1.3.2 带电粒子在组合成或叠加场的运动 同步训练 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

1.3.2带电粒子在组合成或叠加场的运动（专题训练） 一．粒子由磁场进入电场（共4小题） 二．粒子由电场进入磁场（共6小题） 三．（共4小题） 四．（共7小题） 五．带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动（共5小题） 六．带电粒子在叠加场中的变速圆周运动（共4小题） 七．（共3小题） 八．带电粒子在叠加场中的一般曲线运动（共5小题） 九．带电粒子在交变磁场中的运动（共3小题） 十．带电粒子在组合成或叠加场中含动量问题（共4小题） 十一．带电粒子在组合成或叠加场中（共2小题） 一．粒子由磁场进入电场（共4小题） 1．如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、电荷量为的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．电场强度大小为 C．电场强度大小减半，粒子仍能从b点射出 D．磁感应强度大小加倍，粒子仍能从b点射出 2．（多选）如图所示，平面直角坐标系xOy的第一、二象限内存在垂直平面向外的匀强磁场，第三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，在第二象限内距y轴处放置一垂直于x轴的接收屏。一质量为m、电荷量为－q（q＞0）的带电粒子以大小为的速度从点A（，L）沿x轴负方向射出，经坐标原点O进入电场，运动一段时间后，再次进入磁场，最终垂直打在接收屏上，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度 B．匀强电场的电场强度 C．粒子从A点出发到垂直打在接收屏上的时间为 D．若将接收屏沿x轴负方向平移，并将电场强度大小调整为原来的，粒子仍能垂直打在接收屏上 3．如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，平行于轴的接收屏到轴的距离为，其上端紧靠轴；现在点沿轴正方向以大小为的初速度射出一个质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子经磁场偏转从坐标原点进入电场，经电场偏转后再次进入磁场，粒子在磁场中运动后垂直打在接收屏上，粒子重力不计，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)匀强电场的电场强度的大小； (3)现在第一象限内放置一个足够长的绝缘弹性挡板，挡板垂直于坐标平面且平行于轴，粒子与挡板碰撞前后，平行于板的分速度不变，垂直于板的分速度等大反向，为了使粒子经挡板碰撞后最终不能打在接收屏上，则挡板到轴的距离应满足什么条件。 4．如图所示，在平面直角坐标系的第一、四象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限以原点O为圆心、半径为R的四分之一圆内和第四象限均有垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限磁场的磁感应强度是第四象限的倍，M点为第二象限磁场边界的一个端点。在四分之一圆的左侧有长为R、与x轴垂直的线性粒子源，粒子源的下端在x轴上，粒子源上各点持续沿x正向发射质量为m，电荷量为q的带正电粒子，所有粒子的初速度大小均为，线性粒子源中点发射的粒子在M点离开第二象限。所有粒子第一次经过x轴的位置连线的长度为，不计粒子的重力。求： (1)第二象限内磁场的磁感应强度大小； (2)第一、四象限内匀强电场的电场强度大小； (3)所有粒子第一次经过x轴的位置最右端记为N，研究第一次通过N点进入第四象限的粒子在第四象限的运动，其最大速度记为（未知），速度大小为时运动方向与x轴正方向的夹角记为，写出与k的函数关系式，并写出k的取值范围。 二．粒子由电场进入磁场（共6小题） 5．如图所示为质谱仪的示意图。已知质子从静止开始被加速电场加速，经磁场偏转后打在底片上的点，某二价正离子从静止开始经相同的电场加速和磁场偏转后，打在底片上的点，已知，则离子质量和质子质量之比为（　　） A． B． C． D． 6．质谱仪的示意图如图所示，电荷量相同的、两种不同的粒子持续从容器下方的小孔飘入电压为的加速电场，其初速度几乎为零，然后经过小孔沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场中，最后打到照相底片上、点并被吸收。已知单位时间从容器飘出的两种粒子的数目相同，、点到的距离之比为，不计粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．、两种粒子的质量之比为 B．、两种粒子在磁场中运动时间之比为 C．、两种粒子对底片的作用力大小之比为 D．要使粒子打到P点，则加速电压变为 7．（多选）如图，真空中存在多层紧密相邻的水平向右、大小为的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，宽度均为，长度足够长。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一质量为、电荷量为的带正电的粒子在第1层左侧边界某处由静止释放，粒子从第4层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为。不计粒子的重力及运动时的电磁辐射，下列说法正确的是（　　） A．粒子从第4层磁场右侧边界穿出时的速度大小为 B．磁场的磁感应强度为 C．若保证粒子不能从第层磁场右边界穿出，至少为16 D．若保证粒子不能从第层磁场右边界穿出，至少为12 8．如图所示，在坐标系中，第二象限存在粒子加速装置和速度选择器，速度选择器中存在电场强度大小为、方向竖直向下的匀强电场和磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，第一象限还存在一挡板，长度为，两端分别在轴上的点和轴上的点，，中点处有一小孔。第一象限的挡板和坐标轴所围区域外还存在沿轴负向的匀强电场，电场强度大小为。将粒子从S点由静止释放，粒子经电压为的加速器加速后，沿轴正方向通过速度选择器进入第一象限。粒子在第一象限磁场中运动时，若与挡板发生碰撞则被吸收（挡板接地，净电荷始终保持为零）；仅通过小孔的粒子，可进入挡板右侧区域。已知粒子质量为、电荷量为，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)求加速器电压，并计算粒子进入第一象限磁场时做圆周运动的轨迹半径； (2)调整加速电压和速度选择器中的磁感应强度大小，使通过速度选择器的粒子恰好垂直挡板射入小孔，求此时速度选择器中的磁感应强度大小； (3)在（2）问基础上，如果，求粒子在第一象限运动过程中与轴的最大距离。 9．离子推进技术在太空探索中已有广泛的应用，其装置可简化为如图（a）所示的内、外半径分别为和的圆筒，图（b）为其侧视图。以圆筒左侧圆心为坐标原点，沿圆筒轴线向右为轴正方向建立坐标。在和处，垂直于轴放置栅极，在两圆筒间形成方向沿轴正向、大小为的匀强电场，同时通过电磁铁在两圆筒间加上沿轴正方向、大小为的匀强磁场。待电离的氙原子从左侧栅极飘进两圆筒间（其初速度可视为零）。在内圆筒表面分布着沿径向以一定初速度运动的电子源。氙原子被电子碰撞，可电离为一价正离子，刚被电离的氙离子的速度可视为零，经电场加速后从栅极射出，推进器获得反冲力。已知单位时间内刚被电离成氙离子的线密度（沿轴方向单位长度的离子数），其中为常量，氙离子质量为，电子质量为，电子元电荷量为，不计离子间、电子间相互作用。 (1)在处的一个氙原子被电离，经电场加速后从右侧栅极射出，求其射出时的动能； (2)若电子既没与氙原子碰撞，也没有碰到外筒壁，求电子沿径向圆周运动一个周期内x轴方向上的速度变化量； (3)若在的微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力为，求的关系式，并画出的图线； (4)求推进器所受的推力。 10．如图所示，有一带正电粒子从O点飘入加速电场，经过电场加速，沿直线通过速度选择器后，垂直磁场Ⅱ左边界入射到磁场中。已知粒子的比荷，加速电场电压。速度选择器水平极板长，间距，板间电压。磁场Ⅱ的左边界与速度选择器右侧重合，其左右边界距离，磁感应强度。粒子重力忽略不计，取。 (1)求磁场Ⅰ的磁感应强度的大小； (2)求粒子在磁场Ⅱ中运动时间； (3)仅撤去磁场Ⅰ，求粒子在磁场Ⅱ中运动的时间及入射点与出射点的距离。 三．（共4小题） 11．如图所示，两个边长均为的正三角形区域和关于点对称，两个区域内均存在垂直纸面向外匀强磁场，区域右侧有平行于和的匀强电场。质量为、带电荷量为的带正电粒子（不计重力），从点沿平行方向以速度射入，经中点进入电场，最终从点沿平行方向以速度射出。下列说法正确的是（   ） A．电场的电场强度大小为 B．磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在电场中运动的时间为 12．（多选）如图所示，虚线与轴正方向的夹角，与轴负半轴上侧区域存在电场强度大小为、方向沿轴负方向的匀强电场，下侧与第四象限存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的粒子从点由静止释放，到粒子第二次经过虚线过程中恰好没有穿过轴正半轴。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子第一次进入磁场时的速度大小为 B．磁感应强度的大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子再次进入电场后，运动到距离虚线最远时所需的时间为 13．在如图所示的坐标系中，第一和第二象限（包括y轴的正半轴）内存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场；第三和第四象限内存在平行于y轴正方向、大小未知的匀强电场。P点为y轴正半轴上的一点，坐标为（0，l）；N点为y轴负半轴上的一点，坐标未知。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子由P点沿y轴正方向以一定的速度射入匀强磁场，该粒子经磁场偏转后以与x轴正方向成53°角的方向进入匀强电场，在电场中运动一段时间后，该粒子恰好垂直于y轴经过N点。粒子的重力忽略不计，。求： (1)粒子在P点的速度大小v； (2)第三和第四象限内的电场强度的大小E； (3)带电粒子从由P点进入磁场到再次经过P点的总时间。 14．如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向内的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带负电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率2v0进入III区。已知∠POK=60°，忽略带电粒子所受重力。 (1)求该粒子第一次由P运动到K的时间； (2)求a、b之间的电势差的大小； (3)若粒子第二次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。 四．（共7小题） 15．空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平方向的匀强电场，一带电液滴在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，速度大小为v，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。当带电液滴运动到N时，撤去电场，一段时间后粒子经过P点，则（　　） A．液滴可能带负电 B．电场线方向可能水平向左 C．液滴到P点的速度一定与N点相同 D．液滴从N到P的过程中竖直方向上离NP的最大距离为 16．如图甲所示，光滑绝缘水平面上方足够大空间内存在磁感应强度大小为的水平匀强磁场，带正电的物块A静置于水平面上，电荷量。时，水平力F作用在物块A上，物块A由静止开始运动，其对水平面的压力随时间t的变化规律如图乙所示，重力加速度，则（　　） A．物块A的质量 B．物块A的加速度不断增大 C．水平力F的大小为 D．磁场力对物块A的冲量为0 17．如图所示，一根固定的绝缘细杆处于竖直方向，质量为m、电荷量为的带电小球套在细杆上，小球可以在细杆上滑动。细杆所处空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右、场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。已知，小球与细杆间的摩擦因数为，时刻小球从静止开始下滑，经过时间，速度达到最大值，重力加速度为g，则（　　） A．小球下滑的最大加速度为g B．小球下滑的最大速度为 C．时间内，电场力的冲量为0 D．时间内，小球下落的高度为 18．（多选）如图所示，在竖直平面内建立平面直角坐标系，其中轴沿水平方向。在第二象限存在大小为、沿轴正方向的匀强电场，在第四象限存在平行于轴的匀强电场（图中未画方向）和垂直于纸面向内的匀强磁场，一个带电小球沿着第二、第四象限的对角线，从图中点运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．小球一直做匀加速运动 C．第四象限内的匀强电场大小为，方向沿轴负方向 D．小球受到的洛伦兹力是其重力的倍 19．（多选）如图所示，水平面上方空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小的匀强磁场，还有水平向右、大小未知的匀强电场。在固定的水平绝缘杆上套有质量、电荷量的带正电圆环，圆环下端用绝缘轻绳连接一静置在光滑水平地面上的质量的小物块，轻绳刚好处于伸直状态且与竖直方向的夹角。现将该圆环由静止释放，当物块与地面之间刚好无压力时，圆环与水平杆间也刚好无挤压。已知此过程中圆环在水平杆上移动的距离，重力加速度大小，，不计空气阻力，则（    ） A．匀强电场的电场强度大小为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．该过程中圆环克服摩擦力做的功为21J D．该过程中圆环克服摩擦力做的功为17J 20．某实验室内充满匀强磁场和匀强电场，磁场、电场与水平地面夹角均为且斜向右上，如图所示。房间内在离地面h处的位置有一个粒子发射源，源源不断地发射出质量为m、电荷量为q的粒子，粒子在房间内以速度v做匀速直线运动。某次实验中，撤去磁场，电场不变，粒子发射后经过一段时间落到地面上（不计空气阻力），重力加速度为g，试求： (1)粒子带电的正负，磁感应强度B和电场强度E的大小； (2)本次试验中电场力做功； (3)落地点到发射点的水平距离。 21．如图，真空中同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向斜向右下方，与竖直方向的夹角为，电场强度大小为；磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为。一重力可忽略、比荷的带正电粒子从A点由静止开始沿竖直光滑绝缘挡板MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动，此后撤走挡板。（已知，） (1)求带电粒子经过C点时的速度大小和释放的位置A到C点的距离L； (2)若D点为带电粒子在电场力、洛伦兹力作用下运动过程中速度最大的位置，求此刻的速度大小； (3)若带电粒子运动到D点时撤去磁场，此后带电粒子历时运动到某位置，求此刻带电粒子的速度大小v。 五．带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动（共5小题） 22．如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m，带电荷量为q的小球在空间中运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若小球做直线运动，则可能是自由落体运动 B．若小球做直线运动，则小球一定带正电 C．若小球做圆周运动，则小球的机械能守恒 D．若小球做圆周运动，则一定是匀速圆周运动 23．如图所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，磁场方向水平（图中垂直纸面向里），一带电油滴恰好处于静止状态，则下列说法正确的是（　　） A．若撤去电场，可能做匀加速直线运动 B．若撤去磁场，可能做匀加速直线运动 C．若给一初速度，可能做匀速直线运动 D．若给一初速度，可能做逆时针方向的匀速圆周运动 24．（多选）在一个范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球由静止释放，已知当地的重力加速度为g，磁场方向水平，如图所示。小球从静止开始下落的过程中，以下说法正确的是（　　） A．小球运动到最低点时，洛伦兹力的瞬时功率为 B．小球从出发第一次到达最高点时的位移为 C．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，水平位移与竖直位移大小之比为 D．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，洛伦兹力的冲量大小为 25．如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间有匀强电场，同时该区域上、下部分分别有方向垂直于NSTM平面向内和向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高d处分别有P、Q两点，NS和MT间距为5d，质量为m，带电荷量为的粒子（可视为质点）从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做匀速圆周运动，重力加速度为g。（，） (1)求电场强度的大小和方向； (2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。 26．如图所示，绝缘水平面上固定一半径为R的竖直光滑绝缘圆弧轨道，水平轨道与轨道相切于B点，O为圆心，竖直，与成角。过C点的竖直面将空间分成左右两个区域，左侧区域有水平向右、大小未知的匀强电场，右侧区域有垂直于纸面向外、大小未知的匀强磁场B和大小、方向均未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球（可视为质点）自A点由静止释放，经过B、C两点时速率相等，过C点后做匀速圆周运动，最终落地时与水平面的夹角为60°。已知间距离为，小球与水平面间的动摩擦因数，重力加速度为g，小球在运动过程中无电荷转移，不计空气阻力。求： (1)两个匀强电场的电场强度大小之比； (2)匀强磁场的磁感应强度B大小。 六．带电粒子在叠加场中的变速圆周运动（共4小题） 27．如图，光滑绝缘的圆弧轨道AOB固定在竖直平面内。O为其最低点，A、B等高，匀强磁场方向与轨道平面垂直。将一个带负电的小球自A点由静止释放，它在轨道A、B间往返运动。下列说法中正确的是（　　） A．小球最终静止在O点 B．小球每次经过最低点所受洛伦兹力相同 C．小球运动过程中机械能守恒 D．小球每次经过O点时对轨道的压力相等 28．如图所示，在竖直平面内有一半径为的固定光滑绝缘圆环，空间中有水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，一质量为、带电量为的带电小球沿圆环外侧做圆周运动，AC为竖直直径，初始时带电小球位于圆环最高点A，并且有速度大小水平初速度，带电小球能够不脱离圆环做完整的圆周运动，重力加速度。则下列说法正确的有（　　） A．小球在A点的速度方向向右 B．小球在A点受到圆环的支持力为0 C．小球在C点速度大小为4m/s D．小球在C点对圆环的压力大小为10N 29．（多选）如图所示，半径为的光滑半圆弧绝缘轨道固定在竖直面内，磁感应强度为的匀强磁场方向垂直于轨道平面向里。一可视为质点、质量为、电荷量大小为的带正电小球由轨道左端A点无初速度滑下，A、D与圆心O等高，C点为轨道的最低点，小球始终与轨道接触不脱离，重力加速度为。下列说法中正确的有（　　） A．小球从A运动到D的过程中机械能不变 B．小球在最低点C点的速度大小为 C．小球在C点的速度向右时，对轨道的压力大小为 D．小球在C点的速度向左时，对轨道的压力大小为 30．如图，竖直面内固定一足够长斜面与一半圆轨道相切于a点，空间中存在水平向左的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电小球静止在斜面上，现给小球一沿斜面向上的初速度后，沿轨道运动恰能通过c点。运动过程中小球带电量保持不变，不计一切摩擦。已知斜面倾角，半圆轨道半径为R，重力加速度大小为g，取，。 (1)求电场强度大小E； (2)求小球离开c点后落在斜面上的位置到a的距离x； (3)若小球落在斜面上时，与斜面发生弹性碰撞（碰撞前后速度平行于斜面的分量不变，垂直于斜面的分量等大反向），碰撞后立刻将电场强度大小变为，方向竖直向上，同时加上垂直于纸面向里的匀强磁场，小球恰好能再次回到c点，求磁感应强度大小B。 七．（共3小题） 31．如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为，方向竖直向下，磁感应强度大小为，方向垂直纸面（图中未画出）。一个电子由点以初速度水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中、和分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度方向垂直纸面向外 B．由点至点的运动过程中，电子的速度逐渐增大 C．如果只将电子换成质子，其他条件不变，粒子的轨迹仍然能过点 D．电子的初速度只需大于即可形成图示轨迹 32．（多选）利用电场和磁场控制带电粒子的运动是现代电子设备的常见设计。如图所示，两水平正对放置的平行金属板MN和PQ之间存在竖直向下的匀强电场和磁感应强度大小为B、垂直纸面的匀强磁场（未画出）。两金属板的板间距为。质量为2、速度为v0、带电荷量为+q的粒子甲和质量为、速度为、带电荷量也为+q的粒子乙先后从M、P连线的中点O处沿两平行金属板中轴线进入电场，甲粒子恰好沿轴线射出金属板，乙粒子恰好从MN板右侧的N点射出。两粒子均可视为质点，不计粒子重力、粒子间作用力。下列说法正确的是（    ） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．电场强度的大小为 C．乙粒子从N点射出时，速度大小为，方向与MN的夹角为30° D．金属板的长度可能为 33．如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带电小球（电性未知），小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度，使其在竖直面内绕O点沿顺时针方向恰好能做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知OM与竖直方向的夹角θ=60°，重力加速度大小为g。（结果可用根式表示） (1)求电场强度E的大小及小球电性。 (2)若小球第二次运动到B点时突然剪断细线，求剪断细线后小球速度的最小值。 (3)在（2）中情况下，剪断细线的瞬间在空间加上垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，求小球之后的运动过程中第一次达到最小速度时，电场力所做的功。 八．带电粒子在叠加场中的一般曲线运动（共5小题） 34．如图所示，同种带电粒子以相同速率沿不同方向飞入匀强磁场中的点，只要保证带电粒子的速度方向与磁场方向的夹角很小，就可以实现带电粒子在点的聚焦。对带电粒子在磁场中聚焦的运动，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子所受洛伦兹力的方向与磁场的方向不垂直 B．带电粒子到达点时的速度将大于 C．带电粒子在垂直磁场方向做匀速圆周运动 D．从向看，带电粒子一定顺时针绕行 35．如图所示，下端封闭、上端开口、高、内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有一质量、电荷量的小球，整个装置以的速度沿垂直于磁场方向进入磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，由于外力的作用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，则（    ） A．小球在管内所受洛伦兹力的方向为竖直向上 B．小球在玻璃管中的运动时间为 C．小球飞出管外后做圆周运动的周期是 D．洛伦兹力对小球做功，使其机械能增加0.25J 36．（多选）如图所示的xOy坐标系中，在第四象限的I区存在垂直纸面向里的半圆形边界匀强磁场，半径为R，圆心为O′，直径OA与x轴重合，磁感应强度大小为B。y轴与虚线x=-R之间的II区（含虚线）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。P、Q为I区圆弧边界上的三等分点，其上存在两个相同的粒子源，可分别将比荷均为k的带正电粒子a、b沿着y轴正方向以速度v0同时射入I区磁场中。且a粒子离开II区后立即在II区加上沿x轴正方向的匀强电场E。其中，，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。下列说法中正确的是（　　） A．粒子a在I区的运动时间为 B．粒子a从II区离开时的位置的纵坐标为3R C．粒子b从II区离开时的位置坐标为（0，） D．粒子b从进人I区到离开II区运动的总时间为 37．竖直面内的坐标系如图所示，在区域中有竖直向上的匀强电场，在的区域中有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在坐标原点O处，质量为m、不带电的金属球b用绝缘细支柱支撑处于静止状态，支柱与b球不粘连、无摩擦。质量也为m、电量为的金属球a，沿x轴正方向以速度匀速运动，与球b发生弹性碰撞。a、b相碰时撤去支柱，b球进入磁场并向y轴负向偏转。已知a、b球大小、材料都相同，且都可视为点电荷，不计两球对电场、磁场的影响及它们之间的库仑力，重力加速度为g。求： (1)碰撞后，a、b球的速度大小； (2)a、b碰后，经过多长时间a球的速度大小等于； (3)a、b碰后，b球经过最低点时的速度大小。 38．如图所示，在平面内有一个以O为圆心、R为半径的圆形区域Ⅰ，充满着磁感应强度大小为、方向垂直于平面向里的匀强磁场。在区域Ⅰ右侧有两个正对的平行于x轴的极板P、Q，其中心线在x轴上，两极板间的距离和极板的长度均为R，P板接恒压电源的正极并接地，Q板接电源负极。位于y负半轴与区域Ⅰ边界的交点处的电子源S，在区域Ⅰ内的某个夹角范围内，沿各个方向持续均匀发射速率为、质量为m、电荷量为的电子，所有电子均经圆形磁场偏转后进入极板之间，其中从C点进入的电子刚好从极板P的右边缘飞出。打在上极板上的电子会立即被吸收，并通过接地线导入大地。极板右侧的区域Ⅱ宽度为L，左右边界所在的平面均与x轴垂直，充满着垂直于平面向里的匀强磁场。已知。，不考虑电磁场的边缘效应，不计电子间的相互作用及电子的重力。 (1)求电子源S向圆形磁场区域Ⅰ发射电子的速度方向之间的最大夹角； (2)求进入区域Ⅱ的电子数与电子源S射出的总电子数的比值； (3)若所有进入区域Ⅱ的电子均不能从其右边界射出，求区域Ⅱ内磁感应强度B2的最小值； (4)若，在区域Ⅱ中加一沿x轴负方向的匀强电场，要保证电子不从区域Ⅱ的右边界穿出，求电场强度E的最大值。 九．带电粒子在交变磁场中的运动（共3小题） 39．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m、带电荷量为q，离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。若要使离子从垂直于N板射出磁场，则离子射入磁场时的速度可能为（　　） A． B． C． D． 40．（多选）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正。有一正离子在时垂直于M板从小孔O射入磁场，又从小孔O′射出磁场。已知正离子质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。以下磁感应强度B0大小、离子射入磁场的速度v0，可能正确的有（　　） A． B． C． D． 41．如图甲所示，y轴左侧有两块带等量异种电荷的水平平行金属板，y轴右侧有交替变化的匀强磁场，x轴在平行金属板的中心线上。一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力不计），以初速度从金属板左端中心线沿方向进入，恰好能从金属板下边缘P点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0时刻，在时刻粒子第一次经过x轴。已知两金属板间距为d，板长为板间距的倍，磁场取垂直纸面向里为正方向，乙图中，T未知，不考虑磁场变化引起的感生电场，计算结果用、d和常量表示。 (1)求粒子在P点的速度大小v； (2)若粒子在时刻恰到磁场右边界，求磁场的右边界到y轴之间的宽度s； (3)若磁场宽度s不确定，但粒子出右边界时速度都是沿方向，求粒子在磁场中运动时间t的可能值。 十．带电粒子在组合成或叠加场中含动量问题（共4小题） 42．如图，绝缘环a、b质量均为m，带电量均为+q，分别套在固定的水平绝缘杆上，环的直径略大于杆的直径，环与杆的动摩擦因数均为，两杆分别处于竖直向下的匀强电场E和匀强磁场B中，分别给两环水平向右的初速度v0，两环向右运动直至停下，下列说法不正确的是（　　） A．摩擦力对两环的冲量相同 B．摩擦力对两环做的功相同 C．若两环最终位移相同，则a环运动时间较短 D．若两环最终运动时间相同，则a环位移较短 43．（多选）如图所示，两足够长的极板水平放置，板间距离为，两极板间加恒定电压，板间有水平向里的匀强磁场，磁感应强度未知。一带正电的粒子恰好能以速度沿两板正中间匀速穿过。粒子质量为，电荷量为。两板间的电场可视为匀强电场，不计粒子所受重力和粒子运动对电场的影响。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．仅减小板间电压，粒子不可能击中上极板 C．仅增大，使粒子击中上极板，击中前瞬间的速率与的大小有关 D．仅向上平移下极板，能使粒子恰击中下极板 44．如图所示为一“匚”字型金属框架截面图，上下为两水平且足够长平行金属板，通过左侧长度为的金属板连接。空间中有垂直纸面向里场强大小的匀强磁场，金属框架在外力的作用下以速度水平向左做匀速直线运动。框架内处有一质量为、带正电的小球。若以某一速度水平向右飞出时，则沿图中虚线做直线运动。重力加速度取。求： (1)小球沿图中虚线做直线运动速度大小。 (2)若小球在点以初速度与水平方向成斜向下射入，求小球开始运动到最低点的竖直距离。 45．某离子分析器的原理示意图如图所示，分析器由分布在轴左侧的偏转区和轴右侧的检测区组成。在直线和轴之间的偏转区内存在着两个等大反向的有界匀强电场，其中轴上方的电场沿轴负方向，轴下方的电场沿轴正方向。在轴右侧检测区内分布着垂直于平面向里、范围足够大的磁场，磁感应强度大小随位置坐标均匀变化，且满足（k为大于零的常数）。在电场左边界上点（，）到点（，0）区间内存在一线状离子源， 离子源各处都能持续发射电量为、质量为的相同离子，所有离子均以相同速度沿轴正方向射入电场。已知从点发出的离子恰好能从点（0，）沿轴正方向进入磁场，其轨迹如图虚曲线所示。在检测区有一块与轴平行的检测板，打到检测板的离子会被板吸收，忽略电磁场间的相互影响，不计离子的重力及它们之间的相互作用。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)从间某些位置发出的离子进入磁场时也能沿轴正方向运动，写出这些位置的坐标； (3)若检测板可沿轴平移，要使检测板能收集到沿轴正方向进入磁场并经磁场偏转后的所有离子。 ① 求检测板位置坐标的最大值； ②当检测板位置坐标取最大值时，测得从点（0，）进入磁场的离子在检测板上的收集点到轴的距离为，求该离子在磁场中的运动轨迹与坐标轴和检测板所围面积的大小。 十一．带电粒子在组合成或叠加场中（共2小题） 46．在现代研究受控热核反应的实验中，需要把高温等离子体限制在一定空间区域内，磁约束就成了必不可少的技术。如图所示，科学家设计了一种中间弱两端强的磁场，该磁场由两侧通有等大同向电流的线圈产生。假定一带正电的粒子（不计重力）从左端附近以斜向纸内的速度进入该磁场，其运动轨迹为图示的螺旋线（未全部画出）。此后，该粒子将被约束在左右两端之间来回运动。根据上述信息并结合所学知识，下列说法正确的是（　　） A．从最左端到最右端的过程中，螺旋线的半径逐渐增大 B．从最左端到最右端的过程中，粒子的动能先增大后减小 C．从最左端到最右端的过程中，粒子运动轨迹的螺距先变小后变大 D．从最右端返回时，粒子在垂直磁瓶轴线的速度分量最大 47．如图所示，在三维坐标系中存在一长方体，平面左侧存在沿轴负方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，右侧存在沿方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度从点沿平面进入磁场，经点垂直平面进入右侧磁场，此时撤去平面左侧的磁场，换上电场强度为（未知）的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在棱上。已知、，，粒子的电量为，质量为（重力不计）。求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子经过平面的坐标； (3)电场强度的大小。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.2带电粒子在组合成或叠加场的运动（专题训练） 一．粒子由磁场进入电场（共4小题） 二．粒子由电场进入磁场（共6小题） 三．（共4小题） 四．（共7小题） 五．带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动（共5小题） 六．带电粒子在叠加场中的变速圆周运动（共4小题） 七．（共3小题） 八．带电粒子在叠加场中的一般曲线运动（共5小题） 九．带电粒子在交变磁场中的运动（共3小题） 十．带电粒子在组合成或叠加场中含动量问题（共4小题） 十一．带电粒子在组合成或叠加场中（共2小题） 一．粒子由磁场进入电场（共4小题） 1．如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、电荷量为的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．电场强度大小为 C．电场强度大小减半，粒子仍能从b点射出 D．磁感应强度大小加倍，粒子仍能从b点射出 【答案】B 【详解】A．根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有   解得，故A错误； B．根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间    解得 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有   联立解得，故B正确； C．电场强度大小减半，则在电场中类斜抛运动竖直加速度减半，运动时间加倍，则水平位移加倍，进入磁场位置改变，但速度大小方向不变，则不能经过b点，故C错误； D．磁感应强度大小加倍后，根据可知，半径减半，即 粒子垂直进入电场，后垂直射出，因为不是偶数，所以无法经过b点，故D错误。 故选B。 2．（多选）如图所示，平面直角坐标系xOy的第一、二象限内存在垂直平面向外的匀强磁场，第三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，在第二象限内距y轴处放置一垂直于x轴的接收屏。一质量为m、电荷量为－q（q＞0）的带电粒子以大小为的速度从点A（，L）沿x轴负方向射出，经坐标原点O进入电场，运动一段时间后，再次进入磁场，最终垂直打在接收屏上，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度 B．匀强电场的电场强度 C．粒子从A点出发到垂直打在接收屏上的时间为 D．若将接收屏沿x轴负方向平移，并将电场强度大小调整为原来的，粒子仍能垂直打在接收屏上 【答案】BC 【详解】A．根据题意粒子轨迹如图 几何关系可知 解得 粒子在磁场中运动时有 解得，故A错误； B．根据几何关系可知 解得 则粒子从O点入射时速度方向与x轴负方向夹角为，根据对称性可知，粒子从N点出射时与接收屏距离也为，故 粒子在电场中做类抛体运动，则有 因为粒子从O到N用时 联立解得， 故B正确； C．根据对称性，可知粒子在磁场中运动时间 则粒子从A点出发到垂直打在接收屏上的时间为 联立解得，故C正确； D．接收屏移动后，接收屏新位置为，粒子在电场中运动时间 粒子在电场中运动的水平距离为 联立解得 此时粒子出电场时的位置在接收屏的左侧，故粒子不可能垂直打在接收屏上，故D错误。 故选BC。 3．如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，平行于轴的接收屏到轴的距离为，其上端紧靠轴；现在点沿轴正方向以大小为的初速度射出一个质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子经磁场偏转从坐标原点进入电场，经电场偏转后再次进入磁场，粒子在磁场中运动后垂直打在接收屏上，粒子重力不计，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)匀强电场的电场强度的大小； (3)现在第一象限内放置一个足够长的绝缘弹性挡板，挡板垂直于坐标平面且平行于轴，粒子与挡板碰撞前后，平行于板的分速度不变，垂直于板的分速度等大反向，为了使粒子经挡板碰撞后最终不能打在接收屏上，则挡板到轴的距离应满足什么条件。 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）如图 粒子垂直打在接收屏，由对称性以及（1）中式子，根据几何关系有，，， 联立，解得 （3）粒子运动轨迹如图乙所示 设当粒子第一次经挡板反弹后进入磁场并恰好打在接收屏与x轴交点处时，挡板离x轴的距离为，则粒子反弹后进入磁场时的位置离O点的距离为，设粒子第一次在电场中运动的时间为，则有， 解得 设当粒子经挡板第二次反弹后经电场偏转恰好打在接收屏与x轴交点处时，挡板离轴的距离为，则粒子第一次反弹后进入磁场时的位置离O点的距离为，设粒子第二次在电场中运动的时间为，则， 解得 因此 4．如图所示，在平面直角坐标系的第一、四象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限以原点O为圆心、半径为R的四分之一圆内和第四象限均有垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限磁场的磁感应强度是第四象限的倍，M点为第二象限磁场边界的一个端点。在四分之一圆的左侧有长为R、与x轴垂直的线性粒子源，粒子源的下端在x轴上，粒子源上各点持续沿x正向发射质量为m，电荷量为q的带正电粒子，所有粒子的初速度大小均为，线性粒子源中点发射的粒子在M点离开第二象限。所有粒子第一次经过x轴的位置连线的长度为，不计粒子的重力。求： (1)第二象限内磁场的磁感应强度大小； (2)第一、四象限内匀强电场的电场强度大小； (3)所有粒子第一次经过x轴的位置最右端记为N，研究第一次通过N点进入第四象限的粒子在第四象限的运动，其最大速度记为（未知），速度大小为时运动方向与x轴正方向的夹角记为，写出与k的函数关系式，并写出k的取值范围。 【详解】（1）几何分析可得，所有粒子在第二象限的四分之一圆内做匀速圆周运动的半径均为 又 联立解得第二象限的四分之一圆内磁场的磁感应强度 （2）方法一：所有粒子第一次经过轴的位置最右端记为，对在第一象限运动到达点的粒子，设在点速度与方向的夹角为，沿方向 垂直方向 由以上两式得 由上式可得时，粒子恰好经过点， 又 联立解得第一、四象限内匀强电场的电场强度大小 方法二：所有粒子第一次在第一象限的运动由动能定理 某粒子经点时与轴正方向的夹角设为，在第一象限运动时的加速度大小设为，初末速度之间的夹角设为，由该粒子第一次在第一象限运动的速度合成图可知 粒子在第一象限运动沿方向的位移为 由以上两式得 时，有最大值为 又 联立解得第一、四象限内匀强电场的电场强度大小 （3）由以上方程还可解得，第一次经过点进入第四象限的粒子在该点的速度大小 方向与轴正方向的夹角为； 自点至第一次速度最大的过程，水平方向由动量定理 又由动能定理 联立解得， 自点至速度大小为的点 解得 水平方向 解得， 最小时： 联立解得， 二．粒子由电场进入磁场（共6小题） 5．如图所示为质谱仪的示意图。已知质子从静止开始被加速电场加速，经磁场偏转后打在底片上的点，某二价正离子从静止开始经相同的电场加速和磁场偏转后，打在底片上的点，已知，则离子质量和质子质量之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据动能定理 在磁场中洛伦兹力提供向心力 联立解得 由题意得 另外 可得 故选D。 6．质谱仪的示意图如图所示，电荷量相同的、两种不同的粒子持续从容器下方的小孔飘入电压为的加速电场，其初速度几乎为零，然后经过小孔沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场中，最后打到照相底片上、点并被吸收。已知单位时间从容器飘出的两种粒子的数目相同，、点到的距离之比为，不计粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．、两种粒子的质量之比为 B．、两种粒子在磁场中运动时间之比为 C．、两种粒子对底片的作用力大小之比为 D．要使粒子打到P点，则加速电压变为 【答案】C 【详解】A．在加速电场中有 在磁场中有 解得质量 由于半径之比为 则质量之比为，故A错误； B．带电粒子在磁场中，则有 运动周期 运动时间 则运动时间之比为，故B错误； C．单位时间飘出的、粒子数目都为，则时间内各有数目的粒子打到底片上，由动量定理得 解得 则作用力大小之比为，故C正确； D．在加速电场中有 在磁场中有 解得 若半径由原来的变为，则电压变为原来的，故D错误。 故选C。 7．（多选）如图，真空中存在多层紧密相邻的水平向右、大小为的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，宽度均为，长度足够长。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一质量为、电荷量为的带正电的粒子在第1层左侧边界某处由静止释放，粒子从第4层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为。不计粒子的重力及运动时的电磁辐射，下列说法正确的是（　　） A．粒子从第4层磁场右侧边界穿出时的速度大小为 B．磁场的磁感应强度为 C．若保证粒子不能从第层磁场右边界穿出，至少为16 D．若保证粒子不能从第层磁场右边界穿出，至少为12 【答案】AC 【详解】A．粒子从第4层磁场右侧边界穿出时，经电场加速4次，则有 解得，故A正确； BCD．设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨道半径为rn，则有， 设粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为，从第n磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，则有 由图甲可知 则有 则、、... 为一组等差数列，公差为d，可得 当n=1时，由图乙可知 则 解得 由题目可知当n=4时，，即 解得 若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则，即 当时，联立解得，故C正确，BD错误。 故选AC。 8．如图所示，在坐标系中，第二象限存在粒子加速装置和速度选择器，速度选择器中存在电场强度大小为、方向竖直向下的匀强电场和磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，第一象限还存在一挡板，长度为，两端分别在轴上的点和轴上的点，，中点处有一小孔。第一象限的挡板和坐标轴所围区域外还存在沿轴负向的匀强电场，电场强度大小为。将粒子从S点由静止释放，粒子经电压为的加速器加速后，沿轴正方向通过速度选择器进入第一象限。粒子在第一象限磁场中运动时，若与挡板发生碰撞则被吸收（挡板接地，净电荷始终保持为零）；仅通过小孔的粒子，可进入挡板右侧区域。已知粒子质量为、电荷量为，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)求加速器电压，并计算粒子进入第一象限磁场时做圆周运动的轨迹半径； (2)调整加速电压和速度选择器中的磁感应强度大小，使通过速度选择器的粒子恰好垂直挡板射入小孔，求此时速度选择器中的磁感应强度大小； (3)在（2）问基础上，如果，求粒子在第一象限运动过程中与轴的最大距离。 【详解】（1）粒子沿直线通过速度选择器，电场力与洛伦兹力平衡，有 解得 在加速器中，粒子从静止加速，有 联立解得 粒子进入第一象限磁场后，洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）挡板长度为，，小孔为中点，粒子恰好垂直挡板射入小孔时，轨迹圆心为点，轨迹半径 粒子在第一象限磁场中，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 又因为 联立解得 （3）粒子进入电场时速度，方向垂直于挡板，把速度分解到轴，有 轴方向，有 其中方向分速度，对应粒子受到竖直向上的洛伦兹力 粒子受到的电场力 因此粒子运动可分解为沿轴方向的匀速运动和半径 圆心在点右侧的圆周运动，所以运动过程中粒子距离轴的最大距离 9．离子推进技术在太空探索中已有广泛的应用，其装置可简化为如图（a）所示的内、外半径分别为和的圆筒，图（b）为其侧视图。以圆筒左侧圆心为坐标原点，沿圆筒轴线向右为轴正方向建立坐标。在和处，垂直于轴放置栅极，在两圆筒间形成方向沿轴正向、大小为的匀强电场，同时通过电磁铁在两圆筒间加上沿轴正方向、大小为的匀强磁场。待电离的氙原子从左侧栅极飘进两圆筒间（其初速度可视为零）。在内圆筒表面分布着沿径向以一定初速度运动的电子源。氙原子被电子碰撞，可电离为一价正离子，刚被电离的氙离子的速度可视为零，经电场加速后从栅极射出，推进器获得反冲力。已知单位时间内刚被电离成氙离子的线密度（沿轴方向单位长度的离子数），其中为常量，氙离子质量为，电子质量为，电子元电荷量为，不计离子间、电子间相互作用。 (1)在处的一个氙原子被电离，经电场加速后从右侧栅极射出，求其射出时的动能； (2)若电子既没与氙原子碰撞，也没有碰到外筒壁，求电子沿径向圆周运动一个周期内x轴方向上的速度变化量； (3)若在的微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力为，求的关系式，并画出的图线； (4)求推进器所受的推力。 【详解】（1）从右侧栅极射出时的动能： （2）粒子在筒内垂直于x轴方向匀速圆周运动：， 得 x轴方向上匀加速运动： 一个周期内的速度变化量： 得 （3）单位时间内刚被电离成的氙离子： 微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力 即 解得 图线如下图所示： （4）则推进器所受的推力 10．如图所示，有一带正电粒子从O点飘入加速电场，经过电场加速，沿直线通过速度选择器后，垂直磁场Ⅱ左边界入射到磁场中。已知粒子的比荷，加速电场电压。速度选择器水平极板长，间距，板间电压。磁场Ⅱ的左边界与速度选择器右侧重合，其左右边界距离，磁感应强度。粒子重力忽略不计，取。 (1)求磁场Ⅰ的磁感应强度的大小； (2)求粒子在磁场Ⅱ中运动时间； (3)仅撤去磁场Ⅰ，求粒子在磁场Ⅱ中运动的时间及入射点与出射点的距离。 【详解】（1）粒子加速，根据动能定理有 解得 速度选择器内，粒子受力平衡，则有 解得 （2）粒子在磁场Ⅱ中，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子运动的周期为   粒子能从磁场右边界射出，轨迹对应的圆心角   解得 粒子运动时间与周期的关系为 解得 （3）撤去磁场后，粒子做类平抛运动，则有 根据牛顿第二定律有 竖直方向末速度 合速度大小 速度与水平方向夹角   解得 粒子在磁场中运动的半径为 粒子从磁场左边界射出时入射点与出射点的距离 粒子在磁场Ⅱ中运动的时间 三．（共4小题） 11．如图所示，两个边长均为的正三角形区域和关于点对称，两个区域内均存在垂直纸面向外匀强磁场，区域右侧有平行于和的匀强电场。质量为、带电荷量为的带正电粒子（不计重力），从点沿平行方向以速度射入，经中点进入电场，最终从点沿平行方向以速度射出。下列说法正确的是（   ） A．电场的电场强度大小为 B．磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在电场中运动的时间为 【答案】C 【详解】B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示 由几何关系可知，半径为 根据牛顿第二定律可得 解得，故B错误； C．由几何关系可知，粒子在上方磁场中运动的圆心角为 所用时间为 根据运动的对称性可知，粒子在下方磁场中运动的时间与在上方磁场中运动的时间相等，所以粒子在磁场中运动的时间为，故C正确； D．粒子在电场中，向下做匀速直线运动，速度大小为 则运动时间为 解得，故D错误； A．粒子在电场中，先向右减速，后向左加速，根据运动的对称性可知，粒子向右的初速度和向左的末速度大小均为 根据牛顿第二定律 又 解得，故A错误。 故选C。 12．（多选）如图所示，虚线与轴正方向的夹角，与轴负半轴上侧区域存在电场强度大小为、方向沿轴负方向的匀强电场，下侧与第四象限存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的粒子从点由静止释放，到粒子第二次经过虚线过程中恰好没有穿过轴正半轴。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子第一次进入磁场时的速度大小为 B．磁感应强度的大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子再次进入电场后，运动到距离虚线最远时所需的时间为 【答案】AD 【详解】A．设粒子进入磁场前在电场中运动的距离为，由几何关系可知 在电场中，粒子做匀加速直线运动， 根据牛顿第二定律可得 由匀变速直线运动规律可得 联立解得，故A正确； B．由于粒子在第一象限磁场内运动时恰好没有越过轴正半轴，即粒子的运动轨迹与轴正半轴相切，由几何关系可知，其做圆周运动的半径为，洛伦兹力提供向心力，则有 解得，故B错误； C．由题可知，粒子轨迹对应圆心角为，粒子不会再进入磁场，则粒子在磁场中运动的时间，故C错误； D．粒子再次进入电场后，做类平抛运动，当运动到速度方向与平行时离最远，所需时间为，故D正确。 故选AD。 13．在如图所示的坐标系中，第一和第二象限（包括y轴的正半轴）内存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场；第三和第四象限内存在平行于y轴正方向、大小未知的匀强电场。P点为y轴正半轴上的一点，坐标为（0，l）；N点为y轴负半轴上的一点，坐标未知。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子由P点沿y轴正方向以一定的速度射入匀强磁场，该粒子经磁场偏转后以与x轴正方向成53°角的方向进入匀强电场，在电场中运动一段时间后，该粒子恰好垂直于y轴经过N点。粒子的重力忽略不计，。求： (1)粒子在P点的速度大小v； (2)第三和第四象限内的电场强度的大小E； (3)带电粒子从由P点进入磁场到再次经过P点的总时间。 【详解】（1）由几何关系 由牛顿第二定律 解得 （2）粒子在电场中做类斜抛运动， 沿x方向，到y轴时 沿y方向有 得 （3）磁场中 代入数据可得 电场中 总时间 14．如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向内的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带负电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率2v0进入III区。已知∠POK=60°，忽略带电粒子所受重力。 (1)求该粒子第一次由P运动到K的时间； (2)求a、b之间的电势差的大小； (3)若粒子第二次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。 【详解】（1）粒子从P点沿半径方向射入I区，偏转后从K点离开I区，根据左手定则可知，四指指向与粒子运动方向相反，则带电粒子带负电。设带电粒子所带电量为-q，粒子在I区做匀速圆周运动的半径为r，作出粒子运动轨迹如图a所示 根据几何关系有 粒子在I区做匀速圆周运动，运动时间为 （2）由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 带电粒子在II区做减速直线运动，根据动能定理有 结合上述解得 （3）带电粒子在III区运动，设轨迹半径为，III区磁场磁感应强度大小，则有 结合上述解得 作出粒子运动轨迹，如图b所示 设粒子在b圆面上射入III区，在点离开III区，令，在I区内运动次，III区内运动次后，回到P点，则有（、均为正整数，） 可知，粒子运动轨迹有两种可能性。 情况i：当，时，时，带电粒子在III区运动后，沿PO方向直接进入II区时，运动轨迹如图c所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况ii： ，时，，带电粒子在III区运动后，进入II区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，运动轨迹如图d所示 根据几何关系有 结合上述解得， 四．（共7小题） 15．空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平方向的匀强电场，一带电液滴在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，速度大小为v，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。当带电液滴运动到N时，撤去电场，一段时间后粒子经过P点，则（　　） A．液滴可能带负电 B．电场线方向可能水平向左 C．液滴到P点的速度一定与N点相同 D．液滴从N到P的过程中竖直方向上离NP的最大距离为 【答案】D 【详解】AB．在该复合场中，液滴受到重力、电场力和洛伦兹力三个力的共同作用，因为液滴做匀速直线运动，所以三力的合力为零。假设液滴带正电，根据左手定则，洛伦兹力垂直于速度，方向斜向上。重力竖直向下，若电场线方向向右，则电场力水平向右，反之水平向左。由于MN与水平方向成45°，要使三力平衡，洛伦兹力必须斜向上，且电场力必须水平向右，所以液滴只能带正电，电场方向水平向右，故AB错误； C．在N点撤去电场后，液滴受到重力以及洛伦兹力，由于N和P在同一高度，所以该过程重力不做功，由于洛伦兹力也不做功，所以液滴的速度大小不变，但是由于洛伦兹力改变速度的方向，所以两点的速度方向不一定相同，故C项错误； D．在N点液滴的速度在水平方向为 竖直方向速度为 洛伦兹力在竖直方向上的分力大小为 由之前的分析可知，有 所以洛伦兹力在竖直方向的分量与重力抵消。洛伦兹力在另一个分量提供做匀速圆周运动的向心力，液滴做圆周运动有 解得 由上述分析可知，液滴所做运动为匀速直线运动与圆周运动的合运动，其偏离NP的最大距离为，故D项正确。 故选D。 16．如图甲所示，光滑绝缘水平面上方足够大空间内存在磁感应强度大小为的水平匀强磁场，带正电的物块A静置于水平面上，电荷量。时，水平力F作用在物块A上，物块A由静止开始运动，其对水平面的压力随时间t的变化规律如图乙所示，重力加速度，则（　　） A．物块A的质量 B．物块A的加速度不断增大 C．水平力F的大小为 D．磁场力对物块A的冲量为0 【答案】C 【详解】A．当时，速度为0，物块A受到的洛伦兹力为0，根据竖直方向平衡条件 由题图可知， 可得，A错误； BC．设水平力大小为，根据牛顿第二定律 根据竖直方向平衡条件，又 解得，，物块A加速度保持不变，B错误，C正确； D．冲量，在运动过程中磁场力方向不变、也不为0，所以冲量不为0，D错误。 故选C。 17．如图所示，一根固定的绝缘细杆处于竖直方向，质量为m、电荷量为的带电小球套在细杆上，小球可以在细杆上滑动。细杆所处空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右、场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。已知，小球与细杆间的摩擦因数为，时刻小球从静止开始下滑，经过时间，速度达到最大值，重力加速度为g，则（　　） A．小球下滑的最大加速度为g B．小球下滑的最大速度为 C．时间内，电场力的冲量为0 D．时间内，小球下落的高度为 【答案】D 【详解】A．时小球受重力、电场力、细杆的弹力、静摩擦力，由牛顿第二定律得 解得 小球向下滑动时受重力、电场力、洛伦兹力、细杆的弹力、摩擦力；由牛顿第二定律可知 解得 所以小球下滑的最大加速度小于g，故A错误； B．当时小球下滑的速度最大，则 解得，故B错误； C．时间内，电场力的冲量为，故C错误； D．时间内，对小球由动量定理得 即 解得，故D正确。 故选D。 18．（多选）如图所示，在竖直平面内建立平面直角坐标系，其中轴沿水平方向。在第二象限存在大小为、沿轴正方向的匀强电场，在第四象限存在平行于轴的匀强电场（图中未画方向）和垂直于纸面向内的匀强磁场，一个带电小球沿着第二、第四象限的对角线，从图中点运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．小球一直做匀加速运动 C．第四象限内的匀强电场大小为，方向沿轴负方向 D．小球受到的洛伦兹力是其重力的倍 【答案】CD 【详解】A．带电小球在第二象限做直线运动，小球受到重力和电场力的合力与速度在同一直线上，可知小球在第二象限受到的电场力水平向右，与场强方向相同，所以小球带正电，故A错误； BCD．小球在第二象限所受合力与速度方向相同，做匀加速直线运动，根据几何关系可得 小球进入第四象限后，受到重力、电场力和洛伦兹力作用，小球做匀速直线运动，根据平衡条件可知小球的受力如图所示 则有， 可知第四象限内的匀强电场大小为，方向沿轴负方向；小球受到的洛伦兹力是其重力的倍，故B错误，CD正确。 故选CD。 19．（多选）如图所示，水平面上方空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小的匀强磁场，还有水平向右、大小未知的匀强电场。在固定的水平绝缘杆上套有质量、电荷量的带正电圆环，圆环下端用绝缘轻绳连接一静置在光滑水平地面上的质量的小物块，轻绳刚好处于伸直状态且与竖直方向的夹角。现将该圆环由静止释放，当物块与地面之间刚好无压力时，圆环与水平杆间也刚好无挤压。已知此过程中圆环在水平杆上移动的距离，重力加速度大小，，不计空气阻力，则（    ） A．匀强电场的电场强度大小为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．该过程中圆环克服摩擦力做的功为21J D．该过程中圆环克服摩擦力做的功为17J 【答案】BC 【详解】AB．当物块与地面恰好无压力时，对物块受力分析有 水平方向上有 可解得 此时对圆环受力分析，在水平方向上，有 所以电场强度，故A错误，B正确； CD．此时对圆环在竖直方向上分析，有 解得圆环的速度为 对圆环与物块的系统列动能定理，有 所以圆环克服摩擦力做功的大小为，故C正确，D错误。 故选BC。 20．某实验室内充满匀强磁场和匀强电场，磁场、电场与水平地面夹角均为且斜向右上，如图所示。房间内在离地面h处的位置有一个粒子发射源，源源不断地发射出质量为m、电荷量为q的粒子，粒子在房间内以速度v做匀速直线运动。某次实验中，撤去磁场，电场不变，粒子发射后经过一段时间落到地面上（不计空气阻力），重力加速度为g，试求： (1)粒子带电的正负，磁感应强度B和电场强度E的大小； (2)本次试验中电场力做功； (3)落地点到发射点的水平距离。 【详解】（1）粒子在匀强电场和匀强磁场中做匀速直线运动，则粒子受到的合力为零，粒子受到的电场力与电场线平行，受到的洛伦兹力与磁场方向和电场方向都垂直，则粒子的受力如图所示 因此粒子应带正电(若粒子带负电，则电场力、洛伦兹力和重力不可能平衡)，根据平衡条件有 解得， （2）由左手定则可知粒子的速度方向垂直纸面水平向外，撤去磁场后，重力与电场力的合力垂直于电场力斜向下，则粒子运动轨迹在垂直于电场线的平面内，故电场力不做功。 （3）粒子的速度方向垂直于纸面水平向外，粒子在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，再竖直方向上根据牛顿第二定律 解得 根据位移公式在竖直方向上 可得 水平向外做匀速直线运动，则 水平向右做匀加速运动，加速度大小为 则水平向右的位移 落地点到发射点的水平距离 21．如图，真空中同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向斜向右下方，与竖直方向的夹角为，电场强度大小为；磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为。一重力可忽略、比荷的带正电粒子从A点由静止开始沿竖直光滑绝缘挡板MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动，此后撤走挡板。（已知，） (1)求带电粒子经过C点时的速度大小和释放的位置A到C点的距离L； (2)若D点为带电粒子在电场力、洛伦兹力作用下运动过程中速度最大的位置，求此刻的速度大小； (3)若带电粒子运动到D点时撤去磁场，此后带电粒子历时运动到某位置，求此刻带电粒子的速度大小v。 【详解】（1）设粒子运动到C点时的速度为，有 得 粒子从A点到C点由动能定理有 得 （2）如图所示，将粒子离开C点时的速度分解到水平向右的速度及与电场垂直的速度 则有 粒子的运动是垂直电场方向的的匀速运动和以3m/s的匀速圆周运动的合运动，当圆周运动的速度和共线同向时速度最大，有 可得 （3）撤去磁场后带电粒子做类平抛运动，沿电场方向有 设电场方向的粒子速度为，有 则粒子的速度大小满足 得 五．带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动（共5小题） 22．如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m，带电荷量为q的小球在空间中运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若小球做直线运动，则可能是自由落体运动 B．若小球做直线运动，则小球一定带正电 C．若小球做圆周运动，则小球的机械能守恒 D．若小球做圆周运动，则一定是匀速圆周运动 【答案】D 【详解】AB．若小球做直线运动，则一定是电场力、洛伦兹力和重力三力平衡，速度不变，一定是匀速直线运动，但小球电性无法判断，AB错误； CD．若小球做圆周运动，一定是重力和电场力平衡，小球在洛伦兹力作用下在竖直面内做匀速圆周运动，机械能不守恒，C错误，D正确。 故选D。 23．如图所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，磁场方向水平（图中垂直纸面向里），一带电油滴恰好处于静止状态，则下列说法正确的是（　　） A．若撤去电场，可能做匀加速直线运动 B．若撤去磁场，可能做匀加速直线运动 C．若给一初速度，可能做匀速直线运动 D．若给一初速度，可能做逆时针方向的匀速圆周运动 【答案】C 【详解】A．若撤去电场，在重力作用下向下运动，将要受到洛伦兹力。由于洛伦兹力的方向始终与速度方向垂直，改变速度的方向，不可能做匀加速直线运动，故A错误； B．处于静止状态，由平衡条件可知，不受洛伦兹力，所受重力与电场力平衡。若撤去磁场，的受力状态不发生改变，仍然处于静止状态，故B错误； C．若的初速度方向与磁场平行，不受洛伦兹力，重力与电场力平衡，所以可以做匀速直线运动，故C正确； D．由平衡条件可知，所受的电场力竖直向上，与电场方向相反，说明带负电。若的初速度方向与磁场垂直，重力与电场力平衡，仅受洛伦兹力，根据左手定则可知，做顺时针方向的匀速圆周运动，故D错误。 故选C。 24．（多选）在一个范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球由静止释放，已知当地的重力加速度为g，磁场方向水平，如图所示。小球从静止开始下落的过程中，以下说法正确的是（　　） A．小球运动到最低点时，洛伦兹力的瞬时功率为 B．小球从出发第一次到达最高点时的位移为 C．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，水平位移与竖直位移大小之比为 D．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，洛伦兹力的冲量大小为 【答案】BC 【详解】A．小球带正电，由静止释放，在竖直向下的重力与垂直纸面向里的匀强磁场中做摆线运动。其运动可分解为：水平、竖直方向均以做匀速圆周运动，圆周运动周期 第一次运动到最低点时，竖直分速度抵消为0，水平分速度合为；洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功。洛伦兹力始终与速度方向垂直，由功率公式 可知洛伦兹力瞬时功率恒为0，与速度大小无关，故A错误； B．小球第一次到达最高点的时间为一个周期 水平位移 竖直方向圆周运动一个周期回到初始高度，竖直位移为0，故合位移等于水平位移，故 B正确； C．小球第一次到达最低点的时间为半周期 水平位移 竖直位移为圆周运动半周期的直径 位移比值，故C正确； D．由动量定理矢量分解，最低点水平动量变化 竖直方向 重力冲量 洛伦兹力冲量，故D错误。 选BC。 25．如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间有匀强电场，同时该区域上、下部分分别有方向垂直于NSTM平面向内和向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高d处分别有P、Q两点，NS和MT间距为5d，质量为m，带电荷量为的粒子（可视为质点）从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做匀速圆周运动，重力加速度为g。（，） (1)求电场强度的大小和方向； (2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。 【详解】（1）小球在磁场中做匀速圆周运动，电场力与重力平衡，即 解得 电场力的方向竖直向上，由于粒子带负电，则电场强度方向竖直向下； （2）粒子恰好不从NS边界飞出，则其运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力 解得粒子轨道半径 则有， 由几何知识得， 解得 26．如图所示，绝缘水平面上固定一半径为R的竖直光滑绝缘圆弧轨道，水平轨道与轨道相切于B点，O为圆心，竖直，与成角。过C点的竖直面将空间分成左右两个区域，左侧区域有水平向右、大小未知的匀强电场，右侧区域有垂直于纸面向外、大小未知的匀强磁场B和大小、方向均未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球（可视为质点）自A点由静止释放，经过B、C两点时速率相等，过C点后做匀速圆周运动，最终落地时与水平面的夹角为60°。已知间距离为，小球与水平面间的动摩擦因数，重力加速度为g，小球在运动过程中无电荷转移，不计空气阻力。求： (1)两个匀强电场的电场强度大小之比； (2)匀强磁场的磁感应强度B大小。 【详解】（1）小球过C点后做匀速圆周运动，有 解得匀强电场的大小 小球从B运动到C，有 经过B、C两点时速率相等，解得 则 （2）小球从A运动到B，有 小球过C点后做匀速圆周运动 由几何关系可知，轨道半径为 由 解得匀强磁场的磁感应强度大小 六．带电粒子在叠加场中的变速圆周运动（共4小题） 27．如图，光滑绝缘的圆弧轨道AOB固定在竖直平面内。O为其最低点，A、B等高，匀强磁场方向与轨道平面垂直。将一个带负电的小球自A点由静止释放，它在轨道A、B间往返运动。下列说法中正确的是（　　） A．小球最终静止在O点 B．小球每次经过最低点所受洛伦兹力相同 C．小球运动过程中机械能守恒 D．小球每次经过O点时对轨道的压力相等 【答案】C 【详解】B．小球每次经过最低点时由于速度方向不同，则所受洛伦兹力方向也不同，故B错误； AC．洛伦兹力不做功，故只有重力做功，机械能守恒，故在最低点时速度最大，故不可能静止在O点，故A错误，C正确； D．小球从A到B时，在O点有 轨道所受的压力大小为 小球从B到A时，在O点有 轨道所受的压力大小为 所以小球经过最低点时对轨道的压力大小不相等，故D错误。 故选C。 28．如图所示，在竖直平面内有一半径为的固定光滑绝缘圆环，空间中有水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，一质量为、带电量为的带电小球沿圆环外侧做圆周运动，AC为竖直直径，初始时带电小球位于圆环最高点A，并且有速度大小水平初速度，带电小球能够不脱离圆环做完整的圆周运动，重力加速度。则下列说法正确的有（　　） A．小球在A点的速度方向向右 B．小球在A点受到圆环的支持力为0 C．小球在C点速度大小为4m/s D．小球在C点对圆环的压力大小为10N 【答案】D 【详解】A．小球要做完整圆周运动，在C点进行受力分析，可判断洛伦兹力向上，可知在C点速度方向向右，在A点速度方向向左，A错误； B．对A点受力分析 可得，B错误； C．由动能定理有 解得C点速度为，错误； D．在C点根据牛顿第二定律得 又根据牛顿第三定律，得10N，D正确。 故选D。 29．（多选）如图所示，半径为的光滑半圆弧绝缘轨道固定在竖直面内，磁感应强度为的匀强磁场方向垂直于轨道平面向里。一可视为质点、质量为、电荷量大小为的带正电小球由轨道左端A点无初速度滑下，A、D与圆心O等高，C点为轨道的最低点，小球始终与轨道接触不脱离，重力加速度为。下列说法中正确的有（　　） A．小球从A运动到D的过程中机械能不变 B．小球在最低点C点的速度大小为 C．小球在C点的速度向右时，对轨道的压力大小为 D．小球在C点的速度向左时，对轨道的压力大小为 【答案】AC 【详解】A．小球从A运动到D的过程中，由于洛伦兹力和轨道弹力总是与速度方向垂直，所以只有重力对小球做功，小球的机械能守恒，故A正确； B．小球从A运动到C的过程，根据动能定理可得 解得小球在最低点C点的速度大小为，故B错误； C．小球在C点的速度向右时，根据左手定则可知洛伦兹力方向向上，由牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为，故C正确； D．小球在C点的速度向左时，根据左手定则可知洛伦兹力方向向下，由牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为，故D错误。 故选AC。 30．如图，竖直面内固定一足够长斜面与一半圆轨道相切于a点，空间中存在水平向左的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电小球静止在斜面上，现给小球一沿斜面向上的初速度后，沿轨道运动恰能通过c点。运动过程中小球带电量保持不变，不计一切摩擦。已知斜面倾角，半圆轨道半径为R，重力加速度大小为g，取，。 (1)求电场强度大小E； (2)求小球离开c点后落在斜面上的位置到a的距离x； (3)若小球落在斜面上时，与斜面发生弹性碰撞（碰撞前后速度平行于斜面的分量不变，垂直于斜面的分量等大反向），碰撞后立刻将电场强度大小变为，方向竖直向上，同时加上垂直于纸面向里的匀强磁场，小球恰好能再次回到c点，求磁感应强度大小B。 【详解】（1）带正电小球静止在斜面上，可得 可得。 （2）小球受到的重力和电场力的合力大小为 方向沿方向 小球恰能通过点，说明刚到点时轨道对它的弹力，则在点 解得 从点运动到斜面的过程，小球做类平抛运动，垂直斜面方向的加速度为， 沿斜面方向 解得 （3）做出小球运动的轨迹如图所示 落在斜面上时， 解得，， 由几何关系可知 解得 碰撞后，重力与电场力平衡，则有 小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 联立解得。 七．（共3小题） 31．如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为，方向竖直向下，磁感应强度大小为，方向垂直纸面（图中未画出）。一个电子由点以初速度水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中、和分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度方向垂直纸面向外 B．由点至点的运动过程中，电子的速度逐渐增大 C．如果只将电子换成质子，其他条件不变，粒子的轨迹仍然能过点 D．电子的初速度只需大于即可形成图示轨迹 【答案】B 【详解】A．电子带负电，电场强度方向竖直向下，所以电子所受电场力方向竖直向上，电子从点水平向右射入后轨迹向下偏转，说明初始时刻电子所受洛伦兹力竖直向下，且满足，根据左手定则，则磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误； B．电子由点至点的运动过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，根据动能定理，动能增加，所以电子的速度逐渐增大，故B正确； C．如果只将电子换成质子，质子带正电，受电场力方向竖直向下，初始时刻洛伦兹力方向竖直向上，因为洛伦兹力大于电场力，粒子将向上偏转。之后洛伦兹力随速度方向变化，将质子的速度分解为“洛伦兹力与电场力平衡的匀速直线运动”和“垂直于该方向的匀速圆周分运动”，质子做旋进运动，因为质子的质量远大于电子的质量，根据圆周运动公式有， 所以质子运动的半径和周期远大于电子，则质子经过最低点的位置将远远超过Q点，故轨迹不可能经过Q点，故C错误； D．电子的初速度，这是电子初始向下偏转的必要条件，但是若要形成图中所示的轨迹，电子在运动过程中必须始终存在合适的水平向右的分速度和垂直于该方向的匀速圆周分速度，如果电子的初速度过大，轨迹将出现打结、绕圈，与题图所示的平滑摆线轨迹不符，故D错误。 故选B。 32．（多选）利用电场和磁场控制带电粒子的运动是现代电子设备的常见设计。如图所示，两水平正对放置的平行金属板MN和PQ之间存在竖直向下的匀强电场和磁感应强度大小为B、垂直纸面的匀强磁场（未画出）。两金属板的板间距为。质量为2、速度为v0、带电荷量为+q的粒子甲和质量为、速度为、带电荷量也为+q的粒子乙先后从M、P连线的中点O处沿两平行金属板中轴线进入电场，甲粒子恰好沿轴线射出金属板，乙粒子恰好从MN板右侧的N点射出。两粒子均可视为质点，不计粒子重力、粒子间作用力。下列说法正确的是（    ） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．电场强度的大小为 C．乙粒子从N点射出时，速度大小为，方向与MN的夹角为30° D．金属板的长度可能为 【答案】BD 【详解】A．甲粒子恰好沿轴线射出金属板，可知甲受到的电场力与洛伦兹力等大反向，由于甲受到的电场力竖直向下，则洛伦兹力竖直向上，由左手定则可知磁场的方向垂直纸面向里，故A错误； B．对甲粒子有 解得，故B正确； C．对乙粒子，根据动能定理有 联立解得粒子在N点的速度 乙粒子的运动可分解为速度大小为的匀速圆周运动和水平向右、速度大小为的匀速直线运动，如图所示 根据速度的合成与分解可知，乙粒子从N点射出时的速度方向与MN的夹角为，故C错误； D．乙粒子做圆周运动转过一周前从N射出，则在磁场中转过的角度为 乙粒子在磁场中做圆周运动的周期 乙粒子在磁场中做圆周运动的半径 则金属板的长度，故D正确。 故选BD。 33．如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带电小球（电性未知），小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度，使其在竖直面内绕O点沿顺时针方向恰好能做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知OM与竖直方向的夹角θ=60°，重力加速度大小为g。（结果可用根式表示） (1)求电场强度E的大小及小球电性。 (2)若小球第二次运动到B点时突然剪断细线，求剪断细线后小球速度的最小值。 (3)在（2）中情况下，剪断细线的瞬间在空间加上垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，求小球之后的运动过程中第一次达到最小速度时，电场力所做的功。 【详解】（1）初始时，小球受到水平向左的电场力，可知小球带正电，根据平衡条件有 解得 （2）剪断细线前，小球在等效重力场中做圆周运动，设 N点为等效最高点 小球通过N点时有 从B点到N点，由动能定理得 解得 剪断细线后，小球做匀变速曲线运动，当速度与合外力垂直时，速度最小，所以 解得 （3）由（2）知，小球运动到B点时的速度，方向水平向右，根据配速法，将分解为和，使对应的洛伦兹力与重力和电场力的合力平衡，即 解得，方向与夹角为60°斜向右下方 根据速度的分解可得，方向竖直向上 即将小球之后的运动分解为以速度为的匀速直线运动，以速度为的匀速圆周运动，该圆周运动所对应的半径 当与方向相反时，小球速度最小，则小球之后的运动过程中的最小速度 由几何关系可知，从剪断细线的瞬间到小球第一次达到最小速度所需的时间 以速度为的匀速圆周运动使小球水平向左运动的距离 以速度为的匀速直线运动使小球水平向右运动的距离 则小球之后的运动过程中第一次达到最小速度时水平的位移，方向向右 该过程电场力所做的功 八．带电粒子在叠加场中的一般曲线运动（共5小题） 34．如图所示，同种带电粒子以相同速率沿不同方向飞入匀强磁场中的点，只要保证带电粒子的速度方向与磁场方向的夹角很小，就可以实现带电粒子在点的聚焦。对带电粒子在磁场中聚焦的运动，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子所受洛伦兹力的方向与磁场的方向不垂直 B．带电粒子到达点时的速度将大于 C．带电粒子在垂直磁场方向做匀速圆周运动 D．从向看，带电粒子一定顺时针绕行 【答案】C 【详解】A．带电粒子所受洛伦兹力的方向与磁场的方向总垂直，A错误； B．因洛伦兹力不做功，则带电粒子到达点时的速度将等于，B错误； C．带电粒子在垂直磁场方向做匀速圆周运动，在平行磁场方向做匀速直线运动，C正确； D．由于粒子的电性不确定，则从向看，不能确定带电粒子一定顺时针绕行，D错误。 故选C。 35．如图所示，下端封闭、上端开口、高、内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有一质量、电荷量的小球，整个装置以的速度沿垂直于磁场方向进入磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，由于外力的作用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，则（    ） A．小球在管内所受洛伦兹力的方向为竖直向上 B．小球在玻璃管中的运动时间为 C．小球飞出管外后做圆周运动的周期是 D．洛伦兹力对小球做功，使其机械能增加0.25J 【答案】C 【详解】A．由左手定则可知，小球随着玻璃管向右运动，会受到一个竖直向上的洛伦兹力的作用。随着小球向上运动，小球又受到一个水平向左的洛伦兹力的作用，所以小球在管内所受洛伦兹力的方向为斜向左上方，故A错误； B．由于小球在水平方向速度不变，因此在竖直方向上受到的洛伦兹力恒定，其大小为 则根据牛顿第二定律有 解得小球在竖直方向做匀加速直线运动的加速度为 则由匀变速直线运动位移与时间的关系式有 解得小球在玻璃管中的运动时间为，故B错误； C．小球飞出管口后的运动可看成以速度在匀强磁场中做匀速圆周运动和竖直上抛运动的合成。其中小球飞出管口后的匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 又因为 联立解得小球飞出管外后做圆周运动的周期为，故C正确； D．洛伦兹力始终不做功，小球机械能增加是玻璃管的支持力做功的结果，故D错误。 故选C。 36．（多选）如图所示的xOy坐标系中，在第四象限的I区存在垂直纸面向里的半圆形边界匀强磁场，半径为R，圆心为O′，直径OA与x轴重合，磁感应强度大小为B。y轴与虚线x=-R之间的II区（含虚线）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。P、Q为I区圆弧边界上的三等分点，其上存在两个相同的粒子源，可分别将比荷均为k的带正电粒子a、b沿着y轴正方向以速度v0同时射入I区磁场中。且a粒子离开II区后立即在II区加上沿x轴正方向的匀强电场E。其中，，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。下列说法中正确的是（　　） A．粒子a在I区的运动时间为 B．粒子a从II区离开时的位置的纵坐标为3R C．粒子b从II区离开时的位置坐标为（0，） D．粒子b从进人I区到离开II区运动的总时间为 【答案】ACD 【详解】AB．由题意可知，粒子在I区的轨道半径 在区的轨道半径 运动轨迹如图所示 由此可知，粒子a在I区的运动时间为 从II区离开时位置的纵坐标，故A正确，B错误； C．粒子b在I区的运动轨迹如图所示 在I区的运动时间与粒子a相同 从I区离开后进入无场区域，做匀速直线运动，运动时间 进入II区后，利用配速法，将速度v0分解为v1和v2，v1对应的洛伦兹力与电场力等大反向，且， 如图所示 粒子做匀速圆周运动，其对应的轨道半径 当其离开II区时，只需分析圆周运动，如图所示 由于 所以当粒子b到达磁场边界时，v2转过了60°，速度方向竖直向下，与v1等大反向，合速度为零，后续继续向右运动，从y轴离开区域II，在区域II的运动时间 在竖直方向的位移 从II区离开时的位置坐标为，故C正确； D．粒子b从进入I区到离开II区运动的总时间为，故D正确。 故选ACD。 37．竖直面内的坐标系如图所示，在区域中有竖直向上的匀强电场，在的区域中有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在坐标原点O处，质量为m、不带电的金属球b用绝缘细支柱支撑处于静止状态，支柱与b球不粘连、无摩擦。质量也为m、电量为的金属球a，沿x轴正方向以速度匀速运动，与球b发生弹性碰撞。a、b相碰时撤去支柱，b球进入磁场并向y轴负向偏转。已知a、b球大小、材料都相同，且都可视为点电荷，不计两球对电场、磁场的影响及它们之间的库仑力，重力加速度为g。求： (1)碰撞后，a、b球的速度大小； (2)a、b碰后，经过多长时间a球的速度大小等于； (3)a、b碰后，b球经过最低点时的速度大小。 【详解】（1）a、b发生弹性碰撞，设碰后a的速度为，b的速度为，根据动量及能量守恒可得， 解得， （2）碰后a、b电量为，碰前a向右匀速运动，电场力和重力平衡，有 碰后a球做匀加速直线运动，有 求得加速度 设a球速度再次变为所经过的时间为，则有 （3）碰撞后b球进入磁场并向y轴负向偏转，对b球有 把b球的速度看成向x轴正向的与向x轴负向的两个速度的合成，设此时有 b球的运动可看成以做匀速直线运动和以做匀速圆周运动的合成，可知小球b经过最低点时，此时小球b的速度为 联立求得 38．如图所示，在平面内有一个以O为圆心、R为半径的圆形区域Ⅰ，充满着磁感应强度大小为、方向垂直于平面向里的匀强磁场。在区域Ⅰ右侧有两个正对的平行于x轴的极板P、Q，其中心线在x轴上，两极板间的距离和极板的长度均为R，P板接恒压电源的正极并接地，Q板接电源负极。位于y负半轴与区域Ⅰ边界的交点处的电子源S，在区域Ⅰ内的某个夹角范围内，沿各个方向持续均匀发射速率为、质量为m、电荷量为的电子，所有电子均经圆形磁场偏转后进入极板之间，其中从C点进入的电子刚好从极板P的右边缘飞出。打在上极板上的电子会立即被吸收，并通过接地线导入大地。极板右侧的区域Ⅱ宽度为L，左右边界所在的平面均与x轴垂直，充满着垂直于平面向里的匀强磁场。已知。，不考虑电磁场的边缘效应，不计电子间的相互作用及电子的重力。 (1)求电子源S向圆形磁场区域Ⅰ发射电子的速度方向之间的最大夹角； (2)求进入区域Ⅱ的电子数与电子源S射出的总电子数的比值； (3)若所有进入区域Ⅱ的电子均不能从其右边界射出，求区域Ⅱ内磁感应强度B2的最小值； (4)若，在区域Ⅱ中加一沿x轴负方向的匀强电场，要保证电子不从区域Ⅱ的右边界穿出，求电场强度E的最大值。 【详解】（1）设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律 可得 即图中四边形和均为菱形，则据 得图中的角度 则，电子源S发射负电子的速度方向的最大夹角 （2）由上问可知，沿y轴正方向射入圆形磁场的电子，恰好从C点射出磁场。所有电子均沿x轴正方向进入极板之间，继续做类平抛运动。 一部分电子被极板P吸收，一部分电子从极板间射入磁场区域Ⅱ。设PQ之间的电压为U，根据牛顿第二定律知 x轴方向： y轴方向： 以上三式联立可得： 则只有在x轴下方进入两极板间的电子才能射入磁场区域Ⅱ，所以能从两极板间射出进入磁场区域Ⅱ的电子数与粒子源S射出的电子总数的比值 （3）由电子在两极板间，x轴方向，匀速直线运动 y轴方向，匀加速直线运动 以上两式联立可得： 则电子射出电场时速度的大小 方向与x轴正方向的夹角 作出运动轨迹恰好与磁场区域Ⅱ的右边界相切的电子轨迹图，如图所示 有 据牛顿第二定律 解得 则磁感应强度的大小不能小于 （4）［方法1］当轨迹与磁场右边界相切时，设速度为，如图所示 由动能定理可得 在y轴方向上，根据动量定理可得 即有解得 所加电场的电场强度的大小E不能超过 ［方法2］配速法 可以将电子在区域Ⅱ中的运动分解为沿y轴负方向的匀速直线运动，速度大小设为，和沿顺时针方向的匀速圆周运动，速度大小为，方向与x轴正方向的夹角为，如图所示 ，， 联立解得： 由图可知： 又有： 联立得： 九．带电粒子在交变磁场中的运动（共3小题） 39．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m、带电荷量为q，离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。若要使离子从垂直于N板射出磁场，则离子射入磁场时的速度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使正离子从孔垂直于N板射出磁场，的方向应如图所示 两板之间正离子只运动一个周期即时，有；当两板之间正离子运动n个周期即时，有。联立求解，得正离子的速度的可能值为。 当时，。 故选A。 40．（多选）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正。有一正离子在时垂直于M板从小孔O射入磁场，又从小孔O′射出磁场。已知正离子质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。以下磁感应强度B0大小、离子射入磁场的速度v0，可能正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，有 做匀速圆周运动的周期 联立解得，故A错误，B正确； CD．根据题意可知，要使正离子从孔射出磁场，离子到达时必须经过整数个周期，如图所示 当正离子在两板之间运动n个周期，即运动时间为时，由几何关系有 联立求解得正离子的速度的可能值为 可知，离子射入磁场的速度可能为，不可能为，故C错误，D正确。 故选BD。 41．如图甲所示，y轴左侧有两块带等量异种电荷的水平平行金属板，y轴右侧有交替变化的匀强磁场，x轴在平行金属板的中心线上。一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力不计），以初速度从金属板左端中心线沿方向进入，恰好能从金属板下边缘P点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0时刻，在时刻粒子第一次经过x轴。已知两金属板间距为d，板长为板间距的倍，磁场取垂直纸面向里为正方向，乙图中，T未知，不考虑磁场变化引起的感生电场，计算结果用、d和常量表示。 (1)求粒子在P点的速度大小v； (2)若粒子在时刻恰到磁场右边界，求磁场的右边界到y轴之间的宽度s； (3)若磁场宽度s不确定，但粒子出右边界时速度都是沿方向，求粒子在磁场中运动时间t的可能值。 【详解】（1）设P点速度与水平方向夹角为，将P点速度反向延长，有 得 可得 （2）若粒子在时刻恰到磁场右边界，在磁场中 将代入得 则圆心恰在x轴上，宽度 （3）第一次经过x轴时速度方向沿方向，时间 之后每经过速度方向均沿方向，故 十．带电粒子在组合成或叠加场中含动量问题（共4小题） 42．如图，绝缘环a、b质量均为m，带电量均为+q，分别套在固定的水平绝缘杆上，环的直径略大于杆的直径，环与杆的动摩擦因数均为，两杆分别处于竖直向下的匀强电场E和匀强磁场B中，分别给两环水平向右的初速度v0，两环向右运动直至停下，下列说法不正确的是（　　） A．摩擦力对两环的冲量相同 B．摩擦力对两环做的功相同 C．若两环最终位移相同，则a环运动时间较短 D．若两环最终运动时间相同，则a环位移较短 【答案】D 【详解】A．由题意，两环向右运动直至停下的过程中，两环所受合力沿杆水平向左，且大小等于受到的摩擦力，对两环根据动量定理有 显然摩擦力对两环的冲量相同，故A正确； B．对两环，根据动能定理有 显然摩擦力对两环做的功相同，故B正确； C．对环a受力分析可知，在竖直方向上，环受到竖直向下的电场力，重力，竖直向上的支持力作用，且 环水平方向上受到的摩擦力 显然环a做匀减速直线运动直至停下；对环b受力分析可知，环水平方向上受到的摩擦力 显然环b做加速度逐渐减小的减速直线运动直至停下；若两环最终位移相同，可画出如图所示图像 由图像可知，a环运动时间较短,故C正确； D．根据选项C分析可知，若两环最终运动时间相同，则a环图像围成的面积较大，则其位移较长，故D错误。 由于本题选择错误的，故选D。 43．（多选）如图所示，两足够长的极板水平放置，板间距离为，两极板间加恒定电压，板间有水平向里的匀强磁场，磁感应强度未知。一带正电的粒子恰好能以速度沿两板正中间匀速穿过。粒子质量为，电荷量为。两板间的电场可视为匀强电场，不计粒子所受重力和粒子运动对电场的影响。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．仅减小板间电压，粒子不可能击中上极板 C．仅增大，使粒子击中上极板，击中前瞬间的速率与的大小有关 D．仅向上平移下极板，能使粒子恰击中下极板 【答案】AD 【详解】A．对粒子进行受力分析可知，粒子在混合场中受到竖直向下的电场力和竖直向上的洛伦兹力的作用，因为粒子以速度沿两板正中间匀速穿过，所以洛伦兹力与电场力平衡，即 解得磁感应强度大小为，故A正确； B．仅减小板间电压，电场强度减小，粒子受电场力减小，洛伦兹力大于电场力，粒子将向上偏，若板间距离较小，粒子可能击中上极板，故B错误； C．仅增大磁感应强度，使粒子击中上极板，设粒子到达上极板的速率为，洛伦兹力不做功，对粒子列动能定理方程有 可得 可知与磁感应强度的大小无关，故C错误； D．设将下极板向上平移时粒子恰能击中下极板，到达最低点时粒子下降高度为，速度为，方向水平向右，则有 设电场强度变为，则有 粒子所受电场力增加，所以粒子向下偏转，运动轨迹如图所示： 设粒子向最低点运动过程中，某一时刻速度为，速度方向与水平方向夹角为，此时洛伦兹力大小为，方向与竖直方向夹角为，经过极短时间，水平方向由动量定理有 对从开始到最低点过程求和，可得 由动能定理有 联立可求出的值，即仅向上平移下极板，能使粒子恰击中下极板，故D正确。 故选AD。 44．如图所示为一“匚”字型金属框架截面图，上下为两水平且足够长平行金属板，通过左侧长度为的金属板连接。空间中有垂直纸面向里场强大小的匀强磁场，金属框架在外力的作用下以速度水平向左做匀速直线运动。框架内处有一质量为、带正电的小球。若以某一速度水平向右飞出时，则沿图中虚线做直线运动。重力加速度取。求： (1)小球沿图中虚线做直线运动速度大小。 (2)若小球在点以初速度与水平方向成斜向下射入，求小球开始运动到最低点的竖直距离。 【详解】（1）框架向左运动，产生感应电动势 板间场强： 小球做匀速直线运动，受力平衡： 解得 （2）解法一：将分解为， 对水平方向动量定理则有 根据能量守恒可得 解得： 解法二：配速法：将分解出，使得其洛伦兹力，电场力，重力，三者平衡，则有 其中， 所以，小球两个分运动分别是：以速度为做匀速直线运动和以速度为做匀速圆周运动，只有圆周运动有竖直方向的位移，则有   解得 45．某离子分析器的原理示意图如图所示，分析器由分布在轴左侧的偏转区和轴右侧的检测区组成。在直线和轴之间的偏转区内存在着两个等大反向的有界匀强电场，其中轴上方的电场沿轴负方向，轴下方的电场沿轴正方向。在轴右侧检测区内分布着垂直于平面向里、范围足够大的磁场，磁感应强度大小随位置坐标均匀变化，且满足（k为大于零的常数）。在电场左边界上点（，）到点（，0）区间内存在一线状离子源， 离子源各处都能持续发射电量为、质量为的相同离子，所有离子均以相同速度沿轴正方向射入电场。已知从点发出的离子恰好能从点（0，）沿轴正方向进入磁场，其轨迹如图虚曲线所示。在检测区有一块与轴平行的检测板，打到检测板的离子会被板吸收，忽略电磁场间的相互影响，不计离子的重力及它们之间的相互作用。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)从间某些位置发出的离子进入磁场时也能沿轴正方向运动，写出这些位置的坐标； (3)若检测板可沿轴平移，要使检测板能收集到沿轴正方向进入磁场并经磁场偏转后的所有离子。 ① 求检测板位置坐标的最大值； ②当检测板位置坐标取最大值时，测得从点（0，）进入磁场的离子在检测板上的收集点到轴的距离为，求该离子在磁场中的运动轨迹与坐标轴和检测板所围面积的大小。 【答案】(1) (2)（，，） (3)①；② 【详解】（1）由对称性可知，x轴方向 y轴方向 解得 （2）沿x轴正方向进入磁场时可能的运动轨迹如图所示 离子需满足的条件为（，，） 设到C点距离为处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向射出，粒子第一次到达x轴用时，水平位移为，则， 解得（，，） 即满足要求的AC间离子y坐标为（，，） （3）①若要检测板能收集到沿x轴正方向进入磁场的所有离子，离子到达检测板的速度满足，时，x取最大值；对离子受力，在y轴方向应用动量定理 即 所以 又 可得 解得 ②从（0，）点射入磁场的离子其运动轨迹与y轴所围面积记为，对该离子进行受力分析，在x轴方向应用动量定理 即 所以 又 可得 解得 该离子的运动轨迹与坐标轴和检测板所围面积记为，由几何关系可知 十一．带电粒子在组合成或叠加场中（共2小题） 46．在现代研究受控热核反应的实验中，需要把高温等离子体限制在一定空间区域内，磁约束就成了必不可少的技术。如图所示，科学家设计了一种中间弱两端强的磁场，该磁场由两侧通有等大同向电流的线圈产生。假定一带正电的粒子（不计重力）从左端附近以斜向纸内的速度进入该磁场，其运动轨迹为图示的螺旋线（未全部画出）。此后，该粒子将被约束在左右两端之间来回运动。根据上述信息并结合所学知识，下列说法正确的是（　　） A．从最左端到最右端的过程中，螺旋线的半径逐渐增大 B．从最左端到最右端的过程中，粒子的动能先增大后减小 C．从最左端到最右端的过程中，粒子运动轨迹的螺距先变小后变大 D．从最右端返回时，粒子在垂直磁瓶轴线的速度分量最大 【答案】D 【详解】AB．由于垂直于轴线的平面内，粒子做匀速圆周运动，粒子在两段之间来回运动，因此沿磁瓶轴线方向的速度分量先变大后变小，因为从左端到右端的运动过程中，粒子只受洛伦兹力作用，洛伦兹力对粒子不做功，故其动能不变，则合速度大小不变，故垂直于轴线的速度分量先变小后变大，故半径先变大后变小，故AB错误； C．粒子做圆周运动的周期为 其中 可得 由于从左端到右端的运动过程中，磁感应强度先减小后增大，所以粒子的运动周期先增大后减小。根据题意可知，粒子运动轨迹的螺距为 由于粒子沿磁瓶轴线方向的速度分量先变大后变小，所以运动轨迹的螺距先变大后变小，故C错误； D．从最右端返回时，在垂直于磁瓶轴线平面内，粒子的速度与轴线垂直，故沿磁瓶轴线方向的速度分量为零，又粒子的速度大小不变，故此时垂直磁瓶轴线方向的速度分量最大，故D正确。 故选D。 47．如图所示，在三维坐标系中存在一长方体，平面左侧存在沿轴负方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，右侧存在沿方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度从点沿平面进入磁场，经点垂直平面进入右侧磁场，此时撤去平面左侧的磁场，换上电场强度为（未知）的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在棱上。已知、，，粒子的电量为，质量为（重力不计）。求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子经过平面的坐标； (3)电场强度的大小。 【详解】（1）带电粒子在平面左侧磁场中做圆周运动，由几何关系得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）在右侧磁场中由洛伦兹力提供向心力得 解得 则有， 即坐标为 （3）粒子在电场中做类平抛运动，轴方向上 轴方向上 解得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $