专项提升训练12：正比例解决问题（知识点梳理+题型分类训练共32题）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

专项提升训练12：正比例解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、正比例的意义与辨识 1.正比例定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的________（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。 字母表达式： （________）。 2.辨识方法： 公式变形：若题目给出 ，变形得 ，则 ，说明 和 的比值一定，成正比例。 生活实例：同一时间、同一地点，物体的高度与影长成________；匀速行驶时，路程与时间成________。 二、正比例图像的认识 3.图像特征：正比例关系的图像是经过________的一条直线。 4.读图技巧： 根据图像上的点可以直接读出对应的数值。 若图像显示甲车3小时行驶270千米，则甲车的速度为________千米/时（利用 计算）。 三、正比例的应用 5.解题步骤： 设：根据问题设未知数为 。 列：找出相关联的量，列出比例式。关键是要保证等式两边的________一致。 例如：竹竿高:竹竿影长 = 旗杆高:旗杆影长。 解：利用比例的基本性质（内项积 = 外项积）解方程。 答：写出答句。 6.典型题型： 影长测高：设旗杆高 米，已知竹竿高2米影长1.2米，旗杆影长7.74米。列比例： 。 行程问题：速度一定，路程和时间成正比。汽车6小时行480km，行360km需 小时。列比例： 。 排水法（体积与高度）：水槽底面积不变，体积与水面上升高度成________。若正方体铁块使水面上升3mm，铁球使水面下降5mm，设铁球体积 ，则 。 题型分类训练 【题型1】正比例的意义及辨识 1．下表中a和b两个量成正比例关系。 a 0.8 6 0.5 7 b 2.4 18 7.2 2．如果（a≠0），那么ab＝( )，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成( )比例关系。 3．若3x－2y＝0（x、y均不为0），则x与y成( )比例，x∶y＝( )。 4．（a、b均是不为0的自然数），a∶b＝( )（填最简整数比），a与b成( )比例关系。 5．如果a和b互为倒数，且a∶c＝6∶b，那么c＝( )；如果，那么a和b成( )比例关系。 6．当圆柱的高是8dm时，圆柱的底面积和体积的变化情况如下表，把表格填写完整。 底面积/dm2 1 5 10 15 20 体积/dm3 8 40 （1）圆柱的体积是怎样随着底面积的增加而变化的？ （2）圆柱的体积与底面积成正比例吗？为什么？ 7．某房间的铺地面积和所用砖块数如下表，根据要求填空。 铺地面积/ 1 2 3 4 5 用砖块数 25 50 75 (1)请完成上表。 (2)表中的( )和( )是相关联的量，( )随着( )的变化而变化。 (3)从表中可以看出，第一组中的两个相关联的量的比是( )，比值是( )；第五组中的两个相关联量的比是( )，比值是( )，它表示( )。 (4)铺地面积和用砖块数的比值是( )的，所以铺地面积和用砖块数成( )。 【题型2】正比例图象的认识 8．有一种弹簧秤，挂上物品（质量在100克以内）时，物品的质量与弹簧伸长的长度情况如图所示，如果挂40克重物，弹簧伸长的长度是( )厘米。 9．一根弹簧挂上物体（质量不超过20kg）后会伸长。如图表示弹簧伸长的长度和所挂物体的质量之间的关系。弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例。如果挂上6kg的物体，那么弹簧将伸长( )cm。 10．甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如下图。 (1)从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 (2)甲车行驶3小时，行驶的路程是( )千米。乙车行驶2小时，行驶的路程是( )千米。 (3)如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距( )千米。 11．下图反映了某种花布购买的米数和应付钱数的关系。 (1)由图可见，购买的米数和应付的钱数成( )比例关系。 (2)从图中可知，32元可买( )米布；买5米布应付( )元。 12．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示。 (1)根据图像可以判断，( )的路程与时间成正比例（填小明或者小芳）； (2)小明追上小芳所需的时间为( )分钟。 13．同一时间，同一地点测得三棵树的树高及影长如下表，根据数据完成下面各小题。 树高/米 2 3 6 9 影长/米 0.4 0.6 1.2 1.8 （1）在图中描出树高与对应影长的点，然后把它们连起来并延长，观察图象的特点。 （2）同时同地测得一座楼房的影长为1.7米，利用图象推断这座楼房的高度为（    ）米。 （3）这里的树高和影长成（    ）比例。根据数据或图象写出一个比例是（    ）。 14．下面是某种弹簧秤弹簧所挂物体的质量与伸长长度的情况。 所挂物体质量/g 20 30 40 50 60 弹簧伸长长度/cm 1 1.5 2 2.5 3 （1）写出2组所挂物体质量与对应弹簧伸长长度的比，并判断写出的比能否组成比例。 （2）在图中描出表示物体质量和对应弹簧长度的点，然后按顺序连起来。 （3）在弹性范围内，所挂物体质量与弹簧伸长长度成（    ）关系，因为：________________________。 （4）如果所挂物体质量是200克，弹簧伸长长度是多少厘米？ 15．已知汽车的平均油耗是每千米0.1升。 （1）完成下表。 路程/千米 10 40 … 耗油量/升 2 6 … （2）在下图中画出汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象。 （3）根据图象判断，路程与耗油量成（    ）比例关系。 （4）从图中看，汽车行驶50千米需耗油（    ）升。 16．一个榨油厂用5台同样的榨油机每天榨油45吨。 （1）把题中两种量的关系在下面的方格纸上表示出来。 （2）题中一定的量是（    ）。 （3）榨油机的台数和每天榨油的吨数成正比例吗？为什么？ （4）照这样计算，14台这样的榨油机每天榨油多少吨？ 17．一列火车匀速行驶，所行的路程和时间如下表。 时间/分 1 2 3 4 6 路程/千米 6 12 18 24 36 （1）把路程与时间所对应的点在图中描出来，并连线。 （2）这列火车的速度是每小时（    ）千米，由此可知，路程和时间成（    ）比例关系。 （3）该火车行驶21.6千米需要的时间是多少？ 18．下面是弟弟用手机看动画片使用流量的情况。 动画片/集 1 2 3 4 5 … 流量/兆 50 100 150 200 250 … （1）任选两点在图中描点连接再延长。 （2）利用图像估计，弟弟看8集动画片需要___________兆流量。 【题型3】正比例的应用 19．一辆汽车从甲地开往乙地，6小时行了480km，甲地到乙地有360km，照这样的速度，全程需要( )小时。 20．一种超轻电池板的面积与相应质量如下表所示，它的面积和相应质量成( )（填“正”或“反”）比例关系；如果这种超轻电池板的质量是30kg，那么它的面积是( )m2。 面积/m2 1 25 100 … 质量/g 100 2500 10000 … 21．科技小组的同学测量学校旗杆的高度。将一根高2米的竹竿直立在学校旗杆的旁边。同一时刻，量得竹竿的影长为1.2米，旗杆的影长为7.74米。那么，旗杆的高度是( )米。 22．小敏的身高是1.4m，在太阳底下测得她的影长是2.1m。如果同时同地测得一棵树的影长是15m，这棵树的实际高度是( )m。 23．用数学的眼光看成语“立竿见影”是应用了比例的相关知识，即同一时间，同一地点，杆高和影长成( )（填“正”或“反”）比例。如果某一时刻一根竹竿高4米，影长2.6米，那么身高1.4米的明明同学在同一时刻，同一地点的影长是( )米。 24．在同一时刻和同一地点，量得身高180cm的张叔叔的影子长30cm，一棵树的影子长270cm。这棵树高( )m。 25．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 26．宁宁发现学校有一个漏水的水龙头，他记录了这个水龙头的滴水情况。 滴水量/毫升 … 时间/分 … (1)滴水量和时间成( )比例。 (2)宁宁在这个水龙头的下方放一个水桶，1小时可以接水( )升。 27．一根弹簧挂上物体后长度会伸长，下面的图象表示弹簧长度和所挂物体质量的关系。 （1）看图填写下表。 物体质量/kg 0 2 4 6 8 弹簧长度/cm 弹簧伸长长度/cm 0 （2）所挂物体的质量与（    ）成正比例。 28．海海用一支蜡烛做实验，蜡烛原来的长度是多少厘米？（蜡烛每分钟燃烧掉的长度一定） 29．小宇的身高是1.6m，他的影长是2.4m。在同一时刻、同一地点测得一棵树的高度是12m，这棵树的影长是多少米？ 30．制曲酿酒是中国传统酿造工艺的特色，在《齐民要术》中记载了多种制曲和酿酒的方法，展示了中国古代对酿酒技术的重视和创新。已知560千克高粱可以酿造出160千克高粱酒，那么用49吨高粱可以酿造出多少吨高粱酒？（列比例解答） 31．一辆汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 （1）写出行驶路程和时间的比，填在表中。 （2）根据上面的结果写出两个比例。 （3）算一算：行驶60分钟，小汽车行驶多少千米？ 32．一个长方体水槽，水里面浸没了一个铁球，把这个铁球完全从水中拿出时（水的损耗忽略不计），水槽里面的水下降了5毫米。现将一块棱长是3厘米的正方体铁块浸没在这个水槽的水中，水槽里的水面上升了3毫米。这个铁球的体积是多少立方厘米？（用比例解） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练12：正比例解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、正比例的意义与辨识 1.正比例定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的________（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。 字母表达式： （________）。 2.辨识方法： 公式变形：若题目给出 ，变形得 ，则 ，说明 和 的比值一定，成正比例。 生活实例：同一时间、同一地点，物体的高度与影长成________；匀速行驶时，路程与时间成________。 二、正比例图像的认识 3.图像特征：正比例关系的图像是经过________的一条直线。 4.读图技巧： 根据图像上的点可以直接读出对应的数值。 若图像显示甲车3小时行驶270千米，则甲车的速度为________千米/时（利用 计算）。 三、正比例的应用 5.解题步骤： 设：根据问题设未知数为 。 列：找出相关联的量，列出比例式。关键是要保证等式两边的________一致。 例如：竹竿高:竹竿影长 = 旗杆高:旗杆影长。 解：利用比例的基本性质（内项积 = 外项积）解方程。 答：写出答句。 6.典型题型： 影长测高：设旗杆高 米，已知竹竿高2米影长1.2米，旗杆影长7.74米。列比例： 。 行程问题：速度一定，路程和时间成正比。汽车6小时行480km，行360km需 小时。列比例： 。 排水法（体积与高度）：水槽底面积不变，体积与水面上升高度成________。若正方体铁块使水面上升3mm，铁球使水面下降5mm，设铁球体积 ，则 。 参考答案 一、正比例的意义与辨识 1.比值；一定 2. ；正比例；正比例 二、正比例图像的认识 3.原点（0,0） 4.90 三、正比例的应用 5.比值（或对应量关系） 6. ； ；正比例； 题型分类训练 【题型1】正比例的意义及辨识 1．下表中a和b两个量成正比例关系。 a 0.8 6 0.5 7 b 2.4 18 7.2 【答案】 a 0.8 6 0.5 2.4 7 b 2.4 18 1.5 7.2 21 【分析】两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量x和y的比值一定，即（定值），那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系； 可把数据代入公式先求出定值k是多少，再把定值k和表中提供数据依次代入公式，分别求出a或b的值即可，据此解答。 【详解】根据，可知定值k为； 第一行a的值：；； 第二行b的值：；；； 填表如下： a 0.8 6 0.5 2.4 7 b 2.4 18 1.5 7.2 21 2．如果（a≠0），那么ab＝( )，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成( )比例关系。 【答案】 15 正 【分析】（1）根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，解答。 （2）根据正反比例的定义：两种相关联的量，若这两种量的比值（商）一定，两种量成正比例关系；若这两种量的乘积一定，两种量成反比例关系，解答。 【详解】（1）由得： ，即ab＝15。 （2）由6a－8b＝0得：6a＝8b 两边同时除以2，得3a＝4b，所以a∶b＝。 a与b的比值一定，因此a与b成正比例关系。 因此，如果（a≠0），那么ab＝15，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成正比例关系。 3．若3x－2y＝0（x、y均不为0），则x与y成( )比例，x∶y＝( )。 【答案】 正 2∶3 【分析】已知3x－2y＝0（x、y均不为0），对等式进行变形得3x＝2y，两边同时除以3y，可得。此时x与y的比值是固定不变的，根据正比例的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系。因此x与y成正比例。 因为3x－2y＝0变形得3x＝2y，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，把x和3看作外项，y和2看作内项，可将等式转化为比例式：x∶y＝2∶3。 【详解】3x－2y＝0（x、y均不为0） 3x＝0＋2y 3x＝2y 3x÷3y＝2y÷3y （一定） 因为3x＝2y，把x和3看作外项，y和2看作内项。 x∶y＝2∶3 若3x－2y＝0（x、y均不为0），则x与y成正比例，x∶y＝2∶3。 4．（a、b均是不为0的自然数），a∶b＝( )（填最简整数比），a与b成( )比例关系。 【答案】 5∶4 正 【分析】已知（a、b均是不为0的自然数），根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得a∶b＝∶0.7。即a∶b＝∶，根据比的基本性质∶的前项和后项同时乘40，计算后再同时除以7，a∶b＝5∶4。 由a∶b＝5∶4，可得（一定）。根据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。因为a与b的比值一定，所以a与b成正比例关系。 【详解】（a、b均是不为0的自然数） a∶b＝∶0.7 a∶b＝∶ ∶ ＝（×40）∶（×40） ＝35∶28 ＝（35÷7）∶（28÷7） ＝5∶4 （一定） a∶b＝5∶4，a与b成正比例关系。 5．如果a和b互为倒数，且a∶c＝6∶b，那么c＝( )；如果，那么a和b成( )比例关系。 【答案】 正 【分析】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数，则a×b＝1。在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，即c×6＝a×b＝1；根据比例的基本性质求出a和b的比值，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，据此解答。 【详解】分析可知，c×6＝a×b＝1，则c＝1÷6＝。 因为，所以。 ＝ ＝ ＝ ＝ 由上可知，＝（一定），所以a和b成正比例关系。 6．当圆柱的高是8dm时，圆柱的底面积和体积的变化情况如下表，把表格填写完整。 底面积/dm2 1 5 10 15 20 体积/dm3 8 40 （1）圆柱的体积是怎样随着底面积的增加而变化的？ （2）圆柱的体积与底面积成正比例吗？为什么？ 【答案】80；120；160 （1）圆柱的体积随着底面积的增加而增加。 （2）成正比例。因为圆柱的体积与底面积的比值一定，均为8。 【分析】两种相关联的量，一个量变化另一个量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此根据高＝圆柱体积÷底面积，进行分析。 【详解】；；；； （1）观察数据可知：圆柱的体积随着底面积的增加而增加。 （2）；；；； 圆柱的体积÷圆柱的底面积＝8（一定） 则圆柱的体积与底面积成正比例。 7．某房间的铺地面积和所用砖块数如下表，根据要求填空。 铺地面积/ 1 2 3 4 5 用砖块数 25 50 75 (1)请完成上表。 (2)表中的( )和( )是相关联的量，( )随着( )的变化而变化。 (3)从表中可以看出，第一组中的两个相关联的量的比是( )，比值是( )；第五组中的两个相关联量的比是( )，比值是( )，它表示( )。 (4)铺地面积和用砖块数的比值是( )的，所以铺地面积和用砖块数成( )。 【答案】(1)100；125 (2) 铺地面积 用砖块数 用砖块数 铺地面积 (3) 0.04 0.04 每铺地需要用25块砖 (4) 一定 正比例 【分析】（1）观察表格中铺地面积与用砖块数的关系，发现每平方米铺地需要25块砖，因此铺地面积为时，用砖块数用25乘4得100，铺地面积为时，用砖块数用25乘5得125； （2）表中的铺地面积和用砖块数是相关联的量，用砖块数随着铺地面积的变化而变化； (3)铺地面积与用砖块数的比是1:25，所以比值是0.04; 第五组中，铺地面积与用砖块数的比是，比值是0.04,该比值表示每平方米铺地所需的砖块数； （4）铺地面积和用砖块数的比值是一定的，所以铺地面积和用砖块数成正比例。 【详解】（1） 铺地面积/ 1 2 3 4 5 用砖块数 25 50 75 100 125 （2）表中的铺地面积和用砖块数是相关联的量，用砖块数随着铺地面积的变化而变化； （3） 所以第一组中的两个相关联的量的比是，比值是0.04；第五组中的两个相关联量的比是，比值是0.04，它表示每铺地需要用25块砖； （4）铺地面积和用砖块数的比值是一定的，所以铺地面积和用砖块数成正比例。 【题型2】正比例图象的认识 8．有一种弹簧秤，挂上物品（质量在100克以内）时，物品的质量与弹簧伸长的长度情况如图所示，如果挂40克重物，弹簧伸长的长度是( )厘米。 【答案】10 【分析】图上横轴表示物体的质量，纵轴表示弹簧伸长的长度，由图可知，弹簧伸长的长度与所挂物品的质量成正比例关系。根据表示物体40克的点所在的位置，可以看出此时弹簧伸长的长度。 【详解】由图可知，当物体是40克时，弹簧伸长的长度是10厘米。 9．一根弹簧挂上物体（质量不超过20kg）后会伸长。如图表示弹簧伸长的长度和所挂物体的质量之间的关系。弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例。如果挂上6kg的物体，那么弹簧将伸长( )cm。 【答案】 正 1.5 【分析】图中是一条直线，说明弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例；从图中直接可以看出，挂上质量为6kg的物体，对应的伸长的长度为1.5cm，据此解答。 【详解】由分析可得，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例；如果挂上6kg的物体，那么弹簧将伸长1.5cm。 10．甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如下图。 (1)从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 (2)甲车行驶3小时，行驶的路程是( )千米。乙车行驶2小时，行驶的路程是( )千米。 (3)如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距( )千米。 【答案】(1)正 (2) 270 120 (3)750 【分析】（1）甲车行驶的路程与时间的图象是一条经过原点的直线，是正比例图象，说明甲车行驶的路程与时间的比值一定，即甲车行驶的路程与时间成正比例。 （2）从图中找出甲车3小时行驶的路程，乙车2小时行驶的路程。 （3）由上一题的数据，根据“速度＝路程÷时间”，分别求出甲车、乙车的速度；再根据相遇问题中“路程＝速度和×相遇时间”，求出两地的距离。 【详解】（1）从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成（正）比例。 （2）甲车行驶3小时，行驶的路程是（270）千米。乙车行驶2小时，行驶的路程是（120）千米。 （3）甲车的速度：270÷3＝90（千米/时） 乙车的速度：120÷2＝60（千米/时） （90＋60）×5 ＝150×5 ＝750（千米） 如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距（750）千米。 11．下图反映了某种花布购买的米数和应付钱数的关系。 (1)由图可见，购买的米数和应付的钱数成( )比例关系。 (2)从图中可知，32元可买( )米布；买5米布应付( )元。 【答案】(1)正 (2) 8 20 【分析】（1）由图可见，应付的钱数随着购买的米数增加而增加，并且符合总价÷长度＝4，也就是应付的钱数与购买的米数的比值一定，符合正比例的定义，即购买的米数和应付的钱数成正比例关系。 （2）从图像的纵坐标找到32元对应的位置，然后向横坐标作垂线，发现对应的横坐标数值，即可求出32元可买多少米布；在横坐标找到5米对应的位置，再向纵坐标做垂线，找到对应的纵坐标数值，即可求出买5米布应付多少元。 【详解】（1）应付钱数÷购买布数＝花布单价，比如由图可知：当购买米数是2米时，总价8元，单价为8÷2＝4（元/米）；当购买米数是4米时，总价是16元，单价为16÷4＝4（元/米），单价始终保持不变，所以购买的米数和应付的钱数成正比例关系。 （2）从图像的纵坐标找到32元对应的位置，然后向横坐标作垂线，发现对应的横坐标数值8，所以32元可买8米布；在横坐标找到5米对应的位置，再向纵坐标做垂线，发现对应的纵坐标数值是20，所以买5米布应付20元。 12．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示。 (1)根据图像可以判断，( )的路程与时间成正比例（填小明或者小芳）； (2)小明追上小芳所需的时间为( )分钟。 【答案】(1)小芳 (2)5 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。正比例图像是一条直线，且经过零点；表示小芳的路程与时间之间的关系图像是从学校出发的，且根据速度＝路程÷时间，可知小芳的速度保持不变，所以这个图像成正比例； （2）小明在小芳出发后3分钟后出发，到小芳出发8分钟时追上小芳，据此可以求出小明追上小芳所需的时间。 【详解】（1）210÷3＝70（米/分） 560÷8＝70（米/分） 小芳的速度保持不变，根据图像可以判断，小芳的路程与时间成正比例。 （2）8－3＝5（分） 小明追上小芳所需的时间为5分钟。 13．同一时间，同一地点测得三棵树的树高及影长如下表，根据数据完成下面各小题。 树高/米 2 3 6 9 影长/米 0.4 0.6 1.2 1.8 （1）在图中描出树高与对应影长的点，然后把它们连起来并延长，观察图象的特点。 （2）同时同地测得一座楼房的影长为1.7米，利用图象推断这座楼房的高度为（    ）米。 （3）这里的树高和影长成（    ）比例。根据数据或图象写出一个比例是（    ）。 【答案】（1）见详解；（2）8.5；（3）正；2∶0.4＝6∶1.2 【分析】（1）由图可知，横轴表示树高，纵轴表示影长，据此根据表中数据依次描出各点，图象是一条从（0，0）出发的射线； （2）在图象上找出纵轴上1.7米所对应的横轴上的数据即可； （3）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定；如果是比值一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。 【详解】（1）如图所示： 图象特点：树高与对应影长的图象是一条从（0，0）出发的射线。 （2）由图可知，楼房影长1.7米对应的楼高为8.5米。 （3）2÷0.4＝3÷0.6＝6÷1.2＝…＝5，则树高÷影长＝5（一定），所以这里的树高和影长成正比例关系；2∶0.4＝6∶1.2。（答案不唯一） 14．下面是某种弹簧秤弹簧所挂物体的质量与伸长长度的情况。 所挂物体质量/g 20 30 40 50 60 弹簧伸长长度/cm 1 1.5 2 2.5 3 （1）写出2组所挂物体质量与对应弹簧伸长长度的比，并判断写出的比能否组成比例。 （2）在图中描出表示物体质量和对应弹簧长度的点，然后按顺序连起来。 （3）在弹性范围内，所挂物体质量与弹簧伸长长度成（    ）关系，因为：________________________。 （4）如果所挂物体质量是200克，弹簧伸长长度是多少厘米？ 【答案】（1）物体质量∶弹簧伸长长度＝20∶1＝30∶1.5；能 （2）见详解； （3）正比例；理由见详解 （4）10厘米 【分析】（1）根据比的意义及表格中的数据写出两组比，比例是由比值相等的两个比写成的式子，据此判断这两个比的比值是否相等，如果相等则可以组成比例，不相等则不能组成比例； （2）横轴表示所挂物体的质量，纵轴表示弹簧伸长的长度，据此描出各点，并按顺序用直线连接起来即可； （3）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此解答； （4）挂20克的物体则弹簧会伸长1厘米，据此用200除以20即可得到弹簧伸长的长度。 【详解】（1）物体质量∶弹簧伸长长度＝20∶1＝30∶1.5 20÷1＝20，30÷1.5＝20，因为20＝20，所以这两个比可以组成比例：20∶1＝30∶1.5。 写出的比能组成比例，组成比例为：20∶1＝30∶1.5。 （2）作图如下： （3）在弹性范围内，所挂物体质量与弹簧伸长长度成正比例关系，因为：20∶1＝30∶1.5＝40∶2＝20，弹簧所挂物体的质量与伸长长度的比值是20，是一定的；所以所挂物体质量与弹簧伸长长度成正比例关系。 （4）200÷20＝10（厘米） 答：弹簧伸长长度是10厘米。 15．已知汽车的平均油耗是每千米0.1升。 （1）完成下表。 路程/千米 10 40 … 耗油量/升 2 6 … （2）在下图中画出汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象。 （3）根据图象判断，路程与耗油量成（    ）比例关系。 （4）从图中看，汽车行驶50千米需耗油（    ）升。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）正 （4）5 【分析】（1）已知汽车平均油耗是每千米0.1升，根据“耗油量＝每千米油耗×路程”：路程为10千米时，耗油量为0.1×10＝1升；耗油量为2升时，路程为2÷0.1＝20千米；路程为40千米时，耗油量为0.1×40＝4升；耗油量为6升时，路程为6÷0.1＝60千米。据此依次填表。 （2）根据表格中的数据，路程与耗油量的对应点为（10，1）、（20，2）、（40，4）、（60，6），在图中找到这些点，然后用直线依次连接起来，就得到汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象。 （3）正比例关系的图象是一条经过原点的直线。据此解答。 （4）由每千米油耗0.1升，可得行驶50千米的耗油量为0.1×50＝5升，所以汽车行驶50千米需耗油5升。 【详解】（1）0.1×10＝1（升） 2÷0.1＝20（千米） 0.1×40＝4（升） 6÷0.1＝60（千米） 填表如下： 路程/千米 10 20 40 60 … 耗油量/升 1 2 4 6 … （2）如图： （3）由图象可知，汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象是一条经过原点的直线，因此路程与耗油量成正比例关系。 （4）0.1×50＝5（升） 所以汽车行驶50千米需耗油5升。 16．一个榨油厂用5台同样的榨油机每天榨油45吨。 （1）把题中两种量的关系在下面的方格纸上表示出来。 （2）题中一定的量是（    ）。 （3）榨油机的台数和每天榨油的吨数成正比例吗？为什么？ （4）照这样计算，14台这样的榨油机每天榨油多少吨？ 【答案】（1）见详解； （2）每台榨油机每天榨油的吨数； （3）成正比例；每天榨油吨数÷台数的结果是一个定值，则榨油机的台数和每天榨油的吨数成正比例。 （4）126吨 【分析】（1）根据题意得：在统计图中找出横轴为榨油机台数5台，榨油吨数为45吨。找到对应点，与0点连接起来得到统计图。 （2）每台榨油机每天榨油的吨数是一定的。 （3）根据正比例定义：两个相关联的量对应的数值的比值一定，则这两个量成正比例关系；每台每天榨油吨数＝每天榨油吨数÷台数，得数是一个定值，则成正比例。 （4）已知每台榨油机每天榨油吨数，运用每台榨油机每天榨油吨数×台数，据此得出答案。 【详解】（1）作图如下： （2）题中一定的量是每台榨油机每天榨油吨数。 （3）榨油机的台数和每天榨油的吨数成正比例；因为45÷5＝9，即每天榨油吨数÷台数的结果是一个定值，则榨油机的台数和每天榨油的吨数成正比例。 （4）45÷5×14 ＝9×14 ＝126（吨） 答：14台这样的榨油机每天榨油126吨。 17．一列火车匀速行驶，所行的路程和时间如下表。 时间/分 1 2 3 4 6 路程/千米 6 12 18 24 36 （1）把路程与时间所对应的点在图中描出来，并连线。 （2）这列火车的速度是每小时（    ）千米，由此可知，路程和时间成（    ）比例关系。 （3）该火车行驶21.6千米需要的时间是多少？ 【答案】（1）见详解 （2）360；正 （3）3.6分钟 【分析】（1）根据表格中时间与路程的对应数据，在图中找到（1，6）、（2，12）、（3，18）、（4，24）、（6，36）这些点，然后用直线依次连接起来，因为是匀速行驶，路程和时间成正比例，图像是一条过原点的直线。 （2）速度的计算公式是速度＝路程÷时间。由表格可知，1分钟行驶6千米，因为1小时＝60分钟，那么每小时行驶的路程为6×60＝360千米。6÷1＝6千米/分，12÷2＝6千米/分，18÷3＝6千米/分，24÷4＝6千米/分，36÷6＝6千米/分，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。本题中路程÷时间＝速度（一定，速度为每分钟6千米），所以路程和时间成正比例关系。 （3）根据公式时间＝路程÷速度，已知速度是每分钟6千米，路程是21.6千米，那么所需时间为21.6÷6＝3.6分钟。 【详解】 （1）如图： （2）6÷1＝6（千米/分） 12÷2＝6（千米/分） 18÷3＝6（千米/分） 24÷4＝6（千米/分） 36÷6＝6（千米/分） 1小时＝60分钟 6×60＝360（千米） 这列火车的速度是每小时360千米，由此可知，路程和时间成正比例关系。 （3）21.6÷6＝3.6（分钟） 答：该火车行驶21.6千米需要的时间是3.6分钟。 18．下面是弟弟用手机看动画片使用流量的情况。 动画片/集 1 2 3 4 5 … 流量/兆 50 100 150 200 250 … （1）任选两点在图中描点连接再延长。 （2）利用图像估计，弟弟看8集动画片需要___________兆流量。 【答案】（1）见详解； （2）400 【分析】（1）图中横轴表示动画片的集数，纵轴表示使用的流量，看1集动画片需要50兆流量，看2集动画片需要100兆流量，看3集动画片需要150兆流量，看4集动画片需要200兆流量，看5集动画片需要250兆流量……每集动画片需要的流量＝（一定），则所需的流量和看动画片的集数成正比例关系，据此任意找出两点连线并延长即可； （2）观察图象可知，看1集动画片需要50兆流量，那么看8集动画片需要（8×50）兆流量，据此解答。 【详解】（1）作图如下： （2）8×50＝400（兆） 所以，弟弟看8集动画片需要400兆流量。 【题型3】正比例的应用 19．一辆汽车从甲地开往乙地，6小时行了480km，甲地到乙地有360km，照这样的速度，全程需要( )小时。 【答案】4.5 【分析】因为速度＝路程÷时间，汽车速度不变，所以路程和时间成正比例关系。设全程需要x小时，可列出比例式：＝，然后解比例即可。 【详解】解：设全程需要x小时。 ＝ 480＝6×360 480＝2160 ＝2160÷480 ＝4.5 所以照这样的速度，全程需要4.5小时。 20．一种超轻电池板的面积与相应质量如下表所示，它的面积和相应质量成( )（填“正”或“反”）比例关系；如果这种超轻电池板的质量是30kg，那么它的面积是( )m2。 面积/m2 1 25 100 … 质量/g 100 2500 10000 … 【答案】 正 300 【分析】正比例中两个量对应的比值一定，通过观察统计表可知，每m2的质量是一定的，所以电池板的质量和面积两个量成正比例；电池板的质量随着面积的增加而增加，用电池板的质量除以比值就可以求出电池板面积，据此解答即可。 【详解】100÷1＝100 2500÷25＝100 10000÷100＝100 因为每m2的质量是一定的，所以电池板的质量和电池板面积成正比例。 30kg ＝30000g 30000÷100＝300（m2） 如果这种超轻电池板的质量是30kg，那么它的面积是300m2。 21．科技小组的同学测量学校旗杆的高度。将一根高2米的竹竿直立在学校旗杆的旁边。同一时刻，量得竹竿的影长为1.2米，旗杆的影长为7.74米。那么，旗杆的高度是( )米。 【答案】12.9 【分析】根据同一时刻物体高度与影长成正比例的关系，设旗杆的高度是x米，根据竹竿高度与影长的比等于旗杆高度与影长的比列比例解答即可。 【详解】解：设旗杆的高度是x米。 x∶7.74＝2∶1.2 1.2x＝7.74×2 1.2x＝15.48 1.2x÷1.2＝15.48÷1.2 x＝12.9 所以旗杆的高度是12.9米。 22．小敏的身高是1.4m，在太阳底下测得她的影长是2.1m。如果同时同地测得一棵树的影长是15m，这棵树的实际高度是( )m。 【答案】10 【分析】同一时间，同一地点测得物体高度与影子长度的比值相等，也就是小敏的身高与影子的比等于这棵树的高与影子的比，设这棵树的高为xm，组成比例解比例即可解答。 【详解】解：设这棵树的高为xm。 2.1x＝1.4×15 2.1x＝21 2.1x÷2.1＝21÷2.1 x＝10 所以，这棵树的实际高度是10m。 23．用数学的眼光看成语“立竿见影”是应用了比例的相关知识，即同一时间，同一地点，杆高和影长成( )（填“正”或“反”）比例。如果某一时刻一根竹竿高4米，影长2.6米，那么身高1.4米的明明同学在同一时刻，同一地点的影长是( )米。 【答案】 正 0.91 【分析】在同一时间，同一地点，太阳光线与地面的夹角相同，因此杆高和影长成正比例，即杆高与影长的比值固定；设明明的影长为x米，根据竹竿高∶影长＝明明的身高∶他的影长，列出关于x的比例式，求出x的值。 【详解】解：设明明的影长为x米。 4∶2.6＝1.4∶x 4x＝2.6×1.4 4x＝3.64 4x÷4＝3.64÷4 x＝0.91 因此同一时间，同一地点，杆高和影长成正比例；明明同学在同一时刻，同一地点的影长是0.91米。 24．在同一时刻和同一地点，量得身高180cm的张叔叔的影子长30cm，一棵树的影子长270cm。这棵树高( )m。 【答案】16.2 【分析】在同一时刻和同一地点，物体高度和影长成正比，据此设这棵树高xcm，列比例解答即可。 【详解】解：设这棵树高xcm。 180∶30＝x∶270 30x＝180×270 x＝ x＝1620 1620cm＝16.2m 所以这棵树高16.2m。 25．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 【答案】/ 【分析】已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100－x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。 【详解】解∶设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。 100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15） 100∶（100－x）＝90∶85 90×（100－x）＝100×85 90×（100－x）＝8500 90×（100－x）÷90＝8500÷90 100－x＝ x＝100－ x＝ 当杨洋跑到终点时会领先张雯米。 【点睛】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。 26．宁宁发现学校有一个漏水的水龙头，他记录了这个水龙头的滴水情况。 滴水量/毫升 … 时间/分 … (1)滴水量和时间成( )比例。 (2)宁宁在这个水龙头的下方放一个水桶，1小时可以接水( )升。 【答案】(1)正 (2) 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （2）1小时＝60分钟，用60乘1分钟的滴水量即可得解。 【详解】（1）滴水量∶时间＝15∶1＝30∶2＝45∶3＝60∶4＝75∶5＝15 所以滴水量和时间是比值一定，滴水量和时间成正比例。 （2）1时＝60分 60×15＝900（毫升） 900毫升＝0.9升 1小时可以接水0.9升。 27．一根弹簧挂上物体后长度会伸长，下面的图象表示弹簧长度和所挂物体质量的关系。 （1）看图填写下表。 物体质量/kg 0 2 4 6 8 弹簧长度/cm 弹簧伸长长度/cm 0 （2）所挂物体的质量与（    ）成正比例。 【答案】（1）3；3.5；4；4.5；5；0.5；1；1.5；2 （2）弹簧伸长长度 【分析】（1）从图像中可以看出，当物体质量为0千克时，弹簧的长度为3厘米，这是弹簧的初始长度。随着物体质量的增加，弹簧的长度也逐渐增加。根据图像，可以读取不同物体质量对应的弹簧长度和弹簧伸长长度。 物体质量/千克：0，2，4，6，8 ；弹簧长度/厘米：3，3.5，4，4.5，5；弹簧伸长长度/厘米：0，0.5，1，1.5，2； （2）正比例关系意味着两个量的比值是常量。通过表格中的数据，我们可以看到，随着所挂物体质量的增加，弹簧伸长长度也以固定的比例增加，即每增加2千克的物体质量，弹簧伸长长度增加0.5厘米。这表明所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例关系。据此解答。 【详解】（1）表格如下： 物体质量/kg 0 2 4 6 8 弹簧长度/cm 3 3.5 4 4.5 5 弹簧伸长长度/cm 0 0.5 1 1.5 2 （2）通过表格中的数据可知：每增加2千克的物体质量，弹簧伸长长度增加0.5厘米。这表明所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例关系。 28．海海用一支蜡烛做实验，蜡烛原来的长度是多少厘米？（蜡烛每分钟燃烧掉的长度一定） 【答案】16厘米 【分析】蜡烛每分钟燃烧长度固定。通过两次观测的时间差（分）和剩余长度差（厘米），可求出每分钟燃烧0.5厘米。再结合“点燃8分钟后剩12厘米”，算出8分钟燃烧的长度，加上剩余长度，即可得到蜡烛原长。 【详解】（分） （厘米） （厘米） 12cm长的蜡烛是燃烧了8分之后的，8分燃烧了（厘米） 蜡烛原来的长度是（厘米） 答：蜡烛原来的长度是16厘米。 29．小宇的身高是1.6m，他的影长是2.4m。在同一时刻、同一地点测得一棵树的高度是12m，这棵树的影长是多少米？ 【答案】 18米 【分析】在同一时刻、同一地点，物体的高度与影长的比值是固定的，即高度和影长成正比例关系。因此可以通过“小宇的身高：小宇的影长＝树的高度：树的影长”这一比例关系来求解。 【详解】解：设这棵树的影长是x米，根据高度与影长的正比例关系列比例：                     答：这棵树的影长是18米。 30．制曲酿酒是中国传统酿造工艺的特色，在《齐民要术》中记载了多种制曲和酿酒的方法，展示了中国古代对酿酒技术的重视和创新。已知560千克高粱可以酿造出160千克高粱酒，那么用49吨高粱可以酿造出多少吨高粱酒？（列比例解答） 【答案】 14吨 【分析】高粱用的越多酒量也越多，所以高粱的用量与酿出的高粱酒量成正比例关系。已知560千克高粱可酿160千克酒，设49吨高粱可酿x吨酒。列比例方程时需保持单位一致，根据1吨＝1000千克，将千克转换为吨后，再列比例解答。 【详解】解：设49吨高粱可酿x吨酒。 560千克＝0.56吨，160千克＝0.16吨， 列比例方程： 答：49吨高粱可酿造出14吨高粱酒。 31．一辆汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 （1）写出行驶路程和时间的比，填在表中。 （2）根据上面的结果写出两个比例。 （3）算一算：行驶60分钟，小汽车行驶多少千米？ 【答案】 （1）3∶2，3∶2，3∶2，3∶2，3∶2 （2）4.5∶3=7.5∶5；15∶10=30∶20（答案不唯一） （3）90千米 【分析】（1）根据比的意义，即可写出各列中行驶路程和行驶时间的比，不是最简整数比的要根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）化成最简整数比，然后填表； （2）表示两个比相等的式子叫比例，由（1）可知每列中行驶路程和行驶时间的比相同，即行驶路程和行驶时间成正比例，据此可写出其中两组比例（答案不唯一）； （3）设小汽车60分钟行驶千米，据此列出比例∶60＝3∶2，再根据比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）解比例即可。 【详解】（1）4.5∶3 ＝（4.5÷1.5）∶（3÷1.5） ＝3∶2 7.5∶5 ＝（7.5÷2.5）∶（5÷2.5） ＝3∶2 15∶10 ＝（15÷5）∶（10÷5） ＝3∶2 30∶20 ＝（30÷10）∶（20÷10） ＝3∶2 填表如下： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 3∶2 3∶2 3∶2 3∶2 3∶2 （2）由（1）可写出两个比例： 4.5∶3＝7.5∶5；15∶10＝30∶20（答案不唯一） （3）解：设小汽车60分钟行驶千米。 ∶60＝3∶2 ＝60×3 ＝180 ＝180÷2 ＝90 答：行驶60分钟，小汽车行驶90千米。 32．一个长方体水槽，水里面浸没了一个铁球，把这个铁球完全从水中拿出时（水的损耗忽略不计），水槽里面的水下降了5毫米。现将一块棱长是3厘米的正方体铁块浸没在这个水槽的水中，水槽里的水面上升了3毫米。这个铁球的体积是多少立方厘米？（用比例解） 【答案】45立方厘米 【分析】根据题意，铁球的体积等于水下降部分的体积，正方体铁块的体积等于水上升部分的体积。由于水槽的底面积不变，体积与水面变化的高度成正比例，因此可设铁球的体积为x立方厘米，根据比例关系求解。据此解答 【详解】5毫米＝0.5厘米，3毫米＝0.3厘米 正方体铁块体积：3×3×3＝27（立方厘米） 解：设铁球的体积是x立方厘米： ＝ 0.3x＝27×0.5 0.3x＝13.5 0.3x÷0.3＝13.5÷0.3 x＝45 答：这个铁球的体积是45立方厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $