7.3.2 离散型随机变量的方差 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦离散型随机变量的方差这一核心知识点，系统梳理其定义、性质（如D(aX+b)=a²D(X)）及两点分布的方差公式，是在随机变量均值基础上对数据波动程度的延伸学习，通过教材梳理填空、基础小试、题型分类及检测构建完整学习支架。 该资料特色在于“学透用活”环节区分随机变量方差与样本方差培养抽象能力（数学眼光），实际应用案例（如水稻分蘖整齐度、投资项目选择）发展数据观念（数学语言），微思考引导主动探究（数学思维）。课中助力教师系统教学，课后检测帮助学生查漏补缺。

人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 (一)教材梳理填空 1．离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的 ，记为σ(X)． (2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的 方差或标准差越小，随机变量的取值越 ；方差或标准差越大，随机变量的取值越 (3) 两点分布的方差 若X服从两点分布，则D(X)＝ (其中p为成功概率)． 2．方差的性质 D(aX＋b)＝ ，D(C)＝0 (C是常数)． [微思考]　求随机变量Y＝aX＋b的方差有哪些方法？ (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　) (2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　) (3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．(　　) (4)若随机变量X的方差D(X)＝，则D(2 X＋1)＝2×＝.(　　) 2．已知随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 设Y＝2X＋3，则D(Y)＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 4．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差为________． 5．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________. 题型一　求离散型随机变量的方差 [学透用活] 离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系 (1)区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本方差是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． (2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差． [典例1]　(1)随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a b c 若a，b，c成等差数列，E(X)＝，则D(X)＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. (2)两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的方差D(ξ)＝________. [对点练清] 有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，求D(X)． 题型二　离散型随机变量的方差的性质应用 [学透用活] [典例2]　已知随机变量X的分布列为 X 0 10 20 50 60 P (1)求X的方差及标准差； (2)设Y＝2X－E(X)，求D(Y)． [对点练清] 已知随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 x P p 若E(ξ)＝. (1)求D(ξ)的值； (2)若η＝3ξ－2，求D(η)的值． 题型三　方差的实际应用 [探究发现] (1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？ (2)离散型随机变量的方差越大随机变量越稳定还是方差越小越稳定？ [学透用活] [典例3]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为 ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； (2)计算ξ，η的期望与方差，并依此分析甲、乙技术状况． [对点练清] 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为： 甲保护区： X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区： Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平． [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 二、应用性——强调学以致用 2．某公司计划在2026年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和.项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． [课下过关检测] 1．[多选]已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则下列结论正确的是(　　) A．E(X)＝－ B．E(X＋4)＝－ C．D(3X＋1)＝5 D．P(X>0)＝ 2．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝则X的方差D(X)＝(　　) A. B. C. D. 3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是(　　) 环数k 8 9 10 P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5 P(η＝k) 0.2 0.4 0.4 A.甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 4．[多选]甲、乙两位同学玩纸牌游戏(纸牌除了颜色有不同，没有其他任何区别)，他们手里先各持4张牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机的拿出一张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌数分别为X，Y张，则(　 ) A．P(X＝2)＝ B．P(X＝3)＝ C．E(X)＝E(Y) D．D(X)＝D(Y) 5．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________． 6．随机变量X的取值为0,1,2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________. 7．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 1．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，现已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　) A. B. C．3 D. 2．设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值，，，，的概率也为0.2.若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则(　　) A．D(ξ1)>D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1)<D(ξ2) D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关 3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P －p p 则E(X)的最大值是________，D(X)的最大值是________． 4．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 (一)教材梳理填空 1．离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． (2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． (3) 两点分布的方差 若X服从两点分布，则D(X)＝_p(1－p)(其中p为成功概率)． 2．方差的性质 D(aX＋b)＝a2D(X)，D(C)＝0 (C是常数)． [微思考]　求随机变量Y＝aX＋b的方差有哪些方法？ 提示：可有两种方法：一：先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；二：应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　) (2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　) (3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．(　　) (4)若随机变量X的方差D(X)＝，则D(2 X＋1)＝2×＝.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3) √　(4) × 2．已知随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 设Y＝2X＋3，则D(Y)＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝1， ∴D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝. 3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：选B　因为D(X甲)>D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐． 4．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差为________． 解析：ξ的标准差＝＝. 答案： 5．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________. 解析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1. 答案：1 题型一　求离散型随机变量的方差 [学透用活] 离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系 (1)区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本方差是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． (2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差． [典例1]　(1)随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a b c 若a，b，c成等差数列，E(X)＝，则D(X)＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. (2)两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的方差D(ξ)＝________. [解析]　(1)由题可得解得 所以D(X)＝×＋×＋×＝. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝， 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝， D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝. [答案]　(1)B　(2) [方法技巧] 求离散型随机变量ξ的方差的步骤 (1)理解ξ的意义，明确其可能取值； (2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布则继续下面步骤； (3)求ξ取每个值的概率； (4)写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验； (5)根据方差定义求D(ξ)． [对点练清] 有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，求D(X)． 解：由题知X＝6,9,12. P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝. ∴X的分布列为 X 6 9 12 P ∴E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8. D(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36. 题型二　离散型随机变量的方差的性质应用 [学透用活] [典例2]　已知随机变量X的分布列为 X 0 10 20 50 60 P (1)求X的方差及标准差； (2)设Y＝2X－E(X)，求D(Y)． [解]　(1)E(X)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， D(X)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384. ∴＝8. (2)∵Y＝2X－E(X)， ∴D(Y)＝D(2X－E(X))＝4D(X)＝4×384＝1 536. [方法技巧] 关于方差性质的四点说明 (1)当a＝0时，D(aX＋b)＝D(b)＝0，即常数的方差等于0. (2)当a＝1时，D(X＋b)＝D(X)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身． (3)当b＝0时，D(aX)＝a2D(X)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积． (4)当a，b均为非零常数时，随机变量η＝aX＋b的方差D(η)＝D(aX＋b)＝a2D(X)． [对点练清] 已知随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 x P p 若E(ξ)＝. (1)求D(ξ)的值； (2)若η＝3ξ－2，求D(η)的值． 解：由分布列的性质，得＋＋p＝1, 解得p＝， ∵E(ξ)＝0×＋1×＋x＝， ∴x＝2. (1)D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝＝. (2)∵η＝3ξ－2，∴D(η)＝D(3ξ－2)＝9D(ξ)＝5. 题型三　方差的实际应用 [探究发现] (1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？ 提示：离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度． (2)离散型随机变量的方差越大随机变量越稳定还是方差越小越稳定？ 提示：离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定． [学透用活] [典例3]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为 ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； (2)计算ξ，η的期望与方差，并依此分析甲、乙技术状况． [解]　(1)由离散型随机变量分布列的性质得 a＋0.1＋0.6＝1，解得a＝0.3. 同理0.3＋b＋0.3＝1，解得b＝0.4. (2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2， D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6. 由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势． [方法技巧] 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平， 因此， 在实际决策问题中， 需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度. 通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论． [对点练清] 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为： 甲保护区： X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区： Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平． 解：甲保护区违规次数X的数学期望和方差为 E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3， D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为 E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3， D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)， 所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定． [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 解：(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1， 故a＝，从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)法一：由(1)知a＝，所以X的均值 E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝. 法二：由(1)知a＝，所以X的均值 E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝， 所以X的方差D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝. (3)因为Y＝4X＋3， 所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2， D(Y)＝42D(X)＝11. 二、应用性——强调学以致用 2．某公司计划在2026年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和.项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 解：若投资项目一，设获利为ξ1万元，则ξ1的分布列为 ξ1 60 －30 P E(ξ1)＝60×＋(－30)×＝40. 若投资项目二，设获利为ξ2万元，则ξ2的分布列为 ξ2 100 0 －60 P E(ξ2)＝100×＋0×＋(－60)×＝40. 故E(ξ1)＝E(ξ2)． ∵D(ξ1)＝(60－40)2×＋(－30－40)2×＝1 400， D(ξ2)＝(100－40)2×＋(0－40)2×＋(－60－40)2×＝5 600， ∴D(ξ1)<D(ξ2)． 这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资． [课下过关检测] 1．[多选]已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则下列结论正确的是(　　) A．E(X)＝－ B．E(X＋4)＝－ C．D(3X＋1)＝5 D．P(X>0)＝ 解析：选ACD　E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，E(X＋4)＝，故A正确，B错误．D(X)＝2×＋2×＋2×＝，D(3X＋1)＝9D(X)＝5，故C正确．P(X>0)＝P(X＝1)＝，故D正确． 2．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝则X的方差D(X)＝(　　) A. B. C. D. 解析：选A　显然X服从两点分布，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.故X的分布列为 X 0 1 P 所以E(X)＝，故D(X)＝×＝. 3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是(　　) 环数k 8 9 10 P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5 P(η＝k) 0.2 0.4 0.4 A.甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 解析：选B　E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)， D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，所以乙稳定． 4．[多选]甲、乙两位同学玩纸牌游戏(纸牌除了颜色有不同，没有其他任何区别)，他们手里先各持4张牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机的拿出一张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌数分别为X，Y张，则(　 ) A．P(X＝2)＝ B．P(X＝3)＝ C．E(X)＝E(Y) D．D(X)＝D(Y) 解析：选AD　甲取出一张红牌为事件A，乙取出一张红牌为事件B，则P(A)＝＝，P(B)＝， X的可能取值为1,2,3，且Y＝3－X， 则P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝×＋×＝，P(X＝3)＝×＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝， 所以E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－＝， D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝D(X)， 故正确的有A，D.故选A，D. 5．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________． 解析：X的分布列为 X 1 3 5 P 则E(X)＝1×＋3×＋5×＝，D(X)＝. 答案： 6．随机变量X的取值为0,1,2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________. 解析：由题意设P(X＝1)＝p， 则X的分布列如下： X 0 1 2 P p －p 由E(X)＝1，可得p＝， 所以D(X)＝12×＋02×＋12×＝. 答案： 7．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125， D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50， D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165， 由于E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，故甲厂的材料稳定性较好． 1．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，现已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　) A. B. C．3 D. 解析：选C　由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值， 所以 解得x1＝1，x2＝2， 所以x1＋x2＝3，故选C. 2．设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值，，，，的概率也为0.2.若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则(　　) A．D(ξ1)>D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1)<D(ξ2) D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关 解析：选A　由题意可知E(ξ1)＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)， E(ξ2)＝＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，期望相等，都设为m， ∴D(ξ1)＝[(x1－m)2＋…＋(x5－m)2]， D(ξ2)＝， ∵10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105， ∴D(ξ1)>D(ξ2)．故选A. 3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P －p p 则E(X)的最大值是________，D(X)的最大值是________． 解析：由分布列的性质可知p∈，则E(X)＝p＋1∈，故E(X)的最大值为.∵D(X)＝(p＋1)2＋p(p＋1－1)2＋(p＋1－2)2＝－p2－p＋1＝－2＋，又p∈，∴当p＝0时，D(X)取得最大值1. 答案：　1 4．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值． 解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4； E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)因为f(x)＝D＋D ＝2D(Y1)＋2D(Y2) ＝[x2＋3(100－x)2] ＝(4x2－600x＋3×1002)， 所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $