培优05 平面向量中爪子定理、极化恒等式、等和线的应用（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

培优05 平面向量中爪子定理、等和线、极化恒等式的应用 题型1 爪子定理的应用 爪子定理源于平面向量三点共线定理。 已知在线段上，且，则 1．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量共线定理得，再由向量的运算可得，结合条件，利用向量基本定理，即可求解. 【详解】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选：C. 2．（25-26高一上·广东广州·期末）设在一条直线上，在该直线外，已知，则等于___________． 【答案】2 【分析】由三点共线可得两个向量共线，再结合平面向量基本定理可得. 【详解】因为共线，所以，， 因为向量不共线，且， 所以，解得. 故答案为：2 3．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 4．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 【答案】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点，    因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是直线上不同的三点，点在直线外，若，则______． 【答案】2 【分析】根据已知等式，结合向量的线性运算，化简得，而三点共线，可得，解得，再代回到条件中，可得，即可得到的值. 【详解】由题意，是直线上不同的三点，点在直线外，即，如图．    则， 即， 从而， 得，解得． 将代回原式得， 则，即， 所以． 故答案为：2. 题型2 平面向量共线定理的应用 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． （2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． （3）三点共线定理：三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 【答案】 【分析】根据共线定理，结合向量的线性运算，即可列方程组求解. 【详解】，P，C三点共线，故设，同理可设， 由题可知 ， 又 ， 所以可得，解得， 故，所以，． 故答案为：； 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线定理，结合已知条件求出，的值，进而得到的值. 【详解】由题意可知，为中点，，， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以， 设，则， ， 所以，解得，， 则，即， 则. 3．（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，三点共线，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为. 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC    题型3 等和线求系数和、差 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 1．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得出向量之间的关系，再通过向量的运算法则逐步推导出关于和的表达式，从而确定和的值，最后计算. 【详解】如图，延长AG与BO相交于点，可得为OB的中点，可得， 由，有，有， 又由， 有，可得. 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    【答案】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 4．（25-26高三上·山西吕梁·月考）在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合向量的线性运算将用和表示出来即可求解. 【详解】设，所以， 则，，故; 故选：B 5．（24-25高一下·江苏镇江·月考）在平行四边形ABCD中，，，若，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的基本定理用表示出，，然后联立求解即可. 【详解】 如图所示：由于，， 所以，， 将上两式乘以系数相加消去可得 所以，所以. 故选：A 题型4 等和线求范围（最值） 等和线的性质 （1）当等和线恰为直线时，； （2) 当等和线在点和直线之间时, ； （3)当直线在点和等和线之间时, ； （4)当等和线过点时,； （5)若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； （6)定值的变化与等和线到点的距离成正比 对用等和线求系数和最值问题，可以先作基准线，然后建立等和线，然后找目标线，平移找临界，计算比值。 1．（24-25高一下·湖南永州·期末）已知中，，，，，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】令则三点共线，进而可得当垂直时，最小，计算即可. 【详解】令， 所以为等边三角形， ， 记三点共线， 当垂直时，最小，则的最小值为. 故答案为： 2．（山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 3．（25-26高三上·河南·期中）在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    4．（25-26高三上·北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 5．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 题型5 极化恒等式求向量数量积 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明： ①， ②， 1 ②两式相加得： 从几何角度理解与记忆， 2、极化恒等式： ①②两式相减得极化恒等式： 从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 1．（24-25高三上·北京海淀·月考）平行四边形中，，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________．    【答案】 【分析】根据向量加减法、数乘的几何意义有，应用数量积的运算律展开，即可求值. 【详解】由题设，得如下示意图，，，又，，    所以 . 故答案为：. 2．（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题设易得为等边三角形，可得，，进而得到，再结合平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】由，为中点，则， 因为，，所以为等边三角形， 则，，而，则， 由，， 所以 . 故选：B. 3．（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为D，由题意可得，由等边的边长为2，可得， ，最后由，求解即可. 【详解】解：设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以． 故选：B. 4．（25-26高三上·全国·月考）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）    A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解. 【详解】. 故选：. 题型6 极化恒等式求向量数量积的范围（最值） 若题目中给出两个定点（或者为定长）与一个动点，为的中点，则根据极化恒等式有 由于长度固定，则数量积的范围由的范围来决定。 1．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 【答案】1 【分析】应用向量数量积的运算律有，再由已知和数量积的定义得到关于的表达式，即可求最大值. 【详解】由， 且，，，， 所以 ， 当时，的最大值为1. 故答案为：1 4．（24-25高一下·福建莆田·月考）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑，工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形. 若点为弧上的一点，则的最小值为_________． 若点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值_________． 【答案】 【分析】设为的中点，为的中点，，再求出最小值即可；根据点的位置，将问题转化为角的三角函数，借助辅助角公式及三角函数的性质求出最小值. 【详解】设为的中点，为的中点，如图， 则 ， 在正中，，，则， 又，则， 所以的最小值为； 当点落在上时，长度恒为半径2，设，， 其中，，又，则， 则当时，取得最小值， 当点落在圆弧上时，由对称性得的最小值为， 当点落在上时，长度恒为半径2，设，， ，由，得， 则当时，取得最小值， 而，因此的最小值. 故答案为：； 5．（2026高一下·全国·专题练习）（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（   ） A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 【答案】ACD 【分析】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，进而可得，据此得到的最值并判断AB；由数量积得坐标运算及恒等变形可得，，再求取值范围即可． 【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则， 其中，，． 因为，所以，即， 所以． 所以当时，取得最大值2，此时点为的中点， 当或时，取得最小值1，此时点为或点，故A正确，B错误， ，， 所以， ． 因为，所以，故， 因此，所以的取值范围为，故C正确， 因为， 因为，所以，故， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优05平面向量中爪子定理、等和线、极化恒等式的应用 划重点·冲 高分 题型1爪子定理的应用 题型2平面向量共线定理的应用 题型3等和线求系数和、差 平面向量中爪子定理、等和线、极化恒等式的应用 题型4等和线求范围（最值） 题型5极化恒等式求向量数量积 题型6极化恒等式求向量数量积的范围（最值） 题型1爪子定理的应用 解题 招 爪子定理源于平面向量三点共线定理。 己知D在线段BC上，且BD_m,则AD=NAB+mAC CD n m+n m+n B.D-- 1. (25-26高一上·河北石家庄·开学考试)己知A,B,D三点共线，且对直线外任一点C,有 CD=4CA+CB,则实数2等于() 3 A.2 1 B. 3 C. 3 D.2 2. (25-26高一上·广东广州期末)设P,A,B在一条直线上，0在该直线外，已知OP=2xOA+(7-5x)OB, 则x等于 3.(25-26高一上山东日照期末)如图，在ABC中，AN=2NC,P是BN上的一点，若 D=西+C,则实数的值为 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高三上江苏宿迁期末)己知点0为ABC的外心，且向量AO=入AB+(1-2)AC,1∈R,若向 量BA在向量BC上的投影向量为上BC,则cosB的值为 5.(2025高三全国专题练习)已知A,B,P是直线1上不同的三点，点0在直线1外，若 PB OP=mAP+(2m-3OB(m∈R),则 PA 题型2平面向量共线定理的应用 ·应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则测或三角形法则进行向量的加法、减法或数· 乘运算，基本方法有两种： 【(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止. 丨(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. |(3)三点共线定理：A,B,P三点共线的充要条件是：存在实数入4，使O下=入OA+uO,其中 1入+4=1,0为B外一点. 1. (25-26高一下全国课后作业)如图，在ABC中，AD=2DB,AE=EC,BE与CD相交于点P, 若AP=xAB+yAC(x,y∈R),则x=」 E D D B 2.(25-26高一下浙江开学考试)在A8C中，DA+2D范=可，正=EC,BE和CD相交于点F,设 AC=a,AB=b,若AF=xa+yb,则x+y等于() A. B c D. 3 A 2/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3. (25-26高三下.宁夏中卫·开学考试)如图，设AB=xAD,AC=yAE,(x>0,y>0),线段DE与BC交于 点F,且所号瓦，通过计算得到：F-正+号0，则的设小值为(） 5 5 A.5 B.9 4.(2026河南洛阳·模拟预测)在ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于点M ，N,设AB=mAM,AC=nA(m>0,n>0),则上+上的最小值是() m n A.1 B.2 C.4 D.6 5.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨期中)已知ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，Q为A0的中点， 过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mAM,AC=nAN,其中m>0,n>0 ,则下列结论正确的是：() A.A0=名B+54C 3 B顾：号丽 6 C.2m+n=3 11 D.二+二的最小值为3+2√2 m n 题型3等和线求系数和、差 解题大招 !定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有O厅=OA+uO(2十4=1 B 若O元=kO户，O元=kOA+kuO,则系数和kM+ku=k 总结有：若点P在直线AB上或在平行AB的直线上则O=OA+uO(k小反之也成立，我们把直1 |线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 3/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25高一下山西运城月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,G为 △OAB的重心，若AG=xAB+yAD,则x-y=() D G A 3 B. 3-4 C. D名 2.(25-26高一上江苏盐城期末)在ABC中，E为AC上一点，AC=3A正，P为线段BE上任一点，若 AP=xAB+yAC,则x+3y的值是() A.4 B.3 C.2 D.1 3.(25-26高一上辽宁沈阳·期末)如图：在平行四边形ABCD中，M、N分别为边AB、AD上的点，且 AM=3AB,N=D,连接4C,MN交于点P,若AP=入AC,则元=一 3 D M B 4.(25-26高三上·山西吕梁月考)在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，点P在线段BD上.若 PE=入AB+μAD,则1+4=() A司 1 B.一2 c. 3 D.1 3 5. (24-25高一下·江苏镇江月考)在平行四边形ABCD中，BE=EC,2CF=FD,若AC=入AE+4AF, 则实数入+4等于() 6 7 A. B. C. D 5 6 题型4等和线求范围（最值） 解题大招 等和线的性质 (1)当等和线恰为直线AB时，k=1: (2)当等和线在0点和直线AB之间时，k0,1; 一。一。一。。一·一·一。。一一。一。一。一。一。一。一。一。一=一。一。 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I(3)当直线AB在0点和等和线之间时，k1,: (4)当等和线过0点时，k=0: 」(5)若两等和线关于0点对称，则定值k互为相反数： (6)定值k的变化与等和线到0点的距离成正比 对用等和线求系数和最值问题，可以先作基准线，然后建立等和线，然后找目标线，平移找临界，计算引 ！比值。 1.(24-25高一下湖南永州期末)已知ABC中，CB=3,CA=2,C=T 3 CQ=2CB+31-元)CA2∈R)，,则C@的最小值为 2.(山东烟台三模)如图，边长为2的等边ABC的外接圆为圆0，点P为圆O上任意一点，若 AP=xAB+yAC,则2x+2y的最大值为() C 0 B B.2 c D.1 3.(25-26高三上·河南·期中)在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设 AM=1AB+μAF,则入+u的取值范围是() A.[1,5] B.[2,4 c.[1,3 D.[1,4 4.(25-26高三上·北京海淀月考)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E,使DE=CD,若点P是 以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量AP=1AB+μAE,则入+u的最小 值为 最大值为 D B 5.(24-25高一下·山东济南·月考)如图，△BCD与ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点（含 边界)，且AP=入AB+4AC,则入+u的取值范围为() 5/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A.[1,3] B.[1,2 C.[2,3] D.[1,4] 题型5极化恒等式求向量数量积 解 题大招 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： a+b A B 证明： a+2=(a+)=2+2a6+l2@, a-=(a-)2=2-2a6+②， ①②两式相加得：后++目-=2（+ 从几何角度理解与记忆，|AC2+DB12=|AB2+BC2+|CD2+|DA2 2、极化恒等式： ①②两式相减得极化恒等式：言·6=[（京+）2(a-6)2] 从三角形的几何意义理解与记忆：A店·AD=-|Aò2-可极化恒等式表明，向量的数量积可以由 向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系 1. (24-25高三上·北京海淀·月考)平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,AB·AD=-4,点P是边CD的一 个四等分点（靠近C点），则PAPB= P 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2526高三上山东潍坊开学考试)如图，在4BC中，∠ABC-骨，F为B中点，点E在CF上， CE=3,CB=6,AB=12,EA.EB=() B A.-32 B.-27 C.-18 D.-12 3.(24-25高一下·吉林期末)已知在边长为2的等边ABC所在平面内，有一点P满足PB+PC=4AP, 则PC.PB等于()· A.1 B.1 c. D.2 4.(25-26高三上全国月考)已知圆O与圆02的半径分别为3和1，圆O与圆02内切沿着圆周滚动如图 所示，AB是圆O2的任意直径，则OA·O,B=() B A.1 B.3 C.5 D.8 题型6 极化恒等式求向量数量积的范国（最旬 解题大超 :若题目中给出两个定点A,B(或者AB为定长)与一个动点P,D为AB的中点，则根据极化恒等式有 1PA·P方=PD12-|AD2由于AD长度固定，则pA·P后数量积的范围由PD的范围来决定。 1.(2026四川模拟预测)己知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则AE.BE的最小值为() A.3 B.2 1 4 c. D.1 8 2.(2025高一·全国专题练习)如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是以A为圆心，AB为半径的圆 弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则PAPB的取值范围是· 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 3.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨期中)《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源 于汉代，内饰充满了中国文化符号.我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识 进行主题探究活动.如图，正八边形ABCDEFGH,边长为2，点Q为线段CD上的动点，则AO·QE的最 大值为 F G B 4.(24-25高一下·福建莆田·月考)莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种 曲边三角形，在建筑，工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长2为半径 作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形 A 若点P为弧AaB上的一点，则PA(PB+PC)的最小值为 若点P为莱洛三角形曲边上的一动点，则PA(PA+PB+PC)的最小值 5.(2026高一下.全国.专题练习)（多选）己知扇形A0B的半径为1，∠A0B=120°，点C在弧AB上运 动，OC=x0A+y0B,下列说法正确的有() A.当C位于A点时，x+y的值最小 B.当C位于B点时，x+y的值最大 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 33 C.CA.CB的取值范围为 D.OC.BA的取值范围 22 9/9