8.2 第二课时 菱形 （新课预习讲义）（知识点梳理+常考题型+巩固测试）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

本讲义聚焦菱形这一核心知识点，系统梳理其作为特殊平行四边形的定义，整合平行四边形所有性质与菱形独有的四边相等、对角线垂直及对称性等性质，明确判定方法（定义法、四边相等、对角线垂直的平行四边形），并涵盖面积计算与易错点提示，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料通过重点分层标注、易错点警示及题型分类精讲（如利用对角线求边长、证明菱形），培养学生几何直观与推理能力，规范几何语言表达。课中辅助教师突出重难点教学，课后助力学生通过例题变式巩固知识，有效查漏补缺。

8.2 第二课时 菱形 新课预习讲义（苏科版） ☘ 预习目标 1.理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关系； 2.探索并证明菱形的性质、判定定理，并能运用定理进行证明和计算。 ✏ 重点知识●梳理 ◉【知识点一、菱形的定义】 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（如下图）.（菱形 = 特殊的平行四边形） ◉【知识点二、菱形的性质】（⭐重点） 1. 菱形具有平行四边形所有性质， 2.菱形独有性质： （1）边四条边都相等。 几何语言 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB=BC=CD=DA。 （2）对角线对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 几何语言∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD， BD 平分 ∠ABC 和 ∠ADC。 （3）对称性轴对称图形 + 中心对称图形 ◉【知识点三、菱形的判定】（⭐⭐重难点） ★满足下面任意一条即可判定是菱形： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法） 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB=AD，∴ 四边形 ABCD 是菱形。 2.四条边都相等的四边形是菱形 几何语言：∵ AB=BC=CD=DA，∴ 四边形 ABCD 是菱形。 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC⊥BD，∴ 四边形 ABCD 是菱形。 ◉【知识点四、菱形、矩形的区分】 1.矩形：对角线相等； 2.菱形：对角线垂直。 ★一句话区分：◈矩形：角特殊（直角），对角线相等； ◈菱形：边特殊（四边相等），对角线垂直。 ◉【知识点五、菱形的证明】 1.已知平行四边形，证明是菱形：（两种判定方法） 方法 1：证一组邻边相等（定义法） 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB=AD（一组邻边相等），∴ 四边形 ABCD 是菱形。 方法 2：证对角线互相垂直（常考） 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC⊥BD（对角线垂直），∴ 四边形 ABCD 是菱形。 ◉【知识点六、菱形面积】（考试必用） 1.底×高 2.对角线乘积的一半 ◆S=底×高 ◆S=×AC×BD ◉【知识点七、易错点】（必看） 1.对角线垂直的四边形不一定是菱形，前提是平行四边形。 2.菱形对角线垂直且平分，但不一定相等。 💦 常见考点●精讲精练 题型1利用菱形的性质求角度 例1．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 变式1．如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由菱形的性质可得，为对角线，即是的角平分线，再由角平分线的性质定理可得，最后证明即可得证； （2）由菱形的性质可得，再由平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，为对角线， 是的角平分线． ，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ． ，即， ． 同理可得， ． 题型2利用菱形的性质求线段长 例2．如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 所以这个菱形的边长为5． 变式1．已知菱形的周长为，两邻角之比为．则较短的对角线的长为______． 【答案】/6厘米 【分析】画出图形，根据菱形四条边相等的性质求出菱形边长，再根据菱形邻角互补求出较小内角的度数，判定较短对角线与两邻边构成等边三角形，即可求解较短对角线的长． 【详解】解：如图，在菱形中，周长为，，是较短的对角线． ∵菱形的周长是， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即较短的对角线的长为． 变式2．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 题型3利用菱形的性质求面积 例3．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 变式1．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 【答案】24 【分析】根据菱形的对角线性质可得、，易证得四边形是矩形，进而得到，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，从而计算菱形的面积． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点， 、， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：24． 变式2．如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质． 根据菱形对角线互相平分可知，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，得到，根据，可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 题型4利用菱形的性质证明 例4．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（   ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．既是中心对称图形又是轴对称图形 【答案】B 【分析】根据菱形的性质逐一判断各选项正误，即可找出说法不正确的选项． 【详解】解：∵菱形的基本性质为：四条边相等，对角线互相垂直平分，菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形， ∴A选项 四条边相等，说法正确，不符合题意； ∴B选项 菱形的对角线不一定相等，只有特殊菱形（正方形）对角线才相等，该说法错误，符合题意； ∴C选项 对角线互相垂直，说法正确，不符合题意； ∴D选项 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，说法正确，不符合题意． 变式1．如图，在菱形中，，，则的长为______． 【答案】12 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴． 变式2．如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，然后证，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ，即， 平行四边形是矩形． 题型5证明四边形是菱形 例5．如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形的对角线，相交于O，且互相平分， 四边形是平行四边形． A、是平行四边形的性质，不能判定四边形为菱形，故A不符合题意； B、四边形是平行四边形，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形为菱形，故B符合题意； C、四边形是平行四边形，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定四边形为菱形，故C不符合题意； D、四边形是平行四边形， ． ， ． 四边形是矩形． 不能判定四边形为菱形，故D不符合题意． 变式1．如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【分析】由题意得，即可得出结论． 【详解】解：由作图得：， ∴四边形是菱形，依据是四条边相等的四边形是菱形． 变式2．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，，证明，又因为平行四边形的性质，得，故，即，得，故平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴平分， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形是菱形． 题型6添一个条件使四边形是菱形 例6．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 变式1．如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【答案】或或或或或或（只需写出一个条件即可） 【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，通过添加条件证得，由一组对边相互平行且相等，从而证得四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 同理，添加或，则，即四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，． 在和中， ． ． ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 变式2．如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（或③） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定． （1）根据题意选择条件即可求解； （2）选①或③，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． 【详解】（1）解：①（或③） （2）解：选①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 题型7根据菱形的性质与判定求角度 例7．如图，在四边形中，对角线交于点．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，矩形的判定和性质，掌握菱形，矩形的判定和性质是关键． 根据题意得到，四边形是平行四边形，结合菱形，矩形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， A．若时，平行四边形是菱形， 不能判定，故不符合题意； B．若时，平行四边形是菱形， ∴，故符合题意； C．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意； D．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意． 故选：B． 变式1．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 变式2．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理是解题的关键． （1）先证明，利用证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的长为． 题型8根据菱形的性质与判定求线段长 例8．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的面积公式，理解纸条等宽的条件是解题关键． 先由纸条对边平行判定四边形为平行四边形，再结合纸条等宽，利用面积公式推导出邻边相等，确定其为菱形，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长． 【详解】解：如图，过点作于点E，于点F，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长为． 故选：． 变式1．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 变式2．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 题型9根据菱形的性质与判定求面积 例9．如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知，，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质求出对角线的长度，再根据菱形的面积计算公式计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，所得四边形的对角线互相垂直且平分， ∴得到的新的四边形为菱形，其边长，为对角线的一半， ∵，， ∴， ∴菱形的对角线长分别为和， ∴它的面积为， 故选：C． 变式1．如图，在中，，连接，，延长至E，平分，点P是上一点，连接、，则的面积为________． 【答案】60 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，平行线之间的垂线段相等，三角形的面积， 连接交于点G，根据菱形的性质证得，根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵中，， ∴是菱形，， ∴平分， 延长至E，则， ∵平分， ∴， ∴， 连接交于点G，则，且平分， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的高为， ∴， 故答案为60． 变式2．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于所在直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查尺规作三角形，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）分别以点A、C为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接、即可； （2）先根据菱形得，，则可求得，根据菱形的周长可求得，由勾股定理，可求出，从而求得，然后由菱形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：即为所求， 由作图可知：， ∵ ∴ ∴四边形为菱形， ∴与关于直线对称； （2）解：如图， 由（1）知四边形为菱形， ∴，，， ∵四边形周长为， ∴， 由勾股定理，得， ∴． ∴四边形的面积． ✍ 巩固提升测试题 一、单选题 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形，矩形，菱形的性质，逐一判断即可解答． 【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形， ∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确， ∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确， 综上，正确的结论共有4个． 2．如图，为等腰三角形．如果把它沿底边翻折后，得到，那么四边形为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】此题主要考查了菱形的判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握四边相等的四边形是菱形． 根据等腰三角形的性质可得，再根据折叠可得，，进而得到，根据四边相等的四边形是菱形可得到答案． 【详解】解：∵等腰沿底边翻折得到， ，， ， ， ∴四边形为菱形． 故选：B． 3．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意； B．∵菱形的四边相等， ∴， ∴，故本选项数据正确，不符合题意； C．∵菱形， ∴， ∴，即，故本选项数据正确，不符合题意； D．∵菱形， ∴，故本选项数据有误，符合题意， 故选：D． 4．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 5．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 二、填空题 7．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为____________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，在四边形是平行四边形的前提下，可添加邻边相等、对角线相互垂直等；根据菱形的判定条件添加即可． 【详解】解：添加，则是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 8．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 9．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 【答案】 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键． 根据中三边的长度，利用勾股逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ， 又∵， ∴, ，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 10．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形面积，掌握菱形的性质是解题关键．连接，根据菱形的性质，推出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形都是菱形， ，，，， ，， ， ， ， ， 和同底等高， ， 菱形的面积为，的面积为， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．已知：如图，为等腰三角形． (1)求作菱形，使得为菱形的一个内角，点，，分别在边，，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据菱形的判定，利用尺规作图作出的角平分线交于，作的垂直平分线交、于点、，连接、即可； （2）先根据等腰三角形三线合一求出的长度，再由平行线判定得到，进而推出，利用相似三角形性质求出，最后根据菱形面积公式求出面积． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在中，，D是边上一点，连接，分别过A，C作的平行线交于点E，平分，连接交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若四边形的周长为20，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据平行四边形 的判定定理得到四边形是平行四边形，，根据角平分线的定义得到，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据菱的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握菱形 的判定和性质度量是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形； （2）解：如图， 四边形是菱形，其周长为20， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 13．如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得四边形为平行四边形，再由直角三角形的性质得出，即可得证； （2）设交于点，由（1）可得，四边形为菱形，，由菱形的性质可得，，，证明为等边三角形得出，求出，由菱形的性质可得，最后由计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线． ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：如图，设交于点， ， 由（1）可得，四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 14．如图，在中，为的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写应满足的条件，再进行证明． 结论①：当满足___________时，四边形是矩形； 结论②：当满足___________时，四边形是菱形． 【答案】(1)详见解析 (2)①当满足时，四边形是矩形，详见解析；②当满足时，四边形是菱形，详见解析 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得，由证得，得出，由为的中线得出，进而得出，再根据平行四边形的判定定理(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)即可得证； （2）连接，如图，①先证出 ，再证出四边形是平行四边形，进而即可得证，②先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再证出四边形是平行四边形，进而即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵为的中线， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形； （2）解：连接，如图， ①当满足时，四边形是矩形，理由如下， ∵是中线，且， ∴，即 ， 由（1）知，且， ∵是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； ②当满足时，四边形是菱形，理由如下， ∵ ，是中线， ∴， 由（1）知，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 第二课时 菱形 新课预习讲义（苏科版） ☘ 预习目标 1.理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关系； 2.探索并证明菱形的性质、判定定理，并能运用定理进行证明和计算。 ✏ 重点知识●梳理 ◉【知识点一、菱形的定义】 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（如下图）.（菱形 = 特殊的平行四边形） ◉【知识点二、菱形的性质】（⭐重点） 1. 菱形具有平行四边形所有性质， 2.菱形独有性质： （1）边四条边都相等。 几何语言 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB=BC=CD=DA。 （2）对角线对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 几何语言∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD， BD 平分 ∠ABC 和 ∠ADC。 （3）对称性轴对称图形 + 中心对称图形 ◉【知识点三、菱形的判定】（⭐⭐重难点） ★满足下面任意一条即可判定是菱形： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法） 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB=AD，∴ 四边形 ABCD 是菱形。 2.四条边都相等的四边形是菱形 几何语言：∵ AB=BC=CD=DA，∴ 四边形 ABCD 是菱形。 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC⊥BD，∴ 四边形 ABCD 是菱形。 ◉【知识点四、菱形、矩形的区分】 1.矩形：对角线相等； 2.菱形：对角线垂直。 ★一句话区分：◈矩形：角特殊（直角），对角线相等； ◈菱形：边特殊（四边相等），对角线垂直。 ◉【知识点五、菱形的证明】 1.已知平行四边形，证明是菱形：（两种判定方法） 方法 1：证一组邻边相等（定义法） 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB=AD（一组邻边相等），∴ 四边形 ABCD 是菱形。 方法 2：证对角线互相垂直（常考） 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC⊥BD（对角线垂直），∴ 四边形 ABCD 是菱形。 ◉【知识点六、菱形面积】（考试必用） 1.底×高 2.对角线乘积的一半 ◆S=底×高 ◆S=×AC×BD ◉【知识点七、易错点】（必看） 1.对角线垂直的四边形不一定是菱形，前提是平行四边形。 2.菱形对角线垂直且平分，但不一定相等。 💦 常见考点●精讲精练 题型1利用菱形的性质求角度 例1．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 变式2．如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型2利用菱形的性质求线段长 例2．如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 变式1．已知菱形的周长为，两邻角之比为．则较短的对角线的长为______． 变式2．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 题型3利用菱形的性质求面积 例3．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 变式1．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 变式2．如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 题型4利用菱形的性质证明 例4．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（   ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．既是中心对称图形又是轴对称图形 变式1．如图，在菱形中，，，则的长为______． 变式2．如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 题型5证明四边形是菱形 例5．如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B．C．D． 变式1．如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 变式2．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 题型6添一个条件使四边形是菱形 例6．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 变式2．如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 题型7根据菱形的性质与判定求角度 例7．如图，在四边形中，对角线交于点．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 变式2．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 题型8根据菱形的性质与判定求线段长 例8．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 变式2．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 题型9根据菱形的性质与判定求面积 例9．如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知，，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 变式1．如图，在中，，连接，，延长至E，平分，点P是上一点，连接、，则的面积为________． 变式2．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于所在直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积． ✍ 巩固提升测试题 一、单选题 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，为等腰三角形．如果把它沿底边翻折后，得到，那么四边形为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对 3．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A． B． C． D． 4．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 5．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、填空题 7．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为____________（写出一个即可） 8．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则________． 9．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 10．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 三、解答题 11．已知：如图，为等腰三角形． (1)求作菱形，使得为菱形的一个内角，点，，分别在边，，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 12．如图，在中，，D是边上一点，连接，分别过A，C作的平行线交于点E，平分，连接交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若四边形的周长为20，，求的长． 13．如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 14．如图，在中，为的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写应满足的条件，再进行证明． 结论①：当满足___________时，四边形是矩形； 结论②：当满足___________时，四边形是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $