第3章 第15节 整合——函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（甘肃专用）

数 学 甘肃 课堂精讲册 1 第三章　函数 第15节　整合——函数的实际应用 教材知识全梳理 一题多问对点过 甘肃考点系统练 用函数解决实际问题的一般步骤 (1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间 的关系； (2)设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； (3)列：由题目中的已知条件列方程，求出待定系数； (4)写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范围； (5)解：根据函数解析式，利用函数的性质解决实际问题. 【温馨提示】 实际问题中确定函数表达式的方法： 1. 若题干中给出因变量与自变量满足的函数关系或图象，设对应函数表达 式利用待定系数法求解； 2. 若题干中没有给出因变量与自变量满足的函数关系或图象，则根据实际 问题中常见的等量关系列出函数关系式(实际问题中常见的等量关系见 P19). 例　根据所给信息填空. (1)某产品试销阶段每件的销售价x(元)与日销售量y(件)之间的关系如 下表： x(元) 15 20 30 … y(件) 25 20 10 … 若日销售量y(件)是销售价x(元)的一次函数，则日销售量y(件)与销售价 x(元)的函数表达式为 ⁠； y＝－x＋40　 (2)某长途客运汽车公司的行李费y(元)与行李质量x(kg)的函数关系如图所 示，当需要收取行李费时， y与x的函数表达式为 ⁠； y＝ x－6　 (3)京沪高速公路全长约为1 262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北 京，汽车行驶完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数 表达式为 ⁠； t＝ 　 (4)小明同学利用如图所示的电路探究电流I与电阻R的关系.已知电源电压 保持不变，实验用到的电阻阻值和测得的电流如表所示： 电阻R(单位：Ω) 5 10 15 20 25 电流I(单位：A) 1.2 0.6 0.4 0.3 0.24 实验结束后，小明同学发现电流I和电阻R之间是一种数学函数模型，请 写出I和R之间的函数表达式： ⁠； I＝ 　 (5)用长为8 m的铝合金条做一个如图所示的矩形窗框，设水平的一边长为 x m，窗户的透光面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为 ⁠ ⁠； y＝－ x2＋ 4x　 (6)如图，一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮 框.已知篮框中心到地面的距离为3.05 m.建立如图所示的平面直角坐标 系，则抛物线的表达式为 ⁠. y＝－0.2x2＋3.5　 考点 函数的实际应用(省卷：6年5考；兰州：3年3考) 类型1　行程问题 (省卷：6年1考) 针对训练 1. 如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从 学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中 (上、下车时间忽略不计).小刚离家的距离y(m)与他所用的时间x(min)的函 数关系如图2所示. (1)小刚家与学校的距离为 m，小刚骑自行车的速度 为 m/min； 3 000　 200　 (2)求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式； 解：(2)小刚从图书馆返回家的时间：5 000÷200＝25(min)，总时间：25 ＋20＝45(min)， 设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式为y＝kx＋b， 把(20，5 000)，(45，0)代入得： ，解得 ，∴y＝－200x＋9 000(20≤x≤45)； 解：(2)小刚从图书馆返回家的时间：5 000÷200＝25(min)，总时间：25 ＋20＝45(min)， 设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式为y＝kx＋b， 把(20，5 000)，(45，0)代入得： ，解得 ， ∴y＝－200x＋ 9 000(20≤x≤45)； (3)小刚出发35 min时，他离家有多远？ 　　　 解：(3)小刚出发35 min时，即当x＝35时，y＝－200×35＋9 000＝2 000. 答：此时他离家2 000 m. 解：(3)小刚出发35 min时，即当x＝35时，y＝－200×35＋9 000＝2 000. 答：此时他离家2 000 m. 2. 小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后前往 观景点，此时观光车从景区入口处出发沿相同路线前往观景点，如图， l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y(m)与时间x(min)之间的关系.根 据图象解决下列问题： (1)观光车出发 分钟追上小军； 6　 (2)求l2所在直线对应的函数表达式； 解：(2)设l2所在直线对应的函数表达式为 y＝kx＋b， 则 ， 解得 ， ∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝ 300x－4 500； 解：(2)设l2所在直线对应的函数表达式为 y＝kx＋b， 则 ， 解得 ， ∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝ 300x－4 500； (3)观光车比小军早几分钟到达观景点？ 解：(3)将y＝3 000代入y＝300x－4 500中解得x＝25， 33－25＝8 min， 故观光车比小军早8 min到达观景点. 解：(3)将y＝3 000代入y＝300x－4 500中解得x＝25， 33－25＝8 min， 故观光车比小军早8 min到达观景点. 类型2　销售利润问题 针对训练 3. 麦积山石窟是世界文化遗产，国家AAAAA级旅游景区，中国四大石窟 之一.在旅游营销大会暨旅游装备展上，商家按标价销售某种工艺品时， 每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销 售该工艺品12件所获利润相等. (1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ 解：(1)设标价为x元，进价为y元，则有 ，解得 ∴该工艺品每件的进价为155元，标价是200元； 解：(1)设标价为x元，进价为y元，则有 ，解得 ∴该工艺品每件的进价为155元，标价是200元； (2)若每件工艺品按此进价进货、标价销售，商家每天可售出该工艺品100 件；若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件.问：每件工艺 品降价多少元销售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？ 解：(2)设利润为w元，降价为m元，则依题意得 w＝(200－m－155)(100＋4m)＝－4m2＋80m＋4 500， 整理得w＝－4(m－10)2＋4 900， ∵－4＜0， ∴每件工艺品降价10元销售，每天获得的利润最大，获得的最大利润是4 900元 解：(2)设利润为w元，降价为m元，则依题意得 w＝(200－m－155)(100＋4m)＝－4m2＋80m＋4 500， 整理得w＝－4(m－10)2＋4 900， ∵－4＜0， ∴每件工艺品降价10元销售，每天获得的利润最大，获得的最大利润是4 900元 4. 某商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不 低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调 查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图 所示. (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 解：(1)设y与x的函数表达式为y＝kx＋b， 将(10，30)，(16，24)代入，得 ，解 得 ， ∴y与x的函数表达式为y＝－x＋40(10≤x≤16)； 解：(1)设y与x的函数表达式为y＝kx＋b， 将(10，30)，(16，24)代入，得 ， 解得 ， ∴y与x的函数表达式为y＝－x＋40(10≤x≤16)； (2)每天的销售利润能达到150元吗？请说明理由. 解：(2)不能.理由：设每天的销售利润为W元，根据题意知，W＝(x－ 10)y ＝(x－10)(－x＋40) ＝－x2＋50x－400 ＝－(x－25)2＋225， ∵a＝－1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大， ∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144， ∵144＜150，∴不能. 解：(2)不能.理由：设每天的销售利润为W元，根据题意知，W＝(x－ 10)y ＝(x－10)(－x＋40) ＝－x2＋50x－400 ＝－(x－25)2＋225， ∵a＝－1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大， ∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144， ∵144＜150，∴不能. 类型3　面积问题 针对训练 5. 如图，某学校计划在一块足够大的场地上，利用已有的直角墙角建造一 个矩形花圃，已知墙AE＝6 m，AF＝10 m. (1)如图1，若矩形花圃使用的篱笆总长为12 m，花圃两边靠墙，其余两边 用篱笆围成，围成的花圃面积为35 m2，求这个花圃较短边的长度； 解：(1)设这个花圃较短边的长度为x m， 由题意得，x(12－x)＝35，整理，得x2－12x＋35＝0， 解得x1＝5，x2＝7，当x＝5时，较长的边为12－5＝7，符合题意； 当x＝7时，较长的边为12－7＝5，不合题意； 故这个花圃较短边的长度为5 m； 解：(1)设这个花圃较短边的长度为x m， 由题意得，x(12－x)＝35，整理，得x2－12x＋35＝0， 解得x1＝5，x2＝7，当x＝5时，较长的边为12－5＝7，符合题意； 当x＝7时，较长的边为12－7＝5，不合题意； 故这个花圃较短边的长度为5 m； (2)如图2，若矩形花圃使用的篱笆总长为32 m，花圃的一边AD由墙AF和 篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其余两边BC，CD由 剩下的篱笆围成.当篱笆BE的长为多少时，围成的花圃面积最大？请说明 理由，并求出最大面积. 解：(2)由题意知，矩形花圃的周长为32＋AE＋AF ＝32＋6＋10＝48(m)， ∴AB＋AD＝ ＝24 m， 设篱笆BE的长为x m，则AD＝24－AE－BE＝24－6－x＝(18－x)m， ∴花圃面积S＝AB·AD＝(6＋x)(18－x)＝－x2＋12x＋108＝－(x－6)2＋ 144， ∵－1＜0， ∴当x＝6时，S取最大值，最大值为144， ∴当篱笆BE的长为6 m时，围成的花圃面积最大，最大面积为144 m2. 类型4　抛物线型问题 (省卷：6年3考；兰州：3年2考) 6. (2025省卷)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落 下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之 间的关系式是y＝－x2＋2x＋ (x＞0)，则水流喷出的最大高度是(　B　) A.3 m B.2.75 m C.2 m D.1.75 m B 7. (2024省卷)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线 的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水 平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象， 点B(6，2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看 作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车 ⁠完全停到车 棚内(填“能”或“不能”). 　 能　 8. (2024兰州)在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表 演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是 一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究.如图2建 立直角坐标系.水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型号水火 箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖 直高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的几组关系数据如下： 水平距离x(m) 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度y(m) 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据如表，请确定抛物线的表达式； 解 解：(1)由题意可得，抛物线的对称轴是直线x＝ ＝15， ∴抛物线的顶点为(15，9). ∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－15)2＋9. 又抛物线过(10，8)，∴25a＝－1.∴a＝－ . ∴抛物线的表达式为y＝－ (x－15)2＋9. (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5 m时，水火箭距离地 面的竖直高度. 解：(2)由题意，结合(1)y＝－ (x－15)2＋9，∴令x＝5，则y＝－ ×(5 －15)2＋9＝5. ∴水火箭距离地面的竖直高度为5 m. 解：(2)由题意，结合(1)y＝－ (x－15)2＋9，∴令x＝5，则y＝－ ×(5 －15)2＋9＝5. ∴水火箭距离地面的竖直高度为5 m. 9. (2023兰州)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空 中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A 的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离 为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距 离为3 m时离水面的距离为7 m. (1)求y关于x的函数表达式； 解：(1)根据题意可得，抛物线过(0，10)和(3，7)，对 称轴为直线x＝1， 设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c， ∴ ，解得 ， ∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2x＋10； 解：(1)根据题意可得，抛物线过(0，10)和(3，7)，对 称轴为直线x＝1， 设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c， ∴ ，解得 ， ∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2x＋10； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长. 解：(2)在y＝－x2＋2x＋10中，令y＝0得0＝－x2＋2x＋10， 解得x＝ ＋1或x＝－ ＋1(舍去)， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(＋1)米. 解：(2)在y＝－x2＋2x＋10中，令y＝0得0＝－x2＋2x＋10， 解得x＝ ＋1或x＝－ ＋1(舍去)， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(＋1)米. 10. (2024兰州一诊)如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛 如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计.深安黄河大 桥主拱形OAB呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连.如图2所 示，建立平面直角坐标系，吊杆CD到原点O的水平距离OC＝26 m，吊 杆EF到原点O的水平距离OE＝134 m，且CD＝EF，主拱形离桥面的距 离y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系 y＝－0.006(x－h)2＋k，其对称轴为直线x＝h. (1)求OH的长度； 解：(1)由题意得，其对称轴为直线x＝ ＝80， 即h＝80，∴OH＝80 m， 答：OH的长度为80 m； 解：(1)由题意得，其对称轴为直线x＝ ＝80， 即h＝80，∴OH＝80 m， 答：OH的长度为80 m； (2)求主拱形到桥面的最大高度AH的长. 解：(2)∵h＝80， ∴y＝－0.006(x－80)2＋k， ∵直线x＝80是其对称轴， ∴B(160，0)， 将B点代入y＝－0.006×(x－80)2＋k， 得－0.006(160－80)2＋k＝0， 解得k＝38.4， ∴y＝－0.006(x－80)2＋38.4， ∴A(80，38.4)，即AH＝38.4 m， 答：主拱形到桥面的最大高度AH的长为38.4 m. 解：(2)∵h＝80， ∴y＝－0.006(x－80)2＋k， ∵直线x＝80是其对称轴， ∴B(160，0)， 将B点代入y＝－0.006×(x－80)2＋k， 得－0.006(160－80)2＋k＝0， 解得k＝38.4， ∴y＝－0.006(x－80)2＋38.4， ∴A(80，38.4)，即AH＝38.4 m， 答：主拱形到桥面的最大高度AH的长为38.4 m. 类型5　综合与实践问题 (兰州：3年1考) 11. (2025兰州)综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发 芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题. 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高 抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学 模型进行解决. 生长素 浓度x (标准 单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率 y(％) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准 单位)为自变量，种子的发芽率y(％)为因变量，进行“生长素浓度对植物 种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直 角坐标系描出相应的点. 说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验. 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的 表达式； 解：(1)观察上述各点的分布规律可知y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c， 将(0，35)，(1，56)，(2，63)代入得， ，解得 ， ∴该二次函数的表达式为y＝－7x2＋28x＋35； 解：(1)观察上述各点的分布规律可知y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c， 将(0，35)，(1，56)，(2，63)代入得， ，解得 ， ∴该二次函数的表达式为y＝－7x2＋28x＋35； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. 解：(2)当x＝0时，y＝35， ∴种子自然发芽率为35％， ∴当y＝35时，－7x2＋28x＋35＝35， 解得x1＝0，x2＝4， 当y＝0时，－7x2＋28x＋35＝0， 解得x1＝－1(舍去)，x2＝5， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5. 解：(2)当x＝0时，y＝35， ∴种子自然发芽率为35％， ∴当y＝35时，－7x2＋28x＋35＝35， 解得x1＝0，x2＝4， 当y＝0时，－7x2＋28x＋35＝0， 解得x1＝－1(舍去)，x2＝5， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5. 40 $