第六章计数原理单元测试试卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理单元测试试卷（学生版） （人教A版选择性必修三第六章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 一、单选题 1．有不同的红球5个，不同的白球4个．从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有（    ） A．20种 B．16种 C．9种 D．32种 2．已知正整数满足，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．由数字，可以组成多少个不同的四位数（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 5．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 6．在的展开式中，常数项为（   ） A．15 B．40 C．60 D．80 7．已知，当（且）时，的最大值为（   ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 8．在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 11．文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（   ） A．如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B．如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C．如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D．如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的二项展开式是________． 13．在的展开式中，共有______项的系数为有理数． 14．如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有______种．    4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 16．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． (1)从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？ 17．已知的展开式中第5项为常数项. (1)求的值； (2)求展开式中所有的无理项. 18．从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个大于24500的五位数？ 19．为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章计数原理单元测试试卷（详解版） （人教A版选择性必修三第六章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．有不同的红球5个，不同的白球4个．从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有（    ） A．20种 B．16种 C．9种 D．32种 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】采用分步乘法计数原理进行分析，第一步取红球，第二步取白球，将两次的取法数相乘可得结果. 【详解】依题意，第一步，取红球，有5种不同取法；第二步，取白球，有4种不同取法． 根据分步乘法计数原理可知，共有（种）不同的取法. 2．已知正整数满足，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】排列数的计算、组合数方程和不等式 【分析】根据组合数和排列的定义化简后解方程． 【详解】即为，所以， 是正整数且，因此解得， 故选：C． 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质求出的值，再利用组合数的性质可求得的值. 【详解】因为，则，解得， 故 . 故选：D. 4．由数字，可以组成多少个不同的四位数（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【知识点】数字排列问题、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先计算所有数字的全排列，再除以重复数字的排列数即可. 【详解】4个数字的全排列数为. 因为有2个相同的数字2 ，所以需除以重复数字的排列数， 故数字，可以组成不同的四位数的个数：. 5．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 6．在的展开式中，常数项为（   ） A．15 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式定理的通项公式进行求解. 【详解】由题，展开式的通项为， 令，所以展开式中常数项为. 故选：C. 7．已知，当（且）时，的最大值为（   ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】A 【知识点】组合数的性质及应用、求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数 【分析】写出两式展开式，分析系数构成，根据奇数项系数正负性，结合组合数性质，确定时，的最大值. 【详解】由已知为展开式中的系数，且， ∴， 当时，必为奇数，且，， ∴，，所以的最大值为. 故选：A． 8．在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 【答案】A 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出的展开式中含和含的系数，再求原式的的系数即可. 【详解】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可. 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 10．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】排列数的计算、利用组合数公式证明 【分析】利用排列数公式，组合数公式一一判断即可. 【详解】，故A 错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，且， 所以，故D正确. 故选：BCD 11．文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（   ） A．如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B．如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C．如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D．如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 【答案】ACD 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】A选项，先把学生的节目选1个放在最后，剩余的10个节目进行全排列，A正确；B选项，先从学生的节目选2个放在两端，剩余的9个节目进行全排列，B错误；C选项，将2个教师的节目进行捆绑，再和9个学生的节目进行全排列，C正确；D选项，先安排9个学生的节目，再将2个教师的节目插空，D正确. 【详解】A选项，如果教师的节目不排在最后，从学生的节目选1个放在最后， 剩余的10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，A正确； B选项，如果教师的节目不排在两端，从学生的节目选2个放在两端， 剩余的9个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，B错误； C选项，如果教师的节目必须相邻，将2个教师的节目进行捆绑，2个教师节目可以进行全排列， 再和9个学生的节目一共10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，C正确； D选项，如果教师的节目不能相邻，先安排9个学生的节目， 再将2个教师的节目插空，那么不同排法的种数为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的二项展开式是________． 【答案】 【知识点】求二项展开式 【分析】根据二项式定理可得答案. 【详解】 ． 故答案为：． 13．在的展开式中，共有______项的系数为有理数． 【答案】3 【知识点】求有理项或其系数 【分析】利用通项可得答案. 【详解】， 要使系数为有理数，则且即，6，12．故共有3项． 故答案为：3. 14．如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有______种．    【答案】216 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】应用分步计数原理结合排列组合数计数求解. 【详解】先对上底面的顶点进行涂色，有种涂法． 再将剩下的1种颜色涂在下底面的顶点处，有种涂法.以涂在点处为例，可对点的涂法进行分类： ①若点与点同色，则点只能与点同色，此时有1种； ②若点与点同色，则点可在点与所涂的颜色中选1种，此时有2种． 可得，故不同的涂法有216种. 故答案为：. 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算、排列数的计算 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 16．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． (1)从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)9 (2)20 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）根据题意，利用分类计数原理，即可求解； （2）根据题意，利用分步计数原理，即可求解. 【详解】（1）解：从两个口袋内任取1个小球，有两类方案： 第一类，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二类，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法． 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是． （2）解：从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步骤来完成： 第一步，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二步，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法． 根据分步乘法计数原理知，不同取法的种数是． 17．已知的展开式中第5项为常数项. (1)求的值； (2)求展开式中所有的无理项. 【答案】(1)； (2)时，无理项为；时，无理项为；时，无理项为. 【知识点】根据二项式的第k项求值、求二项展开式的第k项、二项展开式的应用 【分析】（1）根据二项式定理写出通项，展开式中的常数项，即的指数为零时，即可求解； （2）根据二项式定理写出通项，展开式中所有的无理项，即的指数不为整数时，根据通项逐项求解即可. 【详解】（1）根据二项式定理，的展开式的通项为， 化简得， 因为展开式中第5项为常数项，即，的指数为零， 所以，解得； （2）由（1）得，当时的展开式的通项为， 要求展开式中的无理项，即的指数不为整数时， 即不为整数，则取奇数时满足条件， 对应的无理项为：时，； 时，； 时，. 18．从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个大于24500的五位数？ 【答案】(1) (2) 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用分类分步计数原理，借助优先特殊位置和排列数公式即可求解. 【详解】（1）第一类：排末位且数字不同的五位数有种； 第二类：排末位且数字不同的五位数有种； 所以可以组成数字不同的五位数的偶数有：种； （2）第一类：首位是比2大的五位数有：种； 第二类：首位是2，千位是比4大的五位数有：种； 第三类：首位是2，千位是4，百位比4大的五位数有：种； 所以大于24500的数字不同的五位数有：种. 19．为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【答案】(1)300 (2)240 (3)2160 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】（1）因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为：种. （2）完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：. （3）完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $