第4章 第20节 相似三角形(含位似)-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 课堂精讲册 1 第四章　三角形 第20节　相似三角形(含位似) 教材知识全梳理 甘肃考点系统练 知识点 1 　比例线段 比例 的性 质 基本性质：如果 ＝ ，那么ad＝① ⁠ 合比性质：如果 ＝ ，那么 ＝② 　 　 等比性质：如果 ＝ ＝…＝ (b＋d＋…＋n≠0)，那么 ＝ 黄金 分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果 ＝ ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金 分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即 ＝ ≈0.618 bc　 　 平行线分线 段成 比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 　 知识点 2 　相似三角形的性质与判定 定义 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等 于③ ⁠； (2)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于④ ⁠ ⁠ 相似比　 相似比的平 方　 判定 方法 图示 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑤ ⁠对应相等的两个三 角形相似 两边对应成比例且⑥ ⁠ 相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形 相似 两角　 夹角　 【温馨提示】 相似三角形判定中的常见图形： 类型 图形 平行线型 共角型 直角三角形 斜边高线型 　 知识点 3 　相似多边形与位似 相似 多边 形 定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两 个多边形就叫做相似多边形 性质：(1)相似多边形的对应角相等，对应边的比等于⑦ ⁠ ⁠； (2)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于⑧ ⁠ ⁠ 相似 比　 相似比的平 方　 位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所 在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k·OP(k≠0)，那么这样的 两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是这两个 相似多边形的相似比 性质：(1)位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质； (2)任意一组对应点的连线或延长线相交于一个点(位似中心)； (3)位似图形上的任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似 比； (4)位似图形中的对应边平行(或在同一条直线上) 【温馨提示】 平面直角坐标系中的位似变化： 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的 图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上点(x，y)对应的位似 图形上的点的坐标为(－kx，－ky)或(kx，ky) 比例线段(省卷：6年3考) 1. (2023省卷)若 ＝ ，则ab＝(　A　) A.6 B. C. 1 D. A 2. 生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰 部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2 米，则a约为(　A　) A.1.24米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.62米 A 拓展训练 3. (人教七下习题改编)如图，直线AB∥CD∥EF，若 ＝ ，BD＝6 cm，则BF＝ cm. 14　 相似三角形的性质与判定(省卷：6年4考；兰州：3年2考) 针对训练 4. 若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则 ＝(　D　) A. B. C. D. D 5. 如图，在△ABC和△ADE中，已知 ＝ ，∠BAD＝∠CAE. 求证： △ABC∽△ADE. 证明：∵ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE. 证明：∵ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE. 6. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，P是AB上一点，且AP＝3，若 点Q在AC上，试确定Q点的位置，使以A，P，Q为顶点的三角形与 △ABC相似. 解：∵∠A是公共角， ∴当AP∶AB＝AQ∶AC时，△APQ∽△ABC， 即3∶5＝AQ∶4， 解得AQ＝ ； 当AP∶AC＝AQ∶AB时，△APQ∽△ACB， 即3∶4＝AQ∶5， 解得AQ＝ ； ∴当AQ＝ 或 时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似. 解：∵∠A是公共角， ∴当AP∶AB＝AQ∶AC时，△APQ∽△ABC， 即3∶5＝AQ∶4， 解得AQ＝ ； 当AP∶AC＝AQ∶AB时，△APQ∽△ACB， 即3∶4＝AQ∶5， 解得AQ＝ ； ∴当AQ＝ 或 时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝ ， BD＝1，求AD的长. 解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠A＋∠ACD＝90°， ∵∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴△ACD∽△CBD. ∴ ＝ ， ∵CD＝ ，BD＝1， ∴AD＝ ＝ ＝2. 解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠A＋∠ACD＝90°， ∵∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴△ACD∽△CBD. ∴ ＝ ， ∵CD＝ ，BD＝1， ∴AD＝ ＝ ＝2. 相似多边形与位似(省卷：6年1考；兰州：3年2考) 8. (2025兰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位似， 位似中心是原点O. 已知BC∶B'C'＝1∶2，则B(2，0)的对应点B'的坐标 是(　B　) A.(3，0) B.(4，0) C.(6，0) D.(8，0) B 9. (2025省卷)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.风筝古称纸鸢，起 源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为 丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个 形状相同的风筝.风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知大、 小风筝的对应边之比为3∶1，如果小风筝两条对角线的长分别为30 cm和 35 cm，那么大风筝两条对角线长的和为 cm. 195　 21 $