7.3.1 离散型随机变量的均值 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦离散型随机变量的均值这一核心知识点，系统梳理其定义、两点分布均值及性质，通过教材梳理填空夯实基础，基本知能小试检验理解，再以性质应用、均值求解、实际应用题型递进，构建完整学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，结合投资收益、销售利润等实际情境，培养学生用数学思维分析问题，用数学语言表达现实世界的能力。课中辅助教师系统授课，课后检测帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 (一)教材梳理填空 1．离散型随机变量的均值(或数学期望) 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝ ＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 2．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝ 3．均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， (1)Y也是随机变量； (2)E(aX＋b)＝ (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (3)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近总体平均值．(　　) (4)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　) (5)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7.(　　) 2．设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，则查得废品数X的均值为(　　) A．20　　　　　　　 B．10 C．5 D．15 3．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 若Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝________. 题型一　离散型随机变量的均值性质的应用 [学透用活] [典例1]　已知随机变量X的分布列为： X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E(Y)＝________. [对点练清] 1．[变设问]本例条件不变，若Y＝2X－3, 求E(Y)． 2．[变条件、变设问]本例条件不变， 若将“Y＝－2X”改为ξ＝aX＋3, 且E(ξ)＝－， 求a的值. 题型二　求离散型随机变量均值 [学透用活] [典例2]　盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值． [对点练清] 若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为X, 求E(X)． 题型三　离散型随机变量均值的实际应用 [学透用活] [典例3]　现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资10万元，根据对市场120份样本数据的统计，甲项目年利润分布如表： 年利润/万元 1.2 1.0 0.9 频数 20 60 40 对乙项目投资10万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如表： 合格次数 2 1 0 年利润/万元 1.3 1.1 0.6 记随机变量X，Y分别表示对甲、乙两个项目各投资10万元的年利润．将甲项目年利润的频率作为对应事件的概率． (1)求X>Y的概率； (2)某商人打算对甲或乙项目投资10万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由． [对点练清] 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益/万元 20 15 10 7.5 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由． [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立，求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值． 二、应用性——强调学以致用 2．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 气温℃ [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数/天 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？ [课下过关检测]　 1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 2．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(ξ)＝7.5，则a等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 3．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是： ξ 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 η 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定(　　) A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 4．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于(　　) A．1.25 B．1.5 C．1.75 D．2 5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　) A. B. C. D. 6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________． 7．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元. ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 8．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值． 1．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的数学期望是(　　) A. B. C. D. 2．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是(　　) A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 600元 3．(2025·全国Ⅰ卷)有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________. 4．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 5．(2025·北京高考)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P； (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X＝1的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 (一)教材梳理填空 1．离散型随机变量的均值(或数学期望) 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝_p_. [微思考]　随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？ 提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的． 3．均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， (1)Y也是随机变量； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (3)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近总体平均值．(　　) (4)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　) (5)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　 (4) √　(5) √　 2．设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，则查得废品数X的均值为(　　) A．20　　　　　　　 B．10 C．5 D．15 解析：选B　废品率为，所以E(X)＝150×＝10. 3．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 若Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝________. 解析：由分布列的性质得＋＋m＝1， ∴m＝. ∴E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－. ∴E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝， ∴a＝2. 答案：2 题型一　离散型随机变量的均值性质的应用 [学透用活] [典例1]　已知随机变量X的分布列为： X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E(Y)＝________. [解析]　由随机变量分布列的性质， 得 ＋＋＋m＋＝1, 解得m＝， ∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)， 即E(Y)＝－2×＝. [答案]　 [方法技巧] 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数，求E(ξ)的两种思路： (1)先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)． (2)利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)． [对点练清] 1．[变设问]本例条件不变，若Y＝2X－3, 求E(Y)． 解：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b及E(X)＝－得， E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. 2．[变条件、变设问]本例条件不变， 若将“Y＝－2X”改为ξ＝aX＋3, 且E(ξ)＝－， 求a的值. 解：因为E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3 ＝－a＋3＝－，所以a＝15. 题型二　求离散型随机变量均值 [学透用活] [典例2]　盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值． [解]　X可取的值为1,2,3， 则P(X＝1)＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××1＝. 所以抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5. [方法技巧] 求离散型随机变量的均值的一般步骤 (1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值； (2)求概率：计算出P(X＝k)； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：利用E(X)的计算公式计算E(X)．其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在． [对点练清] 若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为X, 求E(X)． 解：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝P( )＝P()·P() ＝×＝， P(X＝1)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝×＋×＝， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 题型三　离散型随机变量均值的实际应用 [学透用活] [典例3]　现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资10万元，根据对市场120份样本数据的统计，甲项目年利润分布如表： 年利润/万元 1.2 1.0 0.9 频数 20 60 40 对乙项目投资10万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如表： 合格次数 2 1 0 年利润/万元 1.3 1.1 0.6 记随机变量X，Y分别表示对甲、乙两个项目各投资10万元的年利润．将甲项目年利润的频率作为对应事件的概率． (1)求X>Y的概率； (2)某商人打算对甲或乙项目投资10万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由． [解]　(1)X>Y的所有情况有P(X＝1.2，Y＝1.1)＝×2××＝，P(Y＝0.6)＝2＝，所以P(X>Y)＝＋＝. (2)随机变量X的分布列为 X 1.2 1.0 0.9 P 所以E(X)＝1. P(Y＝1.3)＝×＝，P(Y＝1.1)＝×＋×＝，P(Y＝0.6)＝×＝， 所以随机变量Y的分布列为 Y 1.3 1.1 0.6 P 所以E(Y)＝0.9. 因为E(X)>E(Y)，且X>Y的概率比X<Y的概率大，所以甲项目更具有投资价值． [方法技巧] 1．实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计． 2．概率模型的解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论． [对点练清] 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益/万元 20 15 10 7.5 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由． 解：(1)设下周一无雨的概率为p， 由题意知，p2＝0.36，p＝0.6， 基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5， 则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24， P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16， 所以基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)， 所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a. 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，是否额外聘请工人均可以． [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立，求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值． 解：根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6. ∵P(X＝－4)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＋××＋××＝，P(X＝6)＝××＝， ∴X的分布列为 X －4 1 3 6 P ∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝. 二、应用性——强调学以致用 2．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 气温℃ [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数/天 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？ [析题建模] (1)→→ (2)→→ 解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500， 由表格数据知 P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝＝0.4. 因此X的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时， 若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n； 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n. 当200≤n<300时， 若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元． [课下过关检测]　 1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 解析：选B　因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B. 2．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(ξ)＝7.5，则a等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选C　由题意得， 得 3．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是： ξ 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 η 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定(　　) A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 解析：选A　E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.因为E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好． 4．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于(　　) A．1.25 B．1.5 C．1.75 D．2 解析：选C　P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015； P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22； P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765. ∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75. 5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　) A. B. C. D. 解析：选B　125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝＝. 6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________． 解析：X的可能取值为3,2,1,0， P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24， P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096， P(X＝0)＝0.43＝0.064. 所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064 ＝2.376. 答案：2.376 7．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元. ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)． 设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， 所以E(η)＝3.4E(ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)． 答案：706 8．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值． 解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”， 则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝. (2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 1．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的数学期望是(　　) A. B. C. D. 解析：选A　试验次数ξ的可能取值为1,2,3， 则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝， P(ξ＝3)＝××＝. 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 2．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是(　　) A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 600元 解析：选B　出海效益的均值为E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)． 3．(2025·全国Ⅰ卷)有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________. 解析：依题意，X的可能取值为1,2,3，总的选取可能数为53＝125，其中X＝1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故P(X＝1)＝＝；X＝2：恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X＝2的可能情况有5×4×3＝60种，故P(X＝2)＝＝；X＝3：三种不同球被取出，由排列数可知事件X＝3的可能情况有5×4×3＝60种，故P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝. 答案： 4．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 解：(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望 E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 5．(2025·北京高考)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P； (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X＝1的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小． 解：(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P＝＝. (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，B为“从乙校抽取1人做对”，则P(A)＝0.8，P()＝0.2，P(B)＝0.75，P()＝0.25， 设C为“恰有1人做对”，故P(C)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.35. 依题可知，X可取0,1,2， P(X＝0)＝P()＝0.05，P(X＝1)＝0.35， P(X＝2)＝0.8×0.75＝0.6， 故X的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)＝1×0.35＋2×0.6＝1.55. (3)设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，因为甲校掌握这个知识点有100%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故P(D)＋[1－P(D)]＝0.8，即p1＋×(1－p1)＝0.8，故p1＝， 同理有，0.85p2＋×(1－p2)＝0.75，故p2＝，故p1<p2. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $