7.3 复数范围内实系数一元二次方程的解法（教案）--北师大版《数学 拓展模块一下册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 下册》 第七章 复数 7.3 复数范围内实系数一元二次方程的解法 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “复数范围内实系数一元二次方程的解法”是复数章节的应用类核心内容，核心知识点包括复数范围内实系数一元二次方程总有解的结论、判别式Δ<0时的求根方法及共轭复数根的性质，为后续学习高次方程等内容提供了重要的方程理论基础。教材以实数范围内一元二次方程的解法为逻辑主线，既衔接了学生对一元二次方程的认知，又深化了“数系扩充后方程解的完整性”这一核心思想，提升学生用复数工具解决代数方程问题的能力。 五、学情分析 多数学生已具备实数范围内一元二次方程的解法、判别式的意义等基础知识，并且对“数系扩充可以解决原有数系下无解的问题”有初步感知，这为他们学习复数范围内实系数一元二次方程的解法打下了基础。但如果只采用纯公式推导的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易出现混淆复数根与实数根运算规律的问题。因此可以通过实例计算帮助学生掌握复数范围内实系数一元二次方程的解法，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握在复数范围内实系数一元二次方程的解题思路； 2.能熟练运用求根公式求解复数范围内的实系数一元二次方程； 3.通过复数范围内方程求解的探究，深化对数系扩充意义的理解，提升数学运算、逻辑推理能力，培养数学抽象的核心素养。 七、教学重点 1.复数范围内实系数一元二次方程总有解； 2.运用求根公式求解复数范围内的实系数一元二次方程。 八、教学难点 运用求根公式求解复数范围内的实系数一元二次方程并写出方程的共轭复数根。 九、教学方法 案例法：通过案例来帮助学生理解复数范围内实系数一元二次方程的解法，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对复数范围内实系数一元二次方程的解法进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究充复数范围内实系数一元二次方程的解法，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 我们知道，对于实系数一元二次方程： 当时，方程有两个不同的实数解； 当时，方程有两个相同的实数解； 当时，方程在实数范围内没有解。 那么，方程在复数范围内是否有解呢？若有，如何求解？ 通过回顾旧知识引出新知识点：复数范围内实系数一元二次方程的解法。 新知讲授 复数范围内实系数一元二次方程的解法 现在我们在复数范围内考虑当时，实系数一元二次方程的解法。 方程可变形为， 即。 由于，故有 。 所以实系数一元二次方程在复数范围内的两个解为 。 显然，这两个解是一对共轭复数。也就是说，实系数一元二次方程的复数解是一对共轭复数，且满足，。 总结复数范围内实系数一元二次方程的解法。 案例分析 【例题】在复数范围内解方程。 【解析】因为，所以 。 【例题】已知实系数一元二次方程的一个解是，求，的值。 【解析】由题意知，方程的另一解为，从而 ，。 解得，。 通过案例来帮助学生更好地理解复数范围内实系数一元二次方程的解法。 学以致用 【练习】在复数集C中，解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1），则． （2）因为， 所以． （3）因为， 所以或， 解得. 【练习】（1）方程有一个根为，求实数的值； （2）方程有一个根为，求的值． 【解析】（1）由实系数一元二次方程的复数根互为共轭复数， 故另一个根为， ∴. （2）由题意，将代入方程可得： ． 同学们，刚刚我们完成了复数的运算相关知识点的学习。现在假设我们设计一个小型宣传栏，已知宣传栏的周长是6米，若要求面积是5平方米，则在实数范围内是否有解？在复数范围内的解又是什么？请说明两种解的区别。 答案： 设长为x米，宽为(3−x)米，方程是x(3−x)=5，整理为−3x+5=0,因为∆=−11<0，所以在实数范围内无实数解，说明不存在这样的矩形宣传栏；在复数范围内根是x=，但此复数解不对应现实中的矩形尺寸。 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对复数范围内实系数一元二次方程的解法的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】已知、为实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为、为实数，是关于的方程的一个根， 所以，关于的方程的两个虚根分别为、， 由韦达定理可得，可得， ，解得，故. 故选：B. 【练习2】已知i为虚数单位，为实系数一元二次方程的一个根，则此一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为为实系数一元二次方程的一个根, 所以为实系数一元二次方程的另一个根, 因为, 由选项得, 所以, 所以一元二次方程是. 故选:C. 【练习3】设、是方程在复数集范围内的两个解，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为根与系数的关系在复数集范围内同样适用， 所以，. 故选：B. 【练习4】i为虚数单位，为实系数一元二次方程的一个根，则b的值为（ ） A． B．2 C．0 D．4 【解析】因为为实系数一元二次方程的一个根， 所以是实系数一元二次方程的另一个根. 由韦达定理，可得 ，解得. 故选：A 【练习5】若复数z是方程的一个根，则（ ） A．0 B．1 C． D． 【解析】方法一：，不妨设，则， 所以，，所以，即. 方法二：因为复数z是方程的一个根，所以也是方程的一个根. 因此，.所以. 故选：A. 【练习6】在复数集中，解方程，其解为（ ） A． B． C． D． 【解析】方程，判别式， 所以在复数集中有两个共轭虚数解， 由求根公式得：. 故选：A. 【练习7】已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】已知实系数一元二次方程的一个根是, 则另一个根为， 所以，即， 又，即， 故选：D. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 复数范围内实系数一元二次方程的解法 实系数一元二次方程在复数范围内的两个解为 。 显然，这两个解是一对共轭复数。也就是说，实系数一元二次方程的复数解是一对共轭复数，且满足，。 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 复数范围内实系数一元二次方程的解法 实系数一元二次方程在复数范围内的两个解为 。 显然，这两个解是一对共轭复数。也就是说，实系数一元二次方程的复数解是一对共轭复数，且满足，。 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过回顾实数范围内方程解法引入复数范围内方程求解的拓展，多数学生能初步理解复数范围内实系数一元二次方程总有解的结论。但在课堂检测中也发现：个别学生在计算虚数根时容易出现符号错误的问题。因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $