专题03函数的极值与最值5种重点题型归类（压轴题专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题03 函数的极值与最值 目录 典例详解 类型一、求已知函数的极值 类型二、求含参函数的极值 类型三、已知函数的极值求参数 类型四、函数的极值与图像 类型五、求已知函数的最值 类型六、求含参函数的最值 压轴专练 类型一、求已知函数的极值 用导数研究函数的极值的应对策略 在判断f′（x）的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意" 极值" 和" 极值点" 的区别. 例1．(25-26高二·安徽宣城·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点且与曲线相切的直线恰有两条 【答案】ABD 【分析】对于A，分析函数的单调性即可得出极值点个数；对于B， 利用函数的极值与零点存在定理可得出零点个数；对于C，通过检验是否恒成立即可判断；对于D，利用导数的几何意义写出切线方程，由求出的切点个数即可判断. 【详解】对于A，由求导得． 令，得或，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以和2是函数的两个极值点，故A正确； 对于B，由A项分析，在时取得极大值，在时取得极小值， 且当时，，当时，，故函数在定义域上有三个零点，故B正确； 对于C，由， 因为， 故曲线关于点不成中心对称，故C错误； 对于D，设切点为，则切线的方程为， 代入，可得，化简得，解得或． 故过点且与曲线相切的直线恰有两条，故D正确． 故选：ABD. 变式1-1．(25-26高二上·陕西西安周至县第四中学·期末)已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 【答案】(1)； (2)的递增区间为和，递减区间为； (3)极大值为，极小值为. 【分析】（1）由斜率乘积为，求得参数的取值； （2）求导后根据导函数的正负来确定原函数的增减区间； （3）由第二问的增减性结合极值定义求得极值. 【详解】（1）， 则， 由题意可得，解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为和，的递减区间为. （3）由可知，在处取得极大值； 在处取得极小值. 变式1-2．(25-26高二上·湖南张家界桑植县·期末)已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)当时，讨论方程的实数解的个数. 【答案】(1)的减区间是，的增区间是 (2)极小值为，无极大值 (3)答案见解析 【分析】（1）根据导数的正负与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据极值的定义，结合导数的性质进行求解即可； （3）利用转化法，把方程问题转化为直线与曲线交点个数问题，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）该函数的定义域为，， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的减区间是，的增区间是； （2）由（1）知的减区间是，的增区间是， 所以当时，取得极小值，无极大值； （3）方程的实数解的问题转化为直线和函数的图象交点个数问题， 易知，，， 由（1）作出函数的大致图象，如图所示： 由图象知： 当或时，直线和函数的图象无交点，即方程无实根； 当时，直线和函数的图象有2个交点，即方程有2个实根； 当或时，直线和函数的图象有1个交点，即方程有1个实根； 综上所述： 当或时，方程无实根； 当时， 方程有2个实根； 当或时，方程有1个实根. 变式1-3．(25-26高二上·福建同安第一中学·期末)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 【答案】(1) (2)函数的增区间为，极小值为. 【分析】（1）对函数求导，然后求出切点处的导数和函数值，进而求得切线方程. （2）对函数求导，求出极值点，然后根据函数的单调性确定增区间和极小值. 【详解】（1）对函数求导得. 所以. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令，则，解得或. 当时，因为，所以或， 所以在单调递增； 当时，因为，所以，所以在单调递减； 所以函数的增区间为，极小值为. 类型二、求含参函数的极值 ‌第一步：确定定义域‌。这是最易被忽视的陷阱，特别是对数函数（如 ）或分式函数，定义域直接限制了参数的讨论范围。 ‌第二步：求导并通分‌。对函数  求导得到 ，通常需要将导函数通分或因式分解，整理成  的形式，重点关注分子  的零点。 ‌第三步：解方程找“可疑点”‌。令 ，解出含参数的根。此时需判断根是否在定义域内，若根含参数，则进入下一步讨论。 ‌第四步：列表检验定性‌。以导数为零的点为界，将定义域划分为若干区间，判断各区间内导数的正负（左正右负为极大值，左负右正为极小值） 例2．(25-26高二上·浙江宁波慈溪·期末)已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若时，，求的取值范围； (3)若时，方程的两个不同实数根为，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，分类讨论参数的取值范围，确定导数的正负区间，得到函数在不同情况下的单调区间； （2）先由得到的初步范围，再结合第（1）问的单调性，证明该范围下函数在上恒非负； （3）通过构造辅助函数和，利用函数的单调性和对称性证明方程的两个根满足. 【详解】（1）函数定义域为 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则或，则， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，则或，则， 所以在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，，所以. 下证当时，在上恒成立. 由（1）知，时，在上递增， 所以， 所以当时，在上恒成立. （3）因为， 令，即， 所以， 所以在上单调递增，上单调递减，且，, 当时，， 所以不妨设，且. 令，则， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增. 所以，即，所以， 因为，，在上单调递减， 所以，即. 变式2-1．(25-26高二上·浙江宁波·)已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，分类讨论研究函数的单调性，进而求出极值. 【详解】（1）当时，，因为，所以切点为， 又，所以切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递减，无极值． 当时，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以的极小值为，无极大值． 变式2-2．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)设函数 (1)若，求极小值． (2)若是函数的两个零点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导函数的符号判断原函数的单调性，分析可得函数的极小值； （2）由（1）得，由得到，构造函数，判断的单调性，推理知，且，，取，将整理成，取函数，通过多次求导得到在上单调递增，从而得到，即可求解.. 【详解】（1）由已知， 当时，令，得，函数在单调递减； 令，得，函数在单调递增； 故当时，取极小值，故极小值为 （2）当时，恒成立，函数在上单调递减； 此时至多一个零点，不符合题意， 故由（2）得若是函数的两个零点，则必有， 令，可得， 令，则， 由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 而，且当 故若有且仅有2个解，则， 且两个解中必有一个小于，一个大于，所以， 且，，即，， 两式相减可得，所以， 两式相加可得 设，则， 令，则， 令，则， 令,则，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 即的最小值为. 变式2-3．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. (3)4. 【分析】（1）当时，，求出其导函数，通过判断导函数的正负区间，得到函数的单调性，进而可求得其最小值； （2）将函数代入，得的解析式，求出其导函数，通过讨论得范围，求出函数的单调区间，进而可得其极值； （3）代入得值，将问题转化为对任意恒成立，令，即恒成立，通过求导，判断其单调性，求得得最小值即可. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 则， 令，即，解得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，即， 所以当时，的最小值为，此时. （2）由题意得，，其定义域为， 则， ①当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 所以不存在极值； ②当时，令，解得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，存在极大值，无极小值； 综上所述，当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. （3）由题意知，当时，不等式在上恒成立， 即，等价于在上恒成立， 设，即 则， 令，则， 当时，恒成立，则在上单调递增， 又，， 所以，使，即， 当，，即， 当，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 当，存在最小值，即， 由，得， ， 所以， 又，所以的最大值为4. 类型三、已知函数的极值求参数 求导：计算 。 代入：利用必要条件 ，建立关于参数的方程。 求解：解方程得到参数值。 ‌检验（关键）‌：将求得的参数代回原导数，检查  左右两侧导数符号是否相反。若符号相同（如都是正或都是负），则该点不是极值点，需舍去该参数。 例3．(22-23高二下·四川广安友实学校·期中)已知函数有两个极值点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为有两个实数根，即和在上有两个交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【详解】，， 依题意得有两个左右异号的实根， 即有两个左右异号的实根， 所以和在上有两个交点， ，， 记，， 显然在上恒成立，即在上单调递减，且， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以，当趋向0时，趋向，当趋向时，趋向0， 综上，当，即时，和在上有两个交点. 故选：A. 变式3-1．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若函数在处取得极小值，则实数a的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．3或9 【答案】A 【分析】先求，由题意得解得，根据的值检验在处取得极小值即可. 【详解】由得 函数在处取得极小值， 解得或 ①当时， 则当或时，，当时，， 所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为， 所以当时，函数取得极小值，所以符合题意. ②当时， 则当或时，，当时，， 所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为， 所以当时，函数取得极大值，不合题意. 故选：A. 变式3-2．(24-25高二下·黑龙江实验中学·期中)已知函数在处取得极大值，则实数的取值为_________． 【答案】 【分析】根据题意，求得，由是函数上的极值，得到，求得或，分类讨论，结合函数的单调性和极值点的概念，进行判断，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点，可得， 即，解得或， 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在区间上单调递增，在区间单调递减， 此时，在处函数取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，， 令，解得；令，解得或， 所以在区间上单调递减，在区间单调递增， 此时，在处函数取得极大值，符合题意， 综上可得，实数的值为. 故答案为： 变式3-3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； (2) 【分析】(1)利用导数，再构造函数二次求导，即可判断一次导数的正负，确定原函数的单调性； (2)求导数，再分四类进行讨论，即可判断处是否取到极小值点，最终可得参数取值范围. 【详解】（1）当时，函数， 则， 令，易知函数在上是减函数，且， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减； （2）由已知得：，且， 令，则， 当时，，则在上是减函数，又， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即在时取到极大值，不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递减， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极大值，仍不符合题意，故舍去； 当时，则，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在时取到极小值，也是最小值，所以， 从而有，所以在上单调递增， 又不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递增， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极小值，符合题意，故； 综上所述可得实数m的取值范围是 类型四、函数的极值与图像 由函数图象研究极值的方法 （1）对于导函数的图象，重点关注导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的. （2）对于函数的图象，重点关注函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点. 例4．(25-26高二上·福建厦门六中·期末)已知函数的图象如图所示，则（    ）   A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定函数及图象，求出解析式，利用导数求出其极值点即可. 【详解】由图象知，是函数的3个零点， 则， 求导得，是函数的两个极值点， 即为函数的两个变号零点， 而， 所以. 故选：B 变式4-1．(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中) （多选）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．的极小值点为，； B．的极大值点为； C．在区间上单调递增； D．函数在上的极值点的个数为 【答案】BD 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，结合图形，直接求出单调区间，进而得到极值点，即可求解. 【详解】由图可知，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以函数在上的极值点的个数为，极小值点为，极大值点为， 所以选项A和C错误，选项B和D正确. 故选：BD. 变式4-2．(24-25高二下·福建部分名校·期中) （多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数恰有3个极值点 B．函数的单调递增区间为 C．函数的单调递减区间为 D．是函数的极小值点 【答案】CD 【分析】根据导函数的图象可得导函数的符号，从而可判断原函数的单调区间和极值点. 【详解】根据导数正负得到，上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，故A，B错误，C，D正确. 故选：CD. 变式4-3．(25-26高二·陕西神木中学·期末)（多选）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 【答案】ACD 【分析】根据的图象，分析的单调性、极值、最值、零点即可. 【详解】根据的图象，可得： 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不是函数的最小值，所以B不正确； 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增. 所以函数仅在处有极大值，所以C正确. 由函数的单调性，知函数图象与直线最多有三个交点，所以至多有3个零点，所以D正确. 故选：ACD. 类型五、求已知函数的最值 求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值的方法 （1）求函数f（x）的导函数f′（x）. （2）解方程f′（x）=0，求出使得f′（x）=0的所有解. （3）计算函数f(x)在区间[a，b]内的各极值以及端点处的函数值. （4）比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值. 例5．(25-26高二上·山西长治第十五中学校·期末)给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，求出区间端点的函数值，即可求出函数的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 由，解得或，由，解得， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为． 则在处取得极大值，且， 在处取得极小值，且， 综上可得的单调递增区间为，；单调递减区间为； ，. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在上的最小值为， 又，函数在上的最大值为． ∴函数在上的最小值为，最大值为． 变式5-1．(25-26高二上·重庆求精中学校等校·期末)已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线． (1)求的值； (2)求函数在区间的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义可得，即可解得实数的值； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求出该函数在上的最小值. 【详解】（1）由，故，故. （2）由（1）知，所以， 令，则或， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 因为，函数的极小值为， ， 故． 变式5-2．(25-26高二上·山东临沂·)已知函数的图像经过点. (1)求； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)2 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）把点代入解析式可求； （2）求导，利用导数分析函数的单调性，进而可求函数的最大值与最小值. 【详解】（1）函数的图像过点， ，即， ，. （2）由（1）得，， ， 由，得或， 当时，，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， ，，，， 且， 在上的最大值为，最小值为. 变式5-3．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)已知函数． (1)若，求在的值域； (2)证明：存在唯一的极值点，且； (3)若恒成立，证明：，其中为的极值点． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）由（1）可知为函数的唯一极值点且为极小值点，求导后分当时和讨论，当时，分别构造，求导分析单调性和极值，利用零点存在定理分析可得答案； （3）由（2）可知恒成立，则，采用分析法证明令，构造函数，求导分析单调性和最值可证明. 【详解】（1）当时，， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 又，所以在的值域为； （2）当时，由（1）可知为函数的唯一极值点且为极小值点， 满足；    下面讨论的情形： 当时，，所以， 所以在单调递增，无极值点． 当时，， 设恒成立，所以在单调递增， 令得即， 则有，即． 又设，易知在单调递增， ， 令，设，， 当时，单调递减，所以，即， 而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的， 使得即， 当时，即，当时，即， 故是函数唯一的极值点且为极小值点． 综上所述，存在唯一的极小值点，且； （3）由（2）可知在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为， 又因为即，所以， 从而有，若恒成立，则， 令，则，要证，由（2）知，， 所以只需证，即证即． 设在单调递减， 所以， 令，则，令， 因为，仅当时，“=”成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，递增，，即， 所以， 所以，所以在单调递增，所以， 即， 所以成立． 类型六、求含参函数的最值 含参函数最值的求解策略 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值变化.因此需要对参数进行分类讨论，分类时常见的讨论∶①f′（x）的类型，如f′（x）=ax2＋2x-1时，可以分a>0，a=0，a<0三种情况讨论；②当f '（x）=0时注意是否有解，若有解，则讨论根是否在定义域内，根的大小是否确定；③有时可以用可能的极值或最值的大小关系分类讨论. 例6．(24-25高二下·河南洛阳·期中)已知函数，． (1)当时，函数的最小值为，求实数a的值； (2)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)1个零点，理由见解析 【分析】（1）对函数求导，由，按照的取值分类讨论函数在该区间上的单调性，从而得到最值，计算验证即得的值； （2）由，得方程，显然为此方程的一个实数解．当时，方程可化简为．构造函数，利用导数得到的最小值即可求解. 【详解】（1）由求导得：，因， 当，即时，，则函数在上单调递减， 故，显然不符合题意； 当，即时，，则函数在上单调递增， 故，显然不符合题意； 当，即时，由可得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 故，由，可得，符合题意. 故实数a的值为. （2）由，可得， 显然是该方程的一个实数解，故是函数的一个零点； 当时，方程可化简为，设函数，则， 由可得，当时，，则函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故函数的最小值为， 即对任意的，恒成立，故方程无实数解，即时，函数不存在零点. 综上，函数有且只有1个零点. 变式6-1．(24-25高二下·山东临沂莒南县·期中)已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)若无零点，求a的取值范围． (3)若，有两个实数根，，证明： 【答案】(1)最大值为，最小值为0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，利用导数可求得的单调区间和极值，进而可求得函数在上的最值； （2）对a进行分类讨论，发现当时，在上无零点，符合题意； 在时由零点存在定理知其存在零点，不合题意，舍去，当时，需满足极小值大于0，由此构造函数可求得a的取值范围； （3）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个实根，所以不妨令， 要证，即证，也即证，故构造函数，利用单调性即可证明结论. 【详解】（1）当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，∵，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为； （2）∵，， 当时，在上无零点，符合题意； 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 因为当时，，，所以， 当时，，又在上单调递增， 所以当时，函数在上必有零点，不合题意，舍去； 当时，由，得， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以当时，有极小值，同时极小值也为最小值， 因为当时，，，所以， 当时，， 若函数无零点，则，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则． 综上，a的取值范围为； （3）由（1）得，当时，当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 因为有两个实根，所以不妨令， 则，要证，即证，又因为当时，单调递增，所以 即证，因为，即证， 令， 所以， 所以在上单调递减，故，即， 所以成立，即成立. 变式6-2．(23-24高二下·浙江金华十校·期末)已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值的表达式； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分及讨论函数的单调性，结合函数的单调性即可得函数的最大值，即可得解； （3）由函数的单调性，可设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围. 【详解】（1）易知函数的定义域为. 当时，. ， 所以在点处的切线斜率， 又，即点坐标为， 所以点处的切线方程为； （2）因为. 所以， 当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减， 故函数在区间上的最大值为. 当时，令， 则在上单调递增， 且当时，，当时，， 所以在上有唯一的一个零点. 令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得： 单调递减 单调递增 所以函数在区间上的最大值为， 由，有： 当时，； 当时，， 故； （3）由（2）可知，当时，在上单调递减， 故此时函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，在时，单调递减，在时，单调递增； 且，所以，① 又时，，当时，， 为了满足有两个零点，则有.② 对①两边取对数可得，③ 将①③代入②可得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围. 变式6-3．(23-24高二下·黑龙江两校（哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学）·期中)已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分类讨论求最值； （2）根据题意，分离参数得恒成立，借助不等式，可求的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为. 由已知可得． 当时，，故在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，由，解得；由，解得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减.， 则当时，，则函数在区间上单调递增， 所以最大值为； 当时，，则函数在区间上先增后减， 所以最大值为； 当时，，则函数在区间上单调递减， 所以最大值为； 综上所述，当时， 函数在区间上的最大值为， 当时，函数在区间上的最大值为， 当时，函数在区间上的最大值为； （2）设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，则， 依题意，，恒成立，即恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 因为函数在上单调递增，， 所以存在，使得成立， 所以，即实数a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中借助不等式,求最值. 1．(24-25高二下·四川成都树德中学·)已知定义在的函数，其导函数为，若，且，则（    ） A．仅存在最小值 B．仅存在最大值 C．既存在最小值，又存在最大值 D．既无最小值又无最大值 【答案】D 【分析】将题中等式变形为，可得出，设，为常数，结合可得出，然后利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【详解】因为函数的定义域为，在等式两边同除可得， 即，设，为常数， 因为，即，故， 所以，故， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，故函数既无最大值，也无最小值， 故选：D. 2．(24-25高二下·广东佛山南海区·)（多选）已知函数，则（   ） A．曲线的图象与轴有交点 B．当时，在处有极大值 C．存在，使得是曲线的对称中心 D．当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则 【答案】ABD 【分析】利用函数零点的定义可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；由，得，设，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可判断D选项. 【详解】对于选项A，因为，所以曲线的图象与轴有交点，A正确； 对于选项B，当时，，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以在处有极大值，B正确； 对于选项C，若是曲线的对称中心，则， 等式两边求导得，即， 所以函数的图象关于直线对称，即，可得， 此时， 因为 ， 所以，此时函数的图象关于点对称，不合乎题意，所以C错误； 对于选项D，当时，， 由，得， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 所以当时，取得最小值，即，且， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图像有两个不同的交点， 此时曲线与曲线在上有两个交点，D正确． 故选：ABD. 3．(24-25高二下·河北部分示范高中·期中) （多选）已知函数．若不等式的解集为且，则（   ） A． B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．过原点且与曲线相切的直线有2条 【答案】ABD 【分析】利用三次函数图象的特征，结合不等式的解集可判断三次方程的根的分布，从而确定参数，再结合导数来研究三次函数的极值，来判断ABC选项，最后利用导数思想来求过点的切线，通过方程解的个数来判断满足条件的切线条数，从而可判断D选项. 【详解】由的解集为且，得方程的根为和（二重根）， 得，即，得则，A正确． 由，得 ． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以是的极大值点，是的极小值点，B正确，C错误． 设在点的切线方程为， 由切线经过原点，得，即，解得或0，D正确． 故选：ABD. 4．(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中) （多选）设函数，则（    ） A．是的极大值点 B．直线是曲线的切线 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】分段利用导数说明函数的单调性，即可判断A，令，求出的值，即可判断B，结合A判断C，令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】因为， 对于A：当时，所以在上单调递增， 当时，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则是的极大值点，故A正确； 对于B：令，解得，又， 点在直线上，所以是函数在点处的切线，故B正确； 对于C：由A可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又，，所以，则， 所以，即， 即，故C错误； 对于D：因为，所以， 令，， 则， 所以在上单调递增，又，所以恒成立， 所以当时，，故D正确. 故选：ABD 5．(24-25高二下·四川成都石室中学北湖校区·期中)函数的两个极值点、满足，则的最大值为________. 【答案】 【分析】根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】由得， 由得， 因为函数两个极值点、， 则，可得①， 设，则且，代入①得，， 所以， 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 从而，所以在单调递增， 所以，所以，故的最大值为. 故答案为：. 6．(24-25高二下·河北·期中)已知函数，若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】依题意可得，从而得到，令，令，利用导数求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 所以， 由， 令，则， 令，， 则，令， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以的最小值为， 又，故最小值为. 故答案为：. 7．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·)已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)已知函数有且仅有一个极值点， （ⅰ）求的取值范围． （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，设的极值点为，若的值不小于－1，求的取值范围 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方差可得答案； （2）（ⅰ）求出，分、、讨论，可得答案；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，，且，则求的取值范围转化为解不等式可得答案. 【详解】（1）若，，， 所以，， 所以函数在处的切线方程为， 即； （2）（ⅰ），， 当即时， 单调递增，此时无极值点； 当即时，令得， 若， 则由得，单调递增， 得，单调递增， 得，单调递减， 所以有两个极值点，不符合题意； 若，， 则由得，单调递增， 得，单调递减， 所以有一个极值点，符合题意； 综上所述，； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，即的情况下. 是的零点，所以，且， 则 求的取值范围， 即， 当，只须， 可得，，解得，又,矛盾，无解； 当时，成立. 综上所述，的取值范围是. 8．(24-25高二下·福建厦门杏南中学·期中)已知函数在处取到极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最值； (3)若恒成立 ，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）求，再根据求出值，再检验即可； （2）结合（1）可得在上的单调性，即可求最值； （3）参变分离得出恒成立，通过构造函数研究其最小值即可. 【详解】（1）由题意知，， 因函数在处取到极值，则，解得， 此时， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极值点，故符合题意. （2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又， 则的最小值为，最大值为. （3）由恒成立可得恒成立， 令，则， 令，则， 故当时 ，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，，且时 ，， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，因此， 即实数的取值范围是. 9．(24-25高二下·海南海南华侨中学·)已知函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，求得其最大值，即可得证； （2）求得，令，分和，结合导数的符号和二次函数的性质，即可求解； （3）由（2）知，且在上有两个解，得到，化简，转化证明，不妨设，即证，令，得到，设，，求得，结合函数的单调性和，即可得证. 【详解】（1）证明：当时，，其定义域为，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，则， 所以当时，； （2）解：函数的定义域为， 且， 令，， （ⅰ）当时，由（1）得在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，为开口向上的二次函数，对称轴为， 由，且， ①当时，，可得在上恒成立， 所以在上单调递增； ②当时，，令，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 在上单调递减；当时，在上单调递增. （3）证明：因为存在两个极值点， 由（2）知，且方程在上有两个解， 由韦达定理得， 则 ， 要证成立，只需证， 即证，由得， 不妨设，即证，即证， 令，即证， 设，，则， 函数在上递增，，所以成立， 所以. 10．(24-25高二下·河南郑州外国语学校·期中)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求函数在区间上的最小值； (3)当时，判断函数的零点个数． 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）利用上问结论分类讨论求出单调性，再求出不同情况下的最值即可. （3）对参数范围分类讨论并结合之前的结论得到单调性，再利用零点存在性定理或直接求解零点判断零点个数即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 则 当时，时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令可得或，令可得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，令可得或，令可得， 故在和上单调递增，在上单调递减． （2）由已知得， 当时，在区间上恒成立，函数单调递增， 函数的最小值为， 当时，在区间上恒成立，函数单调递减， 函数的最小值为， 当时，列表如下： x - + 单调递减 单调递增 函数的最小值为． 综上可得：当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为． （3）当时，， ①当时，由（1）知函数在上单调递减， 在上单调递增， 又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，，在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点． ③当时，令，解得，即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点． 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上：当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03函数的极值与最值 目录 典例详解 类型一、求已知函数的极值 类型二、求含参函数的极值 类型三、已知函数的极值求参数 类型四、函数的极值与图像 类型五、求已知函数的最值 类型六、求含参函数的最值 压轴专练 典例详解 类型一、求已知函数的极值 用导数研究函数的极值的应对策略 在判断f'(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各 因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；实质上表格反映的就是函数的草图 下结论时应注意”极值”和”极值点”的区别 例1.(25-26高二·安徽宣城·期末)（多选）已知函数fx=x3-3x2+1,则() A.fx)有两个极值点 B.fx)有三个零点 C.点(1,0)是曲线y=f(x)的对称中心 D.过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有两条 变式1-1.(25-26高二上·陕西西安周至县第四中学·期末)已知函数f(x)=1nx+x2+ax+2 在点(2，f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直. (1)求实数a的值； (2)求f(x)的单调区间； (3)求f(x)的极值， 变式1-2.(25-26高二上·湖南张家界桑植县·期末)已知函数fx=x2-x-6lx. 1/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求函数fx)的单调区间： (2)求函数fx)的极值： (3)当x∈[1,4]时，讨论方程fx)-m=0的实数解的个数. 变式1-3.(25-26高二上·福建同安第一中学·期末)已知函数f(x)=1nx+x(x-3) (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程： (2)求函数f(x)的增区间和极小值. 类型二、求含参函数的极值 第一步：确定定义域。这是最易被忽视的陷阱，特别是对数函数（如lx)或分式函数，定义域直接限 制了参数的讨论范围。 第二步：求导并通分。对函数fx)求导得到f(x),通常需要将导函数通分或因式分解，整理成 国-=器的形式，重点关注分于g冈的零点。 第三步：解方程找“可疑点”。令f(x)=0,解出含参数的根。此时需判断根是否在定义域内，若根含 参数，则进入下一步讨论。 第四步：列表检验定性。以导数为零的点为界，将定义域划分为若干区间，判断各区间内导数的正负（左 正右负为极大值，左负右正为极小值) 例2.(25-26高二上·浙江宁波慈溪·期末)已知函数f(x)=lnx+ax2-(a+2)x+2a, (1)若a>0,讨论f(x)的单调性； (2)若x≥1时，f(x)≥0，求a的取值范围； (3)若a=-1时，方程f(x)=-的两个不同实数根为x1,x2,证明：x1十x2>1. 变式2-1.(25-26高二上·浙江宁波·)已知函数f(x)=+ax(a∈R). (1)若a=3,求函数f(x)在点(0,2)处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的极值. 变式2-2.(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)设函数fx)=aex-2x-1,a∈R (1)若a>0,求f(x)极小值 (2)若x1x2是函数fx)的两个零点，且x21≥1，求x1十x2的最小值. 变式2-3.(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R). 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)当a=1时，求f(x)的最小值： (2)求函数g(x)=f(x)-(x-1)lx的极值； (3)当a=2时，不等式k(x-1)<f(x)在xE(1,+∞)上恒成立，求整数k的最大值. 类型三、己知函数的极值求参数 求导：计算f(x)。 代入：利用必要条件f(x=0,建立关于参数的方程。 求解：解方程得到参数值。 检验（关键）：将求得的参数代回原导数，检查x0左右两侧导数符号是否相反。若符号相同（如都是正 或都是负)，则该点不是极值点，需舍去该参数。 例3.(22-23高二下·四川广安友实学校·期中)已知函数f(x)=xnx+mex有两个极值点，求 m的取值范围() A.（-,0) B.[-t,o) C.(0,) D.(0,] 变式3-1.(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若函数f(x)=x(x-a)2在x=3处取 得极小值，则实数a的值为() A.3 B.6 C.9 D.3或9 变式3-2.(24-25高二下·黑龙江实验中学·期中)已知函数f(x)=ax3+3(a2-2)x+3在 x=1处取得极大值，则实数：的取值为 变式3-3.(24-25高二下·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)己知函数 f(x)=(m+1-x)ex-me2x-2. (1)当m=2时，求fx)的单调区间： (2)若x=0是fx)的极小值点，求实数m的取值范围. 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、函数的极值与图像 由函数图象研究极值的方法 (1)对于导函数的图象，重点关注导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在 哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的. (2)对于函数的图象，重点关注函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪 个点是极大值点，哪个点是极小值点 例4.(25-26高二上·福建厦门六中·期末)已知函数f(x)=x(x2+bx+c)的图象如图所示， 则x1:2=（) A.方 B.号 C. D.1 X2 变式4-1.(24-25高二下·广东江门新会第二中学·期中)（多选）函数f(x)的导函数 f(x)的图像如图所示，则下列说法正确的是() A.f(x)的极小值点为x1,x4; B.f(x)的极大值点为x3: C.f(x)在区间(x4b)上单调递增： D.函数f(x)在(a,b)上的极值点的个数为2 y=f"(x) X4 变式4-2.(24-25高二下·福建部分名校·期中)（多选）己知函数f(x)的导函数f(x)的 图象如图所示，则下列说法正确的是() A.函数f(x)恰有3个极值点 B.函数f(x)的单调递增区间为(-∞，2)U(3,+∞) 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.函数f(x)的单调递减区间为(2,3) D.x=3是函数f(x)的极小值点 2八 3 变式4-3.(25-26高二·陕西神木中学·期末)（多选）已知定义在区间(a,b)上的函数f(x) 的导函数为f(x),f(x)的图象如图所示，则下列结论一定正确的是() A.f(x)在(x4b)上单调递增 B.f(x)≥f(x3】 C.f(x)有且仅有一个极大值 D.f(x)至多有3个零点 X3 类型五、求已知函数的最值 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法 (1)求函数f(x)的导函数f'(x). (2)解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有解， (3)计算函数f(x)在区间[a,b]内的各极值以及端点处的函数值 (4)比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值. 例5.(25-26高二上·山西长治第十五中学校·期末)给定函数f(x)=x3-4x+4. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值. (2)求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值与最小值. 5/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式5-1.(25-26高二上·重庆求精中学校等校·期末)已知函数f(x)=专x3-mx2-3x(m为 常数)，曲线y=f(x)在点x=1处的切线平行于直线4x+y+2=0. (1)求m的值： (2)求函数f(x)在区间[-2,4]的最小值. 变式5-2.(25-26高二上·山东临沂·)已知函数f(x)=e2x(x2-m)的图像经过点(1，-e2). (1)求m; (2)求f(x)在区间[-3,2]上的最大值与最小值 变式5-3.(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)已知函数f(x)=ex.竖-(a≥0)· (1)若a=0,求f(x)在[，e2]的值域； (2)证明：f(x)存在唯一的极值点xo,且杂≤xo≤1； (3)若f(x)≥1恒成立，证明：2asin后>xo,其中xo为f(x)的极值点. 类型六、求含参函数的最值 含参函数最值的求解策略 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值变化.因 此需要对参数进行分类讨论，分类时常见的讨论：①f'(x)的类型，如f'(x)=ax2+ 2x-1时，可以分a>0,a=0,a<0三种情况讨论；②当f’(x)=0时注意是否有解，若有解， 则讨论根是否在定义域内，根的大小是否确定；③有时可以用可能的极值或最值的大小关系 分类讨论 例6.(24-25高二下·河南洛阳·期中)已知函数f(x)=(x+a)ex,a∈R. (1)当x∈[0,4]时，函数f(x)的最小值为-e,求实数a的值： (2)当a<1时，试确定函数g(x)=f(x-a)-x2的零点个数，并说明理由. 变式6-1.(24-25高二下·山东临沂莒南县·期中)已知函数f(x)=专(x2-a2)-alnx. (1)若a=1,求函数f(x)在[，3]上的最值； (2)若f(x)无零点，求a的取值范围 (3)若a=1,f(x)=b有两个实数根x1,X2,证明：x1+x2>2 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式6-2.(23-24高二下·浙江金华十校·期末)己知函数f(x)=axe1-x-lnx. (1)若a=2,求曲线f(x)在点M(1f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间[1,3]上的最大值g(a)的表达式； (3)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围。 x (0,x0) (X0+∞) f (x) 十 单调递 f(x) 单调递增 减 变式6-3.(23-24高二下·黑龙江两校（哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学）·期中) 已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R. (1)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值； (2)若vx>0,f(x)≤xe2s-2ax恒成立，求实数a的取值范围. 压轴专练 1.(24-25高二下·四川成都树德中学·)已知定义在(0，+∞)的函数f(x),其导函数为 f(x),若x3f(x)+2x2f(x)=lnx,且f(Ve)=,则f(x)() A.仅存在最小值 B.仅存在最大值 C.既存在最小值，又存在最大值D.既无最小值又无最大值 2.(24-25高二下·广东佛山南海区·)（多选）已知函数f(x)=x2(x-a),则() A.曲线y=f(x)的图象与x轴有交点 B.当a>0时，f(x)在x=0处有极大值 C.存在a>0,使得(1，-1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.当a=3时，若曲线y=f(x)与曲线y=-x2+4x+m在[0，+∞)上有两个交点，则 me(-8,0] 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25高二下·河北部分示范高中·期中)（多选）已知函数f(x)=x3+ax2+bx.若不 等式f(x)<8的解集为x|x<2且x≠-2}，则() A.ab=-8 B.-2是f(x)的极大值点 C.号是f(x)的极大值点 D.过原点且与曲线y=f(x)相切的直线有2条 4.(24-25高二下·广东深圳红岭中学·期中)（多选）设函数f(x)=|x-2+1nx,则() A.x=1是f(x)的极大值点 B.直线y=x+1-ln2是曲线y=f(x)的切线 C.当x>时，f(x)>号-ln2 D.当0<x<1时，f(x)<f(2-x) 5.(24-25高二下·四川成都石室中学北湖校区·期中)函数f(x)=是+nx+b(a∈Rb∈R) 的两个极值点x1、X2满足X1<x2≤2x1,则x1+2x2的最大值为 6.(24-25高二下·河北·期中)已知函数f(x)=x2+,若f(x1)=f(x2),且x1<0<x2, 则x2x1的最小值为 7.(24-25高二下·重庆南城巴川学校·)已知函数f(x)=x2-2x+anx (1)若a=1,求函数f(x)在x=1处的切线方程； (2)已知函数f(x)有且仅有一个极值点， (i)求a的取值范围. (i)在(i)的条件下，设f(x)的极值点为xo,若密的值不小于-1，求a的取值范围 8.(24-25高二下·福建厦门杏南中学·期中)已知函数f(x)=(x-1)es在x=0处取到极值. (1)求实数m的值； (2)求函数f(x)在[-1,1]上的最值： (3)若f(x)≥ex+a恒成立，求实数a的取值范围， 9.(24-25高二下·海南海南华侨中学·)已知函数f(x)=1nx+ax2-x+a+1(a≥0). (1)当a=0时，证明：f(x)≤0； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)存在两个极值点xx2,证明：型>4a-支· 10.(24-25高二下·河南郑州外国语学校·期中)已知函数fx)=anx+等-(a+1)xaeR. 8/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)讨论fx)的单调性： (2)求函数fx)在区间[2，e]上的最小值； (3)当a≤1时，判断函数fx)的零点个数. x (2,a (a,e) f(w) f(x) 单调递减 单调递增 9/9