求出的范围，再利用正弦定理角化边及对勾函数求出范围. 【详解】在中，由，不妨令，则，即， 整理得，而，解得， 由正弦定理得，令， 函数在上单调递增，则，即， 所以，即的取值范围是. 故选：A （24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且．小试牛刀3 (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得； （3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； （2）由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； （3）由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故，则的范围为. 【题型4：正弦定理求边长的取值范围】 【练方法】 知识梳理 核心：将边长表示为角的函数，利用三角函数值域求范围 常用变形：，结合消元 解题思路 1.用正弦定理将边长表示为角的函数： 2.利用消元，化简为单一三角函数 3.求三角函数的值域，得到边长范围 4.或用余弦定理结合基本不等式求边的最值 名师点睛 若已知一边及对角，可设为定值，简化计算 常用不等式：，故 注意边的约束：两边之和大于第三边，即，， （2025·陕西西安·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.经典例题1例题 (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理得，进一步结合角的范围即可得证； （2）由正弦定理、三角恒等变换得，由锐角三角形得的取值范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 又因为，所以， 所以或（舍去）， 所以只能； （2）由题意，所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 从而的取值范围是， 所以的取值范围是. （24-25高一下·浙江·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，满足．经典例题2例题 (1)求角． (2)为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理化简求值即可. （2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与，关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可. ②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 展开得：， ，而,， 故， ，， ，故． （2） ①， ， ， ， ， 根据余弦定理：， ， 令， 则 ， 则当且仅当时等号成立， 解得：时， 时，取最小值． ②为的角平分线 在中，由正弦定理得， 即， ,, ， ． 又，,， ，当且仅当时等号成立， 故 （24-25高一下·江苏南京·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.小试牛刀1 (1)求A； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)设点E为边BC上一点，若，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）由正弦边角关系，将已知条件化为，再应用余弦定理求角的大小； （2）由（1）得，再由正弦定理及三角恒等变换有，结合求范围； （3）法一：设，则，应用正弦定理得，得到，最后由求结果； 法二：由，并应用向量数量积的运算律化简求值. 【详解】（1）由正弦边角关系得，整理得， 由余弦定理得， 又，所以. （2）由（1）知，所以， 因为， 又为锐角三角形，则，得到， 所以，则， 所以的取值范围为. （3）法一：设，则，， 在中，①，在中，②， 又， ①②得，，即， 即，解得， 所以， 因为， 则， 即， 化简得，即. 法二： ， 又， 则 ， 化简得， 所以. （24-25高二下·安徽阜阳·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且.小试牛刀2 (1)求角的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先对等式左边通分，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理、诱导公式，可对等式进行化简，又为锐角三角形，化简可得，进而可求得角； （2）由正弦定理，可得，代入整式，结合三角恒等变换化简可得，又为锐角三角形，可得，结合三角函数定区间求值域即可求得其取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 又为锐角三角形，所以，所以且， 所以由，得，即，所以. （2）由（1）可得， 由正弦定理，得， 所以 ， 又为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，即. （24-25高一下·重庆北碚·期中）在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记（且）小试牛刀3 (1)时，若，求的值； (2)，为钝角，求角与的最大值； (3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值. 【答案】(1) (2)，的最大值为. (3) 【分析】（1）利用求出，再利用结合正弦定理即可求出； （2）利用以及两角和差的余弦公式即可求出，再利用正弦定理边角互化得出，结合求三角函数的值域即可； （3）先利用，余弦定理，基本不等式，化简得出，再求出， ，结合倍角公式化简得出即可求出最值. 【详解】（1）在中，，得，又，则， 由题意有，则， 在中利用正弦定理得，. （2）在中，， 则， 因，则，可得， 又因为为钝角，所以. 在中利用正弦定理，有 ， 又因为，则，得，得. 故的最大值为. （3）由题有，即， 在中，由余弦定理有 ， 当且仅当时等号成立， 设内切圆分别交，，于点E，F，G，内切圆圆心为， 则，，，， 有 ， 内切圆半径， 外接圆半径， 则 ， 故的最大值为. 课后针对训练 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·二模）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 2．（2026·四川成都·二模）记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得 ， 代入得. 由余弦定理得， 又，所以，化简得， 因为，所以. 3．（25-26高三上·四川眉山·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 【答案】B 【分析】由正弦定理可得再代入余弦定理可求得，由此可进一步求出即可求出的周长. 【详解】由正弦定理可得：又因为， 所以由余弦定理可得：， 所以，又因为 解得：所以的周长为. 故选：B. 4．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在中，内角的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得，， ， 计算得． 又因为， 所以， 即， 整理得， 所以. 5．（25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得 ，进而根据诱导公式以及辅助角公式得 ，根据三角函数的有界性得，即可求解角的大小，即可得解. 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为 ， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以 ，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积 ． 故选:C 二、多选题 6．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为等腰三角形 D．的周长是 【答案】AC 【分析】根据正弦定理及积化和差公式、诱导公式可将已知式子化简，再利用辅助角公式及三角函数的有界性可求得，进而可判断各选项. 【详解】由正弦定理得， 由积化和差公式得， 将，，代入得 ， 整理得， 由辅助角公式得， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 所以， 又为三角形的内角， 所以，即，故A正确； 所以，解得，所以，故B错误； 由知为等腰三角形且，故C正确； 由等腰三角形的性质知，所以的周长是，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（25-26高一下·上海·月考）在中，角、、所对的边分别为，若，则_______． 【答案】 【详解】由正弦定理可得，则. 8．（25-26高三上·四川内江·月考）在△ABC中，且（），则__________． 【答案】 【分析】先由正弦定理边化角得到，再由即可求解. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以，所以，即， 所以或，又， 所以，所以为锐角，所以. 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 【答案】15 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得，， 而，则，又，因此， 所以的面积是. 10．（2026·山西大同·一模）已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 【答案】2 【分析】先应用二倍角正弦公式结合两角和正弦公式化简，再应用正弦定理及三角形面积公式计算求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 故， 即， 所以， 又由正弦定理及三角形面积公式，可得， 又因为，所以，解得. 11．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，则_____． 【答案】 【分析】分别算出的值，代入原式求解即可 【详解】设， 则， 同理可得． 又 由，， 可得，即 于是． 所以 故答案为： 四、解答题 12．（25-26高三上·江苏连云港·期末）在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）运用正弦定理直接进行求解即可； （2）根据三角形面积公式、余弦定理，结合（1）的结论分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可知，而， 所以， 又因为，于是或； （2）当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 所以的周长为， 当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 又因为， 所以此时不构成三角形， 综上所述：的周长为. 13．（25-26高三下·海南·月考）已知的内角的对边分别为，且为锐角，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）已知，由正弦定理可得， 中，，，所以有，即， 由为锐角，得. （2）已知，，由余弦定理，有， 即，由，解得， 所以的面积. 14．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若D为的中点，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、三角形内角关系、两角和的正余弦公式化简已知等式求出，进而求出； （2）利用正弦定理求出，结合已知条件求出，利用正弦定理求出，进而利用余弦定理求解． 【详解】（1）由和正弦定理，得， ， ， ， 即， 又， ，故， ，． （2） ，为锐角，； 在中，由正弦定理得，即，解得； D为中点， ， ， 由正弦定理得，解得， ， ． 15．（2026·天津河东·一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. (1)求a，的值： (2)求的值； (3)求的面积. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，利用余弦定理角化边，最后解方程组即可求解； （2）利用二倍角公式和两角差正弦公式即可求值. 【详解】（1）在△ABC中，由，，可得， 因为，，， 可得， 代入，，可得：， 化简得：， 所以，，即； （2）由（1）可知C为钝角，且， 则，， 所以. （3）. 16．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在中，内角的对边分别为．若． (1)已知，求三角形的三边长； (2)若，为中点，求外接圆半径． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用余弦定理结合求得或，又由题意知：所以即可求解三角形的三边长； （2）由代入条件化简得到，分析得到，利用勾股定理和，解得，设的内切圆半径为，再由正弦定理求解即可. 【详解】（1） ，解得或， 又由题意知：，∴，∴满足条件 ∴，即为三角形的三边 （2）∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∵，   ∴， 当时，边最长，与条件矛盾，故舍去； 当时，则，又， ∴，解得：， ∴,∴, 又∵为中点，∴， ∴在中，， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，即， ∴的外接圆半径为． 17．（2026·宁夏银川·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 【答案】(1) (2); 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得； （2）由向量数量积的定义求出，利用余弦定理与基本不等式即可求得的最小值，根据三角形面积公式求其面积. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得，整理得， 由余弦定理，，因，则. （2）由化简得， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为. 的面积为. 18．（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟考试数学试题）在锐角中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，结合三角形内角和公式和两角和的三角函数公式可求角. （2）利用余弦定理，结合（1）的结论，可求的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 在中，， 代入整理可得， 又，则，可得，即， 又，则，则，可得. （2）由余弦定理可得 . 因为为锐角三角形，且，所以，， 所以 . 由，所以，所以，即. 所以当，即时，即为等边三角形时，取得最大值. 19．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 【答案】(1) (2)面积最大值为 (3)内切圆半径最大值为 【分析】（1）变维给定等式，再利用余弦定理求解. （2）利用基本不等式求出的最大值，进而求出三角形面积的最大值. （3）将表示为的函数，再利用正弦定理及三角恒等变换求出的最大值. 【详解】（1）依题意，， 整理得：， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，，故； （2）由（1）得，三角形的面积， 由基本不等式，结合， 得：当且仅当时等号成立， 代入得：； （3）三角形的面积，故， 代入得：， 由，得，代入化简：， 由正弦定理得，而，由是锐角三角形得， ， 当时，，，代入得：. 20．（2026·天津滨海新区·一模）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，即可求解； （2）①由正弦定理得，利用三角形的面积公式，列出方程，求得的值，结合余弦定理，即可求解；②利用正弦定理，求得的值，结合三角函数的基本关系式和倍角公式，分别求得的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 又因为， 可得， 所以，即 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：①因为，由正弦定理得， 所以的面积为 又因为的面积为，可得，解得，则， 由余弦定理得，所以； ②由正弦定理，可得， 因为，可得为锐角，所以， 则， ， 又因为，所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $