第7卷 三角函数的概念及运算（教师讲解卷）广东省（“3+证书”考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第7卷 三角函数的概念及运算 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.终边相同的角： 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}. 2. 弧长公式、扇形面积公式： 若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝ r ;扇形面积公式S扇＝r2＝lr． 3. 任意角的三角函数： (1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)． (2)三角函数值在各象限的符号： sinα　　　　　cosα　　　　　tanα 4. 同角三角函数的基本关系： ①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα． 5. 诱导公式： 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【真题精讲】 1．（2025·广东·真题T02）的值是（    ） A．1 B． C． D． 2.（2024·广东·真题T02）（     ） A． B． C． D． 3.（2024·广东·真题T20）已知，则 . 【举一反三】 1．已知，且，则（ ） A. B. C. D. 2． 的值是（ ） A. B. C. D. 3．若，则属于（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第一、二象限角 D．第一、三象限角 4．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边经过点，求的值（    ） A． B． C． D． 5．设单位圆与角的终边交于点，则的坐标是______. 【拓展提升】 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．若是锐角，则 C．第一象限角都是锐角 D．小于的角都是锐角 2．（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．若，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．设是第三象限的角，则点是第 象限. 7．已知，则 . 8．若，则__________． 9．若，则 ． 10．机械手臂旋转时，从初始位置旋转了弧度，若机械手臂长度为，则机械手臂端点划过的扇形面积为 . 二、解答题 11．已知为第二象限角，且. (1)求与的值； (2)求的值. 12．已知角的终边与单位圆交于点. (1)求出，的值； (2)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第7卷 三角函数的概念及运算 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.终边相同的角： 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}. 2. 弧长公式、扇形面积公式： 若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝ r ;扇形面积公式S扇＝r2＝lr． 3. 任意角的三角函数： (1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)． (2)三角函数值在各象限的符号： sinα　　　　　cosα　　　　　tanα 4. 同角三角函数的基本关系： ①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα． 5. 诱导公式： 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【真题精讲】 1．（2025·广东·真题T02）的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：D. 2.（2024·广东·真题T02）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角三角函数值求解即可. 【详解】易知， 故选：C. 3.（2024·广东·真题T20）已知，则 . 【答案】1 【分析】先由同角三角函数的平方关系代换1，再由弦化切求解即可. 【详解】∵，， ∴ . 故答案为：1. 【举一反三】 1．已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据同角三角函数基本关系式求解即可. 【详解】因为. 所以. 故选：A. 2． 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】. 故选：B. 3．若，则属于（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第一、二象限角 D．第一、三象限角 【答案】D 【分析】根据三角函数的正负判断角所在象限即可. 【详解】因为，所以说明与同号， 当且时，是第一象限角； 当且时，是第三象限角； 所以属于第一、三象限． 故选：D． 4．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边经过点，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由角的终边经过点P，可得角的正弦值和余弦值，应用二倍角公式求解即可 【详解】因为角的终边经过点，故原点到点P的距离， 所以可得，， 由余弦的二倍角公式可得. 故选:A. 5．设单位圆与角的终边交于点，则的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合任意角三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为单位圆与角的终边交于点， 所以点P的坐标为， 又，， 所以点P的坐标是. 故答案为：. 【拓展提升】 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．若是锐角，则 C．第一象限角都是锐角 D．小于的角都是锐角 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的定义及任意角的相关定义逐项判断即可得解. 【详解】对于A，和角的终边相同，但，故A错误； 对于B，是锐角，即，故B正确； 对于C，是第一象限角，但不是锐角，故C错误． 对于D，，但不是锐角，故D错误． 故选：. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】 . 故选：A. 3．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式及同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】因为，即， 又， 所以. 故选：D. 4．若，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据诱导公式化简，得到，，即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 又当时，在第一二象限或轴的正半轴上， 当时，在第二三象限或轴的负半轴上， 综上,在第二象限. 故选：B. 5．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式，同角三角函数的平方关系，结合各象限角的三角函数值符号即可求解. 【详解】因为，又因为，解得， 所以，则， 则. 故选：C. 二、填空题 6．设是第三象限的角，则点是第 象限. 【答案】二 【分析】根据角在第几象限判断余弦值和正切值的正负，即可判断点所在象限. 【详解】是第三象限的角， 所以， 所以点的横坐标为负，纵坐标为正， 所以点在第二象限. 故答案为:二. 7．已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据诱导公式化简，再由同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】由，可得， 因为，所以， 则， 故答案为：. 8．若，则__________． 【答案】## 【分析】将平方，再根据同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，即， 所以，得到， 所以， 故答案为： 9．若，则 ． 【答案】/-0.5 【分析】通过诱导公式化简，运用同角三角函数关系，将其化成齐次式，即可求得结果. 【详解】化简， 又因为，所以， 即. 故答案为： 10．机械手臂旋转时，从初始位置旋转了弧度，若机械手臂长度为，则机械手臂端点划过的扇形面积为 . 【答案】/ 【分析】根据扇形的面积公式可求解. 【详解】由扇形面积公式，，，可得 . 故答案为： 二、解答题 11．已知为第二象限角，且. (1)求与的值； (2)求的值. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据题意,由得,再根据同角三角函数平方关系,求出,进而即可求出. （2）根据题意及（1）的结论,化简即可求出. 【详解】（1）, , , 又为第二象限角,故,故,. （2）根据题意及（1）得 . 12．已知角的终边与单位圆交于点. (1)求出，的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求解三角函数值；（2）先利用诱导公式进行化简，再结合第一问求得的结果求出，利用弦化切，最后求得结果. 【详解】（1）由题意得P为单位圆上一点，，且点在第一象限， 所以， （2）由（1）得：，，所以，所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $