7.2.3平行线的性质（第2课时）平行线的判定与性质的综合应用 课时分层训练2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

7.2.3平行线的性质（第2课时）平行线的判定与性质的综合应用 知识分点练 夯基础 知识点 平行线的判定与性质的综合运用 1．如图所示，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如题图所示，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点，分别在和上，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，求的大小． 7．已知：如图，四边形中，点是射线上一点，连接交线段于点，若． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的大小． 8．已知：如图，，，．求的度数．（请将解答过程补充完整） 解：∵（已知）， ∴（                  ）， 又∵（已知）， ∴（                  ）， ∴________________（内错角相等，两直线平行）， ∴（                  ）， ∵（已知）， ∴________________． 能力综合练 练思维 9．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 12．如图，，将一副直角三角板按如图的方式摆放，其中．下列结论：①；②，③；④．其中正确的是_____________．（填序号） 13．如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，则与所夹锐角为___． 14．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 拓展探究练 提素养 16．2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]（1）图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． _____ ， （理由是：____________________） （理由是：____________________） ，_____， _____ [迁移应用]（2）如图3是一款手推车的平面示意图，．若，求的度数． 17．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3平行线的性质（第2课时）平行线的判定与性质的综合应用 知识分点练 夯基础 知识点 平行线的判定与性质的综合运用 1．如图所示，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据平行线的判定和性质求角的度数．作直线，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】解：如图，作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 故选：C． 2．如题图所示，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质． 根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可知的度数，根据角平分线的性质可知，最后由平行线的性质可求解． 本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：， ∴， ∵， ， 平分， ∴， ， 故选：C． 4．如图，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据证得，根据平行线的性质得到，进而求出，再根据对顶角相等得到，据此解答即可． 【详解】解：如图： ， ， ， ∵， ， ． 故选：D． 5．如图，点，分别在和上，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出，再根据同位角相等两直线平行得出，再根据平行线的性质即可得出. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴, 故选：A． 6．如图，已知，，求的大小． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．由同位角相等两直线平行，证明，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．已知：如图，四边形中，点是射线上一点，连接交线段于点，若． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角互补，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据邻补角的定义得到，结合已知可得，由内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）由（1）知，推出，结合已知可得推出，则，即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．已知：如图，，，．求的度数．（请将解答过程补充完整） 解：∵（已知）， ∴（                  ）， 又∵（已知）， ∴（                  ）， ∴________________（内错角相等，两直线平行）， ∴（                  ）， ∵（已知）， ∴________________． 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质以及已知条件得出，即可证明，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴ 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；． 能力综合练 练思维 9．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，根据平行线的性质求出，从而求出，再由求出，从而求出的度数． 【详解】解：延长交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，可得，根据光的反射定律得到,则，再由平行线的性质得到． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．如图，，将一副直角三角板按如图的方式摆放，其中．下列结论：①；②，③；④．其中正确的是_____________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，补角的性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，平行公理，补角的性质，三角板的性质，进行解答，即可． 【详解】解：①由题意，， ，故①正确； ②， ，故②正确； ③如图，过点作， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ，故③不正确； ④， ， ， ， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 13．如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，则与所夹锐角为___． 【答案】75 【分析】此题考查了平行线的性质，如图所示，设与交于点E，过点E作，首先得到，然后由平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点E，过点E作 由反射性质得，， ∵， ∴， ∵由题意有， ∴， ∴， ∴． 故答案为：75． 14．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到，即可证明； （2）由平行线的性质得到，求出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定与性质． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得和的位置关系； （2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 拓展探究练 提素养 16．2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]（1）图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． _____ ， （理由是：____________________） （理由是：____________________） ，_____， _____ [迁移应用]（2）如图3是一款手推车的平面示意图，．若，求的度数． 【答案】（1）60；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；105；（2） 【分析】（1）根据题意，对每个步骤填写结论和依据； （2）过点作，根据平行线的性质得，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）补全过程如下： 如图2，过点作，过点作， 则． ， ， ， （理由是：平行于同一直线的两直线平行） （理由是：两直线平行，内错角相等） ， ， ； （2）如图3，过点作， ， ， ， ， ． 17．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $