1.3.1 带电粒子在匀强磁场中的运动 同步训练 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

1.3.1带电粒子在匀强磁场中的运动（专题训练） 一．带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期公式（共4小题） 二．带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算（共5小题） 三．带电粒子在直边界磁场中运动（共7小题） 四．带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动（共5小题） 五．根据粒子运动确定磁场区域的范围（共4小题） 六．临界状态的不唯一或磁场方向的不确定形成多解（共6小题） 七．（共4小题） 八．带电粒子在多个组合边界磁场中的运动（共3小题） 九．动态圆模型（共3小题） 一．带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期公式（共4小题） 1．在垂直于纸面向里的匀强磁场中，有两电荷量相同的粒子a、b以相同速度从O点沿纸面进入磁场，运动轨迹如图所示，不计粒子间的作用力及粒子的重力，则（　　） A．粒子a、b都带正电 B．粒子a的质量大于粒子b的质量 C．粒子a的加速度小于粒子b的加速度 D．粒子a的运动周期小于粒子b的运动周期 【答案】D 【详解】A．由左手定则可知，粒子a、b都带负电，A错误； B．根据 可知 因粒子b的运动半径大于a，则粒子b的质量大于粒子a的质量，B错误； C．根据，可知粒子a的加速度大于粒子b的加速度，C错误； D．根据可知，粒子a的运动周期小于粒子b的运动周期，D正确。 故选D。 2．如图甲所示，有界匀强磁场I的宽度与如图乙所示的圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场I，从右边界射出时速度方向偏转了角；该粒子以另一初速度从N点沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了角。已知磁场I、Ⅱ的磁感应强度相同，不计粒子受到的重力，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】粒子运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 由几何知识得， 则与的比值 故选D。 3．（多选）在粒子物理研究中，带电粒子在云室等探测装置中的径迹是非常重要的实验证据。某云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从O点发出了两个正电子和一个电子，其轨迹如图中甲、乙、丙所示。已知正电子的质量与电子相同，电荷量与电子大小相等。下列说法正确的是（　　） A．磁场的方向垂直于纸面向里 B．轨迹甲对应的是电子 C．轨迹乙对应的粒子速度越来越大 D．轨迹丙对应的粒子初速度最大 【答案】AD 【详解】AB．由图可知，轨迹甲、丙为正电子轨迹，轨迹乙为电子轨迹，根据左手定则可知，磁场的方向垂直于纸面向里，故A正确，B错误； CD．根据洛伦兹力提供向心力有 可得 由图可知，轨迹丙的半径最大，轨迹乙的半径越来越小，故轨迹丙对应粒子的初速度最大，轨迹乙对应粒子的速度越来越小，故D正确，C错误。 故选AD。 4．如图所示，一质量为、带电荷量为的粒子以速度垂直射入一有界匀强磁场区域内，速度方向跟磁场左边界垂直，从右边界离开磁场时速度方向偏转角，磁场区域的宽度为，求： (1)带电粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)磁感应强度的大小； (3)粒子在磁场中运动的时间。 【详解】（1）粒子运动的轨迹如图，由几何知识得 （2）根据洛伦兹力提供向心力有 可得磁感应强度 （3）粒子做圆周运动的周期 粒子在磁场中的运动时间 二．带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算（共5小题） 5．如图所示，光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于中心轴的、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直横截面向里，筒上P点开有一个小孔，过P点的横截面是以O为圆心的圆。若一个（不计重力）质量为m，电量为q的带正电粒子以速率沿PO射入，与筒壁碰撞2次后刚好从小孔射出，若此带电粒子以速率（大小未知）沿PO射入，与筒壁碰撞3次后刚好从小孔射出，每次碰撞均为弹性碰撞且电荷量保持不变，不计粒子重力，圆筒的半径R和的大小为（　　） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【详解】由题意可知粒子经过2次碰撞从小孔P射出磁场的圆心组成的三角形应为以筒壁为内接圆的正三角形。如图所示 由几何关系，粒子圆周运动半径 设带电粒子的电荷量为q，质量为m，磁场的磁感应强度为B，则洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 若粒子经过3次碰撞从小孔P射出磁场的圆心组成的图形应为以筒壁为内接圆的正方形。粒子圆周运动半径 洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 故选D。 6．如图所示，空间直角坐标系O点处有一粒子源，在yoz平面内沿着与y轴正方向成射出速度大小为的正电粒子。整个空间存在沿y轴正方向的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子做匀速直线运动 B．粒子做匀速圆周运动 C．粒子轨迹在xoy平面上的投影为一条直线 D．粒子轨迹在xoz平面上的投影为圆 【答案】D 【详解】AB．把粒子初速度沿平行于磁场方向（y轴）和垂直于磁场方向（z轴）分解 沿 y 轴分量，，速度与磁场平行，不受洛伦兹力，粒子沿 y 轴做匀速直线运动 沿z轴分量，，速度与磁场垂直，受洛伦兹力，洛伦兹力提供向心力，粒子在垂直于y轴的平面（xoz 平面）内做匀速圆周运动 合运动为匀速直线运动 + 匀速圆周运动的叠加，即等距螺旋线运动，AB错误； C．粒子沿y轴方向，匀速直线运动；沿x轴方向，圆周运动的x分量是周期性往复运动； xoy 平面投影是沿 y 轴延伸的波浪曲线，不是直线，C 错误 D．垂直磁场方向的分运动仅在xoz平面内做匀速圆周运动，y轴方向的匀速直线运动在 xoz 平面无投影，因此xoz平面投影为完整的圆，D正确。 故选D。 7．（多选）如图所示，在坐标系内存在匀强磁场和匀强电场，电场方向沿z轴正方向，磁场方向沿z轴负方向。一质子从点处沿y轴正方向入射，其轨迹与z轴的第1个交点坐标为。若质子的质量为m，带电荷量为q，入射速度大小为，不计质子所受的重力，则下列说法正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．质子轨迹一定过点 D．质子轨迹与z轴的第5个交点为 【答案】AC 【详解】A．质子在电场力作用下，沿z轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，在洛伦兹力的作用下，在xOy平面内做匀速圆周运动，由几何关系可知，质子做圆周运动的半径，由洛伦兹力提供质子做圆周运动的向心力，有 解得匀强磁场的磁感应强度大小，故A正确； B．质子从入射到与z轴交第1个点的过程经历的时间 沿z轴方向有 解得，故B错误； C．质子每隔2t经过出发点正上方，则质子第n次经过出发点正上方时z轴方向上的位移大小 解得 则当时质子经过点，故C正确； D．质子与z轴第1次相交后，每隔2t时间再与z轴相交，则第n次与z轴相交时，在z轴上有 则与z轴的第5个交点的坐标为，故D错误。 故选AC。 8．如图所示，一个质量为、电荷量为的带正电荷的粒子，从轴上的点以速度沿与轴成角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直轴射出第一象限。已知，不计该粒子重力。求 (1)带电粒子在磁场中运动的半径； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。 【详解】（1）由几何关系得 解得 （2）由洛伦兹力提供向心力得 解得 （3）由几何关系可知，圆弧轨迹对应的圆心角 粒子通过第一象限所用时间 其中 解得 9．在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。如图所示为一控制粒子运动装置的模型。在平面直角坐标系的第二象限内，一半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁场I的边界圆刚好与两坐标轴相切，与轴的切点为，与轴的切点为，在第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在轴下方区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场II，磁场II中有一垂直于轴的足够长的接收屏。点处有一粒子源，粒子源在坐标平面内均匀地向第二象限的各个方向射出带正电粒子，粒子射出的初速度大小均为。已知沿轴正向射出的粒子恰好通过点，该粒子经电场偏转后以与轴正方向成的方向进入磁场II，并恰好能垂直打在接收屏上。磁场I、II的磁感应强度大小均为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求粒子的比荷； (2)求匀强电场的电场强度大小； (3)将接收屏沿轴负方向平移，直至仅有三分之一的粒子经磁场II偏转后能直接打到屏上，求接收屏沿轴负方向移动的距离。 【详解】（1）从点沿轴正向射入的粒子恰好通过点，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为，如图所示，根据洛伦兹力提供向心力有   解得 （2）从点沿轴正向射入的粒子在电场中做类平抛运动，设粒子出电场时沿轴负方向的分速度为，如图所示，由题意可知 沿轴方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得      （3）由于粒子在磁场I中做圆周运动的半径为，根据磁发散原理，所有粒子均沿轴正方向射出磁场Ⅰ，设某一粒子进入磁场II时，与轴正方向夹角为0， 则该粒子进入磁场时速度为，如图所示 设该粒子在磁场中做圆周运动，半径为，洛伦兹力提供向心力，有 则轨迹的圆心到轴的距离为 代入第一问结果，得 由此可见，所有粒子进磁场II后做圆周运动的圆心均在离轴距离为的水平线上，即此时接收屏距离轴的距离为，根据圆的特点，打到屏上的速度垂直于半径，而半径在接收屏所在的平面，因此所有粒子均能垂直打在接收屏上。 在点沿与轴负方向成向左上方射出的粒子恰好能打在屏上时，该粒子左侧的所有粒子都可以打在屏上，右侧的粒子则不能打在屏上，即有三分之一的粒子经磁场偏转后能直接打在屏上，设这时屏需要移动的距离为L，如图所示， 设该粒子在磁场I中轨迹如图，出磁场时坐标 进入磁场II时的速度大小为，在电场中，根据动能定理有    根据洛伦兹力提供向心力有 解得 即仅有三分之一的粒子经磁场II偏转后能直接打到屏上，接收屏沿轴负方向移动的距离为 三．带电粒子在直边界磁场中运动（共7小题） 10．如图所示，两平行金属板、之间存在垂直纸面的匀强磁场（磁场未画出），板长为板间距的2倍。一束带电粒子以初速度从O点沿中线方向射入两板间的磁场，恰好垂直打在板上，金属板吸收带电粒子后电荷立即被转移走，金属板始终不带电，忽略重力及粒子间相互作用。若仅改变初速度的大小，使粒子能从右侧飞出磁场区域，则最小初速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设板间距为d，板长为，以初速度从O点沿方向射入磁场垂直打在板上，根据几何关系可得半径 以另一初速度沿方向射入磁场后恰好飞出磁场区域，根据几何关系可得 可得 由， 联立可得 故选B。 11．一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子（不计重力），从y轴上的P点以速度v水平向右射入第一象限的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向外），粒子射出磁场时，速度方向与x轴正方向成30°角，且OQ=a。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径为a B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子穿过第一象限的时间为 D．若仅将粒子速度增大为2v，则粒子在磁场中运动轨迹的圆心角不变 【答案】C 【详解】A．作出粒子的运动轨迹，如图所示 根据几何关系可知，粒子运动的轨迹半径为，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力 所以，故B错误； C．由于圆心角为30°，所以粒子穿过第一象限的时间为，故C正确； D．若仅将粒子速度增大为2v，则粒子在磁场中运动轨迹半径增大为原来的2倍，设此过程中的圆心角为θ，根据几何关系可得 即粒子在磁场中运动轨迹的圆心角变小，故D错误。 故选C。 12．如图所示，边长为的正六边形的中心为，六边形内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有比荷大小相等的两个带电粒子、，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点离开磁场，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点射出磁场。不计粒子的重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径为 C．、粒子的速度大小之比为 D．、两粒子在磁场中的运动时间之比为 【答案】C 【详解】A．作出、粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据左手定则可知，、粒子均带负电，故A错误； B．根据粒子的运动轨迹，由几何知识可得，故B错误； C．根据粒子的运动轨迹，由几何知识可得 粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，有 得 由于a、b粒子比荷相同，则速度之比，故C正确； D．根据题意可知，a、b粒子在磁场中的运动周期 粒子在磁场中运动的时间 两粒子在磁场中偏转的圆心角分别为、 则两粒子在磁场中运动的时间之比为，故D错误。 故选C。 13．（多选）如图所示，两个质量相等的带电粒子a和b分别以速度va和vb射入足够长平行边界匀强磁场，磁场宽度为d，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，不计粒子重力及粒子间的影响，则（　　） A．两粒子的周期之比为 B．两粒子的轨迹半径之比为 C．两粒子的电荷量之比为 D．两粒子的速度之比为 【答案】CD 【详解】A．由题图可知，带电粒子a和b在磁场中运动的圆心角分别为和。即， 由于两带电粒子运动时间相同，则可得两粒子的周期之比为，故A错误； B．根据几何关系，由题图可得，两粒子的轨迹半径分别为， 则两粒子的轨迹半径之比为，故B错误； CD．两粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 可得粒子的轨迹半径为 运动的周期为 则可得两粒子的电荷量之比为 两粒子的速度之比为，故CD正确。 故选CD。 14．（多选）如图所示，在坐标系的第三、四象限有一半径为的圆形区域，圆心位于轴上的处，圆形区域内存在垂直坐标平面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为，在处有一足够大的接收屏垂直轴放置，在轴与接收屏之间的区域存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为。在范围内数密度均匀的电子沿轴正方向以相同的速度射入圆形磁场区域，所有的电子都会经过坐标原点，已知电子的比荷为，不计电子重力以及电子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．电子的速度大小均为 B．圆形区域内磁场方向垂直坐标平面向里 C．接收屏上有电子击中的长度为 D．接收屏上有电子击中的长度为 【答案】AD 【详解】B．所有的电子都能经过坐标原点O，根据左手定则可知，圆形区域内的磁场方向垂直纸面向外，故B错误； A．根据“磁聚焦”模型可知，电子在圆形区域磁场内运动的半径为 电子在磁场中运动，由，解得，故A正确； CD．两个磁场的磁感应强度相同，电子在两个磁场做圆周运动的半径相同，都等于L，纵坐标为 电子的运动轨迹恰好与接收屏相切，如图 只有在范围内射入圆形区域磁场的电子会打在接收屏上，根据三角函数得， 解得， 接收屏上有电子击中的长度为，故C错误，D正确。 故选AD。 15．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力，求： (1)粒子带何种电性； (2)粒子的入射速率； (3)粒子离开磁场的位置到O点的最大距离。 【详解】（1）粒子垂直轴离开磁场，因此粒子做顺时针的圆周运动，粒子初始时刻所受洛伦兹力与速度垂直，指向左下方，由左手定则可知粒子带正电。 （2）当时，粒子的运动轨迹如图 由几何关系可知， 由坐标得 洛伦兹力提供向心力 联立解得， （3）令轨迹与轴的交点为，为圆的弦，当为圆周运动的直径时，粒子从轴离开磁场的位置到O点的距离最大，有 粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为 16．某科研小组设计了控制带电粒子运动的装置如图甲所示，在半径为的圆形区域内分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为为其竖直半径。以圆的右侧点为坐标原点建立如图所示的三维坐标系，其中轴水平向右，轴竖直向上。在的空间分布着沿方向的匀强磁场（大小未知），在的空间分布着沿方向的匀强磁场（大小未知），在处有一平行于平面的足够大荧光屏，从距离为的点以沿方向发射初速度大小为的带电粒子，恰好从坐标原点与轴成斜向右上方进入的空间，不计粒子的重力。 (1)求带电粒子的比荷； (2)若，粒子能到达处，求磁感应强度的最小值； (3)若，同时在的空间再加上如图乙所示的电场（沿方向电场为正，粒子通过点），已知。求粒子到达平面的位置坐标。 【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动，由几何关系得，半径为R，洛伦兹力提供向心力 比荷 （2）粒子在磁场中做螺旋线运动 粒子平行磁场方向的速度： 则粒子运动到荧光屏的时间 粒子垂直磁场方向的速度： 则粒子旋转半径 解得 粒子旋转一周的时间 则（n为正整数） 时，B2最小 （3）对粒子受电场力研究：时，（方向向左） x方向的位移 末速度 时，（方向向右） x方向的位移 末速度 一个周期总位移 则从O点运动到荧光屏共需要周期数： 过4个周期后，粒子距荧光屏： 需要的时间： 总时间 对粒子受安培力研究：由（2）粒子在B1处的半径 粒子在B2处的半径 粒子在B1处的周期 粒子在B2处的周期 粒子在每个磁场旋转半圈后进入另一个磁场，故旋转一周的时间 由于 故粒子在y方向的位移为 在z方向的位移为 坐标为 四．带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动（共5小题） 17．如图所示，半径为r的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，9个不计重力的带负电粒子，质量均为m，电荷量均为q，以垂直于圆直径MN的相同速度飞入圆形区域后发生偏转，都恰好能在区域边缘的同一点射出磁场，不计粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子将于N点射出磁场 B．射出粒子的速度方向均相同 C．所有粒子在磁场中的运动时间相等 D．粒子速度大小为 【答案】D 【详解】A．以垂直于圆直径MN的相同速度飞入圆形区域后发生偏转，都恰好能在区域边缘的同一点射出磁场，符合磁会聚模型，由左手定则可得，应于M点射出磁场，A错误； B．磁会聚模型中，各粒子的偏转角不同，由粒子运动轨迹可知，射出粒子方向不相同，B错误； C．磁会聚模型中，质量和电荷量相等的各粒子的偏转角不同，由可知所用时间不同。最上层粒子在磁场中的运动时间最短，最下层粒子在磁场中运动时间最长，C错误； D．对磁会聚模型，应有磁偏转半径为圆形区域半径r，根据牛顿第二定律有 此时粒子速度为，D正确。 故选 D。 18．近日，全新一代“人造太阳”装置——中国环流器二号M装置（HL-2M）在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示，核聚变主要原料氕核（）和氘核（）均从圆心O沿半径方向射出，被约束在半径为R和2R两个同心圆之间的环形区域，该区域存在与环面垂直的匀强磁场。下列说法正确的是（　　） A．若有粒子从该约束装置中飞出，则应减弱磁场的磁感应强度 B．若两种粒子速率相同，氕核（）不会从该约束装置中飞出，则氘核（）也一定不会从该约束装置中飞出 C．若氘核（）在磁场中运动的半径，则氘核（）不会从该约束装置中飞出 D．若氕核（）、氘核（）都不会从该约束装置中飞出，则氘核（）每次在磁场运动的时间一定是氕核（）运动时间的2倍 【答案】C 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若有粒子飞出，要想达到约束效果，则应减小半径，因此应增大磁感应强度，故A错误； B．由上面分析可得 氕核（）与氘核（）速率相同，所带电荷量相同，磁感应强度也相同，氕核（）不会从该约束装置中飞出，但氘核（）质量更大，所以轨道半径更大，氘核有可能飞出该装置，故B错误； C．如图所示 设氘核轨道半径为r，当轨迹和外部大圆相切时是氘核飞出该装置的临界状态，根据几何关系则有 解得 因此若氘核（）在磁场中运动的半径，则氘核（）不会从该约束装置中飞出，故C正确； D．若两者均不飞出磁场，则粒子在磁场中运动的时间取决于粒子偏转的圆心角和粒子圆周运动的周期，尽管氘核（）圆周运动的周期是氕核（）圆周运动周期的2倍，但在磁场中运动的时间不一定是氕核（）的2倍，故D错误。 故选C。 19．（多选）如图所示，在半径为R的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，CD为圆的直径，O为圆心。某时刻从最低点S向磁场内各个方向均匀发射速度大小为v，质量为m，电荷量为+q的粒子。已知磁感应强度大小为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，，下列说法正确的是（　　） A．粒子在该匀强磁场中运动轨迹的半径为R B．在直径CD上有粒子射出的区域长度为R C．从S射入磁场的粒子中可以从直径CD上射出的粒子占比为 D．从直径CD上射出的粒子，在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为 【答案】BC 【详解】A．经分析可知水平向右射入的粒子射出时离点最近，恰好与边相切的粒子射出时离点最远，轨迹如图 洛伦兹力提供向心力 可得，A错误； B．如图所示，由几何关系可知 可得，同理可得 在直径上有粒子射出的区域长度为，B正确； C．由几何关系得，则 所以从射入磁场的粒子，可以从直径上射出的粒子占比为，C正确； D．因为粒子在磁场中运动轨迹对应弧长越长，则运动时间越长 则可得从点射出的粒子弦长最长，在磁场区域内时间最长，由几何关系得对应圆心角为 从点射出的粒子弦长最短，在磁场区域内时间最短，由几何关系得对应圆心角为 故从直径上射出的粒子，在磁场区域内运动的最长时间与最短时间之比为，D错误。 故选BC。 20．如图所示，圆形区域和三角形区域内有垂直纸面向里、磁感应强度大小均为B的匀强磁场，圆形区域半径为R，圆心为O，AC为其一条竖直直径，D为OC中点。三角形区域abc中ac边长为2R，d为ac上的一点、∠a=30°、∠c=90°，四边形adAD为矩形。有一不计重力的带正电粒子（可视为质点），从A点以速度v射入圆形区域，入射方向与AC夹角为30°。粒子以水平速度离开圆形区域后，进入三角形区域abc，运动轨迹与ab边相切并垂直于bc边离开。粒子在圆形和三角形区域内的运动半径均为R，忽略磁场的边界效应，求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在圆形区域的射出点到Ad的距离； (3)粒子在磁场中运动的总时间。 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力 所以 （2）作出粒子的运动轨迹，如图所示 根据几何关系可得 所以粒子在圆形区域的射出点到Ad的距离为 （3）粒子在圆形磁场中的运动时间为 粒子在三角形磁场中的运动时间为 所以粒子在磁场中运动的总时间为 21．如图所示，在直角坐标系xOy的第四象限内有半径为2a的圆形匀强磁场区域，圆心O'坐标为（2a，2a），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里。第一象限有边长为4a的正方形区域Obcd内，在P（a，0）、Q（3a，0）间有沿y轴正方向的电场E，其大小未知且仅随x变化，边长也为4a的正方形区域cdef内有沿x轴负方向大小为E0的匀强电场。点O1（0，2a）处的离子源在某时刻同时均匀地向y轴右侧某范围内，发射质量为m、电荷量为q（q>0）相同速率的同种离子，通过磁场区域后所有离子均从P、Q间垂直x轴进入第一象限。不计离子重力和离子间相互作用力。 (1)求离子的发射速率v0； (2)求离子从O1点出发分别到达P、Q两点所用的时间差； (3)要使离子全部打在e点，求PQ间的电场强度E随x变化的规律。 【详解】（1）由于通过磁场区域后所有离子均从P、Q间垂直x轴进入第一象限，则通过PQ中点离子的轨迹对应的圆心在O′点，所以离子运动的半径为2a，由 得离子的发射速度为 （2）（2）相同速率的同种离子在磁场中运动的半径相同，由磁发散可知，离子通过P点速度方向垂直于x轴向上，离子通过Q点速度方向垂直于x轴向上，如图 由于OP=a，OQ=3a，所以对应P点的离子在磁场中的圆心角 对应Q点的离子在磁场中的圆心角 得， 离子在磁场中运动的周期为 这两个离子出磁场后分别到P、Q的距离相等，所以离子从O1点出发分别到达P、Q两点所用的时间差 （3）要使离子全部打在e点，设离子进入正方形区域cdef的速度为v，离子在这个区域内受到的电场力为qE0，则离子的加速度为 水平方向上 竖直方向上 可得 离子在正方形区域Obcd内，做匀加速运动，则 其中 解得 五．根据粒子运动确定磁场区域的范围（共4小题） 22．如图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则下列说法中不正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【答案】B 【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直BC边射出的粒子在磁场中运动的时间是，由 可得 解得 故A正确，不符题意； B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有 又由得 画出该粒子的运动轨迹如图。 设轨迹半径为R，由几何知识得＋Rcos30°=l 可得 故B错误，符合题意； C．粒子射入磁场的速度大小为 故C正确，不符题意； D．射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为 故D正确，不符题意。 故选B。 23．（多选）如图所示，一带正电粒子从坐标原点O以速度沿与x轴正方向成角射入第一象限内，一段时间后进入方向垂直纸面的矩形匀强磁场中，经磁场偏转后从P点垂直y轴射出磁场。已知P点坐标为，不计粒子重力，则（　　）    A．磁场方向垂直纸面向里 B．粒子在磁场中的运动时间为 C．该矩形磁场的面积可能为 D．粒子进入磁场的位置到y轴的距离为a 【答案】BC 【详解】A．由题意可知，若磁场方向垂直纸面向里，则粒子不可能从P点离开磁场，故磁场的方向应为垂直纸面向外，A错误； B．粒子在磁场中的运动轨迹如图所示    由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动对应的圆心角为 粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 故粒子在磁场中运动的时间为，B正确； C．由图可知，当磁场区域的面积最小时，磁场的边长分别为和 则有，故该矩形磁场的面积可能为，C正确； D．由几何关系可知，粒子进入磁场的位置到y轴的距离为，D错误。 故选BC。 24．如图所示的平面直角坐标系xOy中，在的区域存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面的匀强磁场，第二象限存在一磁感应强度为2B、方向垂直于纸面的圆形有界匀强磁场（磁场均没有画出）。从O点发射一带正电的粒子，比荷为，依次经过、、三点后进入第二象限。粒子经过第二象限圆形有界磁场偏转后恰好回到O点，且回到O点时速度方向与在O点发射时相同。求： (1)粒子从O点发射时的速度v的大小； (2)第二象限圆形磁场的最小面积S； (3)粒子相邻两次经过O点的时间t。 【详解】（1）设粒子在第一象限运动时，粒子轨迹圆半径，根据几何关系有 解得 根据 联立解得 （2）由几何关系，从P点进入第二象限时速度垂直MP连线，与轴负方向夹角，在第二象限轨迹圆半径为，则有 解得 可知，粒子回到O点时速度垂直ON连线，与y轴负方向的夹角仍为，故粒子在第二象限中运动时速度方向改变了，在有界磁场中轨迹所对的圆心角为，所以圆形磁场最小半径为 所以最小面积为 联立解得 （3）由几何关系，在第一象限轨迹所对圆心角为，其运动时间为 粒子在第二象限的磁场中的运动时间为 粒子在第二象限有界磁场外匀速直线运动的距离为 则粒子在第二象限做匀速直线运动的时间为 粒子相邻两次经过O点的时间为 联立解得 25．如图所示，平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与轴、轴分别相切于、点，其圆心为，半径为，磁感应强度大小为、方向垂直平面向里。一带电粒子从点沿方向以速度射入磁场区域，该粒子恰好经过点。现使大量此种带电粒子从点沿不同方向以速度射入磁场区域，其速度方向均处于与方向夹角不超过的范围内，且均在平面内。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)该带电粒子的比荷； (2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）； (3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。 【详解】（1）沿方向入射的粒子恰好经过点，则轨迹圆半径 由牛顿第二定律得 解得比荷 （2）由图可知，粒子从点沿偏右射入在磁场中运动时间最长，在第一象限没有磁场区域运动的位移也最大，故总时间最长。 磁场中运动为三分之一周长， 第一象限没有磁场区域运动的位移 时间 粒子在第一象限内运动的最长时间为 （3）由可知，所有粒子从磁场区域离开时，速度方向均垂直于轴，如图所示 设磁场区域上有粒子离开的最低点为，最高点为，根据几何关系可知，点与圆心重合，右侧轨迹经过点，则有 有粒子经过区域为虚线阴影部分，灰色阴影部分面积相等，则有粒子经过磁场区域的面积 六．临界状态的不唯一或磁场方向的不确定形成多解（共6小题） 26．垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 由图可知磁场变化的周期为 根据 可得在时间内偏转的角度为 同理在在时间内偏转的角度为 设粒子的出发点为，经磁场变化的一个周期的终点为，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得粒子的位移即为a、b两点的距离，则有 从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为 故选D。 27．如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，粒子运动的半径 由洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 将代入，只有选项A符合，故选A。 28．（多选）如图所示为半径为R的半圆形有界匀强磁场（含圆形边界），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外，位于圆心O点处的质子源可在纸面内沿各个方向以相等速率向磁场区域内连续发射质量m、电荷量为q的质子（重力不计），则下列说法正确的是（　　） A．为使所有质子均不会从磁场圆弧边界ACD射出磁场，则质子的速度 B．从圆心O处以斜向右与AD夹角为的方向发射的质子恰从D点射出，则质子的轨道半径为 C．若质子的速率，则质子在磁场中运动的最长时间为 D．若质子的速率，则所有质子在磁场中通过的区域的面积为 【答案】ABD 【详解】A．质子在磁场中做圆周运动，根据题意分析知，要使质子均不从圆弧边界ACD射出磁场，则质子的半径应满足； 由，解得，A正确； B．图甲中，根据几何关系可知 解得，B正确； C．若质子的速率，则如图乙所示，当质子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的弦为磁场区域圆的半径时，质子在磁场中有最长运动时间； 由几何关系可知，故，C错误； D．若质子的速率，由图乙可知待求磁场区域面积为图中阴影部分面积； 则，D正确。 故选ABD。 29．（多选）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 【答案】AD 【详解】A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意作出粒子的运动轨迹，如图甲所示 根据 解得 由几何关系可知 则有 A正确； B．由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O点的时间 由于 解得 B错误； CD．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点，如图乙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得 若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴的左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次经过O点，如图丙所示 由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得 C错误，D正确。 故选AD。 30．如图甲所示，矩形区域内部有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，、分别为、边中点。现在从点平行方向以某一初速度射入一个质量为，电荷量为的正电粒子，发现该粒子刚好从点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，边长为，，该粒子的比荷，不计粒子重力。 (1)求该粒子射入磁场时的速度大小； (2)若取垂直纸面向外为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从点平行射入，发现粒子恰好能从点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图1所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可知 代入数据，解得 由洛伦兹力提供向心力 代入数据，解得粒子射入磁场时的速度大小 （2）因为，而粒子圆周运动周期为 粒子的轨迹如图2所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 由 联立上述方程可解得（、2、3…） 粒子运动时间 由于周期性，粒子转过的角度为（、2、3…） 代入上述公式，可解得（、2、3…） 代入数据解得（、2、3…） 31．如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为。折线的顶角，P、Q是折线上的两点，。现有一质量为、电荷量为的带负电微粒从点沿方向射出，不计微粒的重力。 (1)若P、Q之间外加一个与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为射出的微粒沿直线运动到点，则电场强度应为多大？ (2)撤去电场，为使微粒从点射出后，途经折线的顶点而到达点，求初速度应该满足什么条件？ (3)求（2）中微粒从点到点所用的时间。 【详解】（1）由电场力与洛伦兹力平衡可得 得 （2）根据运动的对称性，微粒能从点经点运动到点，应满足（n为整数） 其中为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为或 设圆弧的半径为，则有 解得 结合 由以上各式可解得 （3）如图所示，当取奇数时，微粒从到的过程中圆心角的总和为 故其运动时间 当取偶数时，微粒从到的过程中圆心角的总和为 故其运动时间为 七．（共4小题） 32．如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从点射入，从点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在点速率大于在点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从点左侧的下边界射出 D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长 【答案】C 【详解】A．带电粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电，故A错误； B．磁场对带电粒子不做功，因此粒子在点速率等于在点速率，故B错误； C．若增大磁感应强度，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径减小，带电粒子偏转角度更大，粒子可能从点左侧的下边界射出，故C正确； D．带电粒子在磁场中做圆周运动的周期，仅增大入射速率，半径增大，粒子从点右侧的下边界射出，弦长和圆心角的一半如图 在磁场中运动的圆心角减小，粒子在磁场中运动时间减小，故D错误。 故选C。 33．如图所示，在边长为L的正方形区域里有大小不变的垂直于纸面向里的匀强磁场，有a、b、c三个带电粒子（不计重力）依次从A点沿方向水平射入磁场，其运动轨迹分别如图所示，带电粒子a从边中点E射出，b从C点射出，c从D点射出。下列说法正确的是（    ） A．三个粒子均带正电荷 B．若三个粒子的比荷相等，则a、b、c三个粒子在磁场中的速率之比为 C．a、b、c三个粒子在磁场中的运动时间之比一定为 D．若三个粒子射入时动量相等，则a、b、c三个粒子的带电量之比为 【答案】B 【详解】A．三个粒子在A点受洛伦兹力均向下，由左手定则可知三个粒子均带负电荷，故A错误； B．a、b、c三个粒子在磁场中的轨迹半径之比为 由洛伦兹力提供向心力,可得 若三个粒子的比荷相等，则速率之比等于半径之比，故B正确； C．a、b、c三个粒子在磁场中运动的圆心角之比为 运动时间为 由于比荷之比未知，则运动时间之比不能确定，故C错误； D．由可得 若三个粒子射入时动量相等，则带电量与成反比，为，故D错误。 故选B。 34．（多选）如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子从cb边射出磁场，则粒子的速度 C．若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是 D．若粒子的速度，则粒子出射时速度方向与轴正方向夹角的正弦值为 【答案】BD 【详解】A．若粒子恰好从c点射出磁场，根据几何关系可知，粒子圆周运动半径为 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得，故A错误； B．若粒子从cb边射出磁场，则 则粒子的速度，故B正确； C．根据， 得，若粒子从d点射出，可知圆心角为180°，时间最长，最长时间 若粒子从c点射出，可知圆心角为90°，时间最短，最短时间 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是，故C错误； D．若粒子的速度 则轨迹圆半径 则粒子从cd边射出，设粒子射出磁场时速度方向与y轴正方向夹角为，则，故D正确。 故选BD。 35．真空区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场磁感应强度的大小为B，正方形MNPQ的边长为L。Q处有一个粒子源，可沿QM方向发射速度大小不同的带正电的粒子，粒子的质量为m、电荷量为q、重力不计。求： (1)若粒子可到达P点，粒子速度的大小v； (2)若粒子可到达N点，粒子从Q到N所用的时间t。 【详解】（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 粒子到达点， 解得 （2）粒子从到，由几何关系半径，粒子从到圆心角 由 运动的时间为 解得 八．带电粒子在多个组合边界磁场中的运动（共3小题） 36．在未来的深空探测任务中，科学家需要利用磁场对带电粒子的偏转作用设计粒子导航装置。某实验模型中，研究人员构建了一个矩形磁场区域来模拟粒子的偏转过程。如图所示，矩形区域内存在如图所示的磁场，区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子由边的中点处垂直于边射入磁场区域，粒子在区域内偏转后进入区域，粒子恰好未从边射出。已知边长为，边长为。不计粒子重力，则粒子在区域内运动的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由几何关系可知 解得 粒子运动的轨迹如图所示，粒子在abd区域内偏转了，可知其圆心为b点，其运动的轨迹半径为2L，设粒子在bcd区域内运动的半径为r。 由几何关系可知 解得 故选D。 37．（多选）如图所示，在x轴上方存在垂直纸面向内的足够大磁场，x轴下方存在一垂直纸面向外的圆形磁场，磁感应强度均为B，且圆形磁场与x轴相切于原点O，半径为R。在第三象限有一线状粒子发射源，其上下端纵坐标分别为和，可发射沿x正方向的带电粒子。已知所有粒子电量为q，质量为m，均从原点射入第一第二象限磁场区域。在x轴正半轴区域存在足够长的特殊接收板（未画出），粒子打到板上发生“反弹”，即粒子与板作用前后速度方向与x轴的夹角大小相等，但速率减半，板上会留下荧光印记。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子的速率 B．从O点射入x轴上方区域的粒子与y轴的最大夹角为30° C．接收板上最近和最远的印记之间的距离为 D．接收板上最近和最远的印记之间的距离为 【答案】BD 【详解】A．由于进入圆形磁场的粒子均从原点射出，则为磁汇聚模型，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径与圆形磁场半径相等，即 解得，故A错误； B．从O点射入x轴上方区域的粒子与y轴的夹角最大时轨迹如图 由几何关系得， 解得 粒子从最下方射入圆形磁场时，通过O点射入x轴上方区域时与y轴的夹角也为30°，从其他点射入时，通过O点射入x轴上方区域时与y轴的夹角均小于30°，故B正确； CD．B选项中的运动轨迹，即为接收板上出现最近印记时的轨迹，由几何关系可得，粒子在第一象限运动轨迹的偏转角为120°，轨迹弦长为； 接收板上出现最远印记时的轨迹如下图所示 运动起点位于线状粒子发射源的中点，在第一象限的运动轨迹为半圆，打在x轴上坐标为2R，因为反弹之后粒子速率会减半，继续向右偏转，后续轨迹均为半圆，半径变为原来的一半，所以后续距离为等比数列，首项为2，公比为 根据等比数列求和公式 可知最大距离为4R 所以接收板上最近和最远的印记之间的距离为，故C错误，D正确。 故选BD。 38．在高能物理的稳态磁约束聚变研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其模型简化图如图所示，圆心均为O点的内圆半径为R、外圆半径为2R的圆环形区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，内圆半径上的M点有一粒子源，可沿平行纸面的各个方向发射速度大小不同、质量均为m、电荷量均为的同种粒子，M，点到圆心的距离为，粒子源发射出的各种速率的粒子在各个方向都是均匀分布的。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 (1)当时，求粒子不从外圆射出去的速度的最大值； (2)当时，求速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比； (3)当时，若粒子都不会从外圆射出去，求此时速度的最大值；若有部分粒子可从外圆射出，求没有从外圆射出去的粒子中，速度的最大值。 【详解】（1）由牛顿第二定律有 解得 当时，从圆心O点沿半径方向向外发射粒子如图所示。 由几何关系有 解得运动半径 故 （2）当时，速度为的粒子，运动半径，入射点在内圆上，向纸面内各个方向均匀发射，如图所示。 当入射方向与环的半径夹角为时，那么进入磁场再进入内圆再进入磁场时的夹角都为，也就是不会从外圆出去。由几何关系可知，在图中OM线上方范围入射的粒子都会从外圆射出去，在OM线下方范围入射的粒子都不会从外圆射出去。所以当时，速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比为。 （3）当时，由几何关系，下图中粒子源发出速度大小相同的粒子，从A点竖直向上进入磁场，角最大，最有可能从外圆射出去，即如果它都没有出去，则这个速度大小的粒子从其他方向发射也不会从外圆射出去，此时角为。 由余弦定理有 解得 所以 同理，由几何关系可知，图丙中粒子源发出的粒子，从B点向下进入磁场，角最大，最有可能射不出外圆，若它刚好射不出，此时角为，有 所以 速度大小为的粒子中，只有沿MB方向射出的恰好不会从外圆射出去，其他方向发射的都会从外圆射出去；速度大小比小的粒子沿各个方向发射都不会从外圆射出去，速度大小介于到之间的粒子要看发射方向，一部分会从外圆射出去，一部分不会从外圆射出去。 九．动态圆模型（共3小题） 39．如图所示，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板接收到的粒子数占总粒子数量的 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【详解】A．由洛伦兹力提供向心力 解得 运动周期 最长时间对应圆心角 则最长时间，故A错误； B．薄板的上表面接收到粒子最远点对应轨迹为半圆，最远点距点为 最近点距点为 则薄板的上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．如图与相切的轨迹为临界情况，对应的圆心角，则速度偏向角等于，从点出发时与轴正向夹角为，则薄板接收到的粒子数占总粒子数量的，故C正确； D．最短时间为粒子刚好到达点，对应圆心角为，由几何关系可得 则最短时间，不等于，故D错误。 故选C。 40．（多选）如图所示，在平面存在一半径的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在圆心O处有一粒子源，粒子源沿平面，朝第三象限范围内的各个方向发射同种带正电的粒子，且粒子源朝各个方向发射的粒子数目均匀分布，发射出的粒子速度大小相等，所带电荷量为q，质量为m。在处有一平行于x轴放置的水平挡板，挡板足够长，与圆形磁场区域分别交于A、B两点，挡板上C点坐标为。从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，且发现有两种不同方向的粒子会打在挡板上的同一位置。若不计带电粒子重力，粒子打在挡板上就被吸收，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置的区域长度为 C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，挡板至少要逆时针转动 D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，则能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，且打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的 【答案】ABD 【详解】A．从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，则沿方向射出的粒子轨迹恰好与挡板相切，由几何关系可得，粒子的轨迹半径为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 解得，故A正确； B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置，如图所示，根据“旋转圆”的知识可知，该区域长度是C到A之间的部分 根据几何知识可知，区域长度为，故B正确； C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，粒子到达挡板上恰好没有重叠时，如图所示 根据旋转圆的知识并结合几何知识可知，此时挡板与x轴的夹角为，即挡板至少要逆时针转动，故C错误； D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，粒子源发射位置不变，粒子运动的轨迹半径仍为a，其轨迹如图所示 根据“磁发散”原理可知，能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，水平向左射入的粒子能够从C点射出；速度方向与轴负方向夹角为45°的粒子从O点射入磁场时，由几何关系可知，则射出位置点到C点的水平距离为 区域长度 则打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的，故D正确。 故选ABD。 41．如图所示，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为+q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子入射速率； (2)粒子离开磁场的位置到O点的最大距离； (3)粒子在磁场中运动的最长时间。 【详解】（1）当时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为 洛伦兹力提供向心力 所以粒子入射速率 （2）粒子离开磁场距离O点最远时，设位置为M，粒子在磁场中的轨迹为半圆，此时PM是圆的一条直径，如图所示 根据几何关系可知 解得 （3）当粒子速度方向沿y轴正方向运动时，在磁场中运动时间最长，此时由几何关系知，粒子圆弧轨迹对应的圆心角为 其中周期 所以最长时间为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.1带电粒子在匀强磁场中的运动（专题训练） 一．带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期公式（共4小题） 二．带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算（共5小题） 三．带电粒子在直边界磁场中运动（共7小题） 四．带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动（共5小题） 五．根据粒子运动确定磁场区域的范围（共4小题） 六．临界状态的不唯一或磁场方向的不确定形成多解（共6小题） 七．（共4小题） 八．带电粒子在多个组合边界磁场中的运动（共3小题） 九．动态圆模型（共3小题） 一．带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期公式（共4小题） 1．在垂直于纸面向里的匀强磁场中，有两电荷量相同的粒子a、b以相同速度从O点沿纸面进入磁场，运动轨迹如图所示，不计粒子间的作用力及粒子的重力，则（　　） A．粒子a、b都带正电 B．粒子a的质量大于粒子b的质量 C．粒子a的加速度小于粒子b的加速度 D．粒子a的运动周期小于粒子b的运动周期 2．如图甲所示，有界匀强磁场I的宽度与如图乙所示的圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场I，从右边界射出时速度方向偏转了角；该粒子以另一初速度从N点沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了角。已知磁场I、Ⅱ的磁感应强度相同，不计粒子受到的重力，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）在粒子物理研究中，带电粒子在云室等探测装置中的径迹是非常重要的实验证据。某云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从O点发出了两个正电子和一个电子，其轨迹如图中甲、乙、丙所示。已知正电子的质量与电子相同，电荷量与电子大小相等。下列说法正确的是（　　） A．磁场的方向垂直于纸面向里 B．轨迹甲对应的是电子 C．轨迹乙对应的粒子速度越来越大 D．轨迹丙对应的粒子初速度最大 4．如图所示，一质量为、带电荷量为的粒子以速度垂直射入一有界匀强磁场区域内，速度方向跟磁场左边界垂直，从右边界离开磁场时速度方向偏转角，磁场区域的宽度为，求： (1)带电粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)磁感应强度的大小； (3)粒子在磁场中运动的时间。 二．带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算（共5小题） 5．如图所示，光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于中心轴的、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直横截面向里，筒上P点开有一个小孔，过P点的横截面是以O为圆心的圆。若一个（不计重力）质量为m，电量为q的带正电粒子以速率沿PO射入，与筒壁碰撞2次后刚好从小孔射出，若此带电粒子以速率（大小未知）沿PO射入，与筒壁碰撞3次后刚好从小孔射出，每次碰撞均为弹性碰撞且电荷量保持不变，不计粒子重力，圆筒的半径R和的大小为（　　） A．； B．； C．； D．； 6．如图所示，空间直角坐标系O点处有一粒子源，在yoz平面内沿着与y轴正方向成射出速度大小为的正电粒子。整个空间存在沿y轴正方向的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子做匀速直线运动 B．粒子做匀速圆周运动 C．粒子轨迹在xoy平面上的投影为一条直线 D．粒子轨迹在xoz平面上的投影为圆 7．（多选）如图所示，在坐标系内存在匀强磁场和匀强电场，电场方向沿z轴正方向，磁场方向沿z轴负方向。一质子从点处沿y轴正方向入射，其轨迹与z轴的第1个交点坐标为。若质子的质量为m，带电荷量为q，入射速度大小为，不计质子所受的重力，则下列说法正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．质子轨迹一定过点 D．质子轨迹与z轴的第5个交点为 8．如图所示，一个质量为、电荷量为的带正电荷的粒子，从轴上的点以速度沿与轴成角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直轴射出第一象限。已知，不计该粒子重力。求 (1)带电粒子在磁场中运动的半径； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。 9．在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。如图所示为一控制粒子运动装置的模型。在平面直角坐标系的第二象限内，一半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁场I的边界圆刚好与两坐标轴相切，与轴的切点为，与轴的切点为，在第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在轴下方区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场II，磁场II中有一垂直于轴的足够长的接收屏。点处有一粒子源，粒子源在坐标平面内均匀地向第二象限的各个方向射出带正电粒子，粒子射出的初速度大小均为。已知沿轴正向射出的粒子恰好通过点，该粒子经电场偏转后以与轴正方向成的方向进入磁场II，并恰好能垂直打在接收屏上。磁场I、II的磁感应强度大小均为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求粒子的比荷； (2)求匀强电场的电场强度大小； (3)将接收屏沿轴负方向平移，直至仅有三分之一的粒子经磁场II偏转后能直接打到屏上，求接收屏沿轴负方向移动的距离。 三．带电粒子在直边界磁场中运动（共7小题） 10．如图所示，两平行金属板、之间存在垂直纸面的匀强磁场（磁场未画出），板长为板间距的2倍。一束带电粒子以初速度从O点沿中线方向射入两板间的磁场，恰好垂直打在板上，金属板吸收带电粒子后电荷立即被转移走，金属板始终不带电，忽略重力及粒子间相互作用。若仅改变初速度的大小，使粒子能从右侧飞出磁场区域，则最小初速度为（　　） A． B． C． D． 11．一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子（不计重力），从y轴上的P点以速度v水平向右射入第一象限的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向外），粒子射出磁场时，速度方向与x轴正方向成30°角，且OQ=a。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径为a B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子穿过第一象限的时间为 D．若仅将粒子速度增大为2v，则粒子在磁场中运动轨迹的圆心角不变 12．如图所示，边长为的正六边形的中心为，六边形内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有比荷大小相等的两个带电粒子、，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点离开磁场，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点射出磁场。不计粒子的重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径为 C．、粒子的速度大小之比为 D．、两粒子在磁场中的运动时间之比为 13．（多选）如图所示，两个质量相等的带电粒子a和b分别以速度va和vb射入足够长平行边界匀强磁场，磁场宽度为d，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，不计粒子重力及粒子间的影响，则（　　） A．两粒子的周期之比为 B．两粒子的轨迹半径之比为 C．两粒子的电荷量之比为 D．两粒子的速度之比为 14．（多选）如图所示，在坐标系的第三、四象限有一半径为的圆形区域，圆心位于轴上的处，圆形区域内存在垂直坐标平面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为，在处有一足够大的接收屏垂直轴放置，在轴与接收屏之间的区域存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为。在范围内数密度均匀的电子沿轴正方向以相同的速度射入圆形磁场区域，所有的电子都会经过坐标原点，已知电子的比荷为，不计电子重力以及电子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．电子的速度大小均为 B．圆形区域内磁场方向垂直坐标平面向里 C．接收屏上有电子击中的长度为 D．接收屏上有电子击中的长度为 15．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力，求： (1)粒子带何种电性； (2)粒子的入射速率； (3)粒子离开磁场的位置到O点的最大距离。 16．某科研小组设计了控制带电粒子运动的装置如图甲所示，在半径为的圆形区域内分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为为其竖直半径。以圆的右侧点为坐标原点建立如图所示的三维坐标系，其中轴水平向右，轴竖直向上。在的空间分布着沿方向的匀强磁场（大小未知），在的空间分布着沿方向的匀强磁场（大小未知），在处有一平行于平面的足够大荧光屏，从距离为的点以沿方向发射初速度大小为的带电粒子，恰好从坐标原点与轴成斜向右上方进入的空间，不计粒子的重力。 (1)求带电粒子的比荷； (2)若，粒子能到达处，求磁感应强度的最小值； (3)若，同时在的空间再加上如图乙所示的电场（沿方向电场为正，粒子通过点），已知。求粒子到达平面的位置坐标。 四．带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动（共5小题） 17．如图所示，半径为r的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，9个不计重力的带负电粒子，质量均为m，电荷量均为q，以垂直于圆直径MN的相同速度飞入圆形区域后发生偏转，都恰好能在区域边缘的同一点射出磁场，不计粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子将于N点射出磁场 B．射出粒子的速度方向均相同 C．所有粒子在磁场中的运动时间相等 D．粒子速度大小为 18．近日，全新一代“人造太阳”装置——中国环流器二号M装置（HL-2M）在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示，核聚变主要原料氕核（）和氘核（）均从圆心O沿半径方向射出，被约束在半径为R和2R两个同心圆之间的环形区域，该区域存在与环面垂直的匀强磁场。下列说法正确的是（　　） A．若有粒子从该约束装置中飞出，则应减弱磁场的磁感应强度 B．若两种粒子速率相同，氕核（）不会从该约束装置中飞出，则氘核（）也一定不会从该约束装置中飞出 C．若氘核（）在磁场中运动的半径，则氘核（）不会从该约束装置中飞出 D．若氕核（）、氘核（）都不会从该约束装置中飞出，则氘核（）每次在磁场运动的时间一定是氕核（）运动时间的2倍 19．（多选）如图所示，在半径为R的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，CD为圆的直径，O为圆心。某时刻从最低点S向磁场内各个方向均匀发射速度大小为v，质量为m，电荷量为+q的粒子。已知磁感应强度大小为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，，下列说法正确的是（　　） A．粒子在该匀强磁场中运动轨迹的半径为R B．在直径CD上有粒子射出的区域长度为R C．从S射入磁场的粒子中可以从直径CD上射出的粒子占比为 D．从直径CD上射出的粒子，在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为 20．如图所示，圆形区域和三角形区域内有垂直纸面向里、磁感应强度大小均为B的匀强磁场，圆形区域半径为R，圆心为O，AC为其一条竖直直径，D为OC中点。三角形区域abc中ac边长为2R，d为ac上的一点、∠a=30°、∠c=90°，四边形adAD为矩形。有一不计重力的带正电粒子（可视为质点），从A点以速度v射入圆形区域，入射方向与AC夹角为30°。粒子以水平速度离开圆形区域后，进入三角形区域abc，运动轨迹与ab边相切并垂直于bc边离开。粒子在圆形和三角形区域内的运动半径均为R，忽略磁场的边界效应，求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在圆形区域的射出点到Ad的距离； (3)粒子在磁场中运动的总时间。 21．如图所示，在直角坐标系xOy的第四象限内有半径为2a的圆形匀强磁场区域，圆心O'坐标为（2a，2a），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里。第一象限有边长为4a的正方形区域Obcd内，在P（a，0）、Q（3a，0）间有沿y轴正方向的电场E，其大小未知且仅随x变化，边长也为4a的正方形区域cdef内有沿x轴负方向大小为E0的匀强电场。点O1（0，2a）处的离子源在某时刻同时均匀地向y轴右侧某范围内，发射质量为m、电荷量为q（q>0）相同速率的同种离子，通过磁场区域后所有离子均从P、Q间垂直x轴进入第一象限。不计离子重力和离子间相互作用力。 (1)求离子的发射速率v0； (2)求离子从O1点出发分别到达P、Q两点所用的时间差； (3)要使离子全部打在e点，求PQ间的电场强度E随x变化的规律。 五．根据粒子运动确定磁场区域的范围（共4小题） 22．如图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则下列说法中不正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 23．（多选）如图所示，一带正电粒子从坐标原点O以速度沿与x轴正方向成角射入第一象限内，一段时间后进入方向垂直纸面的矩形匀强磁场中，经磁场偏转后从P点垂直y轴射出磁场。已知P点坐标为，不计粒子重力，则（　　）    A．磁场方向垂直纸面向里 B．粒子在磁场中的运动时间为 C．该矩形磁场的面积可能为 D．粒子进入磁场的位置到y轴的距离为a 24．如图所示的平面直角坐标系xOy中，在的区域存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面的匀强磁场，第二象限存在一磁感应强度为2B、方向垂直于纸面的圆形有界匀强磁场（磁场均没有画出）。从O点发射一带正电的粒子，比荷为，依次经过、、三点后进入第二象限。粒子经过第二象限圆形有界磁场偏转后恰好回到O点，且回到O点时速度方向与在O点发射时相同。求： (1)粒子从O点发射时的速度v的大小； (2)第二象限圆形磁场的最小面积S； (3)粒子相邻两次经过O点的时间t。 25．如图所示，平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与轴、轴分别相切于、点，其圆心为，半径为，磁感应强度大小为、方向垂直平面向里。一带电粒子从点沿方向以速度射入磁场区域，该粒子恰好经过点。现使大量此种带电粒子从点沿不同方向以速度射入磁场区域，其速度方向均处于与方向夹角不超过的范围内，且均在平面内。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)该带电粒子的比荷； (2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）； (3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。 六．临界状态的不唯一或磁场方向的不确定形成多解（共6小题） 26．垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 27．如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（    ） A． B． C． D． 28．（多选）如图所示为半径为R的半圆形有界匀强磁场（含圆形边界），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外，位于圆心O点处的质子源可在纸面内沿各个方向以相等速率向磁场区域内连续发射质量m、电荷量为q的质子（重力不计），则下列说法正确的是（　　） A．为使所有质子均不会从磁场圆弧边界ACD射出磁场，则质子的速度 B．从圆心O处以斜向右与AD夹角为的方向发射的质子恰从D点射出，则质子的轨道半径为 C．若质子的速率，则质子在磁场中运动的最长时间为 D．若质子的速率，则所有质子在磁场中通过的区域的面积为 29．（多选）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 30．如图甲所示，矩形区域内部有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，、分别为、边中点。现在从点平行方向以某一初速度射入一个质量为，电荷量为的正电粒子，发现该粒子刚好从点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，边长为，，该粒子的比荷，不计粒子重力。 (1)求该粒子射入磁场时的速度大小； (2)若取垂直纸面向外为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从点平行射入，发现粒子恰好能从点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 31．如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为。折线的顶角，P、Q是折线上的两点，。现有一质量为、电荷量为的带负电微粒从点沿方向射出，不计微粒的重力。 (1)若P、Q之间外加一个与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为射出的微粒沿直线运动到点，则电场强度应为多大？ (2)撤去电场，为使微粒从点射出后，途经折线的顶点而到达点，求初速度应该满足什么条件？ (3)求（2）中微粒从点到点所用的时间。 七．（共4小题） 32．如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从点射入，从点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在点速率大于在点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从点左侧的下边界射出 D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长 33．如图所示，在边长为L的正方形区域里有大小不变的垂直于纸面向里的匀强磁场，有a、b、c三个带电粒子（不计重力）依次从A点沿方向水平射入磁场，其运动轨迹分别如图所示，带电粒子a从边中点E射出，b从C点射出，c从D点射出。下列说法正确的是（    ） A．三个粒子均带正电荷 B．若三个粒子的比荷相等，则a、b、c三个粒子在磁场中的速率之比为 C．a、b、c三个粒子在磁场中的运动时间之比一定为 D．若三个粒子射入时动量相等，则a、b、c三个粒子的带电量之比为 34．（多选）如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ） A．若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子从cb边射出磁场，则粒子的速度 C．若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是 D．若粒子的速度，则粒子出射时速度方向与轴正方向夹角的正弦值为 35．真空区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场磁感应强度的大小为B，正方形MNPQ的边长为L。Q处有一个粒子源，可沿QM方向发射速度大小不同的带正电的粒子，粒子的质量为m、电荷量为q、重力不计。求： (1)若粒子可到达P点，粒子速度的大小v； (2)若粒子可到达N点，粒子从Q到N所用的时间t。 八．带电粒子在多个组合边界磁场中的运动（共3小题） 36．在未来的深空探测任务中，科学家需要利用磁场对带电粒子的偏转作用设计粒子导航装置。某实验模型中，研究人员构建了一个矩形磁场区域来模拟粒子的偏转过程。如图所示，矩形区域内存在如图所示的磁场，区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子由边的中点处垂直于边射入磁场区域，粒子在区域内偏转后进入区域，粒子恰好未从边射出。已知边长为，边长为。不计粒子重力，则粒子在区域内运动的半径为（　　） A． B． C． D． 37．（多选）如图所示，在x轴上方存在垂直纸面向内的足够大磁场，x轴下方存在一垂直纸面向外的圆形磁场，磁感应强度均为B，且圆形磁场与x轴相切于原点O，半径为R。在第三象限有一线状粒子发射源，其上下端纵坐标分别为和，可发射沿x正方向的带电粒子。已知所有粒子电量为q，质量为m，均从原点射入第一第二象限磁场区域。在x轴正半轴区域存在足够长的特殊接收板（未画出），粒子打到板上发生“反弹”，即粒子与板作用前后速度方向与x轴的夹角大小相等，但速率减半，板上会留下荧光印记。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子的速率 B．从O点射入x轴上方区域的粒子与y轴的最大夹角为30° C．接收板上最近和最远的印记之间的距离为 D．接收板上最近和最远的印记之间的距离为 38．在高能物理的稳态磁约束聚变研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其模型简化图如图所示，圆心均为O点的内圆半径为R、外圆半径为2R的圆环形区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，内圆半径上的M点有一粒子源，可沿平行纸面的各个方向发射速度大小不同、质量均为m、电荷量均为的同种粒子，M，点到圆心的距离为，粒子源发射出的各种速率的粒子在各个方向都是均匀分布的。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 (1)当时，求粒子不从外圆射出去的速度的最大值； (2)当时，求速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比； (3)当时，若粒子都不会从外圆射出去，求此时速度的最大值；若有部分粒子可从外圆射出，求没有从外圆射出去的粒子中，速度的最大值。 九．动态圆模型（共3小题） 39．如图所示，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板接收到的粒子数占总粒子数量的 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 40．（多选）如图所示，在平面存在一半径的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在圆心O处有一粒子源，粒子源沿平面，朝第三象限范围内的各个方向发射同种带正电的粒子，且粒子源朝各个方向发射的粒子数目均匀分布，发射出的粒子速度大小相等，所带电荷量为q，质量为m。在处有一平行于x轴放置的水平挡板，挡板足够长，与圆形磁场区域分别交于A、B两点，挡板上C点坐标为。从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，且发现有两种不同方向的粒子会打在挡板上的同一位置。若不计带电粒子重力，粒子打在挡板上就被吸收，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置的区域长度为 C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，挡板至少要逆时针转动 D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，则能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，且打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的 41．如图所示，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为+q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子入射速率； (2)粒子离开磁场的位置到O点的最大距离； (3)粒子在磁场中运动的最长时间。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $