专题05 实数章末易错必刷题型专训（60题20个考点）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题05 实数章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 平方根的相关概念】 1．（25-26七年级下·全国·月考）下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，平方数的非负性，掌握平方根仅对非负数有定义，利用平方数的非负性判断式子的正负是解题的关键． 平方根仅对非负数有定义，因此需找出无论取何值恒为负数的选项． 【详解】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意； B、当时，的值为，有平方根，不符合题意； C、恒成立，总有平方根，不符合题意； D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）一个正数的两个平方根分别为和，则的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级·全国·假期作业）已知10﹣3a的平方根是±1，a﹣b+2的算术平方根是2，求3a+b的值． 【答案】10 【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a与b的值，然后代入3a+b即可． 【详解】解：∵10﹣3a的平方根是±1， ∴， 解得，a＝3， ∵a﹣b+2的算术平方根是 2， ∴， 解得，b＝1， ∴． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 【易错必刷二 算术平方根的相关概念】 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．先求出这个数，然后根据算术平方根的定义再求出它的前一个数的算术平方根即可． 【详解】解：∵较大数的算术平方根是， ∴较大数为， 又这两个数是连续两个正整数， ∴较小数为， ∴较小数的算术平方根是， 故选：D． 5．（24-25七年级下·福建三明·期末）一个正偶数的算术平方根为，则下一个正偶数的算术平方根为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的定义，这个正偶数为，根据题意得到，则，易得和这个正偶数相邻的下一个偶数为，再根据算术平方根的定义易得和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根，解题的关键是熟记一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根． 【详解】解：设这个正偶数为，则 ， ∴， 则和这个正偶数相邻的下一个偶数为， ∴和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根为， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________；②___________；③___________． (2)①___________；②___________；③___________． (3)你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的概念． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）①；②；③． 故答案为：； （2）①；②；③． 故答案为：； （3），理由： 由算术平方根的定义，可知是的算术平方根，则． 根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根是指一个非负数，它的平方等于，记作．因此，由定义可知． 【易错必刷三 立方根的相关概念】 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）一个数的平方等于它的立方，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【分析】本题考查了平方和立方的定义． 根据平方和立方的定义作答即可． 【详解】解：0的平方是0，0的立方是0，相等， 1的平方是1，1的立方是1，相等， 的平方是1，的立方是，不相等， ∴一个数的平方等于它的立方，则这个数是0或1， 故选：D． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是__________．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】①② 【分析】本题考查平方根定义、立方根定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据平方根和立方根的定义及性质进行判断；负数没有实数平方根；负数的立方根是负数；平方根等于它本身的数只有0；从而确定答案． 【详解】解：①由任何实数的平方均为非负数，即可判断①正确； ②由负数的立方是负数，即可判断②正确； ③的平方根是；的平方根是，即可判断③错误； 综上所述，正确的是①②， 故答案为：①②． 9．（24-25八年级上·山西晋中·期中）我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根．例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数； 0的次方根是 ； 负数 ． 【答案】四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数 【分析】本题主要考查平方根、立方根及次方根的意义，解题的关键是类比平方根和立方根的定义及性质． 类比平方根和立方根的定义及性质解答即可． 【详解】解∶，2是16的四次方根； 如果一个数x的n(n是大于|的整数)次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的n次方根，求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数；正数的n次方根是正的；0的n次方根是0；负数不存在偶次方根，奇次方根为负数， 故答案为：四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数． 【易错必刷四 实数的概念与分类】 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 11．（24-25七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥ 整数：____________________； 分数：____________________； 无理数：__________________． 【答案】②④；③⑥；①⑤ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键． 根据正整数、、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；无限不循环小数叫做无理数，进而判断每一个数，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 整数：②④； 分数：③⑥； 无理数：①⑤． 故答案为：②④；③⑥；①⑤． 12．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）将下列各数序号写到圈内相应的位置．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的分类，先计算出①⑤⑥的结果，再根据实数的分类方法求解即可． 【详解】解：，，， 如图所示，即为所求： 【易错必刷五 实数的性质】 13．（2025·江苏宿迁·三模）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 14．（24-25七年级下·天津滨海新区·期末）的相反数是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】，，，， 【分析】根据正数及零的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，可得答案． 【详解】解：， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了实数的绝对值， 理解绝对值的意义是解题的关键． 【易错必刷六 无理数及其大小估算】 16．（25-26八年级上·山东淄博·月考）估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，通过估计的值在和之间，再加得到范围在和之间，掌握无理数的大小估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ， ∴在和之间， 故选：． 17．（25-26八年级上·吉林长春·期中）整数a满足，则a的值为____________． 【答案】5 【分析】本题考查了无理数的估算，由可得，即可得解． 【详解】解：， ，即， ，是整数， 故答案为：5． 18．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数满足（其中是整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称为的“相邻区间”． 请解答下列问题： (1)求无理数的“相邻区间”． (2)已知的“相邻区间”是，且，求的值． (3)已知是正整数，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查了新定义的应用，涉及到二次根式的应用，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键． （1）根据题意可得到为的“相邻区间”； （2）由的相邻区间，得到的相邻区间，得到的值，从而得到的结果； （3）先求出的相邻区间，得到的相邻区间，从而得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴为的“相邻区间”； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴的“相邻区间”是， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【易错必刷七 实数大小比较】 19．（24-25七年级上·北京东城·开学考试）在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解题的关键．先将，转换为小数，再根据实数的大小比较法则比较数的大小即可解答． 【详解】解：，， ， 最大的数是． 故选：A ． 20．（25-26八年级上·上海崇明·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为： 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确地把各数在数轴上表示出来是解决本题的关键． 【详解】解： 数轴表示如下： ∴． 【易错必刷八 平方根的计算】 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）的平方根是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键； 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：，81的平方根是， 的平方根是． 故选：D． 23．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若一个分数的平方等于，则这个分数为________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 利用平方根定义计算即可确定出这个数． 【详解】解：∵一个分数的平方等于， ∴这个分数为． 故答案为：． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）若m，n满足． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了偶次方的非负性，求一个数的平方根，正确理解实数的非负性是解题的关键． （1）根据偶次方的非负性，建立等式计算即可． （2）根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得； （2）． ∵25的平方根为， 的平方根为． 【易错必刷九 立方根的计算】 25．（25-26八年级上·福建三明·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，算术平方根是非负的，立方根的结果符号与被开方数一致，通过直接计算各选项，判断其正确性． 【详解】解：∵表示16的算术平方根，结果为4，而非，∴ A错误； ∵，而非，∴B错误； ∵，而非，∴C错误； ∵，∴D正确． 故选：D． 26．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）（1）9的算术平方根是______；（2）的立方根是______． 【答案】 3 【分析】本题考查了对立方根、算术平方根的定义的应用． （1）根据算术平方根求出即可； （2）根据立方根的定义求出即可． 【详解】解：（1）9的算术平方根是：； （2）的立方根为：； 故答案为：3；． 27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下面是巧求立方根的问题，请你阅读理解后直接填空： (1)由，，你能确定59319的立方根是______位数； (2)由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定59319的立方根的十位数是______，因此59319的立方根是______； (4)现在换一个数148877，按照上面的方法它的立方根是______位数，它的立方根的个位数是______，148877的立方根是______． 【答案】(1)两 (2)9 (3)3；39 (4)两；3；53 【分析】本题考查了立方根的定义，理解题意，掌握巧求立方根的方法是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据题意即可求解； （3）根据题意即可求解； （4）仿照题目巧求立方根的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴59319的立方根是两位数； 故答案为：两； （2）解：∵0至9的各数的立方的个位数互不相同，且， ∴59319的立方根的个位数是9； （3）解：∵，，， ∴59319的立方根的十位数是3， 结合（2）中的结论可得，59319的立方根是39； 故答案为：3；39； （4）解：∵，，， ∴148877的立方根是两位数； ∵0至9的各数的立方的个位数互不相同，且， ∴148877的立方根的个位数是3； ∵，，， ∴148877的立方根的十位数是5， ∴148877的立方根是53； 故答案为：两；3；53． 【易错必刷十 算术平方根的计算】 28．（25-26八年级上·河南郑州·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根．根据算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确． C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选：B． 29．（25-26七年级上·浙江金华·月考）根据下表回答：______． x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 【答案】1.64 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟知定义是解本题的关键． 根据算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，这个正数就叫做a的算术平方根，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·四川广安·月考）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)15 【分析】本题考查了算术平方根以及二次根式的运算，解题的关键是理解平方根和算术平方根的定义，以及掌握二次根式的运算规则． （1）根据算术平方根的定义分别计算； （2）根据算术平方根的定义分别计算； （3）根据算术平方根的定义分别计算； （4）先计算根号内的数值，再求算术平方根． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【易错必刷十一 算术平方根的非负性】 31．（25-26八年级上·吉林长春·月考）若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 32．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 由题意易得,求出，继而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， ∴， ∴； 故答案为． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性 ，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为0成为解题的关键． 根据算术平方根的非负性可得，然后列出二元一次方程组解得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴，解得：． ∴． 【易错必刷十二 实数与数轴】 34．（25-26七年级上·广西南宁·期中）实数、在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；由数轴可知，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴，； 故选B． 35．（25-26七年级上·山西朔州·月考）如图，直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点．若点对应的数是，则点对应的数是_____．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；因此此题可根据题意进行求解即可． 【详解】解：由题意可知点对应的数是； 故答案为． 36．（24-25七年级下·山西大同·月考）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度到达点，再爬向点停止．已知点所表示的数为，点所表示的数为．设点所表示的数为，求： (1)的值． (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示实数，数轴上两点之间的距离，掌握数轴的特点是解题的关键． （1）根据数轴表示实数，数轴上点的移动计算即可； （2）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，向右爬个单位长度到达点， ∴点表示的数为， ∴； （2）解：∵点所表示的数为，点表示的数为， ∴． 【易错必刷十三 实数混合运算】 37．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查实数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．根据给出的运算方法把式子转化为实数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 38．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）计算的结果为 __________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题关键是注意运算的顺序．先计算立方根，算术平方根，再计算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 39．（25-26八年级上·江苏·期末）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．二次根式的混合运算． （1）先算算术平方根，立方根，然后再进行加减运算． （2）先去括号，然后再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【易错必刷十四 新定义下的实数运算】 40．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，平方根的性质，正确理解题意是解题的关键． 首先根据定义的运算法则得到，然后整理得到，然后利用平方根的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 41．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如果定义新运算“※”，满足，那么______． 【答案】5 【分析】此题主要考查新定义运算． 根据新定义运算，将a和b的值代入表达式进行计算． 【详解】解：由定义，，代入，，得： ． 故答案为：5． 42．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知当m，n都是实数，且满足时，称点为“如意点”． (1)当时，写出“如意点”：______； (2)判断点是否为“如意点”，并说明理由； 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“如意点”的定义求出n的值，进而求出和的值即可得到答案； （2）求出和时n的值，再验证是否成立即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，，解得， ∴， ∴“如意点”为； 故答案为：； （2）解：点是“如意点”．理由如下： 当时，，当时，， ∴此时 ∴此时满足， ∴点是“如意点”． 【易错必刷十五 实数运算相关的规律题】 43．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）将三个数按图中方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ） … A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过观察发现规律，每三个数为一个循环组依次循环，第排有个数，根据此规律求解即可． 【详解】， 表示的数是1， 表示的数是， 同理， 表示的数是1， ． 故选B． 【点睛】本题考查了实数的计算，数字类型的找规律，找到规律是解题的关键． 44．（24-25七年级上·云南昆明·期中）观察下列等式：，，将以上三个等式两边分别相加得： ． 直接写出结果_______． 【答案】． 【分析】根据已知的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用规律解题，理解题意，得到规律是解决此题的关键． 45．（24-25七年级下·山东聊城·期中）观察下列两组算式，解答问题： 第一组：＝2，＝2，、，＝0 第二组：＝2，＝3，＝9，＝16，＝0 （1）由第一组可得结论：对于任意实数a，＝_____． （2）由第二组可得结论：当a≥0时，＝_____． （3）利用（1）和（2）的结论计算：＝_____，＝_____． 【答案】（1）|a|；（2）a；（3）0.135； 【分析】（1）根据第一组的规律即可求出答案． （2）根据第二组的规律即可求出答案． （3）利用已知的规律计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由第一组的规律可知：a是非负数时，＝a, a是负数时，＝-a, ∴a是全体实数，＝|a|； （2）由第二组的规律可知：a≥0时，（）2＝a； （3）根据（1）（2）的结论可知：＝0.135，（﹣）2＝； 【点睛】本题为规律类试题，找到规律是解题的关键． 【易错必刷十六 算数平方根有关的规律探索题】 46．（24-25八年级上·广西来宾·月考）观察下列计算过程：因为，所以，因为，所以，因为，所以…，由此猜想（    ） A．111111111 B．11111111 C．1111111 D．111111 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质．根据题中给出的已知条件得出规律，根据规律进行计算． 【详解】解：11的平方是121，中间的数字是2， 111的平方是12321，中间的数字是3， ……； 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成， 12345678987654321是由9个1组成的数字平方后的结果，即， 因此，， 故选：A． 47．（2025七年级上·浙江·专题练习）已知：，，，根据此规律______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的化简，根据已知的式子得到规律是解题的关键．根据前边的三个式子可以得到，所得结果的整数部分是1，后边的部分的分子为1，分母是两个相邻的整数的乘积，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得． 故答案为：． 48．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）填写下表，仔细观察后回答下列问题： x 0 1 4 9 16 （1）当正数x的值逐渐增大时，x的算术平方根的变化规律是 ． （2）假设0＜x1＜x2，则与的大小关系是 ． （3）从表中你还发现一个正数n的算术平方根与n的大小关系． 【答案】（1）逐渐增大；（2）<；（3）当0＜n＜1时，，当时≤n． 【分析】（1）根据算术平方根的意义，可得答案，从而找到规律； （2）根据表格可得：被开方数越大，算术平方根越大； （3）根据表格分两种情况可得出算术平方根与n的大小关系结论. 【详解】补全表格如下： x 0 1 4 9 16 0 1 2 3 4 （1）当正数x的值逐渐增大时，x的算术平方根的变化规律是逐渐增大 故答案为：逐渐增大；    （2）根据表格可得0＜x1＜x2时，<     故答案为<；   （3）根据表格可得： 当0＜n＜1时，，当时≤n． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键理解题意，认真观察找出算术平方根与正数的关系． 【易错必刷十七 与立方根有关的规律探索题】 49．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 50．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 51．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 【易错必刷十八 实数运算的实际应用】 52．（24-25七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 53．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一个运算程序，若输入的数x＝－1，则输出的值为________． 【答案】5 【分析】根据图中的运算程序先把x=-1代入计算，得出2小于4，再把x=2重新代入计算输出． 【详解】由于x＝-1为奇数，故把x＝-1代入3x2－30＝3－1＝2<4. 当x＝2时，x＋（ ）-1＝2＋3＝5>4，所以若输入的数x＝－1，则输出的值为5 故本题答案应为：5 【点睛】新命名的运算程序是本题的考点，正确理解题意运用所学知识进行计算是解题的关键． 54．（24-25七年级下·全国·单元测试）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2．假如一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发生一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？(π≈3.14) 【答案】42次 【分析】根据题意可知，直接把数值代入公式中进行计算即可． 【详解】解：T＝2π≈1.42，≈42(次)． 答：在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声． 【点睛】本题考查了实数的应用.认真审题找准数值是关键． 【易错必刷十九 立方根的实际应用】 55．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的实际应用，理解体积与棱长的关系是关键． 设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍，得到，求出，由此得到答案． 【详解】设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍， ∵原正方体的体积为，新正方体的体积为，   ∴，   ∴，    ∴棱长扩大到原来的4倍． 故选：A． 56．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是_______cm． 【答案】4 【分析】此题主要考查了立方根的应用，设截得的每个小正方体的棱长，根据已知条件可以列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是，则 由题意得， 解得． 答：截去的每个小正方体的棱长是． 故答案为：4． 57．（2025七年级下·全国·专题练习）小明在爸爸的帮助下，准备动手做一个鸟笼． (1)如果做一个体积为的正方体鸟笼，那么鸟笼的棱长为多少？ (2)如果这个正方体鸟笼的体积为，那么鸟笼的棱长为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设鸟笼的棱长为，因为做一个体积为的正方体鸟笼，则，再解出，即可作答． （2）因为这个正方体鸟笼的体积为，得出，再解出，即可作答． 【详解】（1）解：设鸟笼的棱长为． 根据题意可知， 解得． 故鸟笼的棱长为． （2）解：∵正方体鸟笼的体积为， ∴， 解得． 故鸟笼的棱长为． 【易错必刷二十 平方根的综合应用】 58．（24-25七年级下·重庆·期末）实数的平方根为和，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根互为相反数，可得平方根的和为，根据解一元一次方程，可得的值，根据平方运算，可得答案. 【详解】实数的平方根为和， ， ， ， . 故选. 【点睛】本题考查了平方根，先求出的值，再求出幂. 59．（24-25七年级上·全国·课后作业）物体的高度h（米）与所需时间t（秒）满足（g=9.8米/秒²）那么一个物体从高度为122.5米的建筑物上落到地面上，需要_______秒． 【答案】5 【分析】把h=122.5代入即可求出t的值． 【详解】把h=122.5代入得 t2=25 ∴t=5（-5舍去） 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查平方根的应用，解题的关键是熟知平方根的性质． 60．（24-25七年级上·云南·期末）勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【答案】 【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故的长度为． 【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实数章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 平方根的相关概念】 1．（25-26七年级下·全国·月考）下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）一个正数的两个平方根分别为和，则的值为____________． 3．（24-25八年级·全国·假期作业）已知10﹣3a的平方根是±1，a﹣b+2的算术平方根是2，求3a+b的值． 【易错必刷二 算术平方根的相关概念】 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·福建三明·期末）一个正偶数的算术平方根为，则下一个正偶数的算术平方根为_____． 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________；②___________；③___________． (2)①___________；②___________；③___________． (3)你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 【易错必刷三 立方根的相关概念】 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）一个数的平方等于它的立方，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 8．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是__________．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 9．（24-25八年级上·山西晋中·期中）我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根．例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数； 0的次方根是 ； 负数 ． 【易错必刷四 实数的概念与分类】 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（24-25七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥ 整数：____________________； 分数：____________________； 无理数：__________________． 12．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）将下列各数序号写到圈内相应的位置．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【易错必刷五 实数的性质】 13．（2025·江苏宿迁·三模）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·天津滨海新区·期末）的相反数是________． 15．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【易错必刷六 无理数及其大小估算】 16．（25-26八年级上·山东淄博·月考）估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 17．（25-26八年级上·吉林长春·期中）整数a满足，则a的值为____________． 18．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数满足（其中是整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称为的“相邻区间”． 请解答下列问题： (1)求无理数的“相邻区间”． (2)已知的“相邻区间”是，且，求的值． (3)已知是正整数，若，求的值． 【易错必刷七 实数大小比较】 19．（24-25七年级上·北京东城·开学考试）在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·上海崇明·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）：． 【易错必刷八 平方根的计算】 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）的平方根是（    ） A．9 B． C． D． 23．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若一个分数的平方等于，则这个分数为________． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）若m，n满足． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【易错必刷九 立方根的计算】 25．（25-26八年级上·福建三明·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）（1）9的算术平方根是______；（2）的立方根是______． 27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下面是巧求立方根的问题，请你阅读理解后直接填空： (1)由，，你能确定59319的立方根是______位数； (2)由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定59319的立方根的十位数是______，因此59319的立方根是______； (4)现在换一个数148877，按照上面的方法它的立方根是______位数，它的立方根的个位数是______，148877的立方根是______． 【易错必刷十 算术平方根的计算】 28．（25-26八年级上·河南郑州·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级上·浙江金华·月考）根据下表回答：______． x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 30．（24-25七年级下·四川广安·月考）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷十一 算术平方根的非负性】 31．（25-26八年级上·吉林长春·月考）若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2025 32．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）若，则_______． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，求的值． 【易错必刷十二 实数与数轴】 34．（25-26七年级上·广西南宁·期中）实数、在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级上·山西朔州·月考）如图，直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点．若点对应的数是，则点对应的数是_____．（用含的式子表示） 36．（24-25七年级下·山西大同·月考）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度到达点，再爬向点停止．已知点所表示的数为，点所表示的数为．设点所表示的数为，求： (1)的值． (2)的长． 【易错必刷十三 实数混合运算】 37．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 38．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）计算的结果为 __________． 39．（25-26八年级上·江苏·期末）计算下列各题： (1) (2) 【易错必刷十四 新定义下的实数运算】 40．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 41．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如果定义新运算“※”，满足，那么______． 42．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知当m，n都是实数，且满足时，称点为“如意点”． (1)当时，写出“如意点”：______； (2)判断点是否为“如意点”，并说明理由； 【易错必刷十五 实数运算相关的规律题】 43．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）将三个数按图中方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ） … A． B． C． D．1 44．（24-25七年级上·云南昆明·期中）观察下列等式：，，将以上三个等式两边分别相加得： ． 直接写出结果_______． 45．（24-25七年级下·山东聊城·期中）观察下列两组算式，解答问题： 第一组：＝2，＝2，、，＝0 第二组：＝2，＝3，＝9，＝16，＝0 （1）由第一组可得结论：对于任意实数a，＝_____． （2）由第二组可得结论：当a≥0时，＝_____． （3）利用（1）和（2）的结论计算：＝_____，＝_____． 【易错必刷十六 算数平方根有关的规律探索题】 46．（24-25八年级上·广西来宾·月考）观察下列计算过程：因为，所以，因为，所以，因为，所以…，由此猜想（    ） A．111111111 B．11111111 C．1111111 D．111111 47．（2025七年级上·浙江·专题练习）已知：，，，根据此规律______． 48．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）填写下表，仔细观察后回答下列问题： x 0 1 4 9 16 （1）当正数x的值逐渐增大时，x的算术平方根的变化规律是 ． （2）假设0＜x1＜x2，则与的大小关系是 ． （3）从表中你还发现一个正数n的算术平方根与n的大小关系． 【易错必刷十七 与立方根有关的规律探索题】 49．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 50．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 51．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【易错必刷十八 实数运算的实际应用】 52．（24-25七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 53．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一个运算程序，若输入的数x＝－1，则输出的值为________． 54．（24-25七年级下·全国·单元测试）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2．假如一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发生一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？(π≈3.14) 【易错必刷十九 立方根的实际应用】 55．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍   56．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是_______cm． 57．（2025七年级下·全国·专题练习）小明在爸爸的帮助下，准备动手做一个鸟笼． (1)如果做一个体积为的正方体鸟笼，那么鸟笼的棱长为多少？ (2)如果这个正方体鸟笼的体积为，那么鸟笼的棱长为多少？ 【易错必刷二十 平方根的综合应用】 58．（24-25七年级下·重庆·期末）实数的平方根为和，则的值是（  ） A． B． C． D． 59．（24-25七年级上·全国·课后作业）物体的高度h（米）与所需时间t（秒）满足（g=9.8米/秒²）那么一个物体从高度为122.5米的建筑物上落到地面上，需要_______秒． 60．（24-25七年级上·云南·期末）勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      学科网（北京）股份有限公司 $