第七章 随机变量及其分布 章末检测-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 章末检测 A卷——基本知能盘查卷 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．袋中有2个黑球6个红球， 从中任取两个， 可以作为随机变量的是(　　) A．取到球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取得一个红球的概率 解析：选B　随机变量是随着实验结果变化而变化的变量，只有B满足． 2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是(　　) A．25 B．10 C．9 D．5 解析：选C　由题意，由于是有放回地取，故可有如下情况：若两次取球为相同号码，则有1＋1＝2,2＋2＝4,3＋3＝6,4＋4＝8,5＋5＝10,5个不同的和；若两次取球为不同号码，则还有1＋2＝3,1＋4＝5,2＋5＝7,4＋5＝9这四个和，故共有9个． 3．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C12＝. 4．已知ξ的分布列为 ξ －1 0 1 2 P 则ξ的均值为(　　) A．0 B．－1 C. D. 解析：选D　E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＋2×＝. 5．如果随机变量X表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量X的均值为(　　) A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 解析：选C　∵P(X＝k)＝(k＝1,2,3，…，6)， ∴E(X)＝1×＋2×＋…＋6×＝×(1＋2＋…＋6)＝×21＝3.5. 6．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1 h，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是(　　) A. B. C. D. 解析：选C　设事件A为“任意调查一名学生，每天玩手机超过1 h”，事件B为“任意调查一名学生，该学生近视”，则P(A)＝，P(B|A)＝，所以P()＝1－P(A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.故选C. 7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝(　　) A. B．4 C．8 D．10 解析：选C　由题意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp(1－p)＋Cp2＝， 所以p＝，则Y～B， 故D(Y)＝4××＝， 所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×＝8. 8．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选D　由a4＝2，a7＝－4可得等差数列{an}的通项公式为an＝10－2n(n＝1,2，…，10)，{an}的前10项分别为8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意，三次取数相当于三重伯努利试验，在每次试验中取得正数的概率为，取得负数的概率为，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知随机变量ξ的分布如下： ξ 1 2 3 P 1－a 2a2 则实数a的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：选BC　由随机变量ξ的分布知 解得a＝或a＝. 10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示事件“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，下列结论正确的是(　　) A．事件B与事件A1不相互独立 B．A1，A2，A3是两两互斥的事件 C．P(B|A1)＝ D．P(B)＝ 解析：选ABC　由题意知，A1，A2，A3是两两互斥事件，且P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝， 所以P(B|A1)＝＝＝， P(B|A2)＝，P(B|A3)＝， 所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B) ＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝×＋×＋×＝. 所以A、B、C正确，D不正确． 11.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 解析：选ABC　由题图可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A正确，C正确；因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．某处有供水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为，3个水龙头同时被打开的概率为________． 解析：对5个水龙头的处理可视为做5重伯努利试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或1－0.1＝0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C×0.13×0.92＝0.008 1. 答案：0.008 1 13．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝________. 解析：因为P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，所以P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16. 答案：0.16 14．设一次试验成功的概率为p，进行100次重伯努利试验，当p＝________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为__________． 解析：成功次数X～B(100，p)， 所以D(X)＝100p(1－p)≤100×2＝25， 当且仅当p＝1－p，即p＝时，成功次数的方差最大， 其最大值为25. 答案：　25 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为 A＝30， 根据分步计数原理第1次抽到舞蹈节目的事件数为AA＝20， 于是P(A)＝＝. (2)因为第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件数为A＝12， 于是P(AB)＝＝. (3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝＝＝. 16．(15分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动． (1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率； (3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)． 解：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2， 依题意得P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P (2)设“甲、乙都不被选中”为事件， 则P()＝＝＝. ∴所求概率为P(C)＝1－P()＝1－＝. (3)P(B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝. 17．(15分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望． 解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)． 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 18．(17分)(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 解：(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为 P＝P(ABC＋BC＋AC＋AB) ＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8) ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6. (2)X的取值可以为0,10,20,30. P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P(X＝10)＝(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.44， P(X＝20)＝(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.4×(1－0.8)＝0.34， P(X＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06. 所以X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 所以E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13. 19．(17分)五一劳动节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费不少于600元即可抽奖，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种． 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中一次性摸出3个球，中奖规则为：若摸到3个红球，则享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折． 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每摸到1次红球，立减200元． (1)若两位顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1 000元,试从概率的角度分析该顾客选择哪一种抽奖方案更合算． 解：(1)选择方案一时，若享受免单优惠，则需要摸出3个红球，设“顾客享受免单优惠”为事件A，则P(A)＝＝， 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为P＝P(A)·P(A)＝. (2)若选择方案一，设该顾客最后付款的金额为X元，则X可能的取值为0,600,700,1 000. P(X＝0)＝＝，P(X＝600)＝＝， P(X＝700)＝＝，P(X＝1 000)＝＝， 故X的分布列为 X 0 600 700 1 000 P 所以E(X)＝0×＋600×＋700×＋1 000×＝. 若选择方案二，设该顾客摸到红球的个数为Y，最后付款的金额为Z(单位：元)，则Z＝1 000－200Y， 由已知可得Y～B，故E(Y)＝3×＝， 所以E(Z)＝E(1 000－200Y)＝1 000－200E(Y)＝820. 因为E(X)＜E(Z)，所以该顾客选择方案一更合算． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 章末检测 A卷——基本知能盘查卷 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．袋中有2个黑球6个红球， 从中任取两个， 可以作为随机变量的是(　　) A．取到球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取得一个红球的概率 2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是(　　) A．25 B．10 C．9 D．5 3．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为(　　) A. B. C. D. 4．已知ξ的分布列为 ξ －1 0 1 2 P 则ξ的均值为(　　) A．0 B．－1 C. D. 5．如果随机变量X表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量X的均值为(　　) A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 6．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1 h，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是(　　) A. B. C. D. 7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝(　　) A. B．4 C．8 D．10 8．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知随机变量ξ的分布如下： ξ 1 2 3 P 1－a 2a2 则实数a的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示事件“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，下列结论正确的是(　　) A．事件B与事件A1不相互独立 B．A1，A2，A3是两两互斥的事件 C．P(B|A1)＝ D．P(B)＝ 11.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．某处有供水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为，3个水龙头同时被打开的概率为________． 13．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝________. 14．设一次试验成功的概率为p，进行100次重伯努利试验，当p＝________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为__________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 16．(15分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动． (1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率； (3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)． 17．(15分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望． 18．(17分)(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 19．(17分)五一劳动节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费不少于600元即可抽奖，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种． 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中一次性摸出3个球，中奖规则为：若摸到3个红球，则享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折． 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每摸到1次红球，立减200元． (1)若两位顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1 000元,试从概率的角度分析该顾客选择哪一种抽奖方案更合算． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $