7.2.3平行线的性质（第1课时）课时分层训练 2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

7.2.3平行线的性质（第1课时） 本节核心知识点 一、核心性质 平行线的性质是由线的平行关系推导角的数量关系，与平行线的判定互为逆过程，二者逻辑方向相反，是本章易错点。 · 性质1：两直线平行，同位角相等 文字描述：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 符号语言：∵ （已知），∴ （两直线平行，同位角相等）。 · 性质2：两直线平行，内错角相等 文字描述：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 符号语言：∵ （已知），∴ （两直线平行，内错角相等）。 · 性质3：两直线平行，同旁内角互补 文字描述：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为180°）。 符号语言：∵ （已知），∴ （两直线平行，同旁内角互补）。 二、拓展推论 · 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行传递性）。 三、易错提示 只有两条平行线被截，才有上述角的关系；普通相交线不满足该性质，解题时先判断直线是否平行。 知识分点练 夯基础 知识点1 两直线平行，同位角相等 1．如图，，，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握相关知识是关键． 作出，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，再由“两直线平行，同位角相等”求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．将一把直尺和一块三角板按如图所示的方式放置，直尺与三角板的两边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用平行线的性质求出，即可解答． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 3．如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题关键是通过两组平行线，找到中间角作为桥梁，建立已知角和未知角的等量关系． 根据两直线平行线，同位角相等的性质，借助中间角构建与的数量关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． 知识点2 两直线平行，内错角相等 4．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据邻补角的定义得，再根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：根据题意知：， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故选：A． 5．如图，已知点在上，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是两直线平行内错角相等，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 根据两直线平行内错角相等推得即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：． 6．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：A． 7．如图，，且，那么直线与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练运用“两直线平行，内错角相等”以及“内错角相等，两直线平行”这两个定理． 通过已知条件和，推导出，进而依据平行线判定定理得出结论． 【详解】， 理由： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 知识点3 两直线平行，同旁内角互补 8．“榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：C． 9．如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向连通管道的夹角（点，在一条直线上），那么管道与纵向连通管道的夹角的度数等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：， ， ； 故选：C． 10．补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握好平行线的判定定理的解题关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 能力综合练 练思维 11．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 12．如图，直线，直线分别与直线交于点A、B，点C在直线n上，且在点B的右侧，连接．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”和平角定义即得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．【新情境·跨学科】如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，可得，根据光的反射定律得到,则，再由平行线的性质得到． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长，根据“两直线平行内错角相等”得，再根据，解答④即可． 【详解】解：∵， ∴，则①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，则②正确； ∵ ∴， 即，则③正确； 延长， ∵， ∴． ∵， ∴，则④不正确． 正确的为①②③． 15．如图：已知，，求证：（把证明过程补充完整并在括号内填上理由）； 解：（已知）， （_______________）， _______________（两直线平行，内错角相等）． ， （_______________）， ∴（_______________）． 【答案】同位角相等，两直线平行；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．利用平行线的判定和性质即可求证． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 拓展探究练 提素养 16．综合实践： 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜，反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角． (1)观察图形，写出和数量关系___________； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被 反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上，利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深入思考】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角； ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成角的度数取值范围．（提示：三角形内角和是） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①；②的度数取值范围为或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角的和差计算； （1）根据等角的余角相等可得答案； （2）先根据（1）中结论可知：，，再结合平行线的性质得出，然后根据平行线的判定得出结论； （3）①过E作，根据平行线的传递性可得出，根据平行线的性质得出，，进而求出，然后求出，再根据平行线的性质求解即可； ②由①可求当和重合时，，然后分和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵法线垂直于平面镜， ∴法线将一个平角分成了两个直角， 又∵反射角等于入射角， ∴根据等角的余角相等可得， 故答案为：； （2）； 理由：由（1）中结论可知：，， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）①如图3，由（1）中结论得，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过E作， ∴， ∴，， 当和重合时，则， ∴， 当时，如图， 由①可知：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即； 当时，如图，过E作， 同理可求出， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 综上，的度数取值范围为或． 17．在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，根据平行线判定与性质证明，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先利用平角的意义求得，再利用平行线的性质求得角的度数； （2）先利用平行线的性质得出，再根据两角的和得出，再证明，根据平行线的性质可得出，从而可得，再结合，得出； （3）先说明当时，在内部，再求得，从而可得，再根据，又，可得出，整理得：，根据等式与的大小无关，求得，再求得，从而可得出 【详解】（1）解：如图1， ∵，，， ∴ ∵， ∴； （2）解：如图2，过点作， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：如图： ∵，， ∴， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， ∴当时，在内部. ∵， ∴， ∵， 又∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴， ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3平行线的性质（第1课时） 本节核心知识点 一、核心性质 平行线的性质是由线的平行关系推导角的数量关系，与平行线的判定互为逆过程，二者逻辑方向相反，是本章易错点。 · 性质1：两直线平行，同位角相等 文字描述：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 符号语言：∵ （已知），∴ （两直线平行，同位角相等）。 · 性质2：两直线平行，内错角相等 文字描述：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 符号语言：∵ （已知），∴ （两直线平行，内错角相等）。 · 性质3：两直线平行，同旁内角互补 文字描述：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为180°）。 符号语言：∵ （已知），∴ （两直线平行，同旁内角互补）。 二、拓展推论 · 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行传递性）。 三、易错提示 只有两条平行线被截，才有上述角的关系；普通相交线不满足该性质，解题时先判断直线是否平行。 知识分点练 夯基础 知识点1 两直线平行，同位角相等 1．如图，，，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．将一把直尺和一块三角板按如图所示的方式放置，直尺与三角板的两边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，，，．求的度数． 知识点2 两直线平行，内错角相等 4．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知点在上，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 6．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，且，那么直线与平行吗？为什么？ 知识点3 两直线平行，同旁内角互补 8．“榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向连通管道的夹角（点，在一条直线上），那么管道与纵向连通管道的夹角的度数等于（　　）    A． B． C． D． 10．补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 能力综合练 练思维 11．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，直线，直线分别与直线交于点A、B，点C在直线n上，且在点B的右侧，连接．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 13．【新情境·跨学科】如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 15．如图：已知，，求证：（把证明过程补充完整并在括号内填上理由）； 解：（已知）， （_______________）， _______________（两直线平行，内错角相等）． ， （_______________）， ∴（_______________）． 拓展探究练 提素养 16．综合实践： 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜，反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角． (1)观察图形，写出和数量关系___________； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被 反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上，利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深入思考】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角； ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成角的度数取值范围．（提示：三角形内角和是） 17．在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $