2026年中考数学一轮复习学案 12 二次函数及其应用

中考数学一轮复习学案 12 二次函数及其应用 ■考点一　二次函数的相关概念► 1、二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式： y=a（x–h）2+k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． ■考点二　二次函数的图象与性质► 1、二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 顶点 a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最值点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大 当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小 2、抛物线的图象变换 1）二次函数图象的翻折与旋转 抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h)²-k； 沿x轴翻折变为：y= -a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h)²+k； 2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． ■考点三　二次函数与各项系数之间的关系► 1.抛物线开口的方向可确定a的符号： 抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 2.对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）： 对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0 3.与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 4.特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）： 若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0； 5.其他辅助判定条件： 1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=； 3）韦达定理：具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 ■考点四　二次函数与方程、不等式► 1、二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。 ■考点五　二次函数的实际应用► 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 2.利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 3.利用二次函数解决拱桥（门）/隧道/喷泉/球类运行轨迹类问题的方法：先建立适当的 平面直角坐标系 ，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线的解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 4.利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量及范围，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 5.利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的 坐标 或表示出与动点有关的线段 长度 ，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． ■考点六　二次函数的几何问题► 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全等、相似、最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立 二次函数 的模型，从而使问题得到解决，解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 1.二次函数与几何图形的长度（面积）问题 二次函数与几何图形的长度（面积）问题一般是利用距离或面积公式表示出图形长度（面积）的函数关系式（一般是二次函数的表达式），再利用函数的解析式的特点求长度（面积）的最值问题；此外还会涉及到长度（面积）相等、给出长度（面积）的值等问题，其核心处理方法都是表示出长度（面积）的表达式，再去研究相关的性质。 2.二次函数与特殊三角形 1）在二次函数的图象中研究等腰三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶角与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段； 2）在二次函数的图象中研究直角三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 3.二次函数特殊平行四边形 在二次函数的图象中研究平行四边形的问题常会用到平行四边形的一些性质之间的转化，同时此类问题也会涉及到矩形、菱形、正方形的确定，其分析思想是互通的。 4.二次函数与线段和、差的最值问题 在二次函数的图象中研究线段的和、差最值问题,一般会用到将军饮马、胡不归、阿氏圆、瓜豆原理等来解决相关最值问题。 5.利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的 坐标 ；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段 长度 或其他点的 坐标 等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． ■易错提示► 1. 二次函数的辨别中切记保证a≠0，而b，c可以为任意实数（即可为0）； 2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围； 3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。 一、单选题 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A． B．y=3x C．y=2x+1 D． 2．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80，设这种产品每天的销售毛利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w=(x-30)(-2x+80) B．w=x(-2x+80) C．w=30(－2x+80) D．w=x(-2x+50) 3．关于抛物线 下列说法错误的是(　　) A．图象的开口向下 B．当x>0时，y随x的增大而减少 C．图象的顶点坐标是(-1，2) D．图象与y轴的交点坐标为(0，2) 4．对二次函数及其图象的描述正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标为（0，0） C．最小值为-3 D．当x>0时，y随x的增大而增大 5．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 6．在同一坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 8．若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．已知二次函数图象的对称轴为直线，x=1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc>0；②b-2a<0；③a-b+c>0；④a+b>n(an+b)(n≠1)；⑤2c<3b.其中正确的是(　　). A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤ 10．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 11． 已知二次函数 （a≠0）的图象如图所示，则下列选项中错误的是 （　　） A．b=-2a B．关于x的方程 的解为 C． D．点A（a，b+c）在第三象限 12．如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（　　） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 二、填空题 13．把抛物线先向上平移个单位，再向右平移个单位，那么所得抛物线是　 　． 14．若函数 的图象的顶点在第一象限，则m 的取值范围为　 　. 15．已知抛物线过，两点，则　 　．（填“”，“”或“”） 16．二次函数的最大值是　 　． 17．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解　 　． 18．已知二次函数 函数值y和自变量x的部分对应值如下表： x 　 0 1 2 3 　 y 　 m 2 m -2 　 则关于x的一元二次方程的解是　 　. 三、综合题 19．如图，已知抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． （1）求c、t的值； （2）若点P是抛物线第一象限内的一个动点，且满足，求点P坐标． 20．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线下方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 21． 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； （3）作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 22．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； （3）连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A、属于二次函数，故A符合题意； B、属于一次函数，故B不符合题意； C、属于一次函数，故C不符合题意； D、属于反比例函数，故D不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据二次函数的定义“形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数”进行判断即可. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意得，w=(x-30)y， 即w=(x-30)(-2x+80)， 故答案为：A. 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：对于抛物线，其为顶点式的形式，其中，，。 ∵，∴抛物线开口向下，选项A正确； 抛物线的对称轴为直线，开口向下，∴当时，随的增大而减小， 又∵，∴当时，随的增大而减小，选项B正确； 抛物线的顶点坐标为，即，选项C正确； 令，则，∴抛物线与轴的交点坐标为，并非，选项D错误， 故答案为：D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式中，的符号决定开口方向，为顶点坐标，直线为对称轴，根据这些性质可直接判断开口方向、顶点坐标和函数的增减性；求抛物线与轴的交点坐标时，令代入解析式求出对应的值，即可得到交点坐标，据此逐一判断各选项即可找到错误的说法。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：， ∴开口向上；顶点坐标为(-2，-4)；最小值为-4；当x>-2时， y随x的增大而增大； 故符合要求的为D选项， 故答案为：D. 【分析】把二次函数化为顶点式，然后根据二次函数的性质逐项判断解答即可. 5．【答案】C 6．【答案】A 【解析】【解答】解：，， 二次函数经过坐标原点，故B、C选项错误； A、根据二次函数开口向上，对称轴， 所以，， 一次函数经过第一三象限，，与轴负半轴相交， 所以，，符合，故A正确； D、二次函数图象开口向下，，一次函数经过第一三象限，，矛盾，故D错误． 故答案为：A． 【分析】 根据二次函数的值为0，确定二次函数图象经过坐标原点可判断B、C；再根据值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限可判断A；再根据二次函数图象开口向下，，一次函数经过第一三象限与矛盾可判断D；逐一判断即可解答． 7．【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到. 故答案为：D. 【分析】抛物线经过平移后，a的值不会发生改变，据此判断. 8．【答案】B 【解析】【解答】解： 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， 当时，y取最大值4， 需满足， 即， 当时，， 解得或， 直线与抛物线的交点为和， 为保证最小值恰为，需使区间内所有点的纵坐标都大于或等于， ， 结合， 可得． 故选：B． 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案. 9．【答案】D 【解析】【解答】①由题图可知a<0，b>0，c>0，abc<0，故①错误； ②由于a<0，所以-2a>0.又b>0，所以b-2a>0，故②错误； ③当x=-1时，y=a-b+c<0，故③错误； ④当x=1时，y的值最大，此时y=a+b+c， 而当x=n时， 所以n≠1时， 故，即a+b>n(an+b)，故④正确； ⑤当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且该抛物线的对称轴是直线即代入得得2c<3b，故⑤正确. 故答案为：D. 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点的位置得到a，b，c的取值范围判断①；根据a<0，b>0，求出b-2a>0判断②；根据x=-1时y<0判断③；根据当x=1是y有最大值判断④；根据x=3时y<0，再结合抛物线的对称轴为 b-2a>0得到2c<3b判断⑤解答即可. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得 ①由函数图象得a＜0，c＞0，， ∴b＜0， ∴，①错误； ②由题意得当x=2时，，②正确； ③当x=-1时，函数值最大， ∴， ∴，③错误； ④∵点和点在该图象上，对称轴为x=-1， ∴，④正确； ∴正确的结论为②④， 故答案为：D 【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意对选项逐一判断即可求解。 11．【答案】D 【解析】【解答】解：根据函数图象可知 ∴b=-2a，故A正确，不合题意； ∵图象与x轴的一个交点为(-1，0) ∴图象与x轴的另一个交点为(3，0) ∴ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=3，故B正确，不合题意； 由题意可知y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a， ∴c=-3a， ∵1<c<2， ∴1<-3a<2， ∴，故C正确，不合题意； ∵a<0. ∴b=-2a>0. ∵c>0， ∴b+c>0. ∴点A(a，b+c)在第二象限，故D错误，符合题意 故答案为：D. 【分析】A、根据，得到b=-2a； B、抛物线与x轴的交点为(-1，0)，(3，0)得到ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=3； C、把交点式化成一般式，根据1<c<2，即可得到1<-3a<2，解得； D、利用图象求得a<0，b+c>0，则点A(a，b+c)在第二象限. 12．【答案】D 【解析】【解答】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意； 方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意； 故答案为：D． 【分析】有函数图象可知A、B、C不符合题意；方程ax2+bx+c=x+h可变形，则解为或，故D符合题意。 13．【答案】 14．【答案】m>0 【解析】【解答】解：∵ 函数 的图象的顶点在第一象限， ∴m>0，m+1>0， ∴m>0. 故答案为：m>0 . 【分析】根据图象的顶点坐标在第一象限列出不等式，进而得出答案. 15．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵抛物线过，两点， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】根据点A，B坐标代入解析式可得m，n值，再比较大小即可求出答案. 16．【答案】 【解析】【解答】解：y=-x2-3x+4=-（x2+3x）+4=， ∵-1＜0，∴函数有最大值为：. 故第1空答案为：. 【分析】用配方法把二次函数的一般形式，转化为：，可得函数的最大值为：。 17．【答案】 18．【答案】x1=3， x2=-1 【解析】【解答】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数的对称轴为直线， 根据表格点在二次函数的图象上， ∴点关于直线的对称点是点， ∴关于的一元二次方程的解是， 即关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 【分析】根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点关于直线的对称点是点，再进一步作答即可． 19．【答案】（1）解：将代入得：， ∴， 令， 解得：，， ∴ 即． 综上，． （2）解：设点P的纵坐标为n，其中，∵ ∴ ∴ ∵， ∴，即， ∴． 令， 解得，（舍） 故． 【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式即可求出c的值，令即可求出t的值； （2）设点P的纵坐标为n，根据列出方程求出n的值，再将n的值代入抛物线表达式，求出横坐标即可． （1）解：将代入得： ， ∴， 令， 解得：，， ∴即． （2）设点P的纵坐标为n，其中， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，即， ∴． 令， 解得，（舍） 故． 20．【答案】（1）解：将，代入的， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：如图，过作x轴的垂线，垂足为H， ∵，， ∴， 由翻折可得， ∵ ∴对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）解：设所在直线的解析式为，把B、C坐标代入得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线与x轴所成夹角为， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点P代入得， ∴， 令，则， 解得， ∴ ∴ ∵点P在直线下方， ∴， ∴当时，的最大值为 【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法即可求解； （2）过作x轴的垂线，垂足为H，先根据点A和点B的坐标求出AB，进而根据折叠得到AB'，再根据二次函数的图象结合题意即可得到AH，进而根据含30°角的直角三角形的性质结合正切函数即可求解； （3）先根据待定系数法求出直线BC的函数解析式，设，设所在直线的解析式为：，得，令，得到，再结合题意分别得到和，进而计算根据二次函数的最值即可求解。 （1）解：将，代入的， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过作x轴的垂线，垂足为H， ∵，， ∴， 由翻折可得， ∵ ∴对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）设所在直线的解析式为， 把B、C坐标代入得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线与x轴所成夹角为， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点P代入得， ∴， 令，则， 解得， ∴ ∴ ∵点P在直线下方， ∴， ∴当时，的最大值为． 21．【答案】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴， ∽， ， 设的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时的最大值为， 此时点的坐标为； （3）解：由中心对称可知，抛物线与的公共点为直线与抛物线的右交点， 当时，解得舍或， ， 抛物线：的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 设， 当为平行四边形的对角线时，，解得， ； 当为平行四边形对角线时，， ； 当为平行四边形的对角线时，时，解得， ； 综上所述：点坐标或或． 【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，由平行于三角形一边得直线截其他两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CDM∽△ODB，由相似三角形对应边成比例得，设，则，由两点间距离公式可得，当时，CM有最大值，此时的最大值为，从而即可求出点C的坐标； （3）由中心对称可知，抛物线与的公共点为直线与抛物线的右交点，求出，抛物线的顶点坐标为，设，当为平行四边形的对角线时，；当为平行四边形对角线时，；当为平行四边形的对角线时，． 22．【答案】（1）解：将，分别代入， 得，解得， ∴二次函数的表达式为。 （2）解：设，由，，可得直线的表达式为， 设， ∴， 当时，， ∴点的坐标为时，的最大值为4。 （3）解：存在，理由如下：如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）首先得出可得直线的表达式为，然后假设，得，求解即可； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，求解即可。 （1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $