高考数学11大必备知识53考点+二级结论全归纳（知识清单）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

高考数学必备知识+二级结论全归纳（详版） 内容导览 知识·结论清单 知识点01 集合与常用逻辑用语（4大考点） 1 知识点02 一元二次函数、方程与不等式（3大考点） 4 知识点03 函数性质与基本初等函数（7大考点） 7 知识点04 一元函数的导数及其应用（4大考点） 15 知识点05 三角函数与解三角形（4大考点） 19 知识点06 平面向量与复数（4大考点） 24 知识点07 数列（3大考点） 29 知识点08 立体几何与空间向量（8大考点） 33 知识点09 平面解析几何（8大考点） 43 知识点10 统计与成对数据的统计分析（3大考点） 54 知识点11 计数原理、概率、随机变量及其分布列（5大考点） 60 知识点01 集合与常用逻辑用语 1、考向聚焦 核心考查集合的运算（交集、并集、补集）、集合间的关系（子集、真子集），以及充分必要条件、全称量词与存在量词的判断．命题侧重基础应用，多以单选题形式出现，考查学生的逻辑严谨性、符号理解能力与基础运算能力，是高考必考送分模块，偶尔结合不等式考查集合运算． 2、思维瓶颈 （1）忽略空集的特殊性，解题时遗漏“空集是任何集合的子集、任何非空集合的真子集”这一条件，导致分类讨论不完整； （2）混淆充分必要条件的判断方向，误将“p推q”等同于“q推p”，或不会利用“小范围推大范围”的技巧快速判断； （3）对集合描述法中“代表元素”理解偏差（如混淆点集{(x,y)|y=x}与数集{x|y=x}），导致运算错误； （4）全称量词与存在量词的否定规则掌握不熟练，否定时遗漏量词或否定结论． 3、能力清单 （1）数学抽象：能准确理解集合、命题、量词的抽象概念，区分不同符号的含义； （2）逻辑推理：能熟练判断充分必要条件，掌握量词否定的逻辑规则，进行简单的逻辑论证； （3）数学运算：能熟练进行集合的交、并、补运算，结合不等式求解集合范围； （4）分类讨论能力：能针对含参数集合问题，分空集与非空集合进行讨论，避免遗漏情况． 考点01 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 考点02 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 考点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 考点04 常用逻辑用语 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． 3、全称量词命题与存在量词命题 （1）全称量词与全称量词命题 ①短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． ②全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 （2）存在量词与存在量词命题 ①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． ②存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 （3）命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． ①全称量词命题的否定：全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． ②存在量词命题的否定：存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 知识点02 一元二次函数、方程与不等式 1、考向聚焦 核心考查一元二次函数的图像与性质、一元二次方程的根的分布、一元二次不等式的解法，以及三个知识点的综合应用．命题侧重基础运算与逻辑推理，题型涵盖选择题、填空题，偶尔结合函数、导数、数列考查综合题，是后续学习的基础，分值稳定在5-10分，注重考查数形结合思想与分类讨论思想． 2、思维瓶颈 （1）解一元二次不等式时，忽略二次项系数的符号，导致不等号方向错误； （2）对一元二次方程根的分布问题，不会利用判别式、韦达定理、函数图像进行分析，遗漏限制条件（如对称轴位置、端点函数值符号）； （3）不会利用一元二次函数的最值解决恒成立问题，混淆“恒成立”与“存在性”问题的区别； （4）基本不等式应用时，忽略“一正二定三相等”的条件，导致最值求解错误． 3、能力清单 （1）数学抽象：能抽象出一元二次函数、方程、不等式之间的内在联系，理解三者的等价转化关系； （2）逻辑推理：能根据二次项系数、判别式判断方程根的情况，推导不等式的解集，分析恒成立问题的条件； （3）数学运算：能熟练求解一元二次不等式、一元二次方程的根，利用基本不等式求最值； （4）直观想象：能画出一元二次函数的图像，利用图像分析根的分布、不等式的解集与函数最值． 考点01 等式与不等式的性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 考点02 三个二次之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 考点03 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为， 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)． 知识点03 函数性质与基本初等函数 1、考向聚焦 核心考查函数的概念、定义域、值域、解析式，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，以及一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质．命题侧重基础应用与综合分析，题型涵盖选择、填空、解答题（基础问），是导数、不等式等模块的基础，分值10-15分，注重考查数形结合思想、转化与化归思想． 2、思维瓶颈 （1）忽略函数定义域的限制（如对数真数大于0、分式分母不为0、偶次根式被开方数非负），导致后续运算或性质判断出错； （2）对函数奇偶性、周期性、对称性的综合应用理解不透彻，无法快速转化条件（如由对称性推导周期性）； （3）混淆基本初等函数的图像与性质（如指数函数与对数函数的单调性、过定点情况）； （4）求解函数值域时，不会选择合适的方法（如换元法、配方法、单调性法），或忽略定义域对值域的限制． 3、能力清单 （1）数学抽象：能抽象出函数的核心特征，理解函数概念的本质，区分不同类型函数的特点； （2）逻辑推理：能通过函数性质推导结论，结合单调性、奇偶性判断函数值的大小、解集等； （3）数学运算：能熟练求解函数的定义域、值域、解析式，掌握基本初等函数的运算规则； （4）直观想象：能画出基本初等函数的图像，利用图像分析函数性质、解决函数问题． 考点01 函数的概念及其表示 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 考点02 函数的单调性与奇偶性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示． 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性． （2）与的单调性相反． （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反． （4）若≥0，则与具有相同的单调性． （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性． （6）与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 4、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 5、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 考点03 函数的周期性与对称性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数的对称性 （1）关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． （2）关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 考点04 幂函数及其性质 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 2、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 考点05 指数与指数函数 1、根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 （4）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 2、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 3、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 4、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 考点06 对数与对数函数 1、对数与对数运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系 （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)， 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. 2、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 3、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 4、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 考点07 函数零点与二分法 1、函数零点的定义 （1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2、函数零点存在定理 （1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （2）两个重要推论 推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． 推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 3、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 知识点04 一元函数的导数及其应用 1、考向聚焦 核心考查导数的定义、几何意义，导数的四则运算、复合函数求导法则，以及导数在函数单调性、极值、最值中的应用，导数与不等式、方程、函数的综合问题．命题侧重综合应用与逻辑推理，同时客观题覆盖基础求导与导数几何意义，注重考查分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想． 2、思维瓶颈 （1）复合函数求导时，遗漏内层函数的导数； （2）导数应用中，误认为则是极值点（忽略两侧导函数符号需改变）； （3）含参函数的单调性、极值、最值问题中，不会合理分类讨论参数范围，导致漏解或错解； （4）不会利用导数证明不等式、解决不等式恒成立问题，无法将不等式转化为函数的最值问题． 3、能力清单 （1）数学抽象：能理解导数的定义与几何意义，抽象出导数与函数单调性、极值、最值的内在联系； （2）逻辑推理：能通过导数符号判断函数单调性，论证函数的极值、最值，对含参问题进行分类讨论，推导不等式成立的条件； （3）数学运算：熟练掌握导数的四则运算、复合函数求导法则，能求解函数的导数、极值、最值； （4）直观想象：能结合函数图像，利用导数分析函数的单调性、极值点分布，解决方程交点问题． 考点01 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 考点02 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． （3）求复合函数导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回． 考点03 导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 考点04 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、函数极值与最值的关系 （1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个． （2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值． 知识点05 三角函数与解三角形 1、考向聚焦 核心考查三角函数的定义、同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图像与性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性），三角恒等变换（两角和与差、二倍角公式），以及解三角形（正弦定理、余弦定理、面积公式）．命题侧重基础应用与综合运算，题型涵盖选择、填空、解答题（基础/中档），注重考查数形结合思想、转化与化归思想、运算求解能力． 2、思维瓶颈 （1）诱导公式记忆不牢固，符号判断错误； （2）三角恒等变换中，不会合理选择公式（如二倍角公式的变形应用），运算出错； （3）解三角形时，忽略三角形内角和为、边角关系的限制，导致多解或漏解（如已知两边及其中一边的对角，未判断解的个数）； （4）三角函数图像变换中，混淆“相位平移”与“周期变换”的顺序，导致图象变换错误． 3、能力清单 （1）数学抽象：能理解三角函数的定义，抽象出三角函数图像与性质的内在联系； （2）逻辑推理：能利用诱导公式、三角恒等变换推导结论，结合三角形内角和、边角关系判断解的个数； （3）数学运算：熟练掌握同角三角函数基本关系、诱导公式、三角恒等变换公式，能求解三角函数值、解三角形； （4）直观想象：能画出三角函数的图像，利用图像分析函数性质、进行图像变换． 考点01 任意角与弧度制 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2、弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 考点02 三角函数的相关公式 1、同角三角函数基本关系式 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1. （3）商数关系：＝tan α. （3）基本关系式的几种变形 ①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． ②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. ③sin α＝tan αcos α. 2、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 4、二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 5、辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 考点03 三角函数的图象与性质 1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 3、y＝Asin(ωx＋φ)的图象 （1）y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ （2）用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 （3）三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 考点04 解三角形及其应用 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 4、解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 知识点06 平面向量与复数 1、考向聚焦 核心考查平面向量的概念、线性运算（加法、减法、数乘）、数量积，平面向量的坐标运算，以及复数的概念、复数的四则运算、复数的几何意义．命题侧重基础应用与运算，难度较低，注重考查运算求解能力与数形结合思想，是高考送分模块之一． 2、思维瓶颈 （1）平面向量数量积运算中，混淆“向量夹角”的定义导致运算错误； （2）忽略平面向量数量积的运算性质与实数乘法的区别； （3）复数运算中，混淆虚数单位i的幂运算规则，或复数除法不会分母实数化； （4）复数的几何意义理解不透彻，不会将复数与复平面内的点、向量对应起来． 3、能力清单 （1）数学抽象：能理解平面向量、复数的概念，抽象出平面向量数量积、复数运算的本质； （2）逻辑推理：能利用平面向量的运算性质推导结论，结合复数的概念判断复数的类型、几何意义； （3）数学运算：能熟练进行平面向量的线性运算、数量积运算、坐标运算，掌握复数的四则运算（尤其是分母实数化）； （4）直观想象：能将平面向量与平面直角坐标系中的点对应，将复数与复平面内的点、向量对应，利用图形分析向量关系． 考点01 平面向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点02 平面向量的运算 1、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： 2、平面向量的数量积 （1）向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 【注意】①数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的． ②在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围． （3）向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： ①. ②. ③，同向⇔；，反向⇔. 特别地或. ④若θ为，的夹角，则. （4）向量数量积的运算律 ① (交换律)． ② (结合律)． ③ (分配律)． 考点03 平面向量基本定理及坐标运算 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理： 平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 3、平面向量基本定理 （1）定义： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 4、向量的坐标运算 （1）向量线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则； （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 （3）向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 考点04 复数 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模， 记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 4、复数的几何意义 （1）复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面； （2）实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数； （3）复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量 5、复数的运算 （1）复数的四则运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： ①z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④ （2）复数运算的几个重要结论 ①|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． ②·z＝|z|2＝||2. ③若z为虚数，则|z|2≠z2. ④(1±i)2＝±2i. ⑤＝i；＝－i. ⑥i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 知识点07 数列 1、考向聚焦 核心考查数列的概念、通项公式、递推公式，等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及数列与不等式、函数的综合应用．命题侧重基础运算与逻辑推理，题型涵盖选择、填空、解答题（中档），注重考查转化与化归思想、分类讨论思想、运算求解能力，是高考核心得分模块之一． 2、思维瓶颈 （1）忽略数列的项数n的取值范围（n∈N*），导致通项公式、前n项和公式应用错误； （2）混淆等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，尤其是等比数列中对公比q=1的讨论遗漏； （3）不会根据递推公式求通项公式（如累加法、累乘法、构造法的应用不熟练）； （4）数列求和时，不会选择合适的方法（如错位相减法、裂项相消法），或运算出错； （5）忽略等比数列中“各项不为0”“公比不为0”的限制条件． 3、能力清单 （1）数学抽象：能理解数列的概念，抽象出等差数列、等比数列的本质特征，把握递推公式与通项公式的内在联系； （2）逻辑推理：能根据等差数列、等比数列的定义判断数列类型，利用递推关系推导通项公式，结合数列性质进行论证； （3）数学运算：能熟练求解数列的通项公式、前n项和，掌握常见的数列求和方法，准确进行运算； （4）数学建模：能将实际问题转化为数列问题，利用数列知识求解实际应用问题． 考点01 数列的有关概念 1、数列的定义及表示 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 2、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N* 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使 3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式． 考点02 等差数列及其前n项和 1、等差数列的定义 （1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； （2）符号语言：(，为常数)． 2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 3、通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． （3）等差数列与函数的关系 ①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列． ②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0. 4、等差数列通项公式的性质 （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 5、等差数列前项和的性质 （1）； （2）； （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （4）数列，，，…构成等差数列． （5）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为，则，； ②若项数为，则，，，. 考点03 等比数列及其前n项和 1、等比数列的定义 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。 （2）数学语言表达式： (，为非零常数)． 2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中. 注意：同号的两个数才有等比中项。 3、通项公式及前n项和公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：. （2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 4、等比数列的基本性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有 口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。 5、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且） 知识点08 立体几何与空间向量 1、考向聚焦 核心考查空间几何体的结构特征、表面积与体积计算，空间点、线、面之间的位置关系（平行、垂直）的判定与性质，空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的求解，以及空间向量在立体几何中的应用。命题侧重综合分析与逻辑推理，题型涵盖选择、填空、解答题（中档/压轴），注重考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，是高考核心难点模块之一． 2、思维瓶颈 （1）空间想象能力不足，无法正确还原空间几何体的结构，难以判断空间点、线、面的位置关系； （2）混淆空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理，使用时条件不完整； （3）空间角求解时，不会建立空间直角坐标系，或向量坐标求解错误，忽略角的范围； （4）几何体表面积、体积计算时，遗漏部分面（如棱台的上底面），或公式记忆错误； （5）空间向量求二面角时，混淆两个法向量的方向，导致角的大小判断错误． 3、能力清单 （1）直观想象：能正确认识空间几何体的结构特征，画出空间图形的直观图，还原空间点、线、面的位置关系，想象空间角的形成； （2）逻辑推理：能利用空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行论证，推导空间角求解思路； （3）数学运算：能熟练计算空间几何体的表面积、体积，求解空间向量的坐标、数量积，计算空间角的大小； （4）数学建模：能将立体几何问题转化为空间向量问题，利用向量工具求解，体现数形结合思想． 考点01 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 考点02 空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 考点03 点、线、平面之间的位置关系 1、四个公理 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 考点04 直线、平面平行的判定与性质定理 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 考点05 直线、平面垂直的判定与性质定理 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2、直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. （2）范围：. 3、平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． （2）平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 考点06 空间向量的线性运算与有关定理 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量； （2）相等向量：方向相同且模相等的向量； （3）相反向量：方向相反且模相等的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量 2、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 空间向量加减法的运算律：交换律；结合律． （2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时， 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 3、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. （3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． 考点07 空间向量的数量积及运算 1、空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]， 若，则称与互相垂直，记作. ②非零向量，的数量积． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. 2、空间向量数量积的坐标表示及其应用 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 ，， 垂直 模 夹角 考点08 空间向量的应用 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 3、利用空间向量求空间角 （1）异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． （2）直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. （3）二面角 ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. ②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 4、利用空间向量求空间距离 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． （2）点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. （3）线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 知识点09 平面解析几何 1、考向聚焦 核心考查直线的方程、两条直线的位置关系，圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质，以及解析几何的综合应用（直线与圆锥曲线的位置关系）．命题侧重综合应用与运算求解，是高考压轴题的核心载体，客观题覆盖基础定义与性质，注重考查数形结合思想、转化与化归思想、运算求解能力，是高考核心难点模块之一． 2、思维瓶颈 （1）直线的斜率不存在（垂直x轴）情况遗漏，导致直线方程求解不完整； （2）圆的方程中，忽略圆心坐标、半径的计算错误，直线与圆的位置关系判断时，不会利用圆心到直线的距离求解； （3）圆锥曲线的定义应用不熟练（如椭圆的“到两焦点距离和为2a”、抛物线的“到焦点距离等于到准线距离”）； （4）直线与圆锥曲线联立方程时，运算繁琐导致出错，不会利用韦达定理简化运算； （5）忽略圆锥曲线中参数的取值范围（如椭圆中a>b>0、双曲线中c>a>0），导致答案错误． 3、能力清单 （1）数学抽象：能理解直线、圆、圆锥曲线的定义，抽象出几何特征与代数表达式的内在联系； （2）逻辑推理：能利用直线与圆、圆锥曲线的性质推导结论，分析直线与圆锥曲线的位置关系，论证综合问题； （3）数学运算：能熟练求解直线、圆、圆锥曲线的方程，进行直线与圆锥曲线的联立运算，利用韦达定理求解参数、弦长等； （4）直观想象：能画出直线、圆、圆锥曲线的图形，利用图形分析几何关系，简化运算过程． 考点01 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 考点02 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 考点03 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 考点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 考点05 椭圆的标准方程与几何性质 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 3、椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 考点06 双曲线的标准方程与几何性质 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3、双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 考点07 抛物线的标准方程与几何性质 1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2、抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 3、抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 考点08 直线与圆锥曲线的位置关系 1、直线与椭圆的位置判断 设直线方程为，椭圆方程为 联立消去y得一个关于x的一元二次方程 ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程 ， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 3、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 4、直线与圆锥曲线相交弦长问题 （1）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： （2）抛物线的焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦， 设，，的中点， 过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； ①以为直径的圆必与准线相切. ②(焦点弦长与中点关系) ③. ④若直线的倾斜角为，则. ⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. ⑥为定值. 知识点10 统计与成对数据的统计分析 1、考向聚焦 核心考查随机抽样（简单随机抽样、系统抽样、分层抽样），用样本估计总体（频率分布直方图、平均数、方差、中位数、众数），成对数据的相关性（线性相关、回归方程），以及独立性检验。命题侧重基础应用与数据处理，题型涵盖选择、填空、解答题（基础/中档），注重考查数据分析能力、运算求解能力、应用意识，是高考基础得分模块之一． 2、思维瓶颈 （1）三种抽样方法的适用场景混淆，分层抽样中不会计算各层的抽样比与样本容量； （2）频率分布直方图中，混淆“频率”与“频数”，不会利用直方图求平均数、中位数、众数； （3）线性回归方程中，不会计算回归系数，或忽略回归直线过样本中心点； （4）独立性检验中，不会读取列联表数据，混淆统计量的计算与临界值判断，误解独立性检验的结论（“有把握认为”不等同于“一定”）． 3、能力清单 （1）数据分析：能收集、整理、分析数据，通过样本数据推断总体特征，理解数据的分布规律； （2）数学运算：能熟练计算抽样比、样本容量、频率、平均数、方差、回归系数、统计量； （3）逻辑推理：能根据样本数据判断总体的分布特征，分析成对数据的相关性，通过独立性检验得出合理结论； （4）应用意识：能将统计知识应用于实际，解决抽样、数据估计、相关性分析、独立性检验等问题． 考点01 随机抽样 1、抽样调查 （1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体． （2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体． （3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量． 2、简单随机抽样 （1）定义：一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本． （2）两种常用的简单随机抽样方法 ①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．适用于总体个数较少的情况。 ②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．适用于总体个数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． （3）简单随机抽样的特征（只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样） ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平． 3、分层抽样 （1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． 分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． （2）分层抽样问题类型及解题思路 ①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． ②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． ③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝” 【注意】分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）． 考点02 用样本估计总体 1、频率分布直方图 （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于． （2）频率分布直方图中数字特征的计算 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 2、百分位数 （1）定义：一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． （2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． 3、样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． ②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． ③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：． （2）标准差和方差 ①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差． ②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． 【注意】标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． ③平均数、方差的性质：如果数据的平均数为，方差为，那么 一组新数据的平均数为，方差是． 一新数据的平均数为，方差是． 一组新数据的平均数为，方差是． 考点03 成对数据的统计分析 1、两个变量的线性相关 （1）正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． （2）负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． （3）线性相关关系、回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2、回归分析与回归方程 （1）回归分析的定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． （2）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． （3）回归方程：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的中心． （3）相关系数 若相应于变量的取值，变量的观测值为， 则变量与的相关系数， 通常用来衡量与之间的线性关系的强弱，的范围为． ①当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关． ②越接近，表示两个变量的线性相关性越强；越接近，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系．当时，所有数据点都在一条直线上． ③通常当时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3、残差分析 对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有． 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． （1）残差图：通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适． （2）通过残差平方和分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适． （3）相关指数：用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：． 越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好． 4、独立性检验 （1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． （2）列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表． ②2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表 总计 总计 （3）独立性检验：计算随机变量利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验． 0．10 0．05 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 知识点11 计数原理、概率、随机变量及其分布列 1、考向聚焦 核心考查计数原理、排列组合、二项式定理、古典概、随机变量及其分布列五大板块。．命题侧重“工具性+综合性”，既有基础选择/填空题，也有中档解答题，核心考查数据分析、逻辑推理等核心素养，聚焦情境化问题解决，是基础得分与中档拔高的关键模块． 2、思维瓶颈 （1）计数原理：混淆分类与分步、排列与组合，忽略分类不重不漏、分步连贯，无法结合情境灵活运用，逻辑推理不严谨； （2）排列组合：未掌握捆绑法、插空法等模型，分组易重复计算，混淆分组与分配，不会转化复杂计数问题； （3）二项式定理：混淆二项式系数与项的系数，忽略k的取值范围，不会用特殊值法，对公式理解不深、机械套用； （4）概率：古典概型计数失误，混淆互斥与对立事件，情境分析能力、数据分析与建模能力不足； （5）随机变量：忽略分布列概率和为1的性质，记错期望、方差公式，不会结合计数原理与概率求解，综合应用能力弱，难以应对开放探究题． 3、能力清单 （1）数学抽象：能理解随机事件、概率、古典概型的概念，抽象出计数原理、排列组合及随机变量的本质特征，把握模块内知识点的核心内涵； （2）逻辑推理：能准确判断事件的类型（互斥、对立），分析古典概型的适用条件，推导概率计算公式，区分分类与分步、排列与组合的逻辑差异； （3）数学运算：能熟练计算排列数、组合数、二项式系数，求解古典概型的概率，准确推导离散型随机变量的分布列、计算期望与方差； （4）应用意识：能将计数原理、概率、随机变量相关知识应用于实际情境，解决随机事件概率计算、随机变量分布分析等问题，提升情境化问题的解决能力． 考点01 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 考点02 排列与组合 1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质：①；②；③． 2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 考点03 二项式定理 1、二项式定理 （1）二项式定理：， （2）通项公式：，表示展开式的第项：， （3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ①（） ② 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． （2）二项式系数的最大项 二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 3、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 考点04 概率 1、事件的关系与运算 （1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者． （2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等． （3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）． （4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）． （5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥； 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． 2、概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 3、古典概型 （1）古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （2）古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 4、相互独立事件 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 5、条件概率 （1）条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． （2）条件概率的性质 ①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． ③如果与互斥，则． 6、全概率公式 （1）全概率公式：； （2）若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 7、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 考点05 随机变量及其分布列 1、离散型随机变量分布列 （1）离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． （2）分布列的性质：（1），；（2）． 2、离散型随机变量的均值与方差 （1）均值：为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）均值的性质 ①（为常数）． ②若，其中为常数，则也是随机变量，且． ③． ④如果相互独立，则． （3）方差：为随机变量的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量的标准差． （4）方差的性质 ①若，其中为常数，则也是随机变量，且． ②方差公式的变形：． 3、两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率． X 0 1 P 1－p p 4、二项分布 （1）次独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 【注意】独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． （3）二项分布的期望、方差：若，则，． 5、超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 6、正态曲线与正态分布 （1）正态曲线：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． （2）正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最大值）； ④曲线与轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散， （3）正态分布：一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． （4）原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高考数学必备知识+二级结论全归纳（图版） 洞一图串考法 元素的三大待性：确定性.无序性，互异性 考点1集合与元素 元素与集合的关系：属于、不属于 集合的表示法：列举法，描迷法图示法■注意元素类型及元素含义 常见数集的记法与关系圈：N,N,Z,Q,R 子集：集合A中所有元素都是集合8的元漆 考点2集合间的基本关系 真子集：集合A是集合的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 相等集合：集合A.B的元素完全相同 空集：不含任何元素的集合 并装4UB-中三4乘：可 交集4n3-中4且re到 集合与常用逻辑用语 集合交井补运算的表示 补集CA-U且x是母 。根据交集。并集、补集运结果求参数 考点3集合的基本运算 并集的性质：AU=A:AUA=A:AUB=BUA;AUB=A=8SA 集合运算中的常用二级结论 交集的性顶：Ane=;AnA=A:AnB=BnA:AnB=A#ACB 补集的性质：AU(UA=U少AnUA)=U(UA=A U(AUB)=([UA)n(UB):[U(ANB)=(UA)U([UB) 充分条件与必要条件：若印→q,P是g的充分条件，q是p的必要条件 充要条件p是q的充要条件，9也是p的充要条件 全称量词：翅语所有的“任意一个等 考点4充分条件与必要条件 全量词与全称量词全济量：含有全称量词的 存在量词与存在量词命题 存在量词：短语存在一个“至少有一个等 、存在量词命题：含有存在量词的命题 命题的酒定注意：全称量词改为存在量词，有在量词改为全称量词 。双变量有在性”与任意性问题 雷注意可乘性的正负问题 等式的性质：对称性，传逆性。可加/碱性.可性.可除性 考点1等式性质与不等式性质 不等式的性质：对称性、传递性、可加性.可粟性.同向可加性 正数同向可乘性。正数乘方性 考点2三个”二次”之间的关系 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式关系表格 二次函数与一元二次方程、不等式 里要不等式 a+b22ab(a beR) 考点3基本不等式 基本不等式 历 利用基本不等式求最值积定和最小，和定积最大 雪注意基本不等式成立的前提条件 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 爵的导义 考点1函数概念及其表示 函数的三要素：定义域、值减.对皮关系。重点：函数牌斯式的宋 相等通：义城和对应关系完全一 相等数与分段费 分段通数：对于自变是取值的不同区同。有着不同的对造关系 单西语花的定义 目单调区不能用井集符 函的单区同 若y在区间D上增或减截，区间D四y的单再区间 考点2函数的单调性与奇偶性 函教单调性的性质 函级的商供性 奇鱼数：人广从。关于很将昌注意奇台的提是定义娃关于原对源 <偶数：=，关于对将 函致奇湾性的几个重登结论目短合致单性注物同增异减 周期数的定义周数师有中的一个最小正数微小正 考点3函数的周期性与对称性 函的对称性 点：抽象通数的品兵症用 美于点对称2a=2b- 幕故的定义 y=a做幕的数 所有的幕的数在0，+购)上有定义，并且图象过点(1，) 考点4幂函数及其性质 幕故的性商 如果ā>0，那么那数的图象边原点。并担在区词0，+回止单西通增 如果a0，那么幕数的象在区词0，·上单减 在，+网上，酷富细数的适新地大，图象挂束拉靠近轴 函数的概念、性质与基本初等函数 二次数的里象和性 图象、定义域、值过对将轴。点丝坐标、奇便性、单性 根式号分数指数落 式的定义根式的性。分的表示、指幕运草法划 考点5指数与指数函数 指数函故的版意 y=axa>0姐a1) 指数故的象与性 、指数函故的常技巧 [目指数数与对数哈数的成数为参数时性意时论 对数的数含：ogaN叫W3对数式 对数与对数速算 对数的性质 、对战的的运算法到与淡童公式 定义：y-logax(a>0a1) 考点6对数与对数函数 对数函数的 以10为底的对数函数g翼 、以e为底的划数数x 对数函故的国象与性因 、指数面教的常用技巧 对数的象与底大小的关系。难点：与对数复合函的压应用 记使水0=0的实数x 函数零点的定义 方程0：0有文致根台函数y0的把象与x植有交点台数y=有零点 考点7函数零点与二分法 爵数零点存在定理 人两个重柴格论 ☐注称零点存在安理准确迎解 二分法 用二分法求零点近似值的步图 。难点：胺数的同题 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I(xo+Ar)-f (xo) 函数y=fx在x=x0处的导数定义 △r 考点1导数的概念 导数的几何意义函数(x)在点x0处的导数fx0)的几何意义是在曲线y=fx)上点P(x0,yO)处的切线的斜率 函数x)的导函数 -lim (Ar)I() ■”在与过的区别 厦数 导函数 )=为常数 =0 =xn是Q e24 间=nx /八)=cM r小=ewr f代=-nr 元函 Ar)oin a = )=e 数的 -lo0,e0且 fu)-dea =0 - 基本初等函数的导数公式表 (I)(x)-g(x)]=f(r)+g(x). 考点2导数的运算 (2)Ax)g(x)]=f(x)g(x)+x)g'(x). 其应 导数的运算法则 复合函数的导数 从内到外层层求导，乘法连接复合函数求导需注意漏层与错层 考点3导数与函数的单调性 号数与函数的单调性的关系 了()之0，函数递增：()≤0，函数递减 导数法求函数单调区间的步骤。难点：含参数的单调性讨论 函数的极值 在点x=a附近的左侧'<0,右侧/)>0，则点a叫做函数y=的极小值点 在点x=附i近的左侧则e<0,右侧)<0，则点a叫做通数y=的极大值店 考点4导数与函数的极值、最值 函数的最值 在闭区间a,b]上连续的函数fx)在a,b1上必有最大值与最小值 函数极值与最值的关系 最值是区间上的整体概念，极值是局部隔念☐注意极值与最值的区别与联系 开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值 。难点：隐零点与极值点偏移问题 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 任微角：④定义 条射 点从 个位置旋转到另一个位置所成的里形 角的念 象限角：角的终边（除端点外）在第几象服，就说这个角是第几象限角 考点1任意角与孤度制 修边相同的角：S=β1B=k360°+a,ke2召 把长度等于半径长的所对的要心角叫做1弧度的角，翼度记作d 弧度制 弧长公式：1=a:扇形面积公式：S=c=r 同角三角函数基本关系式 三角函数的诱导公式 奇变偶不变，符号看象限 考点2三角函数的相关公式 两角和与差的正弦。余兹、正切公式 二倍角公式难点：公式灵活逆用。变形（如二倍角降升幕，角的配凑） 辅助角公式 a=sina+bcoa=F+bina+p(其中amp-月 三 角函 正弦、余、正切函数的漫象与性质[易错：混滑先平移后伸缩与先伸笔后平移 考点3三角函数的图象与性质 y=Asin(ux+p)的有关概念 y=Asin(wx+p)的图象 用五点法面y=Asin(wx+pjA>0,w>0) 与 三角函数的象变换Q难点：相位平移、伸缩变换的规律， 与性质的综合应用 三角 定理 正弦定理 余弦定理 =b+e-2bccos Ar 内容 形 sis si C b2=c+a:-2cacos B: c=a+b2-2abcos C (1)a=2Rsin A.b=2Rsin B.c=2Rsin C: 变形 (2)a:b:e=sin:sinB sin Cs sB=c+g的 2ac cos C=+c 2ab 正、余弦定理与变形 三角形内角和定理：A+B+C=n 三角形中的三角函数关系：①sin(A+B)=sinC: ②cos(A+B)=cosC 考点4解三角形及其应用 解三角形中的常用结论 三角形中的射影定理 三角形中的大角对大边：A>B÷a>b÷sinA>sinB 三角形常用面积公式 解三角形的实际应用 仰角与俯角、方位角、方向角 雪忽路三角形内角和为180·，多辉问题漏解或增解，边长、角度计算失误 考点1平面向量的有关概念 向量、零向量单位向量、平行向量、相等向量相反向量 平面向量的线性运尊 加法运算、减法插。数乘运销 考点2平面向量的运算 向量数量职的定义：a。非s 向量数童积的几何意义 平面向星的数量积 向量数量积的性质鲁易错：数量积号判断恕略夹角为0°、180的特殊情况 向量数量积的运销律 向量共线定理 如果a=(以e),则a/B,反之，如果a/5且i6,则一定存在唯一的实数元，使a=6 三点共线定理 存在实数，4，使OC=O丽+O丽，其中2+4=1 如果，三是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 考点3平面向量基本定理及坐标运算 与 平面向量基本定理 有且只有一对实数入，名，使a=名后+名乌 向量线性运算坐标表示 难点：基底选与坐标转化九何与代数互化 数 向量的坐标远算 向量平行坐标表示 向量数量积的坐标表示 复数的定义 形如a+bi,bER的数：实部是a,部是6 复数的分类 实数6=0以.虚数a=0,b≠0).纯虚数(o0，b20 复数相等：a+=e+函ea=c且b=d 复数的有关概念 共轭复数：a+bi与e+供统“a=c目b=~d 考点4复数 复数的横：日=十b1=r=V0+ 复数的几何意义 注意：除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数[目混清复数，与地对值，向星与点的平移规律 复数2共3+b1与复平面内的点Z3,b)与平面向量一对应 复数的运镇 复数的四则运算法则 复数运尊的几个重结论点：向量，复数与其他模块的综合大题求解 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数列的定义：按服一定顺序排列的一列数 数列的定义及表示 、数列的表示法：列表法。图象法和解析式法 考点1数列的有关概念 数列的分类 按项数分类。按项与项间的大小关系分类，按其他标准分类 数列的通项公式 数列第n项与序号n之间的关系Q难点：复杂递推关系（如分式、三阶递推）的化与构造 数列的递推公式 任一项an与它的前一项an-1或前几项间的关系可用一个公式表示 等差数列的定义 一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数4.-日=d 等差中项 若三个数a,A,b组成等差数列。则A叫做a,b的等差中项 通项公式a·a+(n-1)d 前n项和公式 5.man-d a-a) 2 考点2等差数列及其前n项和 通项公式与前n项和公式 2 a,-a+(n-I)d-dh-a-d 数列 等差数列与函数的关系 5.a-r-a-别 等差数列通项公式的性质 ■易错：忽路n的取值范困（如n22与n=1的一致性检验） 等差数列楠n项和的性质 。难点：错位相减、裂项相消法的灵活运用，分类求和的判断 个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数=9 等比数列的定义 a 等比中项 等比中项性质：如果三个数a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，G=±√品 0,=dgi 考点3等比数列及其前n项和 通项公式及前n项和公式 3-a0-g2-4-0g 1-91-9 等比数列的基本性质 等比数列前n项和的性圆 雪首项、末项定位错误，求前n项和时项数计数偏差 难点：与函数、不等式结合，求解范围、最值问题 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 多面体的结构特征 使柱、棱锥。棱台 考点1空间几何体的结构特征 待殊的枝柱和校推 直棱柱.正按柱正校维、正四面体等 旋转体的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球 空间几何体的直现图斜二测画法 空间几何体的表面积和体积公式 维体、柱体、台体球的表面积与体积 考点2空间几何体的表面积与体积 柱体、推体，台体面积间的关系 。难点：不规则几何体的表面积与体织转化问题 柱体、锥体，台体体积间的关系 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 四个公理 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过滚点的公共直线 公理4：平行于同条直线的两条直线互相平行 考点3点、线、平面之间的位置关系 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 直线与直线的位置关系 相交.平行、异面 直线与平面的位置关系 直线在平面内、直线与平面相交。直线与平面平行 两个平面的位置关系 两平面平行.、两平面相交 目判定定理条件遗漏混清“线面平行”与面面平行”性质 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，液直线平行于此平面 直线与平面平行 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 平面与平面平行 性质定理1：两个平面平行，则具中一个平面内的直绒平行于另一个平面 考点4直线、平面平行的与性质定理 性质定理2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 几 性质定理 线线学行 刺文文理 也文定线面学行 到定定理 与空 平行关系之间的转化 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 直线与平面垂直 向量 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 判定定理：一个平面过另一个平面的重线，则这两个平面垂直 考点5直线、平面垂直的判定与性质定理 平面与平面垂直 、性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 垂直关系之间的转化 。难点：线面、面面平行/垂直的判定与性质综合应用 空间向量的有关概念 空间向量。相等向显、相反向量。共线向量。共面向量 考点6空间向量的线性运算与有关定理 空间向量的线性运钟 空间向量的加减法。空间向量的数乘 空间向量的有关定理 共线向量定理、共面向量定理。空间向量基本定理 。难点：复杂几何体中（非规则.斜棱柱等）精准建系，坐标定位 数量积及相关概念 空间向量的数量积及运算律 考点7空间向量的数量积及运算 空间向量数量积的运钟律结合律、交换律分配律御 空间向量数量积的坐标表示及其应用 直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 、平面的法向量 空间位置关系的向量表示 异面直线所成角 考点8空间向量的应用 利用空间向量求空间角 直线与平面所成角雪易错：混淆线面/面面夹角公式（线面夹角取正弦，面面夹角取余弦） 二面角 点到直线的距离 。难点：与立体几何结合，求解距离、最值及位置关系论证 利用空间向量求空间距离 点到平面的距离 线面距和面面距 线面距.、面面距转化为点面距 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y科用 考点1直线的方程 直线的斜率k=tane 安盈 直线方程的五种形式点斜式、斜截式，两点式数式。一股式目易错：容品掉斜不有在、载距为0的情况 平行：斜率相等/斜率不存在 两条直线平行与垂直的列定 、面直：斜率乘积为-1/一个斜率为0一个斜率不有在 考点2两条直线的位置关系 两条直线的交点的求法 联立方程 三种距离公式国注息直战方程需要化力一极式，且平行战E南席要将×，的系数化为相呵 吉线系方程的常见类型 圆的定义及方程 圆的标准方程。一方程 考点3圆的方程 点与圆的位置关系■客易忽略透方程的成立条件 二元二次方程与覆的关系 联立方程根据判别式判/得据圆心到直线的距离与半的关系判撕 直线与的位置关系 国的切线与切线长：‘代一留一 考点4直线与圆、圆与圆的位置关系 、圆的磁长：几何法勾股定理)。代数法一酸数长公式 圆与圆的位置关系 外离.外切。相交。内切。内含根报两要半径与圆心距的关案判嗣 两四公切线的条数（外离4条.外切3条。相交2条，内切1条，内含0条） 平面解析几何 。雄点：利用几何意义解决圆的问题 平面内与两个定点F1,F2的距离的和湾于常数大于F1F2D的点的迹 考点5椭圆的标准方程与几何性质 克义2>F12.速为瑞：2-F12,教造为线限12：2a1.造不在 圆的标准方程和几何性质标准方医形、范，对称性、顶点心深、b的关系 韩圆中的几个常用结论 目易混标方程与点位置 双曲线的定义 20之指的地对为 2a<F1F21,轨迹是双曲线：2a■F1F2,轨迹是两条时线：2a>F1F2。不有在 考点6双曲线的标准方程与几何性质 双曲线的特准方程和几何性质标准方程.图形，范围.对称性.顶点。新近线。离心率，实应轴。b的关景 双曲线中的几个常用结论 地物线的定义在平面内动点到定点F的距离与到定直线增加离相等（定点不在定直线上 考点7抛物线的标准方程与几何性质 始物线的标准方程与几网性质 标准方程.图形.顶点对称轴.焦点.离心率。准线方程。范黑.焦半径 、抛物线中的几同常用结论 Q难点：桃.双由线，物线几性质的综合应用 直线与师面的位置判断 直线与双曲线的位置关系判断 注意二次项系数为0的特规情况 考点8直线与圆锥曲线的位置关系 以抛物线y2=2pxp>0)与直线的位置关系为例注意直线斜率不存在及斜率为0的情况 交法 直线与圆植曲线相交弦长问羞 求长的方法保与系数的关系陆 。抛物线的焦点弦长 。难点：直线与圆曲线的位置关系，定点定值，最值问题，数结合想应用 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 总体统计中所考对象的某一数值指标的全体构成的装合 抽样查 个休：构成总体的▣一个元加L做个休 样本：从总体中段干个个体进行考 从总体中逐个不放回的抽取一个样本，个个体被油到的机会都相特 考点1随机抽样 简单机圳 :竖法与随机数去法 简年机拍样的特征 有限性、逐一生、不放回性、等可能性 分层注样 #晓按比性叹 。难点：合统计与率、爵数知识，将实际情境转化为统计问题 0害组距=频*， ②须路一须，要警市术学量，形未本学重场车=须数 ③频率分布直方图中各个小力形的面积总和等于1， 领率分布直方国 忌高的小长方形底边中点的满坐标即是众数 率分布直方图中数字特征的计算 中位数左边礼右边的小长方形的面识左相学的 考点2用样本估计总体 统计与成对数 百分拉数 易错：消频与频敲，忽略组距 据的统计分析 众数、中位数、平均微 。难点：硅立分层油样中数字待征的求解思路 打本的数7特T 标准差和方差 正相关：敲点图中，点散布在从左下角到右上角的区域 两个量的线性相关 负侣关：在览京图中，点蚊布任从左上角到佑下角的区域 怎州相关关系、同门古怎：做点什的分布从体上石大致在条点附证 回归分析的定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 小_乘法：使得丫本嫩城的六回门三娃形高的平乃和小的方法叫似小一法 立-%-n ∑xy-xy 回归分析与回归方程 Zo.y 2” 考点3成对数据的统计分析 a=y-bx 相关桑数 忘记回旧白线过样本中心点 观测忙减女预测伯等干秀关 瓦关分析 残差平方和越小，椟型的拟合效果好 粒关指数R2:越愤斤」，无差的Ψ方和越小，归的效半好 nad-hey 独立性检验 父-a+bMc+d0a+cXb+d0围始论与必失 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分类0法计数原理 考点1两个计数原理 分步果法计故原理 。堆点：分不清”分步与分类” 两个计数原理的棕合应用 定义：从n个不同元素中取出m个元素裤成一列 律列与排列数 排别公试：G-na--2斗a-m+小a-m 排列殿性： 定义：从n个不同元素中出m个元素并一组 考点2排列与组合 组合与相合数 组合数公式：C= m!(n-m)t -D-2-m+》合锡复计数/ 组合数性质：①C,=C。”:②C+C'=C 列和合的区别 排列有序，组合无序。雄点：邦列与超合的边界模则 二式定理 (a+b)"=Cea"+Cdb+...+Ca+...+Cb"(neN) 二烫式系数的性质 考点3二项式定理 二项式展开式中的量值间盟 二项式系的最大项先后减中间项最大 、原致的最大项架用特定系数法 二墙展开式中的系数和问型 赋值法 包含关系。并事件交事件 计数原理、概率、随机 事件的关系与远尊 互厅事件：在一次试验中，事件A和事件B不同时发生 变量及其分布列 对立事件：对位事件：艺事件A和事件在任何一次实验中有且只有一个发生 的基本性 ①忽鳍有故回/无放回对版本的响 古典型 具有有限性与等可性的试验称力古典板试输 nn(2) 定义：事件A的发生不南事件B发生的市 @0-把 考点4概率 相互立事件 版率的法公武P八AB)=P()P(B) 、相互独立事件的性与推广 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件根率 条件根率 条件指的性质 全摄家公式 P(B)=P(A)P(B14)+P()P(B1) P(AB)-P(OP(B1A) P(A)P(BIA) 贝叶公式 P(B) P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) 离型机变量分布列 ☐分布列末验证版率和为1 E(X)=无乃+乃++xB+…+x,P 离微型植机安量的均造与方花 DXX)-Z-ECXY B 两点分布 练机变量只取0和1 考点5随机变量及其分布列 n次独立重复试验：在相同件下重复做的n次试验 项分布 事件A恤好发生次的瓶率：P(X=k)=CPg。难点：几网分布，琐分布慢型画 POX-)-C 几何分布 在含有M件次显的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品 正衣曲线：正态曲线皇种形，即中间高，两边低 正态曲线的性展重点是对称性的应用 正态迪线与正态分布 正态分布X-N(H,G) 3原则 正态总体几手总取镇于区间(H-30,H+30)