专题01 集合，常用逻辑用语与不等式（6大考点）（福建专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题01 集合，常用逻辑用语与不等式 3大考点概览 考点01集合间的基本关系 考点02集合的基本运算 考点03集合新定义 考点04常用逻辑用语 考点05一元二次不等式 考点06基本不等式 ( 集合间的基本关系 考点1 ) 1．（2026·福建福州·模拟预测）已知集合，则集合A的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为（   ） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 4．（2025·福建厦门·一模）从集合的所有非空子集中任选两个，则选中的两个子集的交集为空集的概率为______． ( 集合的基本运算 考点2 ) 1．（2026·福建莆田·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建龙岩·一模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·二模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建·一模）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 5．（2026·福建漳州·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 7．（2025·福建泉州·模拟预测）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·福建三明·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． ( 集合新定义 考点3 ) 1．【多选题】（2025·福建福州·模拟）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，且，则对任意，都有 C．若，，则存在实数，使得 D．若，，则对任意的实数，总存在实数，使得 2．【多选题】（2025·福建福州·模拟预测）若非空集合，满足条件： ①；②若，，则. 则称为集合的划分. 下列命题正确的是（   ） A．若为集合的划分，则 B．若为集合的划分，则 C．若，，则为的划分 D．若存在划分，，则 ( 常用逻辑用语 考点4 ) 1．【多选题】（2026·福建·一模）已知，若,分别表示中的较大者和较小者，则下列选项中，是命题“”的充要条件的有（　　） A． B． C． D． 2．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（    ） A． B． C． D． ( 一元二次不等式 考点4 ) 1．（2025·福建漳州·一模）设集合，则（ ） A． B． C． D． 2．（2025·福建·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． ( 基本不等式 考点4 ) 1．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．【多选题】（2025·福建泉州·模拟预测）在△ABC中，内角的对边分别为a、b、c，已知，则（    ） A． B．b的取值范围可能为 C．b的取值范围可能为 D．△ABC的面积最大值为 3．【多选题】（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建莆田·二模）已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合，常用逻辑用语与不等式 要求：选择题的数量较多时，可以用表格形式呈现 ( 集合间的基本关系 考点1 ) 1 2 3 C D C 4. ( 集合的基本运算 考点2 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B A C D C C A C D ( 集合新定义 考点3 ) 1 2 ABC AD ( 常用逻辑用语 考点4 ) 1.ABC 2. 3.A 4.D ( 一元二次不等式 考点 5 ) 1.C 2.B 3.C 4.B ( 基本不等式 考点 6 ) 1.A 2.ACD 3.ACD 4.C 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合，常用逻辑用语与不等式 3大考点概览 考点01集合间的基本关系 考点02集合的基本运算 考点03集合新定义 考点04常用逻辑用语 考点05一元二次不等式 考点06基本不等式 ( 集合间的基本关系 考点1 ) 1．（2026·福建福州·模拟预测）已知集合，则集合A的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为， 所以集合A的子集个数为. 2．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 3．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为（   ） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】数形结合，判断方程组解的个数，即中元素的个数，再根据集合中元素的个数确定其真子集的个数即可. 【详解】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合， 集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合， 在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图： 观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点， 所以有3个元素，共有个真子集． 故选：C 4．（2025·福建厦门·一模）从集合的所有非空子集中任选两个，则选中的两个子集的交集为空集的概率为______． 【答案】 【分析】（1）先求集合的非空子集的个数，确定样本空间中样本点的个数， 方法一：分，，三种情况确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论； 方法二：分，，三种情况确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论； 方法三：由条件对于集合中的任意元素均有，且；，且；这三种选法，且集合，都不为空集，由此确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论； 【详解】设，，且， 易知集合的非空子集个数为，任取两个集合，共有种选法． （方法一）①若，则共有种选法； ②若，从个元素里选个，再分成两组（不平均），有种选法； ③若，个元素平均分为两组共有种；不平均分组共有种，小计共有种选法； 所以选中的两个子集的交集为空集的概率为． （方法二）①当时，个元素里任选一个放入集合中，集合共有种情况， 故有种情况； ②当时，个元素里任选两个放入集合中，集合共有种情况， 故有种情况； ③当时，个元素里任选三个放入集合中，集合共有种情况， 故有种情况； 总共有种情况，所以选中的两个子集的交集为空集的概率为． （方法三）对于集合中的任意元素均有，且；，且；这三种选法，再减去集合，其中一个为空集的情况，故共有种， 所以选中的两个子集的交集为空集的概率为． 故答案为：． ( 集合的基本运算 考点2 ) 1．（2026·福建莆田·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则. 2．（2026·福建龙岩·一模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， . 3．（2026·福建泉州·二模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解集合，再根据补集的定义计算结果； 【详解】因为，所以， 因为，所以 故选：C. 4．（2026·福建·一模）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与集合中的元素特征可知两集合没有公共元素，可得结论. 【详解】因为集合中所有元素为奇数，集合中的元素是集合中两个元素之和，而两个奇数之和必为偶数，所以集合中所有元素均为偶数。 因此和没有公共元素，故． 故选：D 5．（2026·福建漳州·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式和对数不等式分别求集合，再根据交集定义求出结果. 【详解】因为集合，解不等式可得或， 即， 又因为集合，解不等式可得， 即， 所以. 故选：C. 6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把集合具体化，再利用集合交集运算法则可得答案. 【详解】解方程：， 因式分解得：， 解得：或， 因此，； 满足 的自然数 为：， 因此，， 故. 故选：C 7．（2025·福建泉州·模拟预测）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用交并补的混合运算求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A 8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求集合B，再求两个集合的交集即可. 【详解】由指数函数在上单调递增，且，得，所以. 根据数轴求集合的运算如图： 所以. 故选：C. 9．（2025·福建三明·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过解不等式明确集合，再求两集合的交集. 【详解】二次不等式，变形得，解得或. 故. 因此. 故选：D ( 集合新定义 考点3 ) 1．（2025·福建福州·三模）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，且，则对任意，都有 C．若，，则存在实数，使得 D．若，，则对任意的实数，总存在实数，使得 【答案】ABC 【分析】对于选项A，首先根据题意求出，然后求出，即可得到的值；对于选项B，可找出反例证明选项B错误；对于选项C，讨论的不同范围下，的不同范围；令，即可验证选项D的正确性. 【详解】A选项，由，，可得，，因为，所以，，故A错误； B选项，例如：，，满足，但是并不都大于等于，故B错误； C选项，由，， 当，即时，； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得，所以不存在实数a，使得，故C错误； D选项，由，，取，可得，对任意实数a，总存在b使之成立，故D正确. 故选：ABC. 2．（2025·福建福州·模拟预测）若非空集合，满足条件： ①；②若，，则. 则称为集合的划分. 下列命题正确的是（   ） A．若为集合的划分，则 B．若为集合的划分，则 C．若，，则为的划分 D．若存在划分，，则 【答案】AD 【分析】根据题意中集合的划分定义对每个选项逐一分析判断即可. 【详解】对于选项AB： 在集合划分定义中并未要求，但若存在， 则矛盾，故必然成立. 对于选项C： 集合为，而集合为，此时， 不符合集合划分的定义，所以选项C错误. 对于选项D： 若，则，无法划分； 若，则，无法划分； 所以D正确. 故选：AD. ( 常用逻辑用语 考点4 ) 1．（2026·福建·一模）已知，若,分别表示中的较大者和较小者，则下列选项中，是命题“”的充要条件的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先明确充要条件的定义：若是的充要条件，则（能推出，也能推出）；再由已知的含义是且，逐一分析选项即可. 【详解】选项A：若且，则，，是其中较大的数， 一定大于这个较大的数，充分性成立； 若，说明和都不为0（若其中一个为0，比如， 则，不满足不等式），即且，必要性成立； 因此A是充要条件； 选项B：若且，则，，故，充分性成立； 若，则且，即且，必要性成立； 因此B是充要条件； 选项C：若且，则，分式有意义且分子， 故分式≠0，充分性成立； 若，则（分母不为0）且， 因此且，必要性成立； 因此C是充要条件； 选项D：存在反例：取，，此时， 满足，但， 故，不满足“”， 所以充分性不成立， 因此D不是“”的充要条件. 综上，符合条件的选项是ABC. 故选：ABC. 2．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围. 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： 3．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由指数函数单调性和一元二次不等式的解法求集合，判断包含关系，再由充分、必要性定义即可得. 【详解】由，， 所以，即是的充分不必要条件. 故选：A 4．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件在集合中的表示方法，判断集合的包含关系即可. 【详解】由题意，得，因为是的充分条件， 所以即， 已知二次函数，开口向上，与轴交于， 仅当满足． 故选：D． ( 一元二次不等式 考点4 ) 1．（2025·福建漳州·一模）设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解法，求得集合或和，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可化为，即， 解得或，所以集合或， 又由不等式，解得，所以集合， 所以. 故选：C． 2．（2025·福建·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式化简集合A，然后利用交集运算求解即可. 【详解】集合，， 所以. 故选：B. 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以， 解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为. 故选：C. 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将集合中的不等式的解集求出来，然后求. 【详解】对于集合，，解得. 对于集合，，解得. 所以集合，集合. 所以. 故选：B. ( 基本不等式 考点4 ) 1．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 2．（2025·福建泉州·模拟预测）在△ABC中，内角的对边分别为a、b、c，已知，则（    ） A． B．b的取值范围可能为 C．b的取值范围可能为 D．△ABC的面积最大值为 【答案】ACD 【分析】根据三角恒等变形化简得，即，对于A，利用化简可判断；利用余弦定理结合基本不等式可得，解得即可判断BC；根据面积公式，再利用基本不等式即可得到△ABC的面积最大值即可判断D． 【详解】， 则 ， 整理得， ，，即， ， 对于A，因为， ，所以，故A正确； 所以 ，当时取等， 所以，故B错误，C正确； ，当时取等， 所以△ABC的面积最大值为，故D正确． 故选：ACD． 3．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，直接利用基本不等式即可判断；对于B，消元法可求出的范围，即可判断；对于C，利用常值代换法，利用基本不等式即可求解；对于D，消元后利用基本不等式求得的范围即可判断. 【详解】对于A，因，则，即得，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B ，因，由可得，故在时取得最小值，，故B错误； 对于C，由，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，因，由，当且仅当时等号成立，由上分析，故有，即D正确. 故选：ACD. 4．（2026·福建莆田·二模）已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等比数列的项的性质判断A；根据时，判断B；根据基本不等式计算求解判断C，根据常数列判断D； 【详解】对于A选项，数列是公比为的等比数列，且，则，所以或，故错误； 对于B选项，若，当时，有，则，故错误； 对于C选项，数列是公比为的等比数列，则，， 又因，所以，所以，故正确； 对于D选项，当等比数列为公比为的非零常数列时，始终满足， 但不一定成立，故错误； 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $