第6卷 指数函数与对数函数（教师讲解卷）广东省（“3+证书”考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第6卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝b(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式：alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式：logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 【真题精讲】 1．（2026·广东·真题T16）_____. 2.（2025·广东·真题T16）计算： . 3.（2024·广东·真题T13）已知函数，若，则（     ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 2．函数和在同一坐标系中图像之间的关系是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 3．计算的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5．计算 . 【拓展提升】 一、选择题 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 6．计算_________. 7．已知，，则 ． 8．函数的定义域 ． 9．已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ． 10．若函数在区间上的最大值与最小值的和为6，则 . 二、解答题 11．已知指数函数（，且），过点． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 12．已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第6卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝b(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式：alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式：logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 【真题精讲】 1．（2026·广东·真题T16）_____. 【答案】 【分析】根据指数和对数的运算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 2.（2025·广东·真题T16）计算： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 3.（2024·广东·真题T13）已知函数，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入可求出t的值，再求的值即可. 【详解】因为函数为， ，即， 故. 故选：A. 【举一反三】 1．已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 【答案】C 【分析】由对数式与指数式的互化，得到，进而求出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 2．函数和在同一坐标系中图像之间的关系是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质结合函数的对称性即可求解. 【详解】因为函数和在的定义域都为，且， 即函数上的点关于x轴的对称点都在函数的图像上， 所以与的图像关于轴对称． 故选：A. 3．计算的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据对数的运算规则，即可求解. 【详解】， 故选：B 4．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质，以及指数函数和对数单调性即可求解 【详解】， 因为在R上为增函数， 因为，所以， 因为在上为减函数， 因为，所以， 所以. 故选：D. 5．计算 . 【答案】36 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 【拓展提升】 一、选择题 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的真数大于0，求解对数函数的定义域即可. 【详解】根据真数大于0可以得到， 因式分解可得， 解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，即， 因为指数函数在定义域实数集R上是单调增函数， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：B. 3．函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据分母不为零和对数真数部分大于零列式求解即可. 【解析】由分母不为零可得：，即， 解得，且由对数真数部分大于零可知， 则函数定义域为：. 故选：A. 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用的解析式，结合对数与指数的运算法则即可得解. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：B. 5．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，先将函数化简，再代入运算比较。 【详解】∵的底数为10 ∴是增函数，且时，，时，. 可知， 故选：C 二、填空题 6．计算_________. 【答案】3 【分析】利用对数运算解答即可. 【详解】由可知， 故答案为：3. 7．已知，，则 ． 【答案】10 【分析】根据题意，结合指数和对数的运算，即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以． 故答案为：. 8．函数的定义域 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域求解即可. 【详解】若使函数有意义，则且. 解得且. 所以函数定义域为. 故答案为：. 9．已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的运算性质和对数函数上的定点坐标即可解得. 【详解】由题，函数， 则可令，解得， 则，故所求定点坐标为. 故答案为： 10．若函数在区间上的最大值与最小值的和为6，则 . 【答案】5 【分析】由指数函数的单调性，分和讨论，即可得解. 【详解】由函数在区间上的最大值与最小值的和为6， 当时，指数函数在区间上单调递增，最大值为,最小值为, 所以，即，解得，符合题意； 当时，指数函数在区间上单调递减，最大值为,最小值为, 所以，即，解得，不符合题意. 故答案为：5. 二、解答题 11．已知指数函数（，且），过点． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式中求出的值即可. （2）根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】（1）指数函数（，且）过点， ，， . （2）由（1）可知，， 又，且在上为单调递增， ，， ，的取值范围是. 12．已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）将点代入函数中即可求解； （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ∵函数的图像经过点， ∴，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，且， 若，则，即， ∵函数在R上为单调递增函数， ∴，解得， ∴不等式的解集为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $