专题02导数的单调性8种重点题型归类（压轴题专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02导数的单调性 目录 典例详解 类型一、求已知函数的单调性 类型二、含参函数的单调性 类型三、已知函数的单调性求参数 类型四、导数与函数图像的关系 类型五、利用导数比较大小 类型六、利用函数的单调性解不等式 类型七、利用函数构造解不等式系 类型八、函数的零点问题 压轴专练 典例详解 类型一、求已知函数的单调性 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性： 第1步：确定函数的定义域： 第2步：求出导数f(x)的零点 第3步：用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正 负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性 例1.(24-25高二下·福建南安成功中学)函数y=1血x+1 的单调减区间为() A.-o,1 B.0,1 C.1,e D.1,+o 变式1-1.(24-25高二上·湖南株洲攸县健坤高级中学·月考)函数fx=号×-2x的单调递增 区间为 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-2.(25-26高二上·河南郑州第五十六高级中学·月考)己知函数fx=lnx+x2+ax+2 在点2，f2处的切线与直线2x+3y=0垂直. (1)求实数a的值及在点2，f2)处的切线方程： (2)求fx的单调区间. 变式1-3.(24-25高二下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)己知函 数fx=x+asin x在x=0处的切线方程为x+y=0. (1)求a的值； (2)当x∈0,2π时，求函数fx的单调区间. 类型二、含参函数的单调性 例2.(24-25高二下·广东佛山南海区·)己知函数fx=e*-ax-2. (1)当a=2时，求曲线y=fx在点0，f0处的切线方程； (2)求fx的单调区间. 变式2-1.(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)已知函数fx=ae2x-a+2e*+x. (1)若a=1,求y=fx在点0，f0处的切线方程： (2)讨论fx的单调性. 变式2-2.(25-26高二上·安徽六安第一中学·期末)已知函数 f(x=2alnx+-(a+2lx,aER. (1)若a=0,求f(x)在x=1处的切线方程； (2)讨论fx的单调性. 变式2-3.(25-26高二上·江苏南京东高、秦科高、南师江宁、金陵河西、雨中·期末)已知 函数f(x=x+1-ax-alnx,gx=e2, (1)若函数y=f(x)与y=g(x)在x=2处的切线垂直，求a的值. (2)讨论函数y=f(x)的单调性并写出单调区间. 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 今类型三、已知函数的单调性求参数 函数f(x)在区间D上： 单调递增→f(x)≥0恒成立： 单调递减一f(x)s0恒成立： 存在单调递增区间→3x∈D,使得f()>0: 存在单调递减区间一3x∈D,使得f(x)<0: 不单调一f(x)在区间内存在变号零点 例3.(25-26高二上·得建首田第四中学，期末)已知函数x=×-nx+x在1，+上单调 递增，则实数a的取值范围是() A.-∞，1 B.-o,1 C.-∞，2 D.-∞，2 变式3-1.(25-26高二上·湖南邵东第四中学·期末)“a≥27”是“函数f(x)=x3-ax在区间 (1,3)上单调递减”的（) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 变式3-2.(25-26高二上·安徽六安第二中学和西校区·期未)已知函数fx=e-a+5在 2 0,+∞上单调递增，则a的最大值是() A.1 B.e C.2 变式3-3.(25-26高二·福建厦门集美中学·期末)若函数fx=x-4-alnx在定义域内单调 递增，则实数a的取值范围为 类型四、导数与函数图像的关系 例4.(25-26高二上·重庆南开中学校·期末)已知函数f(x)与其导函数f(x)的图象如图所示， 则() A.曲线M为函数f(x)的图象 B.r 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.f(x)在 2’2 单调递增 D.f(x在0,2 单调递减 曲线M -曲线N π2 交式41.2526高上·云范大学附属中学·期术)函数x=。的图象大致为 变式4-2.(23-24高二下·广西南宁第三中学·期中)如图是函数y=fx的导函数y=f(x的 图象，则下列命题错误的是() A.函数y=fx在2，+oo内，当x越来越大时的图象越来越陡峭 B.2不是函数y=fx的极值点 C.y=fx在x=0处切线的斜率小于零 D.y=fx在区间-4,4上单调递增 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式4-3.(23-24高二上·江苏南京南京师大附中·期末)若定义在R上的函数y=x3fx的图 象如图所示，则函数y=fx的增区间为() A.[0,1] B.0,2 C.(-∞，0 D.-∞，2 y=xf(x) 类型五、利用导数比较大小 导数比较大小方法 1.导数的性质法：导数的符号表示了原函数的增减性，利用导数的符号判断原函数的单调性，再根据函 数的单调性比较大小。 2.导数的大小比较法：直接求出函数在其定义域内的导数，然后比较大小。 3.导数的极限法：在区间端点或某一特定点的导数值，比较大小。 4.导数的几何意义法：利用导数的几何意义，比较函数值的大小。 5.导数的最值法：利用导数求函数的极值和最值，然后比较大小。 6.导数的特殊值法：根据函数在不同区间上的特殊值，进行比较。 例5.25商三下广东红如中学·期中已=如，6一品 则() A.a<c<b B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 变式51.2425高=下山东青岛青岛第二中学·期中)设0=导h=s如子6=2h号则 3 () A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 变式5-2.(24-25高二下·浙江新力量联盟·期中)设fx是函数fx定义在0，+∞)上的导函 数，满足x2fx+2xfx=1,则下列不等式一定成立的是() A.Ielfle B.12),f3) 9 4 C.e e24 D.fielf(3) e29 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式5-3. (②425高=下·河南洛阳·期中)（多选）已知a=ln2,b=2,c=42-n2 e,c=. e2 则下列大小关系中正确的有() A.b>a B.a>c C.b>c D.c>a 类型六、利用函数的单调性解不等式 第一步：确定定义域。明确函数f(x)的有效自变量范围。 第二步：标准化不等式。将原不等式通过移项、变形，转化为f(A)<f(B)、f(A)>f(B)或 f(A)≤f(B)、f(A)≥f(B)的形式，其中A和B是关于x的表达式。 第三步：应用单调性脱去“f”。 若f(x)在相关区间上单调递增，则由f(A)<f(B)可直接推出A<B:由f(A)>f(B)推出A>B。若 f(x)在相关区间上单调递减，则由f(A)<f(B)推出A>B;由f(A)>f(B)推出A<B。不等号方向发生 改变。 第四步：求解并取交集。解第三步得到的关于x的不等式，并将解集与第一步确定的函数定义域取交 集，得到最终解集。 例6. (23-24高二上·江苏泰州·期末)不等式x-2x+1<sinx2-2x-sin2-x的解集为( A.-∞，-1U2,+0 B.-1,2 C.-2,1 D.0,2 变式6-1.(24-25高二下·山东青岛第十五中学·)（多选）已知正数，β满足 1 e“+ 1 >e+ 2β+sinβ 2a+sina 则下列结论正确的是() A.2-B+1>2 B.lna+a<nB+β c.。官a+6 1+1>4 1.1、1.1 D. 十> ea a eB B 变式6-2.(24-25高二下·江苏无锡第-中学·)已知函数fx=xe+X+1,且 f1+a+f1-a>2,则实数a的取值范围是 变式6-3.(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)设函数 f(x)=sinx+e-ex-x+3,则满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型七、利用函数构造解不等式 例7.(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知函数fx的定义域为1，+∞，其 导函数为fx,若对任意的x∈1，+x,均有x+22fx+xfx<对x恒成立，且f3=3,则 不等式x+22fx+2>3x+12的解集为（) A.{-1,1 B.-∞，1 C.1,+0∞ D.(-1,+o∞ 变式7-1.(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)己知函数fx的定义域为-o∞，0， f-1=-1,其导函数fx满足xfx-2fx>0,则不等式fx-2025+x-20252<0的解集为 () A.2024,+∞ B.2024,2025 C.0,2024 D.（-0∞，2025 变式7-2.(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)己知定义在R上的函数fx满足 fx+fx>1,f1=3,则不等式efx>e+2e的解集为() A.2,+0 B.1,+∞ C.-0,2 D.-∞，1 变式7-3.(24-25高二下·山东青岛青岛第二中学·期中)己知函数fx的定义域为0，+∞， 导函数为fx,不等式x+12fx+xf]>对x恒成立，且f6=五则不等式 fx+3<3x+12 x+32的解集为() A.(0,3 B.-3,3 C.-3,6 D.3,6 类型八、函数的零点问题 1.分离参数法 当方程中含有参数时，将参数分离出来，转化为ā=g(x)的形式。此时，原方程的零点个数问题转 化为直线y=a与函数y=g(x)图像的交点个数问题。 步骤：分离参数一构造新函数一利用导数研究新函数性质一 画图求解。 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.导数分析法（单调性与极值） 对于无法直接求解的复杂函数，利用导数f(x)判断函数的单调区间和极值点。 逻辑：结合极值的正负符号与单调性，判断函数图像穿过X轴的次数。 隐零点问题：当导数零点无法求出具体数值时，可设零点为X,利用f(x)=0进行整体代换 例8.(24-25高二下·福建厦门松柏中学·月考)已知函数fx=-alnx+2a+1x-x2. (1)讨论fx的单调性. (2)求证：若a>0,fx有且仅有一个零点. 变式8-1.(25-26高二上·湖南师范大学附属中学·期末)己知函数 fx划=alnx+i)-xaeR. (1)若a=1, (i)求函数f(x)的单调区间： (ii)证明：函数h(x)=f(x)+cosx在区间(-1,0)上有且只有一个零点. (2)若f(x)≤2e*-cosx-1对任意x∈[0，π]恒成立，求实数a的取值范围 变式8-2.(24-25高二下·山东泰安·期末)已知函数f(x)=lg(10*+1)-x为偶函数. (1)求实数m的值： (2)求方程f(x)=lg(4×10m+2)的根： (3)若函数g(x)=f(x2X-昨x∈(-∞，0)上有零点，求实数a的取值范围. 变式8-3.(24-25高二下·山东青岛·期末)己知函数fx=xx-a2. (1)若a=1,求曲线y=fx在点0，f0处的切线方程； (2)若x=2是fx的极值点但不是零点，求fx的单调区间. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 1.(25-26高二·福建厦门外国语学校·期末)函数f(x)=xe-x-lnx+m有两个零点，则m的 取值范围是() A.（-00,1) B.（-∞，-1) C.(1,+∞) D.（-1,+∞) 2.(25-26高二上·福建莆田二中、仙游一中·期末)已知函数f(x是函数fx的导函数，对任 意x0,》 f(x)+f(x)tanx>0,则下列结论正确的是() a.f6>3f得 B.varv3r3 c.f性k3f侣 D.v2r3r 3.(23-24高二下·天津河东区·期中)设a∈0,1，若函数fx=a+(1+a在0，+∞上单调递 增，则a的取值范围是() o.351 A. B. 0, 5-1 c.5, 4.(23-24高二下·广东中山中山纪念中学·)若关于x的不等式ax-2ex≥x-2a>0有且只 有三个整数解，则实数a的取值范围是() 12 c.[1,e D.1,e到 5.(24-25高二下·河北涉县第一中学·月考)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数f(x)的导 函数，当x<0时，xf(x)-f(x)>0,且f(2)=4,则不等式f(x)≤2x的解集为() A.[-2,2] B.iUi C.[-2,0]Ui D.i0 6.(24-25高二下·辽宁沈阳同泽高级中学·调研)（多选）已知fx的定义域为R,若fx-3 为奇函数，fx-2为偶函数，当x∈0,1时，fx=e-xe,则() A.f-5=0 B.f6=e 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.fx为偶函数 .r) 7.(24-25高二下·山东聊城·期中)（多选）已知X1,X2∈0，+∞，且x1<x2,若x1e=x2e, 则() A.X2>1 B.X1+X2<2 C.Inx:+In x2<0 D.x2-Inx2>1 8.(24-25高二下·云南“美美与共”民族中学联盟·)已知函数f(x)=(,若f(x)=2有6个解. 则a的取值范围是 9.(24-25高二下·广东广州执信中学天河校区·月考)已知函数fx=nx+1+号x. 2 (1)若函数hx=fx-ax+12不单调，求实数a的取值范围： (2)若曲线y=fx与直线y=ax有且仅有一个交点，求实数a的取值范围 10.(24-25高二下·河北邪台质检联盟·月考)已知函数fx=e-e-asin2x0≤a≤ 3 (1)若a=1,求曲线y=fx在点0，f0处的切线方程； (2)试讨论fx在-π，π上的零点个数. 10/10 专题02导数的单调性 目录 典例详解 类型一、求已知函数的单调性 类型二、含参函数的单调性 类型三、已知函数的单调性求参数 类型四、导数与函数图像的关系 类型五、利用导数比较大小 类型六、利用函数的单调性解不等式 类型七、利用函数构造解不等式系 类型八、函数的零点问题 压轴专练 类型一、求已知函数的单调性 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性∶ 第1步∶确定函数的定义域； 第2步∶求出导数f(x)的零点； 第3步∶用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 例1．(24-25高二下·福建南安成功中学·)函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令导数小于零求解． 【详解】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 变式1-1．(24-25高二上·湖南株洲攸县健坤高级中学·月考)函数的单调递增区间为______． 【答案】和 【分析】先求函数的导数，再令，解集即为单调增区间. 【详解】由题知，令，即， 解得或， 所以单调递增区间为或 故答案为：和. 变式1-2．(25-26高二上·河南郑州第五十六高级中学·月考)已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求实数的值及在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1)， (2)递增区间为、，的递减区间为 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合直线垂直关系列方程求出实数，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数讨论函数的单调性，求出函数单调区间． 【详解】（1） ， ， 求导得， ， 在点处的切线与直线垂直， ， 解得， ，切点坐标为， 切线方程为：，即． （2），定义域， 求导得，， 令，解得，， 当时，， 当时，， 当时，， 的递增区间为、，的递减区间为． 变式1-3．(24-25高二下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)已知函数在处的切线方程为． (1)求a的值； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为和 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）由（1）可得，在范围内解不等式可得单调区间. 【详解】（1），因在处的切线方程为， 则； （2）由（1），， 因，， ， 则的单调递增区间为，单调递减区间为和. 类型二、含参函数的单调性 例2．(24-25高二下·广东佛山南海区·)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可. （2）求出导函数，根据和分类讨论，可求得单调区间. 【详解】（1）当时，． ，即切点为． ，则． 所以切线方程为，即． （2）． ①当时，，所以在单调递增． ②当时，由可得，由可得． 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递增；当时， 在单调递减，在单调递增． 变式2-1．(24-25高二下·广东卓越教育发展联盟学校·)已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性． 【详解】（1）若，则，则，，， 所以在点处的切线方程为． （2）， ①当，令，解得，令，解得， 在单调递增，在单调递减； ②当，令，解得，， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减， 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在，单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，单调递增.在单调递减． 变式2-2．(25-26高二上·安徽六安第一中学·期末)已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程； （2）求导，对参数分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． 变式2-3．(25-26高二上·江苏南京东高、秦科高、南师江宁、金陵河西、雨中·期末)已知函数，， (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． 【答案】(1)； (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）分别求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直条件列式求解. （2）由（1）中函数的导数，按分类求出导函数值为正为负的解集即可. 【详解】（1）函数，求导得， 函数，求导得，由函数与在处的切线垂直， 得，即，所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 类型三、已知函数的单调性求参数 函数  在区间  上： ‌单调递增‌  恒成立； ‌单调递减‌  恒成立； ‌存在单调递增区间‌ ，使得 ； ‌存在单调递减区间‌ ，使得 ； ‌不单调‌  在区间内存在变号零点 例3．(25-26高二上·福建莆田第四中学·期末)已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 变式3-1．(25-26高二上·湖南邵东第四中学·期末)“”是“函数在区间上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及充要条件的判断即可求解. 【详解】若在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，故，， 因函数在上单调递增，故，所以； 若，因，则，则函数在上单调递减.” 故“”是“函数在区间上单调递减”的充要条件. 故选：B. 变式3-2．(25-26高二上·安徽六安第二中学和西校区·期末)已知函数在上单调递增，则的最大值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因为在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：B 变式3-3．(25-26高二·福建厦门集美中学·期末)若函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】由恒成立，使用分离参数方法，再利用基本不等式求得的取值范围即可. 【详解】依题意知， 因为函数在单调递增， 所以，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 又因为（当且仅当时取“”）， 所以. 故答案为： 类型四、导数与函数图像的关系 例4．(25-26高二上·重庆南开中学校·期末)已知函数与其导函数的图象如图所示，则（   ）   A．曲线为函数的图象 B． C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】D 【分析】根据原函数和导函数的关系逐一判断即可. 【详解】若曲线为函数的图象，当时，，所以在上单调递增，而曲线在上先减后增 ，不合题意， 所以曲线为函数的图象，所以曲线为函数的图象，故A错误； 由A可知在上单调递减且为偶函数，所以，故B错误，D正确； 在上先增后减，故C错误； 故选：D 变式4-1．(25-26高二上·云南师范大学附属中学·期末)函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行判断. 【详解】由题可知函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； 又，故排除D； 又， 所以， ， 即在上存在零点， 所以函数在内存在极值点，故排除C， 故选：A 变式4-2．(23-24高二下·广西南宁第三中学·期中)如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（    ） A．函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B．2不是函数的极值点 C．在处切线的斜率小于零 D．在区间上单调递增 【答案】C 【分析】结合导函数的图象，利用导函数与原函数的关系逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图知，当时，函数的图象呈递增趋势，即越来越大时， 导数值越来越大，函数上的切线斜率越来越大，则其图象越来越陡峭，故A正确； 对于B，因无论从的左边还是右边接近2时，导函数的值均为正数，故2不是函数的极值点，故B正确； 对于C，由图知，，即在处切线的斜率大于零，故C错误； 对于D，由图知，当时，恒成立，故在区间上单调递增，即D正确. 故选：C. 变式4-3．(23-24高二上·江苏南京南京师大附中·期末)若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的图象，分类讨论，求得的符号，得到函数的递增区间，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得： 当时，可得，所以，单调递减； 当时，可得，所以，单调递增； 当时，可得，所以，单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 类型五、利用导数比较大小 导数比较大小方法 1.导数的性质法:导数的符号表示了原函数的增减性，利用导数的符号判断原函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小。 2.导数的大小比较法:直接求出函数在其定义域内的导数，然后比较大小。 3.导数的极限法:在区间端点或某一特定点的导数值，比较大小。 4.导数的几何意义法:利用导数的几何意义，比较函数值的大小。 5.导数的最值法:利用导数求函数的极值和最值，然后比较大小。 6.导数的特殊值法:根据函数在不同区间上的特殊值，进行比较。 例5．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可得解. 【详解】令，， 则，因为，所以，所以， 则，所以， 所以，所以在上单调递减， 所以，即，即，即， 又，， 所以. 故选：B 变式5-1．(24-25高二下·山东青岛青岛第二中学·期中)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，通过求导判断函数的单调性可得，即可判断；令，通过求导判断函数的单调性可得，即可判断，即可求解. 【详解】令，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以，即， 令，所以， 当时，，在上单调递减， 所以，则，所以， 所以，所以，即， 所以. 故选：. 变式5-2．(24-25高二下·浙江新力量联盟·期中)设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导，得到在上单调递增，可直接判断B、C选项；举出反例，设，可判断A、D选项. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， B选项，由，即，可得，故B错误； C选项，由，即，可得，故C正确； A选项，因为，不妨设（为常数）， 即（为常数），所以， 令，故，当时，为常数函数， 此时，即，所以，故A错误； D选项，根据上述分析，，（为常数）， 故，，令，， 当时，，在上单调递减， 所以，则，故D错误. 故选：C. 变式5-3． (24-25高二下·河南洛阳·期中) （多选）已知，，，则下列大小关系中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，变形可得，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 因为，， ， 因为，故，即，即， 故选：ACD. 类型六、利用函数的单调性解不等式 第一步：确定定义域‌。明确函数的有效自变量范围。 ‌第二步：标准化不等式‌。将原不等式通过移项、变形，转化为、 或、的形式，其中和是关于的表达式。‌ ‌第三步：应用单调性脱去“”‌。 若在相关区间上‌单调递增‌，则由  可直接推出；由推出。‌若在相关区间上‌单调递减‌，则由  推出；由推出。不等号方向发生改变。‌ ‌第四步：求解并取交集‌。解第三步得到的关于的不等式，并将解集与第一步确定的函数定义域取交集，得到最终解集。 例6． (23-24高二上·江苏泰州·期末)不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式等价于，构造函数，求导，确定单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】由， 即，得， 设，则，所以在上单调递减， 故由得， 所以，解得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：同构法解不等式 将不等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将不等式整理为，从而构造函数，不等式化为，由的单调性解不等式. 变式6-1．(24-25高二下·山东青岛第十五中学·)（多选）已知正数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造且，先用导数研究的单调性，进而得到的单调性，可得，再应用不等式的性质、基本不等式及指对数的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，令且， 令，则在上恒成立，即在上单调递增， 根据复合函数及指数函数的单调性易知在上单调递增，而， 所以，故，A对；又，则，B错； 由，显然等号不能成立， 所以，即，C对； 由，则，又，则，D错. 故选：AC 变式6-2．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·)已知函数，且，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【分析】令，先求出为奇函数，再求导，然后令，求导分析其单调性进而得到的单调性，最后解抽象函数不等式即可. 【详解】令，定义域为， ， 所以为奇函数， 又， 当时，令， 则有， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为为奇函数，所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够发现为奇函数，并利用导数来分析其单调性. 变式6-3．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)设函数，则满足的x的取值范围是__________. 【答案】 【分析】构造函数，确定函数单调性及奇偶性，利用函数性质来解不等式即可得答案. 【详解】， 设， 又，为上的奇函数， ， 在上单调递增， 又， ， ，， 又∵为上的奇函数， ， 又在上单调递增，，即， 故的取值范围是． 故答案为： 类型七、利用函数构造解不等式 例7．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知函数的定义域为，其导函数为，若对任意的，均有恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可. 【详解】由，可得， 即，令， 则. 令，， 所以在上是单调递减函数. 不等式， 等价于， 即，， 所求不等式即， 由于在上是单调递减函数， 所以，解得， 且，即， 故不等式的解集为. 故选：A. 变式7-1．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导后判断的单调性，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，则原不等式等价于， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 变式7-2．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求导，结合已知条件得在定义域上单调递增，然后化简已知不等式得，利用单调性即可求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，又，所以恒成立， 所以在定义域上单调递增． 故原不等式可转化为，又，所以， 所以，所以，故不等式的解集为． 故选：B 变式7-3．(24-25高二下·山东青岛青岛第二中学·期中)已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用构造的导数，来判断其单调性，又把已知要求解的不等式转化为，从而可利用单调性解不等式. 【详解】由已知得：因为，所以， 两边同乘以又可得：， 因为，所以有， 再构造，则， 所以在上单调递增， 因为的定义域可知，，所以， 又因为，所以， 即上面不等式可转化为，根据在上单调递增， 可得，解得， 故选：． 类型八、函数的零点问题 ‌1. 分离参数法‌ 当方程中含有参数时，将参数分离出来，转化为  的形式。此时，原方程的零点个数问题转化为直线  与函数  图像的交点个数问题。 ‌步骤‌：分离参数  构造新函数  利用导数研究新函数性质  画图求解。 ‌2. 导数分析法（单调性与极值）‌ 对于无法直接求解的复杂函数，利用导数  判断函数的单调区间和极值点。 ‌逻辑‌：结合极值的正负符号与单调性，判断函数图像穿过  轴的次数。 ‌隐零点问题‌：当导数零点无法求出具体数值时，可设零点为 ，利用  进行整体代换 例8．(24-25高二下·福建厦门松柏中学·月考)已知函数. (1)讨论的单调性. (2)求证：若，有且仅有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先确定定义域，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，对进行讨论，即可求出结果； （2）利用（1）中结果，再利用零点存在性原理，即可得出结果. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，解得或， 若，则当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，则当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 若，则恒成立，所以在上单调递减； 若，则当时，，当或时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递减， 又，， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； 当时，函数在处取得极小值， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，， 当时，，，则， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； 当时，函数在处取得极小值， ， 同理存在唯一使，则有且仅有一个零点； 所以有且仅有一个零点. 变式8-1．(25-26高二上·湖南师范大学附属中学·期末)已知函数. (1)若， （i）求函数的单调区间； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)（i）单调递增区间为，单调递减区间为；（ii）证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）利用导数求解函数单调区间；（ii）利用导数证明函数的零点； （2）利用导数结合函数不等式恒成立，求解参数的取值范围； 【详解】（1）（i）函数的定义域为， 当时，， 则，令，得；令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （ii）因为， 令，则， 当时，所以，所以即在区间上单调递减， 故对任意，都有，所以在区间上单调递增， 又， 所以在区间上有且只有一个零点． （2）由对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，则， 所以，令， 则， 当时，对任意，则， 所以在上单调递减，所以，满足题意； 当时，在区间上恒成立，所以在区间上单调递减， 又， ①当，即时，恒成立， 所以在区间上单调递减，所以，满足题意； ②当且，即时， 由零点存在性定理知，，使得． 当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意； ③当，即时， 对任意单调递增，所以，不满足题意． 综上，实数的取值范围为． 变式8-2．(24-25高二下·山东泰安·期末)已知函数为偶函数. (1)求实数m的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由偶函数的性质得，求参数即可； （2）应用对数的运算性质求解方程的根； （3）由题设在上有解，应用导数研究右侧的单调性，进而求值域，即可得参数范围. 【详解】（1）由题知，的定义域为R，且为偶函数， ∴，即， 整理得恒成立，可得； （2）由（1）可知，， 方程可化为， ∴，则，整理得， 令，则，不等式可化为，解得（舍）或， ∴，可得，故方程的根为； （3）在上有零点， ∴在上有解， 设，，则， ∴在上单调递减，， ∴. 变式8-3．(24-25高二下·山东青岛·期末)已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极值点但不是零点，求的单调区间. 【答案】(1)切线方程：. (2)单调递增区间：，单调递减区间：. 【分析】（1）根据已知条件确定，求出和导数，根据求出切线斜率，从而得到切线方程; （2）求函数的导数，结合是的极值点但不是零点判断出值，再根据函数单调递增，函数单调递减，解不等式求出相应单调区间. 【详解】（1）当时，，则. 求导：. 切线斜率. 则切线过点，斜率为1，方程为：. （2）已知，导数为： . 已知是极值点，则： 或. 又不是零点： 若，则，矛盾，舍去; 若，则，符合条件. 所以. 当，即时，函数递增： 解得：； 当，即时，函数递减： 解得： 故函数的单调递增区间：，单调递减区间：. 1．(25-26高二·福建厦门外国语学校·期末)函数有两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为与直线有两个交点，求导画出大致图象即可判断. 【详解】由题函数定义域为， 函数有两个零点，等价于方程 有两个解， 即 与直线有两个交点. ， 因为，所以， 令， 易知在单调递增， 当时，，当时，， 令，则存在唯一的， 所以，即, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得最小值， ， 代入，， 当时，当时， 所以大致图象如图所示， 所以， 即. 故选：B. 2．(25-26高二上·福建莆田二中、仙游一中·期末)已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据已知条件，可判断，所以在上单调递增.据此可判断，进而得出，，选出正确答案. 【详解】因为，所以. 由，得， 所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，即 即. 所以. 因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确. 故选：D. 3．(23-24高二下·天津河东区·期中)设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，利用函数的单调性得，整理得，利用指数函数的单调性计算即可. 【详解】由题意可知， 又，所以有恒成立，其中， 易知在上单调递增， 所以，即， 解之得. 故选：D 【点睛】思路点睛：由函数在定区间单调得出导函数的符号，将问题转化为恒成立，利用指数函数的单调性计算即可. 4．(23-24高二下·广东中山中山纪念中学·)若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由导数研究函数的单调性做出函数大致图象，数形结合求解即可． 【详解】设，即有且只有三个整数解， 则，且， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 由于， ， 由于为单调递增函数，， 要使有且只有三个整数解，这三个整数解必然是， 所以，解得. 故选：A. 5．(24-25高二下·河北涉县第一中学·月考)已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导可得在上单调递增.根据是定义域为的奇函数得到为上的偶函数，结合的性质可求的解集． 【详解】根据题意，构造函数，求导得， 当时，，所以在上单调递增， 因为为奇函数，所以是偶函数，故在上单调递减. 因为，所以，故. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递增，所以. 当时，因为在上为奇函数，所以，满足. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递减，所以. 综上，的解集为. 故选：C. 6．(24-25高二下·辽宁沈阳同泽高级中学·调研)（多选）已知的定义域为R，若为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件变形推理可得的周期，结合周期性代入已知函数求值判断AB，利用奇偶函数的定义结合条件判断C，利用导数求得在上单调递减，再根据即可判断D. 【详解】由为奇函数，得， 又为偶函数，得，则， 所以，即，于是， 所以函数是周期函数，一个周期为4，所以，，故A正确；B错误； 的定义域为R，且， 所以为偶函数，故C正确； 因为函数的周期为4，所以， 当时，，则， 所以在上单调递减，所以，所以，D正确. 故选：ACD 7．(24-25高二下·山东聊城·期中) （多选）已知，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得出，由此构造函数，利用导数判断其单调性，即可判断A；再设，求导判断单调性，可判断B；证明不等式，即可判断C；构造函数，利用单调性判断D. 【详解】由题意知，且，，即， 令，则， 当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，， 结合，，即，知，A正确； 令， ， 由于，则，故， 即，故在单调递增，则， 故，结合可得， 由于，故，即，B错误； 先证明不等式， 设，则即， 即证； 设，则， 由于，但等号取不到， 故，则，则在上单调递增， 故，即成立，即成立， 对于两边取自然对数，得， 即，则， 故，则，C正确； 设，则， 当时，，即在上单调递增， 故，则，D正确， 故选：ACD 8．(24-25高二下·云南“美美与共”民族中学联盟·)已知函数，若有6个解．则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用导数研究且的值域，结合二次函数的性质研究且，讨论、，数形结合求参数范围. 【详解】由且，则， 当时，当时， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 对于且，图象恒过， 当时，函数图象大致如下，则不可能有6个解，同理也不符， 所以，此时，即，如下图示， 要使有6个解，则，可得. 故答案为：. 9．(24-25高二下·广东广州执信中学天河校区·月考)已知函数. (1)若函数不单调，求实数的取值范围； (2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数不单调转化为在上存在变号零点，进而转化为在区间上存在变号零点，结合二次函数区间根问题分析可得； （2）利用导数分析函数的单调性，再结合可得. 【详解】（1）由题意，. ， 设，， 当即时，，， 当时，，当时， ， 故函数不单调，满足题意； 当，即时，函数开口向下，因 ， 故，使得当时，，当时，， 故函数不单调，满足题意； 当时，，无解， 此时，，函数单调递增，不满足题意； 当时，的开口向上，对称轴为， ， 故在上有两个不同的零点，， 此时当或时，，当时，， 故函数不单调，满足题意； 综上可知函数不单调时，实数的取值范围为. （2）设，由题意可知有唯一零点， ，， 设， 当，即时，， 单调递增，结合可知满足题意， 当时，，， 单调递增，满足题意； 当时，，， 设此时的两个根分别为， 则在区间上单调递增，在上单调递减， ，故， 又当时，，当时，， 故的零点不唯一， 综上可知实数的取值范围. 10．(24-25高二下·河北邢台质检联盟·月考)已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论在上的零点个数. 【答案】(1) (2)当时， 在 上有 个零点；当 时， 在 上有 个零点 【分析】（1）利用导数求得，又，可求切线方程； （2）求导得，分和讨论的变化情况，确定的单调性，进而确定零点的个数. 【详解】（1）函数 ， 当时，，， 所以切点为， 求导得，， 所以切线的斜率为0，切线方程为：，即； （2）由题，所以是函数的一个零点； 因为，所以， 所以 ，所以是奇函数，所以函数的零点关于原点对称， 所以只需研究的零点个数即可， 当时，，所以，所以当函数在内没有零点， 当时，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，所以， 又，所以， 可得 ，所以在上单调递增， 又，所以在上无零点， 则在上只有1个零点； 当 时，，令， 则， 在上单调递增，所以， 若时，，即， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 故至多有1个根，令，则，则， 令，当时，， 当，，所以在在上无解， 当时，求导可得， 所以在上单调递减，又，， 当时，，所以在时，方程有解， 即存在，使， 即，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，又， 所以在有1个零点，即函数在有1个零点， 所以当时，有三个零点， 综上所述：当时， 在 上有 个零点； 当 时， 在 上有 个零点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $