6.3.2二项式系数的性质 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2二项式系数的性质 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1．二项式系数的性质 对称性 在的展开式中，与首末两端“___”的两项的二项式系数相等，即＝____ 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数逐渐增大； 当k>时，二项式系数逐渐 ____； 当n为偶数时，中间一项的二项式系数____最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ____，____相等，且同时取得最大值 各二项式系数的和 （1） （2） 【答案】 ①等距离 ② ③减小 ④ ⑤ ⑥ 2．思考问题 二项式系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗？ 【答案】二项式系数取得最大值的项的系数不一定是系数中最大． 【详解】当项的系数中还有其他的常数时， 展开式的通项为，故二项式系数最大的项为； 设展开式中第项的系数最大，则 由① ，可得，即，解得； 由② ，可得，即，解得. 故有，因，则，即系数取得最大值的项为 所以二项式系数取得最大值的项的系数不一定是系数中最大． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的性质确定二项展开式的项数即可求得答案. 【详解】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 2．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ） A．243 B．81 C．64 D．32 【答案】B 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式系数和公式求出，再利用赋值法求各项系数的和. 【详解】因为二项式系数的和是16，所以，解得， 令得展开式中各项系数的和为. 故选：B. 3．已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 【答案】D 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为展开式中二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 又因为的展开式中各项系数之和为243， 令可得，解得，即二项式为， 其展开式的通项公式为，， 令，可得1，所以展开式中的系数是. 4．在的展开式中有理项的个数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【答案】D 【知识点】求有理项或其系数 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，根据指数的特点求解结论． 【详解】展开式的第项为 ， 若第项为有理项，则能被4整除，这样的有13个． 故选：D. 5．在的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】由通项公式，计算常数项,然后取其最小值. 【详解】二项式的通项公式为：， 化简得， 要存在常数项，需满足的指数为0，即， 因为，且，所以必须是的正整数倍. 取时，. 故选：A 6．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】根据二项式定理，分别赋值和即可解得. 【详解】由， 令，得 ①，再令，得 ②. 得，，所以. 故选：D. 7．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值 【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 8．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】通过赋值法，分别令，，，进而可求解. 【详解】对于， 令，可得. 令，可得①， 令，可得②， ①+②得， 即1. 二、多选题 9．关于多项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．常数项为-88 B．项的系数为80 C．展开式的系数和为32 D．展开式含有 【答案】AC 【知识点】三项展开式的系数问题、二项展开式各项的系数和 【分析】根据展开式中每一项的生成规则，即可判断ABD；利用赋值法，判断C. 【详解】中取2个，1个，2个2，乘在一起为常数项，或是5个2相乘也是常数项， 所以展开式中常数项为，A正确； 中取4个，1个，相乘在一起得到项，或是2个，3个2相乘在一起得到项， 所以展开式中项为，B错误； 令，展开式的系数和为，C正确； 展开式中含有，很显然不可能凑成，D错误． 故选：AC． 10．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】导数的乘除法、求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】A：根据展开式最高次项的次数进行求解即可；B：利用二项式的通项公式，结合乘法的运算性质进行求解即可；C：利用赋值法进行求解即可；D：利用导数的运算性质，结合赋值法进行求解即可. 【详解】A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，因此本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：在中， 令，得， 令，得， 所以本选项说法正确； D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，所以本选项说法不正确. 故选：AC 11．若，且，则（   ） A． B．展开式中的系数最大 C． D． 【答案】ACD 【知识点】求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】利用赋值法求解可判断AC，利用二项展开式的通项求解可判断BD. 【详解】令，则，解得，所以A正确； ， 展开式的通项为，， 可知均大于0，均小于0， 的系数是负数，肯定不是最大值，所以B不正确； 在中，令，得，所以C正确； 令，得，所以，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是______________. 【答案】 【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的二项式系数 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【详解】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为： 13．的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【答案】 【知识点】求有理项或其系数 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求. 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 14．的展开式中，的系数为______ 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知的展开式中各项系数的和比各二项式系数的和大992．求展开式中二项式系数最大的项及展开式中系数最大的项． 【答案】，；系数最大的项 【知识点】求系数最大（小）的项、由项的系数确定参数、二项式的系数和、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据已知得，即并写展开式通项，结合二项式系数的性质确定二项式系数最大项，列举所有项系数即可得系数最大项. 【详解】在中，令，得，又二项式系数的和为， 由题意得，，故，展开式通项为，， 故二项式最大项为第3、4项，对应，，即，， 由从小到大对应系数依次为，，，，，， 所以系数最大的项． 16．设，且． (1)求与的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、由项的系数确定参数、组合数的性质及应用 【分析】（1）利用组合数的性质求出，取求出. （2）利用赋值法，结合（1）的结论求出的值. 【详解】（1）由，得， 取，得， 所以. （2）由（1）知，， 当时，， 当时，， 因此， 所以. 17．二项式展开式前三项的二项式系数和为22． (1)求n的值； (2)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (3)求展开式中的所有的有理项． 【答案】(1)6 (2)64 (3)， 【知识点】由项的系数确定参数、二项式的系数和、求二项展开式的第k项 【分析】（1）根据题意可得，即可解出； （2）利用赋值法求展开式各项和，根据二项式系数性质求二项式系数和，即可得解； （3）由二项展开式的通项公式，根据的指数值为整数，即可解出． 【详解】（1）依题意得：， 即，得或． ，． （2）令，则，即展开式中各项系数和为， 而各项的二项式系数和为， 所以展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值 （3）二项展开式的通项公式为：，， 依题意，且，解得或， 展开式中的有理项为和． 18．的展开式中所有项的二项式系数之和为32，前3项的系数之和为31． (1)求实数n和a的值； (2)求的展开式中的系数． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、两个二项式乘积展开式的系数问题、二项式的系数和 【分析】（1）根据二项式系数之和的性质求出n，再由展开式的前3项系数之和求出a； （2）利用的展开式的通项公式可得答案. 【详解】（1）因为的展开式中所有项的二项式系数之和为32， 所以，， 又因为的展开式中前3项的系数之和为31， 所以，整理得， 解得或，又，所以. （2）的展开式中第项为， 令，可得，不合题意，所以中不含的项， 令，可得，所以， 令，可得，所以， 的展开式中的项为， 所以的展开式中项的系数为. 19．已知在的展开式中，各二项式系数和为． (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项． （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出的值，再利用通项求出含的项； （2）利用二项式展开式的通项，设第项的系数绝对值最大，列出不等式组，求出的范围，由，得到的值，即可求得展开式中系数绝对值最大的项． 【详解】（1）由已知，，所以, ， 由，解得： 所以，含的项为. （2）由（1）知，的展开式的通项为， 设第项的系数绝对值最大， 则， 即 ，解得： ， 又因为，所以 所以，系数绝对值最大的项为· 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2二项式系数的性质 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1．二项式系数的性质 对称性 在的展开式中，与首末两端“___”的两项的二项式系数相等，即＝____ 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数逐渐增大； 当k>时，二项式系数逐渐 ____； 当n为偶数时，中间一项的二项式系数____最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ____，____相等，且同时取得最大值 各二项式系数的和 （1） （2） 2．思考问题 二项式系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗？ 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ） A．243 B．81 C．64 D．32 3．已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 4．在的展开式中有理项的个数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 5．在的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 8．记，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于多项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．常数项为-88 B．项的系数为80 C．展开式的系数和为32 D．展开式含有 10．若，则（   ） A． B． C． D． 11．若，且，则（   ） A． B．展开式中的系数最大 C． D． 三、填空题 12．已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是______________. 13．的展开式中所有有理项的系数之和为________． 14．的展开式中，的系数为______ 四、解答题 15．已知的展开式中各项系数的和比各二项式系数的和大992．求展开式中二项式系数最大的项及展开式中系数最大的项． 16．设，且． (1)求与的值； (2)求的值． 17．二项式展开式前三项的二项式系数和为22． (1)求n的值； (2)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (3)求展开式中的所有的有理项． 18．的展开式中所有项的二项式系数之和为32，前3项的系数之和为31． (1)求实数n和a的值； (2)求的展开式中的系数． 19．已知在的展开式中，各二项式系数和为． (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项． （参考数据：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $