专题06 实数章末56道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题06 实数章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 实数相关的规律题 题型二 实数的新定义运算 题型三 实数的取值范围问题 题型四 无理数的估算问题 题型五 平方根、立方根的规律探究 题型六 平方根实际综合应用 题型七 立方根实际综合应用 【经典例题一 实数相关的规律题】 1．（24-25八年级上·山西临汾·月考）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）根据下表回答下列问题： a … 1 1000 1000000 ··· … 1 10 100 … (1)填表，利用表中的规律，解决问题：已知则a的值为_____． (2)若a为实数，比较与a的大小． 【答案】(1)，0.1，729000000 (2)或时，；或时，；当或0时， 【分析】（1）由表格得出规律，进行填表以及结合求出a的值即可； （2）分类讨论的范围，比较大小即可． 此题考查了立方根，实数的大小比较，弄清题中的规律是解本题的关键． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵ 则a的值为； 故答案为：，0.1，729000000； （2）解：依题意，或时，； 或时，； 当或0时，． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根的含义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． （4）根据相反数的定义可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数， 则， 解得． （4）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)当或1时，；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当或1时，；当时，；当时，． 6．（24-25七年级上·上海浦东新·期末）阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：① ，②，③，…发现规律，第⑩个等式是________； (2)利用第一小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数： …，它们的和为 ，试探究这组数共有几个？ 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）根据规律即可求解； （2）利用第（1）小题发现的规律进行计算； （3）先找到这组数的规律，然后利用规律进行加法计算． 【详解】（1） （2） （3） ∵ …，它们的和为， ∴， ∴， ∴ ∴这组数共有9个 【点睛】本题考查规律题目，解题的关键是明确规律的意思，根据规律进行运算． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 【答案】(1)；； (2)见详解 【分析】本题属于探究规律的题目，理解材料中的定义是解题的关键； （1）根据定义可得，，，据此不难求出、、的平方根； （2）根据定义分别求出，，，，，的值，从中寻找出规律即可使问题得解． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． （2）解：∵， ， ， ， ， ， 规律：i每四个相邻次方为一个循环，若指数是4的整数倍，值为1； 若指数除以4余1，值为； 若指数除以4余2，值为； 若指数除以4余3，值为． 8．（24-25七年级下·浙江金华·期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________． (2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________． (3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值． 【答案】(1)a2013－1 (2)22014－1 (3) 【分析】（1）根据题意，由已知算式发现其规律：（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1即可得出答案； （2）由发现的规律，将a换为2，计算即可得到答案； （3）将a换为5，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1， 故答案为：a2013－1； （2）解：∵（2－1）（22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1）＝22014－1 ∴22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是22014－1； 故答案为：22014－1； （3）解：∵（5－1）（52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1） ＝， ∴52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值为 【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题关键是根据题中给出的算式发现其中的规律． 【经典例题二 实数的新定义运算】 9．（24-25七年级上·山东德州·月考）定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新运算代入求解即可得到答案； （2）根据新运算代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由题意可得， ； 【点睛】本题考查新运算，解题的关键是读懂新运算代入求解． 10．（24-25七年级下·福建福州·期中）（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1，比如，数字2和5在该新运算下结果为4．计算如下：2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，求⊕2的值； （2）请你定义一种新运算，使得实数和1在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】（1）3；（2）见解析 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）根据题意确定出所求新运算即可 【详解】解：（1）⊕2＝|2|+1 ＝21 ＝3； （2）定义：a*b＝﹣20（a﹣b），（答案不唯一）， *（1）＝﹣20×（1） ＝﹣20×（﹣1） ＝20． 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（25-26七年级上·河北保定·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)试说明无论x取何值时，都为定值． 【答案】(1)11 (2)7 (3)见解析 【分析】此题主要考查了定义新运算． （1）根据的定义计算即可； （2）根据的定义计算即可； （3）根据的定义分别计算和，相减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）解：， ， ， 因此，无论x取何值，结果均为0，是定值。 12．（24-25七年级下·安徽六安·月考）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题 (1)填空：①下列两位数：40，53，66中，“互异数”为________；②计算：________； (2)如果一个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，求“互异数”b的值 (3)如果m，n都是“互异数”，且，则________． 【答案】(1)①53；②6 (2) (3)17 【分析】（1）根据“互异数”的定义和的定义进行求解即可； （2）根据“互异数”的定义可得方程，解方程求出k的值即可得到答案； （3）设，则，再根据“互异数”的定义表示出，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据“互异数”的定义可知53是“互异数”，40和66不是“互异数”， 故答案为：53； ②由题意得， 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数的运算，正确理解题意是解题的关键． 13．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如果一个两位数的个位数字和十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位是为“跟斗数”．定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为，例如，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和，和与的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)_________． (2)若一个“跟斗数”“”的十位数字为，个位数字为，且．求“跟斗数”的值． (3)若，都是“跟斗数”，且，则是否为定值？若是，写出该值并用所学代数式知识说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，定值为；理由见解析． 【分析】（）根据题目中“跟斗数”的定义，可以计算出的值； （）根据题意，可以得到关于的方程，从而可以求得的值，然后即可得到的值； （）根据题意，可以表示出，然后即可计算出的值； 本题考查了整式的混合运算，新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得， ∴， ∴； （3）解：是定值，定值为． 理由：∵，都是“跟斗数”，且， 设，则， ∴ ， ， ， ． 14．（25-26七年级上·浙江台州·期末）数学课上，围绕新定义的运算，林老师和小明进行了一段对话． 林老师：我定义了一种新的运算，叫加乘运算．运算符号记作“”，其运算法则是……． 小明：我根据加乘运算的法则得到，． 请根据加乘运算的法则解决下列问题． (1)填空：____________，____________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解新运算的法则是解题的关键． ()根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加； ()先计算括号里，再计算括号外面的解答即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：； （2）解： ． 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，，，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 16．（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1) (2)②，③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 【经典例题三 实数的取值范围问题】 17．（24-25八年级上·全国·课后作业）在数轴上表示不等式和x的下列取值：，并利用数轴说明，x的这些取值中，哪些满足不等式，哪些不满足． 【答案】，0，4满足不等式，，不满足满足不等式．数轴见详解 【分析】根据把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴，，0，4满足不等式， ，不满足满足不等式． 在数轴上表示各数以及表示不等式的解集如下， 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线． 18．（24-25七年级上·浙江·期中）现定义新运算“”，对于任意两个实数，，规定． (1)计算：； (2)若的取值与无关，求实数． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据新定义的运算求解即可； （2）根据新定义的运算可得，结合的取值与无关，易知，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据定义的新运算， 可得； （2）∵， ∴， ∵的取值与无关， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了新定义的运算、有理数混合运算、整式运算等知识，理解新定义的运算规则是解题关键． 19．（24-25七年级下·河北保定·月考）定义新运算：对于任意实数，其中，都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：．    (1)求的值； (2)若的值为，的取值如图，求的非负整数解． 【答案】(1)； (2)的非负整数解为0、1、2． 【分析】（1）根据题干中的运算法则进行计算，即可得到答案； （2）利用数轴得到，从而求得，即可得到的非负整数解． 【详解】（1）解：根据题意知，； （2）解：由数轴可知，， 的值为， ， ， ， ， 的非负整数解为、、． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，正确理解题干中的运算法则是解题关键． 20．（24-25七年级下·河北保定·期末）[阅读理解]对于任意正实数、， ∵，∴， ∴（只有当时，）． 即当时，取值最小值，且最小值为． 根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若，当______时，有最小值为______； 问题2：若函数，则当______时，函数有最小值为______． 【答案】（1）2，4；（2）4，7 【分析】（1）根据题目给的公式去计算最小值和m的取值； （2）先将函数写成，对用上面的公式算出最小值，和取最小值时a的值，从而得到函数的最小值． 【详解】解：（1）， 当，即（舍负）时，取最小值4， 故答案是：2，4； （2）， ， 当，，，（舍去）时，取最小值6， 则函数的最小值是7， 故答案是：4，7． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是根据题目给的公式进行最值的计算． 21．（24-25七年级上·四川泸州·期末）规定一种新运算：．如． (1)求的值； (2)化简； (3)若的值与x的取值无关，求k的值． 【答案】(1)7 (2) (3)1 【分析】本题考查定义新运算，整式的化简． （1）根据新定义的运算即可解答； （2）根据新定义的运算，再结合整式的加减运算即可解答； （3）根据新定义的运算，结合整式的加减运算化简后，由于式子的值与x的取值无关，则x的系数为0，据此即可解答． 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）小明在研究整数时发现如：，像这些正整数都能表示成两个连续的奇数的平方差的形式，他称这些正整数为“阳光数”． ⑴请写出最大的两位“阳光数”； ⑵求证：任意一个“阳光数”能被8整除； ⑶一个小于500的三位“阳光数”，其百位数和个位上的数字相同，十位数字比个位数字大，求出正整数的所有可能的取值． 【答案】（1）96；（2）见解析；（3）正整数或2或5 【分析】（1）96=252-232，所以最大的两位“阳光数”是96； ⑵设一个“阳光数”能表示成：（为正整数），再化简即可； ⑶设该“阳光数”百位和个位上的数字为，则这个“阳光数”表示为：，再根据⑵中条件求解. 【详解】⑴96 ⑵设一个“阳光数”能表示成：（为正整数） ∴ ∴任意一个“阳光数”能被8整除； ⑶设该“阳光数”百位和个位上的数字为，则这个“阳光数”表示为： ∴ 由⑵可知，能被8整除，故必为偶数， 当时，能被8整除，故或5； 当时，能被8整除，故； ∴正整数或2或5； 【点睛】本题考查的是代数式的综合应用，熟练掌握因式分解是解题的关键. 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）请你解决以下与数的表示和运算相关的问题： (1)写出奇数a用整数n表示的式子． (2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子． (3)以后我们学习函数时，应关注y随x的变化而变化的数值规律，下面对函数y＝x2的某种数值变化规律进行初步研究： xi 0 1 2 3 4 5 … yi 0 1 4 9 16 25 … yi＋1－yi 1 3 5 7 9 11 … 由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5，…. 请回答： ①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值的变化规律是什么？ ②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值的变化规律是什么？ 【答案】(1)a＝2n＋1或a＝2n－1;(2)b＝或b＝;(3) ①见解析; ②见解析. 【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1;（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成分数的形式，据此可以得到答案；（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律. 【详解】(1)a＝2n＋1或a＝2n－1. (2)b＝或b＝. (3)①当x＝0时，y＝0； 当x＝时，y＝； 当x＝1时，y＝1； …… 当x＝ (n为自然数)时，y＝； 当x＝＋时，y＝＝＋＋ ∴＋＋－＝. ∴当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值的变化规律是依次增加，，，…， (n为自然数)个单位． ②当x＝0时，y＝0； 当x＝时，y＝； 当x＝时，y＝； …… 当x＝ (m，n为自然数)时，y＝； 当x＝＋时，y＝. ∴－＝. ∴当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值的变化规律是依次增加，，，…， (m，n为自然数)个单位． 【点睛】本题考查了实数的性质，解题的关键是发现规律并利用规律解题． 24．（24-25八年级上·北京·期中）如图，设 A 是由n×n 个有理数组成的n 行n 列的数表， 其中aij （ i，j =1，2，3，，n ）表示位于第i 行第 j 列的数，且aij 取值为 1 或－1. a a a a a a    a a a 对于数表 A 给出如下定义：记 xi为数表 A 的第i 行各数之积，y j 为数表 A 的第 j 列各数之积.令S = (x1+ x2++ x)+(y1+ y2+ y)，将S 称为数表 A 的“积和”. （1）当n = 4 时，对如下数表 A，求该数表的“积和” S 的值； 1 1 －1 －1 1 －1 1 1 1 －1 －1 1 －1 －1 1 1 （2）是否存在一个 3×3 的数表 A，使得该数表的“积和” S =0  ？并说明理由； （3）当n =10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值. 【答案】（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20 【分析】（1）根据已知条件直接求解即可； （2）不存在A∈S（3，3），使得S =0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论； （3）根据已知条件求出l（A）关于A∈S（n，n），（k=0，1，2，…，n）的关系式然后代入求值即可. 【详解】解：由题意得：（1）S4 = (x1+ x2+x3+ x4)+(y1+ y2+y3+ y4)=（1-1+1+1）+（-1-1+1-1）=0 （2）不存在A∈S（3，3），使得S=0． 证明如下： 假设存在A∈S（3，3），使得S=0． 因为xi（A）∈{1，-1}，yj（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3）， 所以x1（A），…，x3（A）；y1（A），…，y3（A），这9个数中有3个1，3个-1． 令M=x1（A）•…x3（A）y1（A）…y3（A）． 一方面，由于这9个数中有3个1，3个-1，从而M=-1． ① 另一方面，x1（A）•…x3（A）表示数表中所有元素之积（记这9个实数之积为m）；y1（A）•…y9（A）也表示m，从而M=m2=1． ② ①、②相矛盾，从而不存在A∈S（3，3），使得S=l（A）=0． (3)（i）对数表A0：aij（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A0）=2n． 将数表A0中的a11由1变为-1，得到数表A1，显然l（A1）=2n-4． 将数表A1中的a22由1变为-1，得到数表A2，显然l（A2）=2n-8． 依此类推，将数表Ai-1中的akk由1变为-1，得到数表Ak． 即数表Ak满足：a11=a22=…=akk=-1（1≤k≤n），其余aij=1． ∴r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=-1，C1（A）=C2（A）=…=Ck（A）=-1． ∴l（Ak）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k，其中k=1，2，…，n． 当n =10 时，数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值为：16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20. 故答案为（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20. 【点睛】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法的运用，难度较大． 【经典例题四 无理数的估算问题】 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）分别写出所有符合下列各条件的数． (1)和之间的整数． (2)小于的正整数． (3)满足的x的整数值． (4)大于2且小于3的一个无理数． 【答案】(1) (2) (3) (4)（答案不唯一） 【分析】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算方法得出，，即可求解； （2）根据无理数得估算得出，即可求解； （3）根据无理数得估算得出，，即可求解； （4）根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； ∵，即， ∴和之间的整数有； （2）∵， ∴， ∴小于的正整数有； （3）∵，即， ∴； ∵，即， ∴满足的x的整数值有：； （4）∵， ∴大于2且小于3的一个无理数为：（答案不唯一）． 26．（25-26八年级上·山东聊城·月考）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为， 请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知，小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3，； (2)满足条件的x的值是． 【分析】本题主要考查的是估算无理数大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键； （1）先估算出的大小，然后确定整数部分，小数部分即可； （2）根据的整数部分可求出和的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入求x的值即可． 【详解】（1）解：，即， ∴的整数部分为3，小数部分为； （2）解：∵， ∴，， ∴的整数部分为11，的整数部分为4， ∴小数部分是，的小数部分， ， ∴， ∴满足条件的x的值是． 27．（25-26八年级上·山东青岛·期中）根据下表回答下列问题： x 17 18 289 324 (1)的平方根是______，______， ______； (2)若这个数的整数部分为，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及表格中数据的对应值是正确解答的关键． （1）根据平方根、算术平方根的定义以及表格中数据的对应值进行解答即可； （2）根据表格中数据的对应值，估算无理数的大小，确定的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由表可得，所以316.84的平方根是； ； ； 故答案为：；；； （2）由表格中数据的对应值可知，，且，可得， ∴， ∴的整数部分为， ∴． 28．（24-25七年级下·吉林白山·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【答案】(1)的整数部分是，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）由得到，即可求解； （2）由得到的整数部分与小数部分，即可解答． 【详解】（1）解：∵，所以， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴的整数部分是7，小数部分是， 所以． 29．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)19 【分析】本题考查的是无理数的估算，确定无理数整数部分及小数部分， （1）根据求出，再根据求出，代入求出结论即可； （2）先求出的整数部分是1，小数部分是，再求出，代入计算即可 ． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是3，小数部分为， ，即， 的整数部分是， ； （2）解：，即， 的整数部分是1，小数部分是， ，其中x是整数，且， ， ． 30．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 31．（25-26八年级上·广东深圳·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ，又， ， 请利用上述“比差法”，比较与3的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：，，而， ， 的整数部分是5，小数部分为， 故答案为：5，； （2）解：．理由： ． 又，且， ． ， 即． ． 32．（25-26八年级上·河南南阳·月考）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为13的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，如图所示： ∴， 又∵，∴， 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值（结果精确到）．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和数形结合的思想，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据估算出的整数部分； （2）类比题目提供的“面积法”，将表示为“整数部分+小数部分”的形式，通过构造正方形面积方程并忽略小数量值来求解近似值． 【详解】（1）解：， 即， 的整数部分的值为4， 故答案为：4； （2）解：设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，如图所示： 图中正方形的面积， ． 当时，可忽略，得， 解得， ． 【经典例题五 平方根、立方根的规律探究】 33．（24-25八年级上·河南郑州·期中）观察下列有规律的一组等式： ，即；，即． (1)猜想：______，______． (2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含（为正整数）的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性． 【答案】(1) (2)被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，，验证见解析 【分析】（1）根据给定的等式，进行猜想即可； （2）根据给定的等式可以看出，被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，进行表示即可． 【详解】（1）解：由给定的等式猜想得：； 故答案为：； （2）由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1， 用一个含（为正整数）的式子可表示为：； 理由如下： ． 【点睛】本题考查算术平方根的性质和数字的规律性探究．熟练掌握算术平方根的概念，从给出的式子中正确的找出规律，是解题的关键． 34．（25-26七年级下·全国·单元测试）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1)6，27 (2) (3) 【分析】本题考查的是与算术平方根有关的数字规律问题，发现数字的变化规律是解题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）由（1）中代数式呈现的规律发现：每组算式的被开方数是序号×(序号)，结果是(序号)； （3）直接利用上述规律计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； ； （2）解：由题意得：； （3）解：原式 ． 35．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 36．（24-25八年级上·江苏·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为：x＝　 　；y＝　 　；z＝　 　； (2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝　 　； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①≈　 　；②≈　 　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可； （3）利用（2）得出的规律即可解答． 【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：． 故答案为． （2）解：当（n为整数）时，． 故答案为． （3）解：若，则①；②． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 37．（25-26八年级上·广东河源·月考）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（24-25七年级下·河南商丘·月考）探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】(1)①，；②；； (2) 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，实数的运算，利用平方根的含义解方程，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答． （1）①根据表格信息可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，从而可得答案； ②根据①中规律解答即可； （2）把化为，可得，，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：表格中；； ②∵，， ∴； ∵， ∴． （2）解： 移项得：， 是无理数， ，， 解得：，　　 ； ∴或． 39．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【答案】（1）一；（2）；大约需要平方米的铁皮． 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）根据解析（1）中规律进行解答即可；先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】（1）解：根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 故答案为：一； （2）解：， ； 故答案为：； 正方体的体积为立方米， 正方体的棱长为：（米）， 需要铁皮的面积为： （平方米）， 答：大约需要平方米的铁皮． 40．（24-25七年级下·广西崇左·月考）【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【答案】（1）2，1；3，1；（2）①17.32，0.1442，②，；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据变化总结算术平方根和立方根的规律即可； （2）①根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可； ②根据（1）中的算术平方根和立方根的规律可得，，即可求解； （3）根据根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可． 【详解】解：（1）由表格可得，若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；若被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：2，1；3，1； （2）①∵， ∴，， 故答案为：17.32，0.1442； ②∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：200，0.8879； （3）∵， ∴，， ∴不能求出的值． 【点睛】本题考查数字规律型、算术平方根的定义、立方根的定义，根据题意总结一个数的算术平方根、立方根的小数点与被开方数的小数点的移动变化规律是解题的关键． 【经典例题六 平方根实际综合应用】 41．（25-26八年级上·福建泉州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”刚好围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)“混天绫”的总长度 (2)能够完成新阵法，见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义求出正方形的边长为，进而计算即可； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度； （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得，即． 解得， ∵， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为12米， ∴长方形的周长为米， ∵， ∴能够完成新阵法． 42．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）有一块面积为400平方厘米的正方形纸片． (1)该正方形纸片的边长为______； (2)小明想沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？ 【答案】(1) (2)裁不出来，理由见解析 【分析】本题考查了平方根的定义，算数平方方根的定义的实际应用； （1）由正方形的面积，利用算术平方根，即可求解； （2）设长为，宽为，可求出长方形的长，再与正方形的边长比较，即可求解； 理解定义：“()的平方根为，算术平方根为． ” 是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ()， 故答案：； （2）解：不能裁出来，理由如下 设长为，宽为，由题意得 ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 长方形的长为， ， 裁不出来． 43．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 【答案】(1)10cm (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的应用，正确理解题意是关键； （1）先得到图2的大正方形的面积为，再计算100的算术平方根即可； （2）若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm，根据题意可得，求出x的值后再与正方形的边长进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：∵图2的大正方形是由两个面积为的小正方形纸片拼成， ∴图2的大正方形的面积为 ∴图2中拼成的大正方形纸片的边长； （2）解：不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形，理由如下： 若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm， 则， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴长方形的宽为6cm，长为12cm， ∵， ∴不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形． 44．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 45．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 和为相邻的两个整数，． 等式两边同时平方，得：． __________得：________________________________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则______． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 【答案】(1)移项； (2) (3) 【分析】本题考查了平方根的应用，完全平方公式： （1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，求出的值即可； （3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：和为相邻的两个整数， ， 等式两边同时平方得：， 移项得：． 故答案为：移项；； （2）解：和为两个相邻整数， 由（1）的结论可知：， ， ． 故答案为：25； （3）解：和为相差4的两个整数， ， 等式两边同时平方得：， ， ． 46．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果 判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了平方根的应用．设长为，则宽为．根据面积为列方程，利用平方根的意义解方程，比较后即可得到结论． 【详解】解：设长为，则宽为．根据题意，得 ， 或（负值舍去）． ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 47．（24-25七年级下·山西大同·期中）数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为． (1)计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)把这个长方体的高的值在数轴上表示出来； (3)一支长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，能放进去吗？试通过计算说明你的结论．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线） 【答案】(1)这个长方体的长、宽、高分别 cm、cm、cm (2)见解析 (3)不能放进去；计算见解析 【分析】（1）设长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，根据底面积为列方程即可； （2）过数轴上1这点作垂线，然后再以1这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点A，连接OA，以点O为圆心，OA为半径画弧，与数轴的正半轴交于一点，即可表示出该数值； （3）求出盒子的体对角线，然后与钢笔的长度进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， 答：这个长方体的长、宽、高分别cm、cm、cm． （2）过数轴上1这点作垂线，然后再以1这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点A，连接OA，以点O为圆心，OA为半径画弧，与数轴的正半轴交于一点，该点表示的数为，如图所示： （3）这个盒子的体对角线长为：（cm）， ∵， ∴长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，不能放进去． 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，在数轴上表示无理数，求长方体的对角线，设出长方体的长、宽、高，根据底面积列出方程，是解题的关键． 48．（24-25八年级上·辽宁大连·期中） “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______；方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了平方根的实际应用，列代数式． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分的正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由（2）中的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：方法一：运用大正方形的面积减去四个矩形的面积得到阴影部分的面积， 方法二：阴影部分的正方形的边长等于，得到阴影部分的面积， 故答案为：；； （2）解：由（1）得代数式，，之间的等量关系为： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得． 或． 【经典例题七 立方根实际综合应用】 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的倍，体积为，求这个长方体的表面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设底面边长为，则高为，根据体积公式列方程求出 ，再代入表面积公式计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设底面边长为，则高为， 则， ， ， ∴高为， ∴这个长方体的表面积为． 50．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查了利用立方根解题，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先根据球的体积公式求出铅球半径，进而得到直径，再根据立方体容积求出棱长，最后比较铅球直径与立方体棱长的大小． 【详解】解：能． 理由：设铅球的半径为， 根据题意，得 ， 即， ． 设立方体容器从里面测量棱长为， 则， ． ， 铅球能被装到容积为的立方体容器中． 51．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 52．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 53．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 54．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 55．（24-25七年级下·云南·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根） 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：观察； 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：__________________________________________________． （2）探究性质：①81的四次方根是_________；②0的四次方根是_________；③_________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ①______________________________________________________； ②______________________________________________________； ③______________________________________________________ 【拓展应用】（1）_________； （2）比较大小：_________． 【答案】类比探索：（1）一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【详解】类比探索：（1）类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①81的四次方根是：；②0的四次方根是：0；③没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ①一个正数有两个四次方根，它们互为相反数； ②0的四次方根是0； ③负数没有四次方根； 拓展应用：（1）； （2）∵， ∴． 56．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ∵，，， ∴． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3．因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空．①它的立方根是______位数；②它的立方根的十位上的数是______； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 任务3 拓展应用 已知一个整数的立方在1000000到2000000之间，且其立方根为三位数（即整数部分）．根据上述方法，不进行具体计算，请通过逻辑推理回答： ①该立方根的百位数字可能为多少？说明理由． ②若进一步限定该立方数的个位数字为3，则立方根的个位数字是多少？ 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】任务1：①两②5 任务2：48 任务3：①1②7 【分析】本题考查了立方根的应用，理解题干所给的素材是解此题的关键． 任务1：仿照素材的解题步骤，计算即可得解； 任务2：仿照素材的解题步骤，计算即可得解； 任务3：①通过分析立方数的范围，确定立方根的范围，进而推出其百位数字；②根据立方数个位数字与立方根个位数字的对应规律进行判断． 【详解】解：任务1：∵，，， ∴ ∴能确定195112的立方根是个两位数， ∵， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是； 任务：∵，，， ∴ ∴能确定110592的立方根是个两位数， ∵， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是； ∵， ∴的个位上的数是， ∴； 任务3：①因为，而这个整数的立方在1000000到2000000之间，所以立方根的百位数字只能是1， ②一个数的立方的个位数字只与这个数的个位数字有关，只有当一个数的个位数字是7时，它的立方的个位数字才是3，所以若该立方数的个位数字为3，则立方根的个位数字是7． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 实数章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 实数相关的规律题 题型二 实数的新定义运算 题型三 实数的取值范围问题 题型四 无理数的估算问题 题型五 平方根、立方根的规律探究 题型六 平方根实际综合应用 题型七 立方根实际综合应用 【经典例题一 实数相关的规律题】 1．（24-25八年级上·山西临汾·月考）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）根据下表回答下列问题： a … 1 1000 1000000 ··· … 1 10 100 … (1)填表，利用表中的规律，解决问题：已知则a的值为_____． (2)若a为实数，比较与a的大小． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 4．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 6．（24-25七年级上·上海浦东新·期末）阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：① ，②，③，…发现规律，第⑩个等式是________； (2)利用第一小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数： …，它们的和为 ，试探究这组数共有几个？ 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 8．（24-25七年级下·浙江金华·期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________． (2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________． (3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值． 【经典例题二 实数的新定义运算】 9．（24-25七年级上·山东德州·月考）定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 10．（24-25七年级下·福建福州·期中）（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1，比如，数字2和5在该新运算下结果为4．计算如下：2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，求⊕2的值； （2）请你定义一种新运算，使得实数和1在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算，并写出计算过程． 11．（25-26七年级上·河北保定·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)试说明无论x取何值时，都为定值． 12．（24-25七年级下·安徽六安·月考）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题 (1)填空：①下列两位数：40，53，66中，“互异数”为________；②计算：________； (2)如果一个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，求“互异数”b的值 (3)如果m，n都是“互异数”，且，则________． 13．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如果一个两位数的个位数字和十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位是为“跟斗数”．定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为，例如，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和，和与的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)_________． (2)若一个“跟斗数”“”的十位数字为，个位数字为，且．求“跟斗数”的值． (3)若，都是“跟斗数”，且，则是否为定值？若是，写出该值并用所学代数式知识说明理由． 14．（25-26七年级上·浙江台州·期末）数学课上，围绕新定义的运算，林老师和小明进行了一段对话． 林老师：我定义了一种新的运算，叫加乘运算．运算符号记作“”，其运算法则是……． 小明：我根据加乘运算的法则得到，． 请根据加乘运算的法则解决下列问题． (1)填空：____________，____________． (2)求的值． 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 16．（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【经典例题三 实数的取值范围问题】 17．（24-25八年级上·全国·课后作业）在数轴上表示不等式和x的下列取值：，并利用数轴说明，x的这些取值中，哪些满足不等式，哪些不满足． 18．（24-25七年级上·浙江·期中）现定义新运算“”，对于任意两个实数，，规定． (1)计算：； (2)若的取值与无关，求实数． 19．（24-25七年级下·河北保定·月考）定义新运算：对于任意实数，其中，都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：．    (1)求的值； (2)若的值为，的取值如图，求的非负整数解． 20．（24-25七年级下·河北保定·期末）[阅读理解]对于任意正实数、， ∵，∴， ∴（只有当时，）． 即当时，取值最小值，且最小值为． 根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若，当______时，有最小值为______； 问题2：若函数，则当______时，函数有最小值为______． 21．（24-25七年级上·四川泸州·期末）规定一种新运算：．如． (1)求的值； (2)化简； (3)若的值与x的取值无关，求k的值． 22．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）小明在研究整数时发现如：，像这些正整数都能表示成两个连续的奇数的平方差的形式，他称这些正整数为“阳光数”． ⑴请写出最大的两位“阳光数”； ⑵求证：任意一个“阳光数”能被8整除； ⑶一个小于500的三位“阳光数”，其百位数和个位上的数字相同，十位数字比个位数字大，求出正整数的所有可能的取值． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）请你解决以下与数的表示和运算相关的问题： (1)写出奇数a用整数n表示的式子． (2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子． (3)以后我们学习函数时，应关注y随x的变化而变化的数值规律，下面对函数y＝x2的某种数值变化规律进行初步研究： xi 0 1 2 3 4 5 … yi 0 1 4 9 16 25 … yi＋1－yi 1 3 5 7 9 11 … 由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5，…. 请回答： ①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值的变化规律是什么？ ②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值的变化规律是什么？ 24．（24-25八年级上·北京·期中）如图，设 A 是由n×n 个有理数组成的n 行n 列的数表， 其中aij （ i，j =1，2，3，，n ）表示位于第i 行第 j 列的数，且aij 取值为 1 或－1. a a a a a a    a a a 对于数表 A 给出如下定义：记 xi为数表 A 的第i 行各数之积，y j 为数表 A 的第 j 列各数之积.令S = (x1+ x2++ x)+(y1+ y2+ y)，将S 称为数表 A 的“积和”. （1）当n = 4 时，对如下数表 A，求该数表的“积和” S 的值； 1 1 －1 －1 1 －1 1 1 1 －1 －1 1 －1 －1 1 1 （2）是否存在一个 3×3 的数表 A，使得该数表的“积和” S =0  ？并说明理由； （3）当n =10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值. 【经典例题四 无理数的估算问题】 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）分别写出所有符合下列各条件的数． (1)和之间的整数． (2)小于的正整数． (3)满足的x的整数值． (4)大于2且小于3的一个无理数． 26．（25-26八年级上·山东聊城·月考）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为， 请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知，小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 27．（25-26八年级上·山东青岛·期中）根据下表回答下列问题： x 17 18 289 324 (1)的平方根是______，______， ______； (2)若这个数的整数部分为，求的值． 28．（24-25七年级下·吉林白山·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 29．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的值． 30．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 31．（25-26八年级上·广东深圳·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ，又， ， 请利用上述“比差法”，比较与3的大小． 32．（25-26八年级上·河南南阳·月考）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为13的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，如图所示： ∴， 又∵，∴， 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值（结果精确到）．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【经典例题五 平方根、立方根的规律探究】 33．（24-25八年级上·河南郑州·期中）观察下列有规律的一组等式： ，即；，即． (1)猜想：______，______． (2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含（为正整数）的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性． 34．（25-26七年级下·全国·单元测试）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 35．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 36．（24-25八年级上·江苏·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为：x＝　 　；y＝　 　；z＝　 　； (2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝　 　； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①≈　 　；②≈　 　． 37．（25-26八年级上·广东河源·月考）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 38．（24-25七年级下·河南商丘·月考）探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 39．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 40．（24-25七年级下·广西崇左·月考）【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【经典例题六 平方根实际综合应用】 41．（25-26八年级上·福建泉州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”刚好围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 42．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）有一块面积为400平方厘米的正方形纸片． (1)该正方形纸片的边长为______； (2)小明想沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？ 43．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 44．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 45．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 和为相邻的两个整数，． 等式两边同时平方，得：． __________得：________________________________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则______． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 46．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果 判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 47．（24-25七年级下·山西大同·期中）数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为． (1)计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)把这个长方体的高的值在数轴上表示出来； (3)一支长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，能放进去吗？试通过计算说明你的结论．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线） 48．（24-25八年级上·辽宁大连·期中） “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______；方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，，求的值． 【经典例题七 立方根实际综合应用】 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的倍，体积为，求这个长方体的表面积． 50．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 51．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 52．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 53．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 54．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 55．（24-25七年级下·云南·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根） 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：观察； 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：__________________________________________________． （2）探究性质：①81的四次方根是_________；②0的四次方根是_________；③_________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ①______________________________________________________； ②______________________________________________________； ③______________________________________________________ 【拓展应用】（1）_________； （2）比较大小：_________． 56．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ∵，，， ∴． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3．因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空．①它的立方根是______位数；②它的立方根的十位上的数是______； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 任务3 拓展应用 已知一个整数的立方在1000000到2000000之间，且其立方根为三位数（即整数部分）．根据上述方法，不进行具体计算，请通过逻辑推理回答： ①该立方根的百位数字可能为多少？说明理由． ②若进一步限定该立方数的个位数字为3，则立方根的个位数字是多少？ 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 学科网（北京）股份有限公司 $