第七章 随机变量及其分习题课 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 习题课提升关键能力 高频考点一条件概率与全概率公式 [例1]　(1)某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为，且满8 000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，则该电子元件用满8 000小时的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. (2)设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________． (3)假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占20%，丙厂产品占50%，甲厂产品的合格率是80%，乙厂产品的合格率是70%，丙厂产品的合格率是95%，在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡合格的概率为________． [解析]　(1)记事件A：“用满3 000小时不坏”，P(A)＝； 记事件B：“用满8 000小时不坏”，P(B)＝. 因为B⊆A，所以P(AB)＝P(B)＝. 故P(B|A)＝＝＝÷＝. (2)由题意知P(AB)＝，P(B|A)＝， ∴P(A)＝＝＝. (3)设B＝“随机购买一个灯泡”，A1＝“购买的是甲厂的灯泡”，A2＝“购买的是乙厂的灯泡”，A3＝“购买的是丙厂的灯泡”， 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.5.P(B|A1)＝0.8，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.95. 故P(B)＝0.3×0.8＋0.2×0.7＋0.5×0.95＝0.855. [答案]　(1)B　(2)　(3)0.855 [方法技巧] 在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．在计算时，在事件A发生的前提下缩减基本事件总数，求出其包含的基本事件数，再在这些基本事件中，找出事件A发生的条件下，事件B包含的基本事件数，然后利用古典概型公式求得条件概率． [集训冲关] 1．第一个口袋中有黑、白球各2只，第二个口袋中有黑、白球各3只．先从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋中，再从第二个口袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　记Ai表示第i次取到白球(i＝1,2)， 则P(A1)＝，P(A2|A1)＝. 由乘法公式得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. 2．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校一篮球运动员进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为，若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　记“篮球运动员第1球投进”为事件A，“篮球运动员第2球投进”为事件B，由题知，P(B|A)＝，P(B|)＝，又知P(A)＝，所以P()＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝＝. 3．(2022·新课标Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)． 解：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄＝10×(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)＝47.9. (2)法一：由于患者的年龄位于区间[20,70)是由患者的年龄位于区间[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)组成的，且相互独立，所以所求概率P＝(0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020)×10＝0.89. 法二：由于患者的年龄位于区间[20,70)是由患者的年龄位于区间[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)组成的，且相互独立，所以所求概率P＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝0.89. (3)设从该地区任选一人，年龄位于区间[40,50)为事件A，患这种疾病为事件B，则P(A)＝16%， 由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40,50)的概率为0.023×10＝0.23， 结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.000 23， 所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40,50)，则此人患这种疾病的概率为P(B|A)＝＝≈0.001 4. 高频考点二离散型随机变量的分布列及期望方差 [例2]　某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列． (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由． [解](1)由题意，X的取值分别为0,20,100， 则P(X＝0)＝0.2，P(X＝20)＝0.8×0.4＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)由(1)得，先回答A类问题的期望E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 设先回答B类问题累计得分为Y，Y的取值可能为0,80,100， 则P(Y＝0)＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×0.2＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为E(Y)＞E(X)，所以应选择先回答B类问题． [方法技巧] 求解离散型随机变量均值、方差的步骤 (1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值； (2)求出X取每个值时的概率； (3)写出X的分布列； (4)利用E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值，利用D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn求出方差．　　 [集训冲关] 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求X，Y的分布列； (2)求X，Y的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． 解：(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴X，Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又因为D(X)<D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． 所以甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会． 高频考点三二项分布与超几何分布 [例3]　某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成． (1)求出考生甲正确完成题数的概率分布与均值； (2)若考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力． [解](1)设考生甲正确完成实验操作的题数为X，则P(X＝k)＝，k＝1,2,3.所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. (2)设考生乙正确完成实验操作的题数为Y，则Y～B，所以P(Y＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3，P(Y≥2)＝＋＝. 又P(X≥2)＝＋＝，且P(X≥2)>P(Y≥2)，所以从至少正确完成2题的概率分析，甲通过的可能性大，因此甲的实验操作能力较强． [方法技巧] (1)在n重伯努利试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.这时称X服从二项分布，记为X～B(n，p)．当X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (2)超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出分布列，求出均值． [集训冲关] 1．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求： (1)随机变量ξ的概率分布列； (2)随机变量ξ的均值． 解：(1)考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4重伯努利试验． 故ξ～B，即有P(ξ＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4. ξ的概率分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P (2)E(ξ)＝4×＝. 故随机变量ξ的均值为. 2．已知某车间生产的8件产品中，有2件不合格．若从中任取2件产品进行质检，则至少有1件产品不合格的概率是多少？ 解：用X表示抽取的2件产品中不合格产品的件数，则X服从超几何分布．记“2件产品中没有不合格产品”为事件，则P()＝P(X＝0)＝＝， ∴P(A)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 高频考点四正态分布问题 [例4]　(1)某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩在550～600分的人数． (2)生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X～N(0,1.52)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品，求： ①X的密度函数； ②生产的5件产品的合格率不小于80%的概率． [解]　(1) ∵考生成绩X～N(500,502)， ∴μ＝500，σ＝50， ∴P(550<X≤600)＝[P(500－2×50<X≤500＋2×50)－P(500－50<X≤500＋50)] ＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. ∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340. (2)①根据题意，知X～N(0,1.52)，即μ＝0，σ＝1.5， 所以密度函数φ(x)＝e－. ②设Y表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为P(|X|≤1.5)＝P(－1.5≤X≤1.5)＝0.682 7， 而Y～B(5,0.682 7)，合格率不小于80%，即Y≥5×0.8＝4， 所以P(Y≥4)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝C×0.682 74×(1－0.682 7)＋0.682 75≈0.492 9. [方法技巧] (1)注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率． (2)解决求某区间的概率问题，可以利用正态曲线的对称性，画出相应的正态曲线图象，应用数形结合把“求某一区间内的概率”问题转化为求“阴影部分面积”的问题． (3)由于涉及连续型随机变量的密度曲线，我们在解题时应与曲线的图象巧妙结合，抓住曲线的对称特征，会给解题带来很大的方便．　　 [集训冲关] 1．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，P(X>1)＝p，则P(－1<X<0)等于(　　) A.p B．1－p C．1－2p D.－p 解析：选D　由于随机变量服从正态分布N(0,1)，由标准正态分布图象可得P(－1<X<1)＝1－2P(X>1)＝1－2p. 故P(－1<X<0)＝P(－1<X<1)＝－p. 2．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________． 解析：依题意可知，μ＝60.5，σ＝2， 故P(58.5<X<62.5)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682 7，从而属于正常情况的人数约为1 000×0.682 7≈683. 答案：683 　　　　　 一、选择题 1．已知事件A发生时，事件B一定发生，P(A)＝P(B)，则P(A|B)等于(　　) A. B. C. D. 解析：选C　因为P(AB)＝P(A)＝P(B)， 所以P(A|B)＝＝. 2．甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为(　　) A．0.5分 B．－0.5分 C．1分 D．5分 解析：选B　E(X)＝10×＋(－11)×＝－0.5. 3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下： ξ 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则数学期望E(ξ)等于(　　) A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4 解析：选D　由题意得m＝1－0.5－0.2＝0.3， 所以E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 4．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于(　　) A．6 B．4 C．3 D．9 解析：选A　因为D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6××＝，所以D(2X＋1)＝4×＝6. 5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：选C　设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，所以两次都取到红球的概率为. 6．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝ (例如：若a1＝a3＝a5＝1，a2＝a4＝0，则A＝10101)，其中二进制数A的各位数中，已知a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，现在仪器启动一次，则E(X)＝(　　) A. B. C. D. 解析：选B　法一：X的所有可能取值为1,2,3,4,5， P(X＝1)＝C×4×0＝， P(X＝2)＝C×3×1＝， P(X＝3)＝C×2×2＝， P(X＝4)＝C×1×3＝， P(X＝5)＝C×0×4＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 法二：由题意，X的所有可能取值为1,2,3,4,5， 设Y＝X－1，则Y的所有可能取值为0,1,2,3,4， 因此Y～B，所以E(Y)＝4×＝， 从而E(X)＝E(Y＋1)＝E(Y)＋1＝＋1＝. 二、填空题 7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________. 解析：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝. 答案： 8．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X<10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X>30)等于________． 解析：根据随机变量的概率分布的性质， 可知P(X<10)＋P(10≤X≤30)＋P(X>30)＝1， 故P(X>30)＝1－0.3－0.4＝0.3. 答案：0.3 9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________． 解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1， 每粒种子发芽与否相互独立， 故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000,0.1)， ∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的种子数X的期望为2E(ξ)＝200. 答案： 200 三、解答题 10．某一射手射击所得环数X的分布列如下： X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 m 0.29 0.22 (1)求m的值； (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率． 解：(1)由分布列的性质得m＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P(射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88. 11．为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师、化学老师、数学老师各2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学老师的人数，求X的均值与方差． 解：(1)推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数n＝C＝20， 设事件A表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”， A1表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，A2表示“恰好选出2名数学老师”， A1，A2互斥，且A＝A1∪A2，P(A1)＝＝＝，P(A2)＝＝， ∴选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为p＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. (2)由于从6名老师中任选3名的结果为C， 从6名老师中任选3名，其中恰有m名数学老师的结果为CC(m＝0,1,2)，那么6名中任选3人， 恰有m名数学老师的概率为P(X＝m)＝， ∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 12．随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60, 70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题． (1)求样本容量及x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望． 解：(1)由题意，得分数在[50,60)内的频数为2， 频率为0.008×10＝0.08， 所以样本容量n＝＝25， x＝25－(2＋7＋10＋2)＝4. (2)成绩不低于80分的人数为4＋2＝6，成绩不低于90分的人数为2， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2， 因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 习题课提升关键能力 高频考点一条件概率与全概率公式 [例1]　(1)某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为，且满8 000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，则该电子元件用满8 000小时的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. (2)设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________． (3)假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占20%，丙厂产品占50%，甲厂产品的合格率是80%，乙厂产品的合格率是70%，丙厂产品的合格率是95%，在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡合格的概率为________． [集训冲关] 1．第一个口袋中有黑、白球各2只，第二个口袋中有黑、白球各3只．先从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋中，再从第二个口袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为(　　) A. B. C. D. 2．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校一篮球运动员进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为，若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(　　) A. B. C. D. 3．(2022·新课标Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)． 高频考点二离散型随机变量的分布列及期望方差 [例2]　某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列． (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由． [集训冲关] 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求X，Y的分布列； (2)求X，Y的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． 高频考点三二项分布与超几何分布 [例3]　某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成． (1)求出考生甲正确完成题数的概率分布与均值； (2)若考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力． [集训冲关] 1．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求： (1)随机变量ξ的概率分布列； (2)随机变量ξ的均值． 2．已知某车间生产的8件产品中，有2件不合格．若从中任取2件产品进行质检，则至少有1件产品不合格的概率是多少？ 高频考点四正态分布问题 [例4]　(1)某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩在550～600分的人数． (2)生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X～N(0,1.52)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品，求： ①X的密度函数； ②生产的5件产品的合格率不小于80%的概率． [集训冲关] 1．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，P(X>1)＝p，则P(－1<X<0)等于(　　) A.p B．1－p C．1－2p D.－p 2．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________． 　　　　　 一、选择题 1．已知事件A发生时，事件B一定发生，P(A)＝P(B)，则P(A|B)等于(　　) A. B. C. D. 2．甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为(　　) A．0.5分 B．－0.5分 C．1分 D．5分 3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下： ξ 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则数学期望E(ξ)等于(　　) A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4 4．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于(　　) A．6 B．4 C．3 D．9 5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　) A. B. C. D. 6．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝ (例如：若a1＝a3＝a5＝1，a2＝a4＝0，则A＝10101)，其中二进制数A的各位数中，已知a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，现在仪器启动一次，则E(X)＝(　　) A. B. C. D. 二、填空题 7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________. 8．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X<10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X>30)等于________． 9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________． 三、解答题 10．某一射手射击所得环数X的分布列如下： X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 m 0.29 0.22 (1)求m的值； (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率． 11．为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师、化学老师、数学老师各2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学老师的人数，求X的均值与方差． 12．随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60, 70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题． (1)求样本容量及x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $