第4章 问题解决策略：特殊化-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（北师大版·新教材）

√同行学案学练测七年级数学下BS 问题解决策 类型一：模型观念一对角互补 1.如图，将边长为2n(n=1,2,3,…)的正方形纸 片从左到右依次摆放，其对应的正方形的中 心依次为A1,A2,A3,…,若摆放前6个正方 形纸片，则图中被遮盖部分（阴影部分）的面 积之和为 类型二：用“特殊化”求解实际问题 2.【实际问题】某商场在促销期间为了鼓励消 费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费 金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为 1元、2元、3元…100元的奖券中（面值为 整数)，一次任意抽取2张、3张、4张等若干 张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额. 某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明 想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 【问题建模】上述实际问题，相当于数学中“从 1,2,3,…,n(n为整数，且n>5)这n个整数 中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种 不同的结果？”的问题， 【模型探究】我们采取一般问题特殊化的策 略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问 题的方法.从1,2,3这3个整数中任取2个整 数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1,21,3 2,3 2个整数之和 3 4 如表所示，所取的2个整数之和可以为3,4， 5,也就是从3到5的连续整数，其中最小是 3,最大是5，所以共有3种不同的结果 仿照上述过程，类比探索下列问题， (1)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整 数，所取2个整数之和的最小值是 最大值是 ,且这些和为连续的不同 整数，所以共有 种不同的结果。 114做神龙题得好成绩 略：特殊化 (2)从1,2,3，…，n(n为整数，且n>5)这 n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共 有 种不同的结果；再从1,2,3，…，n (n为整数，且n>5)这n个整数中任取3个 整数，这3个整数之和共有 种不同 的结果 (3)归纳结论：从1,2,3，…，n(n为整数，且 n>5)这n个整数中任取5个整数，这5个整 数之和共有 种不同的结果， 【问题解决】从100张面值分别为1元、2元、 3元…100元的奖券中（面值为整数），一次 任意抽取5张奖券，共有 种不同的 优惠金额， 类型三：用“特殊化”求解几何问题 3.【问题提出】如图①，∠AOB=2m°，∠COD= m°(m<90),OC在∠AOB内，OD在∠AOB 外，OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,试探 究∠MON和∠AOB的数量关系， 【问题探究】(1)先将问题特殊化.如图②，若 m=60,∠BOC=40°. ①直接写出∠COM的大小是 ∠MON的大小是 ∠MON ②直接写出∠AOB 的值 (2)再探究一般情形，如图①，试说明(1)中② 的结论仍然成立 C B 0 ① ② 类型四：数形问题特殊化 4.《曹冲称象》是我国历史上著名的故事，聪明 的曹冲借助于船这种工具，将大象的体重转 变为一块块石块的质量.转变就是化归的实 质.化归不仅是一种重要的解题思想，也是一 种最基本的思维策略，更是一种有效的数学 思维方式.例如：我们在七年级数学上册第二 章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减 法就化归为已经解决的正负数的加法了；而 引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化 归为已经解决的正负数的乘法了.下面我们 再通过具体实例体会一下化归思想的运用. 【数学问题计红：+号++…十（其中 n是正整数，且n≥2) 【探究问题】为解决上面的数学问题，我们运 用数形结合的思想方法，通过不断地分割一 个面积为1的正方形，把数量关系和几何图 形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化 的策略来进行探究 11,1 1 探究一计算：2十2十2+ 2n. 如图，经过n次分割，所有阴影部分的面积之 和为十安+…十，最后空白部分的 面积是品 第1次分割 第2次分割 1 1 2 1 22 第3次分割 第n次分割 1 1 2 1 23 22 22 11 2n2 1111 根据第n次分制图可得等式：2十2十2十…十 第四章三角形☑ 2n1 究二：计算写十++叶 3n1 如图，第n次分割后，所有阴影部分的面积之 和为 ,最后空白部分的面积 是 第1次分割 第2次分割 3 3 第3次分割 第n次分割 3 … 3 3 33 可 21 3m3 根据第n次分割图可得等式： 探究三：计算：++十…一 4 (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割 图，在图上标注阴影部分的面积，并写出探究 结果) 第n次分割 第n次分割 ① ② 【解决问恩计算：号十宁+日十…十品 (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注 阴影部分的面积，并完成以下填空) (1)根据第n次分割图可得等式： 2计算：+++…+ ,1 1 9n1 做神龙题得好成绩115又，∠EFC=∠ABC,∠AGF=∠BGD,∴.∠A=∠D.在 90°，所以∠A=∠DEC.在△ABE和△ECD中， ∠ABC=∠DBE ∠B=∠C △ABC和△DBE中， AB-DB ,.△ABC≌ ∠A=∠DEC,所以△ABE≌△ECD(AAS),所以EC ∠A=∠D AE-DE △DBE(ASA). =AB=5m.因为BC=13m,所以BE=8m,所以小华行 2.解：因为AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,所以∠AFB= 走的时间是8÷1=8(s). ∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，所以∠A 问题解决策略：特殊化 =∠C.因为AB=CD,所以△ABF≌△CDE(AAS),所以 1,55[解析]被遮盖部分的面积=前一个正方形面积的4， AF=CE=a,BF=DE=b.因为EF=c,所以AD=AF+ ·前6个正方形纸片被遮盖部分（阴影部分）的面积之和为 DF=a+(b-c)=a+b-c. 3.解：AE⊥AB,EF⊥FH,BG⊥FH,.∠EAB=∠EFA 子×(e+4+6+8+10)=55 =∠AGB=90°.又易知∠EAG=∠EFA十∠FEA= 2.【模型探究】(1)397(2)(2n-3)(3n-8) ∠EAB+∠BAG,∴.∠FEA=∠BAG.在△EFA与 (3)(5n-24)【问题解决】476 ∠FEA=∠BAG 1锅.100ww他会8器-器-是 △AGB中，了∠EFA=∠AGB,.△EFA≌△AGB (2).∠AOB=2m°，∠COD=m°，OM平分∠AOC,ON平 AE-AB (AAS),∴.AF=BG,AG=EF.同理可证△BGC≌ 分∠B0D,∠OM=号∠A0C=3(∠A0B-∠B0C) △CHD,GC=DH,CH=BG,∴.FH=FA+AG+GC+ 2(2m-∠B0C),∠B0N=2∠B0D=-2(ZC0D CH=3+6+4+3=16,∴S=2×(6+40X16-号×3× ∠B0C)=3(m°-∠B0C),∠MON=∠cOM+ 4X8-2×6×3×2=50. ∠B0C+∠BON=2(2m-∠B0C)+∠B0C+2(m 4.解：若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,.9=12 3 3t,3t=xt,解得t=1,x=3;若△ACP≌△BQP,则AC= -∠BOC)=3 m, ∠MON2m°3 ∠AOB =2m°=4，.(1)中②的 AP=BP,9=x,3=12-3t,解得=2，x=号 结论仍然成立，为 ∠MON3 ∠AOB41 9 上所述，当x=3或之时，以B,P,Q为顶点的三角形与 4【深问题探究二：号十导+导十…叶+号 3n3 △ACP全等. 2 2 2 11 1 4利用三角形全等测距离 3 +3=1-3 2 2X3" 1.A2.(1)B(2)ED3.SAS AB4.1.1 11 探究三：3一3×4 如图. 5.解：数量关系：AA'=BB'.理由如下：因为O是AB',A'B 的中点，所以OA=OB',OA'=OB.在△A'OA与△BOB' 第n次分割 (OA=OB' 中，∠A'OA=∠BOB',所以△A'OA≌△BOB'(SAS),所 OA'-OB 以AA'=BB. 6.D7.A 4"4 8.ME△BEM≌△CFM ME9.1574 【解决问题】画图如下。 (AE=CE 第n次分割 10.解：在△AOE和△COE中，< AO=CO,..△AOE≌ OE-OE △COE(SSS),.∠AOE=∠COE.同理，∠COE= ∠FOD,∴.∠AOE=∠EOF=∠FOD. 11.(1)a+b(2)解：因为∠AED=90°，所以∠AEB+ ∠DEC=90°.因为∠ABE=90°，所以∠A十∠AEB= 99 9m11 8++++ 12.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.(2)10 M 1 1 (2)8-8×9 章末复习 1.C2.A3.C4.C5.C6.D 7.(1)AB(2)CD(3)FE(4)33 8.C9.D 13.D14.D15.C16.②③17.5 10.示例：AB=ED 18.解：示例： 11.解：因为∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC,所以 ∠DAB=∠CBA.在△ADB与△BCA中， ∠DBA=∠CAB AB-AB ,所以△ADB≌△BCA(ASA),所以 ∠DAB=∠CBA ① ② 3 BC=AD. 19.C 12.解：(1)因为DB⊥BC,CF⊥AE,所以∠DCB+∠D= 20.9521.70° ∠DCB+∠AEC=90°，所以∠D=∠AEC.又因为 22.(1)40°(2)117.5° ∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA,所以△DBC≌ 23.解：如图，由题意得，△ABN≌△A'BN,△C'BM≌ △ECA(AAS).所以CD=AE.(2)由(1)得△DBC≌ △CBM,.∠1=∠2，∠2=∠3，∠CMB=∠C'MB= 68°，∴∠1=∠2=∠3，∴.∠ABC=3∠3.又∠3+∠C △ECA,所以BD=EC.又因为AC=BC,EC-2BC,所 +∠CMB=180°，∴.∠3+∠C=180°-∠CMB=180° 以BD=BC=2BC=号AC=7X10=5(cm. 1 68°=112°.又∠A+∠ABC+∠C=180°，.18°+2∠3 +(∠3+∠C)=180°，.18°+2∠3+112°=180°，.∠3 13.略 =25°，.∠C=112°-∠3=112°-25°=87°. 14.93°或51°[解析]当高AD在△ABC的内部时，如图① 所示，∠BAC=∠BAD十∠CAD=93°，当高AD在 △ABC的外部时，如图②所示，∠BAC=∠BAD一 /CAD=51° B 2简单的轴对称图形 15.解：AB0 第1课时等腰三角形的性质 OD 理由：在△AOB与△DOC中， 1.C2.(1)D(2)B ∠AOB=∠DOC .∠ABO=∠DCO,.△AOB≌△DOC(AAS), 3.D4.C 5.B6.40°7.54 AB-CD 8.B9.B10.25 ..OA=OD 11.①②③④12.C 第五章 图形的轴对称 13.C14.15 1轴对称及其性质 15.解：△ABC和△BDE都是等边三角形，.AB=BC, 1.B2.C3.A4.B BE=BD,∠ABC=∠DBE=6O°.在△ABE和△CBD 5.(1)C(2)C 中，AB=BC,∠ABE=∠CBD,BE=BD,.△ABE≌ 6.B7.B8.C9.810.4.5cm △CBD(SAS),∴.AE=CD. 11.(1)≌(2)A'C(3)BM平行(4)垂直平分 16.解：如图，作点A关于河岸的对称点C,连接BC交河岸于 同行学案学练测·27·