第10卷 数列（教师讲解卷）广东省（“3+证书”考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第10卷 数列 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.数列前n项和Sn与an的关系：已知Sn，则. 2.等差数列 (1)定义：(常数)(n≥2，n∈N*)或(常数)(n∈N*)． (2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有. (3)通项公式：. (4)前n项和公式：或. (5)常用性质： ①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若{an}为等差数列，且若,则 3.等比数列 (1)定义：(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． (3)通项公式：. (4)前n项和公式： (5)等比数列的性质 ①an＝am·qn－m(m，n∈N*)． ②若，且，则 【真题精讲】 1．（2026·广东·真题T14）已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 2.（2026·广东·真题T19）在等比数列中，公比，，则_____. 3.（2026·广东·真题T23）已知等差数列满足，. （1）求的通项公式; （2）设，求数列的前项和. 【举一反三】 1．在等差数列中，，，则（   ） A．390 B．395 C．400 D．405 2．已知数列满足，，则（   ） A．18 B．27 C．39 D．73 3．在等比数列中，若，，则（ ） A. 5 B. 9 C. 14 D. 27 4．等比数列的公比，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5．已知数列是等比数列，，公比，则数列的前5项和为 . 【拓展提升】 一、选择题 1．已知数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 2．若为等比数列，且，，则（ ） A.54 B.72 C.81 D.162 3． 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 4．已知数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，已知与是方程的两个根，则＝（    ） A．5 B．－5 C．10 D． 二、填空题 6．已知等差数列的前n项和为，，则公差 . 7．若数列满足，且，则数列的通项公式______. 8．在等差数列中，若，则_________. 9．设等差数列的前n项和为．若，，则的最小值为______． 10．已知数列满足，，，则 . 二、解答题 11．在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若数列满足，求数列的前项和. 12．已知等差数列满足，. （1）求通项公式； （2）设，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第10卷 数列 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.数列前n项和Sn与an的关系：已知Sn，则. 2.等差数列 (1)定义：(常数)(n≥2，n∈N*)或(常数)(n∈N*)． (2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有. (3)通项公式：. (4)前n项和公式：或. (5)常用性质： ①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若{an}为等差数列，且若,则 3.等比数列 (1)定义：(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． (3)通项公式：. (4)前n项和公式： (5)等比数列的性质 ①an＝am·qn－m(m，n∈N*)． ②若，且，则 【真题精讲】 1．（2026·广东·真题T14）已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】根据数列的递推公式即可求解. 【详解】由题意得，，，则， . 即数列是以为一周期循环的数列，所以. 故选：C. 2.（2026·广东·真题T19）在等比数列中，公比，，则_____. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式求值即可. 【详解】已知等比数列中， 公比，， 则，解得， 故答案为：. 3.（2026·广东·真题T23）已知等差数列满足，. （1）求的通项公式; （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程求解即可. （2）运用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 已知等差数列满足，， 设公差为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 ， 则， ， 则， 所以. 【举一反三】 1．在等差数列中，，，则（   ） A．390 B．395 C．400 D．405 【答案】D 【分析】根据等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，， 所以. 故选：D. 2．已知数列满足，，则（   ） A．18 B．27 C．39 D．73 【答案】B 【分析】根据题意，结合数列的递推公式，代入即可求解． 【详解】因为数列满足， 又， 所以， 所以． 故选：B. 3．在等比数列中，若，，则（ ） A. 5 B. 9 C. 14 D. 27 【答案】B 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】由题意，设等比数列的公比为，则， 又，， 所以， 所以. 故选：B. 4．等比数列的公比，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【解析】， 因为公比， 所以. 故选：C. 5．已知数列是等比数列，，公比，则数列的前5项和为 . 【答案】31 【分析】根据题意，结合等比数列的前n项和公式，代入即可求解. 【详解】因为数列是等比数列，，公比， 所以. 故答案为：31. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的定义计算等比数列的公比，再求的值即可. 【详解】由，可得，又已知， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 2．若为等比数列，且，，则（ ） A.54 B.72 C.81 D.162 【答案】D 【解析】因为，，所以，， 故选：D. 3． 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由数列递推式依次代入求解即可. 【详解】，，. 故选：A. 4．已知数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的关系求解即可. 【详解】当时，， 当时， ， 又因为符合， 所以． 故选：D. 5．在等差数列中，已知与是方程的两个根，则＝（    ） A．5 B．－5 C．10 D． 【答案】A 【分析】根据韦达定理得到，再结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为与是方程的两个根， 所以， 在等差数列中，， 则. 故选：A. 二、填空题 6．已知等差数列的前n项和为，，则公差 . 【答案】2 【分析】根据等差数列通项公式，前n项和公式展开计算即可. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：2 7．若数列满足，且，则数列的通项公式______. 【答案】 【分析】利用构造法求解数列通项公式即可. 【详解】因为，所以， 又， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列. 所以，则. 故答案为：. 8．在等差数列中，若，则_________. 【答案】 【分析】由等差数列的性质可知，根据已知条件求解即可. 【详解】在等差数列中，. 故答案为：. 9．设等差数列的前n项和为．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由题目条件列方程求出，用等差数列前n项和公式写出，进而求出其最值. 【详解】因为为等差数列，， 由等差中项可得，，又， 可得，解得， 所以， 所以当时，取最小值为. 故答案为：. 10．已知数列满足，，，则 . 【答案】3 【分析】根据递推公式构造出等比数列并求出通项公式，代值求即可. 【详解】∵，∴，即， 且，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，若，则，解得. 故答案为：3. 二、解答题 11．在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，可解出公差的值，再利用等差数列的通项公式与求和公式求解即可； （2）由（1）可得，利用裂项相消的方法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，解得：， 所以等差数列的通项公式为：， 等差数列的前项和为. （2）由（1）可得, 所以数列的前项和. 12．已知等差数列满足，. （1）求通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由等差数列的定义求出公差，再求出的通项公式即可； （2）由（1）求出数列的通项公式，判断出数列是等差数列，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设公差为，则， ，, 故所求通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，， 故是等差数列，首项和公差均为1， 故数列的前10项和为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $