第9卷 解三角形（教师讲解卷）广东省（“3+证书”考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第9卷 三角恒等变换、解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； （2）cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； （3）sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； （4）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； （5）tan(α－β)＝； （6）tan(α＋β)＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin αcos α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 3.常用的部分三角公式 （1）sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式) （2）asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) 4.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 5.三角形常用面积公式及变形公式 （1）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （2）A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 【真题精讲】 1．（2026·广东·真题T20） 已知，，则的值为_____. 2.（2026·广东·真题T21）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求的值； （2）设是边上的点，且，求的长. 3.（2025·广东·真题T21）在中，内角的对边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积. 【举一反三】 1．（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则的面积为 . 【拓展提升】 一、选择题 1．已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 2．已知的面积为，，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．在中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B．3 C．6 D．12 5．在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题 6．________． 7．在中，内角的对边分别，若，，，则 ． 8．已知，且，则_________. 9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 . 10．已知，均为锐角，，，则 . 二、解答题 11．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 12．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第9卷 三角恒等变换、解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； （2）cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； （3）sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； （4）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； （5）tan(α－β)＝； （6）tan(α＋β)＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin αcos α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 3.常用的部分三角公式 （1）sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式) （2）asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) 4.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 5.三角形常用面积公式及变形公式 （1）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （2）A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 【真题精讲】 1．（2026·广东·真题T20） 已知，，则的值为_____. 【答案】 【分析】对已知式子进行平方处理，根据同角三角函数的平方关系与两角差的余弦公式求解即可. 【详解】∵，， ∴①， ②， ①②可得，， 即， ∴. 故答案为：. 2.（2026·广东·真题T21）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求的值； （2）设是边上的点，且，求的长. 【答案】（1） （2） 分析】（1）根据正弦定理解三角形即可. （2）根据余弦定理解三角形即可. 【小问1详解】 已知在中，，，， 由正弦定理得，即， 则，解得 【小问2详解】 设是边上的点， 则中，，，， 所以 ， 因为，所以. 3.（2025·广东·真题T21）在中，内角的对边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）由三角形的面积公式可知的面积求解即可. 【详解】（1）因为内角的对边分别是，，，， 由余弦定理可得：， 所以. （2）由三角形的面积公式可知的面积. 【举一反三】 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和的余弦公式，结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】. 故选：B. 2．在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得， ∴. 故选：B. 3．在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和条件等式整体代入求角A的余弦值即可求角. 【详解】由可得：， 则，且△ABC中，， 则. 故选：C. 4．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 5．在中，，，，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意得出是等腰三角形，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】在中，，则是等腰三角形，且， 则， 故答案为：. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，两边平方得， 即，， 故选：A. 2．已知的面积为，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】已知的面积为，， ， 即，解得. 故选：C. 3．在中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由题意知，， 因为是三角形内角，所以. 故选：C. 4．已知，则（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】利用二倍角公式计算求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 5．在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理及倍角公式得到，结合，解得或，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 即，故， 因为，且属于三角形内角，所以，所以或， 解得或， 所以为等腰或直角三角形. 故选：C 二、填空题 6．________． 【答案】 【分析】利用诱导公式、和角公式求值. 【详解】故答案为：. 7．在中，内角的对边分别，若，，，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理结合特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】因为在中，内角的对边分别，且，，， 由余弦定理可知， 因为，所以， 故答案为：. 8．已知，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由角的取值范围和同角三角函数关系知，再由三角函数两角和的正弦公式即可得结果. 【详解】因为，所以，， . 故答案为：. 9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 . 【答案】 【分析】由题意，根据正弦定理可得，据此可求解. 【详解】由题意，根据正弦定理可得 ， ， . 故答案为： 10．已知，均为锐角，，，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合两角差的余弦公式和同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】因为，均为锐角，， 所以， 所以，又， 所以， 所以. 故答案为：. 二、解答题 11．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，代入所给条件求值. （2）由余弦定理，求同角正弦值，再根据正弦定理，进而求解. 【详解】（1）∵. （2）∵，， ∴，， 由正弦定理得：，解得， ∴. 12．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式求值即可. （2）根据正弦定理求出的值，由此即可求出周长. 【详解】（1）已知，， 则， 所以 . （2）已知，，若， 则由正弦定理，得， 即，， 所以的周长为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $