专项提升训练13：反比例解决问题（知识点梳理+题型分类训练共30题）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

专项提升训练13：反比例解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、反比例的意义与辨识 1.反比例定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的________（积）一定，这两种量就叫做成反比例的量。 字母表达式： （________）。 2.辨识方法： 公式变形：若题目给出 ，则 和 的积一定，成________比例。 比例形式：若 ，变形为 （商一定），则成________比例；若 ，变形为 ，则 和 的积一定，成________比例。 3.表格特征：在反比例关系的表格中，相对应的两个数的乘积是________的。 二、反比例的应用 4.工程问题：工作总量一定时，________与________成反比例。 公式：工效 × 时间 = 工作总量（一定）。 5.行程问题：路程一定时，________与________成反比例。 公式：速度 × 时间 = 路程（一定）。 6.分配问题：总数一定时，每份的量与份数成反比例。 例如：果汁总量一定，分的杯数与每杯的量成________比例。 例如：排队做操，总人数一定，每行站的人数与站的行数成________比例。 7.特殊模型： 杠杆原理：左边刻度数 × 砝码数 = 右边刻度数 × 砝码数。当两边乘积一定时，刻度数与砝码数成________比例。 自行车齿轮：前齿轮齿数 × 转数 = 后齿轮齿数 × 转数。前后齿轮的转数与齿数成________比例。 三、解题步骤 8.解比例应用题步骤： 一找：找相关联的量（________一定）。 二列：根据“积一定”列出乘法等式（反比例式）。 三解：设未知数 ，解方程。 四答：写出答句。 参考答案 一、反比例的意义与辨识 1.乘积；一定 2.反；正；反 3.相等（或一定） 二、反比例的应用 4.工作效率（工效）；工作时间（时间） 5.速度；时间 6.反；反 7.反；反 题型分类训练 【题型1】反比例的意义及辨识 1．如果XY＝6，那么X和Y成( )比例。当X＝12时，则Y＝( )。 【答案】 反 【分析】已知XY＝6，即X和Y的乘积是一个固定的数（6）；根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。因此，X和Y成反比例。当X＝12时，根据XY＝6，可得Y＝6÷X，然后把X的值代入计算即可。 【详解】XY＝6（一定） 所以X和Y成反比例。 6÷12＝ 如果XY＝6，那么X和Y成反比例。当X＝12时，则Y＝。 2．表格中和若成正比例关系，“？”代表的是( )；和成反比例关系，“？”代表的是( )。 12 8 30 ？ 【答案】 20 45 【分析】如果两个变量的比值一定，这两个量就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。若与成正比例关系，可用对应的量先求出比值，再根据比的后项等于比的前项除以比值；若与成反比例关系，可用对应的量求出积，再根据乘数等于积除以另一个乘数，据此解答。 【详解】 综上可知，表格中和若成正比例关系，“？”代表的是20；和成反比例关系，“？”代表的是45。 3．均不为0，如果，则和成( )比例；如果，则和成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】因为（均不为0），等式两边同时乘x，可得xy＝3（一定）。根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就成反比例关系。因为x和y的乘积是定值3，所以x和y成反比例。 因为（均不为0），根据比例的基本性质可得5x＝9y，进一步变形为（一定）。根据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么它们就成正比例关系。因为x和y的比值是定值，所以x和y成正比例。 【详解】 解： xy＝3（一定） 解：5x＝9y （一定） 均不为0，如果，则和成反比例；如果，则和成正比例。 4．若（、不为0），那么与成( )比例；若∶5＝∶8（、不为0），那么与成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积。将转化为＝2×6，∶5＝∶8转化为8＝5，再把8和看作比例的外项，5和看作比例的内项，再判断。 【详解】若＝（、不为0），则＝2×6＝12（一定），乘积一定，则与成反比例； 若∶5＝∶8（、不为0），则8＝5，＝（一定），比值一定，则与成正比例。 5．a、b均不为0，如果a∶b＝2∶1，那么a和b成( )比例；如果，那么a和b成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。对已知条件进行变形，然后根据正比例和反比例的定义来判断a和b成什么比例。 【详解】a∶b＝2∶1（a、b均不为0），＝＝2（一定），那么a和b成正比例。 （a、b均不为0），则ab为2×3＝6（一定），那么a和b成反比例。 所以，a、b均不为0，如果a∶b＝2∶1，那么a和b成正比例；如果，那么a和b成反比例。 6．“五一”期间，乐乐一家到邢台大峡谷游玩，细心的乐乐发现，导航中显示的所需时间会随着行驶速度的变化而变化，请根据所学知识把下表填写完整。 行驶速度（千米/小时） 20 30 50 所需时间（小时） 4.5 3 1.5 汽车行驶速度和所需时间成（    ）比例。 【答案】60；1.8； 反 【分析】根据，两地之间的距离一定，可得路程一定时，速度与时间的乘积是一个常数，所以汽车行驶速度和所需要时间成反比例。据此解答。 【详解】（千米） （千米/小时） （小时） 行驶速度（千米/小时） 20 30 50 60 所需时间（小时） 4.5 3 1.8 1.5 所以汽车行驶速度和所需时间成反比例。 7．已知5.4a＝b，则a与b成( )比例；圆柱体的体积一定，底面积和高成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系。 【详解】已知5.4a＝b，两边同时除以a，可得b÷a＝5.4，所以a与b成正比例；圆柱体积＝底面积×高，圆柱体的体积一定，底面积和高成反比例。 8．如果，那么、成( )比例关系，如果，那么、成( )比例关系。 【答案】 反 正 【分析】①如果两个相关的量，它们的乘积一定，即可判定这两个量成反比例关系，通过和的乘积为定值则可判定其到底是正比例还是反比例； ②如果两个相关的量，它们的比值一定，即可判定这两个量成正比例关系，通过和的比值为定值则可判定其到底是正比例还是反比例。 【详解】①和的乘积为定值3，则、成成反比例； ②，即和的比值为定值，则、成正比例。 9．均不为0，如果，那么( )。如果，与成( )比例关系。 【答案】 2∶1 反 【分析】由已知所给等式，代入y，再化简比为最简整数比即可第一题填空。 由已知所给等式，代入y，可求得xy＝7，根据反比例的概念，两个变量，乘积为定值，即可判断二者的比例关系。 【详解】因为，所以。 因为，所以。因为变量x和y乘积为定值，所以与成反比例关系。 10．乐乐看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。 每天看的页数 60 40 20 15 10 5 … 所用的天数 2 3 6 8 12 24 … （1）表中( )随着( )的变化而变化，( )越少，( )越多。 （2）表中的两个量相对应的两个数的积是( )，这个积表示的意义是( )。 （3）由此可知，当这本书的总页数一定时，每天看的页数与所用的天数成( )比例关系。 【答案】 所用的天数 每天看的页数 每天看的页数 所用的天数 120 总页数 反 【分析】（1）根据表中的数据和项目，可知表中所用的天数和每天看的页数是两种相关联的量及数量的变化情况。 （2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的乘积是：、、、、、；根据“每天看的页数×所用的天数＝这本书的总页数”即可确定这个乘积表示什么。 （3）根据“每天看的页数×所用的天数＝这本书的总页数”，即可确定这本书的总页数一定时，每天看的页数和所用的天数成反比例关系。 【详解】（1）由分析可知，表中所用的天数随着每天看的页数的变化而变化，每天看的页数越少，所用的天数越多。 （2）由分析可知，表中的两个量相对应的两个数的积是120，这个积表示的意义是总页数。 （3）由此可知，当这本书的总页数一定时，每天看的页数与所用的天数成反比例关系。 11．把相同体积的钢材熔铸成不同底面积的圆柱，圆柱的底面积与高的变化情况如下表。 圆柱的底面积/ 300 200 150 100 圆柱的高/m 2 3 4 6 (1)表中有( )和( )两种量。 (2)圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变( )，而且它们的乘积总是一定的，是( )，所以圆柱的底面积和圆柱的高成( )比例。 【答案】(1) 圆柱的底面积 圆柱的高 (2) 大 反 【分析】（1）观察表格可知，表格第一行表示圆柱的底面积，表格第二行表示圆柱的高，据此解答； （2）两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例，据此解答。 【详解】（1）表中有圆柱的底面积和圆柱的高两种量。 （2）由表可知，圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变大。 （一定） 圆柱的底面积×高=圆柱的体积（一定），圆柱底面积和圆柱高的乘积一定，所以圆柱的底面积和圆柱的高成反比例。 因此，圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变大，而且它们的乘积总是一定的，是600m3，所以圆柱的底面积和圆柱的高成反比例。 12．下表中x和y两个量成反比例关系，把表格填写完整。 x 2 8 y 6 0.4 0.3 24 【答案】36；30；1.5；40；0.5；32 【分析】两种相关联的量成反比例关系，它们的乘积一定；已知x与y成反比例关系，根据这样的关系解答。 【详解】 x 2 30 8 40 0.5 y 6 36 0.4 1.5 0.3 24 32 13．x和y是两种相关联的量，如果，x和y成( )比例；如果4x－3y＝0，x和y成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果，那么xy＝，x和y的积一定，那么x与y成反比例。 如果4x－3y＝0，所以4x＝3y，x∶y＝，两个量比值一定，所以x和y成正比例。 所以如果，x和y成反比例；如果4x－3y＝0，x和y成正比例。 14．全国部分城市正在发展智慧交通，其中智慧交通包括自动公交、自动物流配送、自动驾驶泊车等。某自动化公司计划生产一批自动公交零件，每时加工零件的数量与需要的时间如下表。 每时加工的数量/个 10 20 30 40 50 60 所需的时间/时 60 30 20 15 12 10 （1）表中每时加工的数量和所需的时间成（    ）。 （2）如果每时加工120个，那么加工完这批零件需要几时？ （3）如果想2时就加工完这批零件，那么每时需要加工多少个？ 【答案】（1）反比例 （2）5时 （3）300个 【分析】反比例关系的工程题，核心是零件总数固定，每小时加工数×时间＝600。依据反比例定义，两种量变化且乘积固定，故每小时加工数与时间成反比例。后续问题以总数600为基础，通过“总数÷每小时加工数＝时间”“总数÷时间＝每小时加工数”计算。 【详解】（1）每小时加工数量×所需时间＝零件总数，零件总数是固定值，如（个），（个），因此两者成反比例。 （2）零件总数为（个），每小时加工120个时，所需时间为： （时） 答：加工完这批零件需要5时。 （3）零件总数为600个，2小时加工完时，每小时需加工： （个） 答：每时需要加工300个。 15．同学们做操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？ （1）用列表法整理题中的信息和所求问题。 每行站的人数 站的行数 （2）题目里相关联的两种量是（                 ）与（                 ）。 （3）根据“同学们做操”可知，（    ）是一定的，也就是说每行站的人数与站的行数的（    ）一定，因此这两种相关联的量成（    ）比例关系。 （4）请你用比例知识解答。 【答案】（1）（竖排）20；18；24；？ （2）每行站的人数；站的行数 （3）总人数；乘积；反 （4）15行 【分析】（1）根据题目信息，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，需要求出可以站多少行。将这些信息填入表格即可。 （2）题目中提到的两种量是每行站的人数和站的行数，它们是相关联的量。 （3）根据“同学们做操”可知，总人数是一定的。因为总人数=每行站的人数×站的行数，所以每行站的人数与站的行数的乘积一定。因此这两种相关联的量成反比例关系。 （4）设可以站x行，根据总人数是一定的，列出比例式，求解方程即可。 【详解】（1）填入表格： 每行站的人数 20 24 站的行数 18 ？ （2）题目里相关联的两种量是每行站的人数与站的行数。 （3）根据“同学们做操”可知，总人数是一定的，也就是说每行站的人数与站的行数的乘积一定，因此这两种相关联的量成反比例关系。 （4）解：设可以站x行。             答：可以站15行。 16．把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁量如下表。 分的杯数/杯 6 5 4 3 每杯的果汁量/mL 100 120 200 （1）请把表中数据补充完整。 （2）请写出分的杯数y和每杯的果汁量x的关系式：_____________________。 （3）如果把这些果汁平均分成10杯，每杯的果汁量是________毫升。 【答案】（1）150 （2） （3）60 【分析】（1）首先根据6杯时每杯100毫升，计算出果汁总量为6×100＝600（毫升）。因为这瓶果汁的总量是固定的量，对于分4杯的情况，每杯的果汁量＝果汁总量÷4。 （2）随着分的杯数增加，每杯的果汁量在减少，因为果汁总量的乘积是一个固定的值，因此分的杯数和每杯的果汁量成反比例关系，即分的杯数×每杯的果汁量＝600。 （3）利用果汁总量除以杯数10，求出每杯的果汁量。 【详解】（1）6×100＝600（毫升） 600÷4＝150（毫升） （2）每杯的果汁量和分的杯数的乘积为600（一定），因此每杯的果汁量和分的杯数成反比例关系，即xy＝600 （3）600÷10＝60（毫升） 答：每杯的果汁量是60毫升。 【题型2】反比例的应用 17．修一条公路，计划每天修120米，15天可以修完。如果每天只修100米，需要________天可以修完。 【答案】18 【分析】公路的总长度是固定的，根据“工作总量＝工作效率×工作时间”，当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例（效率越低，所需时间越长，且两者乘积始终等于总长度）。设实际需要x天修完。计划工作效率为每天120米，对应计划时间15天；实际工作效率为每天100米，对应实际时间x天。根据反比例关系“计划效率×计划时间＝实际效率×实际时间”，列出方程：100x＝120×15，然后解方程即可。 【详解】解：设实际需要x天修完。 100x＝120×15 100x＝1800 x＝1800÷100 x＝18 需要18天可以修完。 18．如图，把质量相同的钩码，挂在杠杆的支撑点的两边，杠杆保持平衡，若把杠杆左、右两边的钩码各减少一个，则杠杆左端会( )。（填：上升、下降或不动） 【答案】下降 【分析】初始时，杠杆左边有5个钩码，距离中点有3格；右边有3个钩码，距离中点有5格。因为杠杆平衡，所以5×3＝3×5。即钩码与格数成反比例关系。当左、右两边各减少1个钩码后，左边变为5－1＝4个钩码，距离中点仍为3格，此时左边的数值为4×3＝12；右边变为3－1＝2个钩码，距离中点仍为5格，右边的数值为2×5＝10。因为12＞10，即左边的“力×力臂”乘积更大，所以杠杆左端会下降。 【详解】杠杆左边有5个钩码，距离中点有3格；右边有3个钩码，距离中点有5格。 5－1＝4（个） 4×3＝12 3－1＝2（个） 2×5＝10 12＞10 所以杠杆左端会下降。 19．在下面的杠杆上挂相同质量的砝码。 (1)左边刻度4处挂2个砝码，右边刻度2处挂( )个才能保持平衡。 (2)右边刻度3处挂4个砝码，左边刻度4处挂( )个才能保持平衡。 【答案】(1)4 (2)3 【分析】杠杆平衡时，满足左边刻度数×左边砝码数＝右边刻度数×右边砝码数。此时，“左边刻度数×左边砝码数”的乘积与“右边刻度数×右边砝码数”的乘积相等，且两种量（“左边刻度数×左边砝码数”整体与“右边刻度数×右边砝码数”整体）的乘积固定，因此成反比例关系。 （1）已知左边刻度4处挂2个砝码，设右边刻度2处挂x个砝码。根据反比例关系可得：4×2＝2×x，据此解答即可。 （2）已知右边刻度3处挂4个砝码，设左边刻度4处挂y个砝码。根据反比例关系可得：4×y＝3×4，据此解答即可。 【详解】（1）解：设右边刻度2处挂x个砝码。 4×2＝2×x 8＝2x x＝8÷2 x＝4 右边刻度2处挂4个才能保持平衡。 （2）解：设左边刻度4处挂y个砝码。 4×y＝3×4 4y＝12 y＝12÷4 y＝3 左边刻度4处挂3个才能保持平衡。 20．一种普通自行车的前齿轮有36个齿，后齿轮有16个齿，前齿轮与后齿轮齿数的最简整数比是( )。当前齿轮转8圈时，后齿轮要转( )圈。 【答案】 9∶4 18 【分析】自行车的前齿轮有36个齿，后齿轮有16个齿，所以前齿轮齿数∶后齿轮齿数＝36∶16，然后根据比的基本性质化简即可。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的乘积一定，它们的关系就叫做反比例关系。因为前齿轮齿数×前齿轮转数＝后齿轮齿数×后齿轮转数（总齿数一定），所以前齿轮转数与后齿轮转数成反比例关系。设后齿轮要转x圈，后齿轮有16个齿，可列比例为：16x＝36×8，然后根据比例的基本性质解答即可。 【详解】前齿轮齿数∶后齿轮齿数＝36∶16 36∶16 ＝（36÷4）∶（16÷4） ＝9∶4 解：设后齿轮要转x圈。 16x＝36×8 16x＝288 x＝288÷16 x＝18 前齿轮与后齿轮齿数的最简整数比是9∶4。当前齿轮转8圈时，后齿轮要转18圈。 21．自行车前齿轮齿数为48，后齿轮齿数为16，若前齿轮转了1圈，那么后齿轮转( )圈。 【答案】3 【分析】分析题目，前齿轮和后齿轮的转动路程是相等的，设后齿轮转了x圈，根据等量关系：前齿轮齿数×前轮转动的圈数＝后齿轮齿数×后轮转动的圈数列出方程16x＝48×1，进一步解出方程即可。 【详解】解：设后齿轮转了x圈。 16x＝48×1 16x＝48 16x÷16＝48÷16 x＝3 自行车前齿轮齿数为48，后齿轮齿数为16，若前齿轮转了1圈，那么后齿轮转3圈。 22．某物流公司将120吨货物运往某一个工厂，如果要一次把所有货物全部运出，运输情况如下表。车的载重和所需车的数量成（    ）比例。请把表格补充完整。 车的载重（吨） 2.5 3 5 所需车的数量 48 40 12 【答案】反；表见详解 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；用总吨数除以车的载重就是所需车的数量，用总吨数除以所需车的数量就是车的载重。 【详解】车的载重×所需车的数量＝120（吨），乘积一定，所以车的载重和所需车的数量成反比例。 120÷5＝24（辆） 120÷12＝10（吨） 车的载重（吨） 2.5 3 5 10 所需车的数量 48 40 24 12 23．小明看一部时长90分钟的科普纪录片，他先以正常速度看了30分钟，然后把播放速度调快至原来的1.5倍。按这个速度，剩下的部分还需要多少分钟才能看完？ 【答案】40分钟 【分析】以原速看30分钟以后，还剩余60分钟的内容；再根据“总内容不变时，播放速度与所需时间成反比”得知，当播放速度变为原来的1.5倍（即），所需的时间就会变为原来的。用剩下的时长除以1.5（或乘）得到看完剩下的内容所需的时间。 【详解】剩余内容在正常速度下需要的时间：（分钟） 实际所需的时间：（分钟） 答：按这个速度，剩下的部分还需要40分钟才能看完。 24．《张丘建算经》是我国古代数学著作。其中有一题：“今有七百人造浮桥，九日成。今增五百人，问日几何。”意思是700人造一座浮桥，9天可以完成，现在增加500人，几天可以完成？（用比例解答） 【答案】天 【分析】假设每人每天的工作效率是1，设天能完成，根据关系：工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量不变，据此列方程解答。 【详解】解：设天可以完成。 答：天可以完成。 25．如下图，在平衡架的左侧刻度1处挂4个30g的砝码，在右侧刻度5处挂一个24g的砝码，平衡架平衡。 （1）根据已知条件，填写下表，你发现了什么？ 刻度数 砝码总质量/g 我发现：_______________ ______________________________________________________________________。 （2）如果取走右侧刻度5处的砝码，在右侧刻度2处挂一个（    ）g的砝码，平衡架仍然平衡。 【答案】（1）1；120；5；24；刻度数与砝码总质量的乘积一定 （2）60 【分析】支点左边的砝码质量×左边砝码所在刻度数＝支点右边的砝码质量×右边砝码所在刻度数，平衡架才能平衡。根据这样的关系解答。 【详解】支点左边砝码质量与左边砝码所在刻度数的积： 支点右边砝码质量与右边砝码所在刻度数的积： （1） 刻度数 1 5 砝码总质量/g 120 24 我发现：刻度数与砝码总质量的乘积一定 （2）如果取走右侧刻度5处的砝码，在右侧刻度2处挂一个60g的砝码，平衡架仍然平衡。 26．机床厂要加工一批机床，原计划每天加工80台，15天完成任务。由于技术革新，实际每天比原计划多加工50%，实际用多少天完成任务？（用比例解） 【答案】10天 【分析】这批机床的总数量（工作总量）是固定不变的，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例关系，即“原计划工作效率×原计划时间＝实际工作效率×实际时间”。原计划每天加工80台，实际每天比原计划多加工50%，则实际工作效率是原计划的（1＋50%），实际每天加工数量为：80×（1＋50%）台。设实际用x天完成任务，根据：实际效率×实际时间＝原计划效率×原计划时间，列方程为80×（1＋50%）×x＝80×15，然后解方程即可。 【详解】解：设实际用x天完成任务。 80×（1＋50%）×x＝80×15 80×（1＋0.5）x＝1200 80×1.5x＝1200 120x＝1200 x＝1200÷120 x＝10 答：实际用10天完成任务。 27．中国结的发展可追溯到旧石器时代的缝衣打结，后面逐渐演变到了今天的装饰手艺。某厂家要制作一批中国结，原计划每天制作600个，但实际每天少制作了20%，原计划20天可以完成任务，实际用了多少天？（用比例解） 【答案】25天 【分析】这批中国结的总量是不变的，每天制作的个数与天数的乘积是一定的，即两种量成反比例。原计划每天制作600个，实际每天少制作20%，把原计划每天制作的个数看作单位“1”，则实际每天制作数量是原计划的（1－20%），设实际用了x天。因为工作总量不变，所以“原计划效率×原计划时间＝实际效率×实际时间”，据此列方程为：600×（1－20%）×x＝600×20，然后解方程即可。 【详解】解：设实际用了天。 答：实际用了25天。 28．行程结束，小欣一家回广州。爸爸告诉小欣：“鲘门到广州这段路，如果车速100千米/时，需要开2.4小时。现在车流多，车速为90千米/时。”请计算出现在爸爸驾车从鲘门到广州需多少小时。（用比例的知识解答） 【答案】小时 【分析】鲘门到广州的路程是固定不变的。根据公式“路程＝速度×时间”，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。当路程一定时，速度与时间成反比例关系。设现在驾车从鲘门到广州需要x小时。原来的速度为100千米/时，对应时间为2.4小时；现在的速度为90千米/时，对应时间为x小时。根据反比例关系“速度×时间＝路程（一定）”，可列出方程：90x＝100×2.4，然后解方程即可。 【详解】解：设现在驾车从鲘门到广州需要x小时。 90x＝100×2.4 90x＝240 x＝240÷90 x＝ 答：现在爸爸驾车从鲘门到广州需小时。 29．六年级办公室从后勤处领回一包A4纸，计划平均每天用25张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天只平均用了20张，实际用了多少天？ 【答案】25天 【分析】由于领回的A4纸总张数固定不变，即“每天用纸张数”与“使用天数”的乘积一定，因此这两个量成反比例关系。设实际用了x天，根据反比例关系：计划每天用纸张数×计划天数＝实际每天用纸张数×实际天数，可列方程：20x＝25×20，然后解方程即可。 【详解】解：设实际用了x天。 20x＝25×20 20x＝500 x＝500÷20 x＝25 答：实际用了25天。 30．王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？（用比例解答） 【答案】4小时 【分析】根据题意，去时和回程的路程相同，速度和时间成反比例关系。设回程需要x小时，可列比例式：85x＝100×3.4，解比例方程即可。 【详解】解：设回程需要x小时。 85x＝100×3.4 85x＝340 x＝340÷85 x＝4 答：回程需要4小时。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练13：反比例解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、反比例的意义与辨识 1.反比例定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的________（积）一定，这两种量就叫做成反比例的量。 字母表达式： （________）。 2.辨识方法： 公式变形：若题目给出 ，则 和 的积一定，成________比例。 比例形式：若 ，变形为 （商一定），则成________比例；若 ，变形为 ，则 和 的积一定，成________比例。 3.表格特征：在反比例关系的表格中，相对应的两个数的乘积是________的。 二、反比例的应用 4.工程问题：工作总量一定时，________与________成反比例。 公式：工效 × 时间 = 工作总量（一定）。 5.行程问题：路程一定时，________与________成反比例。 公式：速度 × 时间 = 路程（一定）。 6.分配问题：总数一定时，每份的量与份数成反比例。 例如：果汁总量一定，分的杯数与每杯的量成________比例。 例如：排队做操，总人数一定，每行站的人数与站的行数成________比例。 7.特殊模型： 杠杆原理：左边刻度数 × 砝码数 = 右边刻度数 × 砝码数。当两边乘积一定时，刻度数与砝码数成________比例。 自行车齿轮：前齿轮齿数 × 转数 = 后齿轮齿数 × 转数。前后齿轮的转数与齿数成________比例。 三、解题步骤 8.解比例应用题步骤： 一找：找相关联的量（________一定）。 二列：根据“积一定”列出乘法等式（反比例式）。 三解：设未知数 ，解方程。 四答：写出答句。 题型分类训练 【题型1】反比例的意义及辨识 1．如果XY＝6，那么X和Y成( )比例。当X＝12时，则Y＝( )。 2．表格中和若成正比例关系，“？”代表的是( )；和成反比例关系，“？”代表的是( )。 12 8 30 ？ 3．均不为0，如果，则和成( )比例；如果，则和成( )比例。 4．若（、不为0），那么与成( )比例；若∶5＝∶8（、不为0），那么与成( )比例。 5．a、b均不为0，如果a∶b＝2∶1，那么a和b成( )比例；如果，那么a和b成( )比例。 6．“五一”期间，乐乐一家到邢台大峡谷游玩，细心的乐乐发现，导航中显示的所需时间会随着行驶速度的变化而变化，请根据所学知识把下表填写完整。 行驶速度（千米/小时） 20 30 50 所需时间（小时） 4.5 3 1.5 汽车行驶速度和所需时间成（    ）比例。 7．已知5.4a＝b，则a与b成( )比例；圆柱体的体积一定，底面积和高成( )比例。 8．如果，那么、成( )比例关系，如果，那么、成( )比例关系。 9．均不为0，如果，那么( )。如果，与成( )比例关系。 10．乐乐看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。 每天看的页数 60 40 20 15 10 5 … 所用的天数 2 3 6 8 12 24 … （1）表中( )随着( )的变化而变化，( )越少，( )越多。 （2）表中的两个量相对应的两个数的积是( )，这个积表示的意义是( )。 （3）由此可知，当这本书的总页数一定时，每天看的页数与所用的天数成( )比例关系。 11．把相同体积的钢材熔铸成不同底面积的圆柱，圆柱的底面积与高的变化情况如下表。 圆柱的底面积/ 300 200 150 100 圆柱的高/m 2 3 4 6 (1)表中有( )和( )两种量。 (2)圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变( )，而且它们的乘积总是一定的，是( )，所以圆柱的底面积和圆柱的高成( )比例。 12．下表中x和y两个量成反比例关系，把表格填写完整。 x 2 8 y 6 0.4 0.3 24 13．x和y是两种相关联的量，如果，x和y成( )比例；如果4x－3y＝0，x和y成( )比例。 14．全国部分城市正在发展智慧交通，其中智慧交通包括自动公交、自动物流配送、自动驾驶泊车等。某自动化公司计划生产一批自动公交零件，每时加工零件的数量与需要的时间如下表。 每时加工的数量/个 10 20 30 40 50 60 所需的时间/时 60 30 20 15 12 10 （1）表中每时加工的数量和所需的时间成（    ）。 （2）如果每时加工120个，那么加工完这批零件需要几时？ （3）如果想2时就加工完这批零件，那么每时需要加工多少个？ 15．同学们做操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？ （1）用列表法整理题中的信息和所求问题。 每行站的人数 站的行数 （2）题目里相关联的两种量是（                 ）与（                 ）。 （3）根据“同学们做操”可知，（    ）是一定的，也就是说每行站的人数与站的行数的（    ）一定，因此这两种相关联的量成（    ）比例关系。 （4）请你用比例知识解答。 16．把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁量如下表。 分的杯数/杯 6 5 4 3 每杯的果汁量/mL 100 120 200 （1）请把表中数据补充完整。 （2）请写出分的杯数y和每杯的果汁量x的关系式：_____________________。 （3）如果把这些果汁平均分成10杯，每杯的果汁量是________毫升。 【题型2】反比例的应用 17．修一条公路，计划每天修120米，15天可以修完。如果每天只修100米，需要________天可以修完。 18．如图，把质量相同的钩码，挂在杠杆的支撑点的两边，杠杆保持平衡，若把杠杆左、右两边的钩码各减少一个，则杠杆左端会( )。（填：上升、下降或不动） 19．在下面的杠杆上挂相同质量的砝码。 (1)左边刻度4处挂2个砝码，右边刻度2处挂( )个才能保持平衡。 (2)右边刻度3处挂4个砝码，左边刻度4处挂( )个才能保持平衡。 20．一种普通自行车的前齿轮有36个齿，后齿轮有16个齿，前齿轮与后齿轮齿数的最简整数比是( )。当前齿轮转8圈时，后齿轮要转( )圈。 21．自行车前齿轮齿数为48，后齿轮齿数为16，若前齿轮转了1圈，那么后齿轮转( )圈。 22．某物流公司将120吨货物运往某一个工厂，如果要一次把所有货物全部运出，运输情况如下表。车的载重和所需车的数量成（    ）比例。请把表格补充完整。 车的载重（吨） 2.5 3 5 所需车的数量 48 40 12 23．小明看一部时长90分钟的科普纪录片，他先以正常速度看了30分钟，然后把播放速度调快至原来的1.5倍。按这个速度，剩下的部分还需要多少分钟才能看完？ 24．《张丘建算经》是我国古代数学著作。其中有一题：“今有七百人造浮桥，九日成。今增五百人，问日几何。”意思是700人造一座浮桥，9天可以完成，现在增加500人，几天可以完成？（用比例解答） 25．如下图，在平衡架的左侧刻度1处挂4个30g的砝码，在右侧刻度5处挂一个24g的砝码，平衡架平衡。 （1）根据已知条件，填写下表，你发现了什么？ 刻度数 砝码总质量/g 我发现：_______________ ______________________________________________________________________。 （2）如果取走右侧刻度5处的砝码，在右侧刻度2处挂一个（    ）g的砝码，平衡架仍然平衡。 刻度数 1 5 砝码总质量/g 120 24 26．机床厂要加工一批机床，原计划每天加工80台，15天完成任务。由于技术革新，实际每天比原计划多加工50%，实际用多少天完成任务？（用比例解） 27．中国结的发展可追溯到旧石器时代的缝衣打结，后面逐渐演变到了今天的装饰手艺。某厂家要制作一批中国结，原计划每天制作600个，但实际每天少制作了20%，原计划20天可以完成任务，实际用了多少天？（用比例解） 28．行程结束，小欣一家回广州。爸爸告诉小欣：“鲘门到广州这段路，如果车速100千米/时，需要开2.4小时。现在车流多，车速为90千米/时。”请计算出现在爸爸驾车从鲘门到广州需多少小时。（用比例的知识解答） 29．六年级办公室从后勤处领回一包A4纸，计划平均每天用25张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天只平均用了20张，实际用了多少天？ 30．王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？（用比例解答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $