第七单元　图形的变化 课件 2026年中考数学一轮专题复习（浙江）

第七单元　图形的变化 大概念 统领下的科学备考方案 单元整合 1 理解三类基本的图形运动,探索它们的性质,会利用性质进行计算和推理,并进行图案设计. 感受图形变化之后的坐标变化,会求变换后的点的坐标. 了解中心投影和平行投影的概念,会画简单立体图形的三视图. 能根据三视图或展开图描述简单几何体,认识平面图形和立体图形的联系,发展空间观念和几何直观. 学会用数学的眼光观察现实世界,感悟图形有规律变化产生的美. 学习目标 备考手册 第27课时　尺规作图 教材知识整合 高频考向探究 考 点 一 基本尺规作图 (1)作一条线段等于已知线段:如图27-1. (2)作一个角等于已知角:如图27-2. 图27-1 图27-2 返回目录 教材知识整合 4 (3)作已知角的平分线:如图27-3. (4)作已知线段的垂直平分线:如图27-4. 图27-3 图27-4 返回目录 教材知识整合 (5)过一点作已知直线的垂线:如图27-5. (6)过直线外一点作已知直线的平行线:如图27-6. 图27-5 图27-6 返回目录 教材知识整合 基础自测 1.如图27-7,用尺规作“与已知角相等的角”的过程中,作出∠A'O'B'=∠AOB的依据是(　　) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 图27-7 D 返回目录 教材知识整合 2.如图27-8,在△ABC中,∠C=90°,用直尺和圆规在边BC上确定一点P,使点P到边AC,AB的距离相等,则符合要求的作图痕迹是 (　　) 图27-8 C 返回目录 教材知识整合 3.(2024温岭二模)如图27-9,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,进行如下操作:①以点B为圆心,小于AB的长为半径作弧,分别交BA,BC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧交于点M;③作射线BM交AC于点D,则∠BDC的度数为　　　　°.  图27-9 120 返回目录 教材知识整合 4.(2025湖南)如图27-10,在△ABC中,BC=6,E是AC的中点,分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,直线MN交AB于点D,连结DE,则DE的长是　　　　.  图27-10 [解析]由作图过程可知,直线MN为线段AB的垂直平分线,∴D是AB的中点.又∵E是AC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE=BC=3. 3 返回目录 教材知识整合 考 点 二 利用尺规作图作三角形 (1)已知三边作三角形:如图27-11. (2)已知两边及其夹角作三角形:如图27-12. 图27-11 图27-12 返回目录 教材知识整合 (3)已知两角及其夹边作三角形:如图27-13. 图27-13 返回目录 教材知识整合 基础自测 5.如图27-14,已知:∠α,直线l及l上两点A,B. 求作:Rt△ABC,使点C在直线l的上方,且∠ABC=90°,∠BAC=∠α. 图27-14 解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形. 返回目录 教材知识整合 考 点 三 与圆有关的尺规作图 作△ABC 的外接圆 分别作AB,BC的垂直平分线,两直线交于点O,则以点O为圆心,OB长为半径的圆O即为所求 作△ABC 的内切圆 分别作∠ABC,∠ACB的平分线,两线交于点O,作点O到任意一边的垂线,垂足为M,则以点O为圆心,OM长为半径的圆O即为所求 返回目录 教材知识整合 基础自测 6.如图27-15,根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形内心的是(　　) C 图27-15 返回目录 教材知识整合 7.尺规作图: (1)如图27-16①,作三角形的外接圆; (2)如图②,作三角形的内切圆. 图27-16 解:(1)如图①所示,☉O即为所求. (2)如图②所示,☉E即为所求. 返回目录 教材知识整合 基本作图及其应用 考向一 (2024金华一模)如图27-17,已知Rt△ABC,∠BCA=90°,过点C作一条射线,使其将△ABC分成两个相似的三角形.观察图中尺规作图的痕迹,作法正确的是 (　　) 例 1 D 图27-17 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 返回目录 高频考向探究 (2025绥化)尺规作图:(温馨提示:以下作图均不写作法,但需保留作图痕迹) 【初步尝试】 如图27-18①,用无刻度的直尺和 圆规作一条经过圆心的直线OP, 使扇形OMN的面积被直线OP平分. 【拓展探究】 如图②,若扇形OMN的圆心角为30°,请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的,交OM于点C,交ON于点D,使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1∶4. 例 2 图27-18 返回目录 高频考向探究 【初步尝试】 如图27-18①,用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP,使扇形OMN的面积被直线OP平分. 解:【初步尝试】如图①,射线OP即为所求. 返回目录 高频考向探究 【拓展探究】 如图②,若扇形OMN的圆心角为30°,请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的,交OM于点C,交ON于点D,使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1∶4. 【拓展探究】如图②,即为所求. 返回目录 高频考向探究 利用尺规作平行线 考向二 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程. 已知:如图27-19①,直线l和直线l外一点P. 求作:直线l的平行线,使它经过点P. 作法:如图②, 例 3 图27-19 返回目录 高频考向探究 ①过点P作直线m与直线l交于点O; ②在直线m上取一点A(OA<OP),以点O为圆心,OA长为半径画弧,与直线l交于点B; ③以点P为圆心,OA长为半径画弧,交直线m于点C(点C在点P的右侧),以点C为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点D; ④作直线PD. 直线PD就是所求作的直线. (1)依作法补全图形; (2)该作图的依据是  　.  图27-19 返回目录 高频考向探究 (1)依作法补全图形; 图27-19 解:(1)如图. 返回目录 高频考向探究 (2)该作图的依据是  　.  图27-19 (2)三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;同位角相等,两直线平行;两点确定一条直线 返回目录 高频考向探究 变式 如图27-20,过直线AB外的点P作直线AB的平行线,图30-21中作法错误的是 (　　) 图27-20 C 图30-20 返回目录 高频考向探究 (2024浙江21题)尺规作图问题: 如图27-21①,E是▱ABCD边AD上一点(不包含点A,D),连结CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点. 小明:如图②,以点C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连结AF,则AF∥CE. 小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连结AF,则AF∥CE. 小明:小丽,你的作法有问题. 小丽:哦……我明白了! (1)证明小明的作法中AF∥CE; (2)指出小丽作法中存在的问题. 例 4 图27-21 返回目录 高频考向探究 (1)证明小明的作法中AF∥CE; 图27-21 解:(1)证明:根据小明的作法知,CF=AE. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,即AE∥CF, ∴四边形AFCE是平行四边形, ∴AF∥CE. 返回目录 高频考向探究 (2)指出小丽作法中存在的问题. 图27-21 (2)以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,此时可能会有两个交点,只有其中之一符合题意. 故小丽的作法有问题. 返回目录 高频考向探究 网格作图 考向三 (2025吉林)图27-22①②均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.△ABC内接于☉O,且点A,B,C,O均在格点上.只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图. (1)在图①中找一个格点D(点D不 与点C重合),画出∠ADB,使∠ADB =∠ACB; (2)在图②中找一个格点E,画出 ∠AEC,使∠AEC+∠ABC=180°. 例 5 图27-22 返回目录 高频考向探究 (1)在图①中找一个格点D(点D不与点C重合),画出∠ADB,使∠ADB=∠ACB; 图27-22 解:(1)如图①,点D即为所求(答案不唯一). 返回目录 高频考向探究 (2)在图②中找一个格点E,画出∠AEC,使∠AEC+∠ABC=180°. 图27-22 (2)如图②,点E即为所求(答案不唯一). 返回目录 高频考向探究 (2023温州)如图27-23,在2×4的方格纸ABCD中,每个小方格的边长均为1.已知格点P,请按要求画格点三角形(顶点均在格点上). (1)在图①中画一个等腰三角形PEF,使底边长为,点E在BC上,点F在AD上,再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形; (2)在图②中画一个Rt△PQR,使∠P=45°,点Q在BC上,点R在AD上,再画出该三角形向右平移1个单位后的图形. 例 6 图27-23 返回目录 高频考向探究 (1)在图①中画一个等腰三角形PEF,使底边长为,点E在BC上,点F在AD上,再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形; 解:(1)画法不唯一,如图①或图②. 返回目录 高频考向探究 (2)在图②中画一个Rt△PQR,使∠P=45°,点Q在BC上,点R在AD上,再画出该三角形向右平移1个单位后的图形. (2)画法不唯一,如图③或图④. 返回目录 高频考向探究 $备考手册 第29课时　图形的对称、平移与旋转 教材知识整合 高频考向探究 考 点 一 轴对称与中心对称 1.轴对称图形与中心对称图形 (1)如果把一个图形沿着一条直线折叠后,直线两侧的部分能够①　 　　　,那么这个图形叫做轴对称图形;  (2)如果一个图形绕着一个点旋转②　　　　后,所得到的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫③　 　　　.  2.轴对称与中心对称 (1)轴对称是一个图形沿某直线翻折后,能和④　　　　图形互相重合;  (2)中心对称是一个图形绕某一点旋转⑤　　　　后,能和另一个图形互相重合.  互相重合 180° 对称中心 另一个 180° 返回目录 教材知识整合 2 3.图形的性质 (1)成轴对称的两个图形,对应线段⑥　　　　,对应角⑦　　　　,对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线;  (2)成中心对称的两个图形,对应线段相等,对应角⑧　　　　,连结两个对称点的线段都经过⑨　 　　　且被对称中心⑩　　　　.  相等 相等 相等 对称中心 平分 返回目录 教材知识整合 基础自测 1.(2025遂宁)汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体,在发展过程中演变出多种字体,给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书,能看作是轴对称图形的是 (　　) 图29-1 D 返回目录 教材知识整合 2.(2025烟台)2025年4月24日,神舟二十号载人飞船成功发射,以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的是(　　) 图29-2 D 返回目录 教材知识整合 考 点 二 平移 方向 1.平移的概念 一个图形沿某个方向移动,在移动过程中,原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离,这样的图形运动叫做图形的平移,它是由移动的⑪       和⑫　　　　决定的.  2.平移的性质: (1)平移不改变图形的⑬　　　和大小(即平移前后的两个图形⑭　　　);  (2)一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一直线上)且⑮　　　　.  距离 形状 全等 相等 返回目录 教材知识整合 基础自测 3.(2024金华一模)下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是 (　　) 图29-3 B 返回目录 教材知识整合 4.如图29-4,在正方形网格中,△ABC平移到△DEF的位置,则下列说法错误的是 (　　) A.∠ACB=∠DFE B.AD∥BE C.AB=DE D.平移距离为线段BD的长 图29-4 D 返回目录 教材知识整合 5.如图29-5,∠ACB=90°,将Rt△ABC沿着射线BC的方向平移5 cm,得到△A'B'C',并且B'C'=3 cm,A'C'=4 cm,则阴影部分的面积为 (　　) A.10 cm2 B.14 cm2 C.28 cm2 D.35 cm2 图29-5 B 返回目录 教材知识整合 考 点 三 图形的旋转 1.旋转的概念 一般地,一个图形变为另一个图形,在运动的过程中,原图形上的所有点都绕一个固定的点,按⑯　　　　方向转动同一个⑰　　　　,这样的图形运动叫做图形的旋转,这个固定的点称为旋转中心.  2.旋转的三要素 ⑱　 　　　,⑲　 　　　和⑳　　　　.  同一个 角度 旋转中心 旋转方向 旋转角 返回目录 教材知识整合 3.图形旋转的性质 (1)图形经过旋转所得的图形和原图形㉑　　　　;  (2)对应点到旋转中心的距离㉒　　　　;  (3)任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 全等 相等 返回目录 教材知识整合 基础自测 6.如图29-6,在△ABD中,∠BAD=90°,将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE,此时点C恰好落在BD边上.若∠E=24°,则∠BAC= (　　) A.24° B.48° C.66° D.72° 图29-6 B 返回目录 教材知识整合 7.如图29-7,已知点A(-1,0),B(0,2),点A与点A'关于y轴对称,连结A'B,现将线段A'B绕点A'顺时针旋转90°得到A'B',则点B的对应点B'的坐标为　　　　.  图29-7 (3,1) 返回目录 教材知识整合 8.(2024温州瓯海区一模)如图29-8,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,将△ADC绕点A逆时针旋转90°得到△AEF,点D,C分别对应点E,F,连结CF.若∠BAC= 62°,则∠CFE的度数为　　　　°.  图29-8 [解析]∵AB=AC,D是BC的中点,∠BAC=62°, ∴BD=CD,∠ACB=∠ABC=59°,AD⊥BC. ∵将△ADC绕点A逆时针旋转90°得到△AEF,∴AF=AC,∠CAF=90°,∠AFE=∠ACD=59°, ∴∠AFC=∠ACF=45°,∴∠CFE=59°-45°=14°. 14 返回目录 教材知识整合 图形的折叠与轴对称 考向一 综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动,有一位同学操作过程如下: 操作一:对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平; 操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在正方形内部点M处,把纸片展平,连结PM,BM,延长PM交CD于点Q,连结BQ. (1)如图29-9①,当点M在EF上时,∠EMB=　　　　°;  例 1 图29-9 返回目录 高频考向探究 (2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图②,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由. 图29-9 返回目录 高频考向探究 (1)如图29-9①,当点M在EF上时,∠EMB=　　　　°;  图29-9 [解析]由折叠的性质可得AE=BE=AB, ∠AEM=∠BEM=90°,AB=BM, ∴BE=BM. ∴∠EMB=30°.故答案为30. 30 返回目录 高频考向探究 (2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图②,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由. 图29-9 (2)∠MBQ=∠CBQ.理由如下: 由折叠的性质可得AB=BM,∠A=∠BMP=90°. ∴BC=AB=BM,∠BMQ=∠C=90°. 又∵BQ=BQ, ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL). ∴∠MBQ=∠CBQ. 返回目录 高频考向探究 1.如图29-10,将三角形纸片ABC折叠,使点B,C都与点A重合,折痕分别为DE,FG.已知∠ACB=15°,AE=EF,DE=,则BC的长为　 　　　.  考向精练 4+2 图29-10 返回目录 高频考向探究 [解析]∵把三角形纸片折叠,使点B,C都与点A重合,折痕分别为DE,FG, ∴BE=AE,AF=FC,∠FAC=∠C=15°.∴∠AFE=30°. 又AE=EF,∴∠EAF=∠AFE=30°.∴∠AEB=60°. ∴△ABE是等边三角形. ∴∠AED=∠BED=30°,∠BAE=60°. ∵DE=,∴EF=AE=BE=AB==2. ∴BF=BE+EF=4. ∵∠BAF=60°+30°=90°,∴FC=AF==2. ∴BC=BF+FC=4+2. 图29-10 返回目录 高频考向探究 2.如图29-11,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BC上一点,沿DE折叠,点C恰好落在点O处,则∠DBC的度数为 (　　) A.15° B.22.5° C.30° D.45° 图29-11 C 返回目录 高频考向探究 3.(2024杭州临安区二模)如图29-12是以点O为圆心,AB为直径的圆形纸片,点C在☉O上,将该圆形纸片沿直线CO对折,点B落在☉O上的点D处(不与点A重合),连结CB,CD,AD.设CD与直径AB交于点E.若AD=ED,AE=1,则BC的长为 (　　) A.1+ B.2+ C.3+ D.2 图29-12 B 返回目录 高频考向探究 [解析]如图,连结OD,则OD=OA=OB=OC,∴∠OCB=∠B.由折叠得∠OCD=∠OCB. ∵AD=ED,∴∠A=∠AED. ∵∠A=∠BCE,∠AED=∠BEC,∴∠BCE=∠BEC=2∠OCB=2∠B. ∴BC=BE,2∠B+2∠B+∠B=180°.∴∠ADE=∠B=36°. ∴∠A=∠AED=∠BEC=2∠B=2×36°=72°.∴∠ADO=∠A=72°. ∴∠EDO=∠ADO-∠ADE=72°-36°=36°,∠EOD=∠AED-∠EDO=72°-36°=36°. ∴∠EDO=∠EOD.∴AD=ED=EO.∵AE=1,∴OA=AE+EO=1+EO. ∵∠AED=∠ADO,∠A=∠A,∴△AED∽△ADO. ∴.∴AD2=AE·OA.∴EO2=1+EO,解得EO=或EO=(不符合题意,舍去).∴BC=BE=EO+OB=EO+OA=+1+=2+. 返回目录 高频考向探究 利用轴对称求最值 考向二 如图29-13,四边形ABCD是边长为8的菱形,∠ABC=60°,M是对角线BD上的一个动点. (1)若N是AB边上一点,AN=2,连结AM,MN,则AM+MN的最小值为　　　　;  例 2 图29-13 [解析]思路1:借助点A的对称点C求解: (1)A,N是定点,M是BD上的动点.根据菱形的性质,得点A关于BD的对称点为点C,连结MC,NC,则AM+MN=CM+MN≥CN,CN的值即为所求(当C,M,N三点共线时,CM+MN有最小值CN). 2 返回目录 高频考向探究 (2)若N是AB边上一个动点,连结AM,MN,则AM+MN的最小值为　　　　.  图29-13 [解析](2)与(1)不同的是,N和M均为动点.同(1)连结MC,NC,则AM+MN=CM+MN≥CN,由于N为动点,故CN的长不确定,根据垂线段最短知当CN⊥AB时,CN最小,故AM+MN最小. 思路2:借助点N的对称点求解,请同学们自行尝试求解. 4 返回目录 高频考向探究 求解线段和最小值问题的基本方法: (1)单动点问题:如图29-14,利用对称性,化“同”为“异”,化“折”为“直”,再构造直角三角形求线段长. 通性通法 图29-14 返回目录 高频考向探究 (2)双动点问题:如图29-15,先作定点关于其中一个动点所在直线的对称点,再过此对称点作另一动点所在直线的垂线,利用垂线段最短求解. 通性通法 图29-15 返回目录 高频考向探究 4.(2025绥化)如图29-16,在菱形ABCD中,AB=4,对角线BD=4,P是边CD的中点,M是对角线BD上的一个动点,连结PM,CM,则PM+CM的最小值是　　　. 考向精练 2 图29-16 返回目录 高频考向探究 [解析]如图,作点P关于BD的对称点P',连结PP',MP',CP', ∴PM=P'M. ∴PM+CM=P'M+CM≥P'C. ∵四边形ABCD是菱形,AB=4,P是边CD的中点, ∴点P'在边AD上,且是AD的中点,∴DP'=AD=2. ∵BD=4,AB=AD=4,∴∠BAD=120°,∠ADC=60°, ∴CP'⊥AD,∴CP'=2, ∴PM+CM的最小值即为P'C的长,为2. 返回目录 高频考向探究 5.如图29-17,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P,D分别是边AB,AC上的动点,则PC+PD的最小值为　　　　.  图29-17 返回目录 高频考向探究 [解析]如图,作点C关于AB的对称点C',连结CC',交AB于点E,连结C'P,则PC=PC',PC+PD=PC'+PD,CC'⊥AB,∴当C'D⊥AC时,PC+PD的值最小,为C'D的长.在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,由勾股定理得AC=4. ∵S△ABC=BC·AC=AB·CE,∴3×4=5CE.∴CE=.∴CC'=2CE=. ∵∠C'EP=∠PDA=90°,∠C'PE=∠APD,∴∠C'=∠A. ∵∠CDC'=∠ACB=90°,∴△C'DC∽△ACB. ∴,即.∴C'D=,即PC+PD的最小值为. 返回目录 高频考向探究 图形的旋转 考向三 如图29-18,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE,连结DE,则下列说法不一定正确的是 (　　) A.△ADE是等边三角形 B.AB∥CE C.∠BAD=∠DEC D.AC=CD+CE 例 3 C 图29-18 返回目录 高频考向探究 (1)旋转前后各条线段旋转的角度相等,均为旋转角;(2)旋转可产生等腰三角形(旋转60°,90°可分别产生等边三角形、等腰直角三角形). 通性通法 返回目录 高频考向探究 6.如图29-19,在△ABC中,∠BAC=64°,将△ABC绕点A逆时针旋转α(0°<α<64°)得到△ADE,DE交AC于点F.当α=40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE的度数为(　　) A.90° B.94° C.100° D.104° 考向精练 图29-19 [解析]∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,∠BAC=64°, ∴∠BAD=40°,AB=AD,∠B=∠ADE, ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=24°,∠B=∠ADE=×(180°-40°)=70°, ∴∠AFE=24°+70°=94°. B 返回目录 高频考向探究 7.如图29-20,在△ABC中,AC=5,BC=8,∠ACB=120°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC.下列结论错误的是 (　　) A.CD=5 B.BC⊥DE C.B,E两点之间的距离为8 D.A,C,E三点共线 图29-20 B 返回目录 高频考向探究 [解析]∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, ∴CD=AC=5,故A选项正确,不符合题意; 连结BE,如图. ∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, ∴BC=CE,∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形, ∴BE=BC=8,即B,E两点之间的距离为8,故C选项正确,不符合题意; ∵∠ACB=120°,∠BCE=60°,∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=180°,∴A,C,E三点共线,故D选项正确,不符合题意; 由已知条件可知,∠ABC≠30°,∴∠DEC≠30°,∴BC与DE不垂直,故B选项不正确,符合题意.故选B. 返回目录 高频考向探究 8.如图29-21,在△ABC中,∠ACB=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE,点A,C的对应点分别为D,E,连接CE.当点A,C,E在同一条直线上时,∠DEA的度数为　　　　.  图29-21 [解析]由旋转,得∠DEB=∠ACB=120°,BC=BE. ∵∠ACB=120°,点A,C,E在同一条直线上, ∴∠BCE=60°, ∴△BCE为等边三角形,∴∠BEC=60°, ∴∠DEA=∠DEB-∠BEC=60°. 60° 返回目录 高频考向探究 9.如图29-22,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在AB上,且BD=2AD,连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°至CE,连结BE,DE. (1)求证:△ACD≌△BCE; (2)求线段DE的长. 图29-22 解:(1)证明:∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°至CE, ∴CD=CE,∠DCE=90°. 又∵∠ACB=90°,∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD, 即∠ACD=∠BCE. 在△ACD与△BCE中,∴△ACD≌△BCE. 返回目录 高频考向探究 (2)求线段DE的长. 图29-22 (2)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3, ∴AB=6,∠A=∠ABC=45°. ∵BD=2AD,∴AD=2,BD=4. 由(1)可知△ACD≌△BCE, ∴∠CBE=∠A=45°,BE=AD=2, ∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°. ∵在Rt△BDE中,∠DBE=90°,∴DE2=BE2+BD2, ∴DE==2. 返回目录 高频考向探究 $备考手册 第28课时　三视图与表面展开图 教材知识整合 高频考向探究 考 点 一 三视图 1.三视图 2.在画几何体的三视图时,应注意以下两点: (1)长对正、高④　　　　、宽⑤　　　　;  (2)图中看不到的棱用虚线表示出来. 前面 左面 上面 平齐 相等 返回目录 教材知识整合 2 基础自测 1.(2025嘉兴一模)如图28-1是底面为正方形的直四棱柱,下面关于它的三个视图的说法正确的是 (　　) A.主视图与俯视图相同 B.主视图与左视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三个视图都相同 图28-1 B 返回目录 教材知识整合 2.(2025湖北)“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的,拟用于未来建造月球基地.如图28-2是一种“月壤砖”的示意图,它的主视图是(　　) 图28-2 图28-3 B 返回目录 教材知识整合 3.(2025广西)如图28-4是一个正三棱柱,则它的俯视图是 (　　) 图28-4 图28-5 D 返回目录 教材知识整合 考 点 二 直棱柱的展开与折叠 几何体 展开图 底面形状 侧面形状 直三棱柱 三角形 矩形 直四棱柱 四边形 矩形 返回目录 教材知识整合 (续表) 几何体 展开图 底面形状 侧面形状 正方体 正方形 正方形 直n棱柱 多边形 矩形 返回目录 教材知识整合 基础自测 4.(2025河南)数学活动课上,小颖绘制的某立体图形的展开图如图28-6所示,则该立体图形是 (　　) 图28-6 图28-7 D 返回目录 教材知识整合 5.如图28-8所示的四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是 (　　) 图28-8 A 返回目录 教材知识整合 考 点 三 圆柱的展开图及其侧面积、全面积 圆柱侧面积 S侧=2πrl 圆柱全面积 S全=2πrl+2πr2 返回目录 教材知识整合 基础自测 6.圆柱的侧面展开图是正方形,则该圆柱的一个底面圆的面积和侧面积的比为 (　　) A.1∶1 B.1∶2 C.1∶π D.1∶4π D 返回目录 教材知识整合 7.(2024绍兴新昌县一模)如图28-9,桌面上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高6厘米,底面周长为16厘米,在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖,在玻璃杯的外壁,与A相对的位置上有一小虫P,小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米,则小虫爬到蜜糖A处的最短路径长是(　　) A.厘米 B.10厘米 C.8厘米 D.8厘米 图28-9 B 返回目录 教材知识整合 [解析]如图,将圆柱侧面展开,最短路径长为PA'的长度. ∵PA'==10(cm), ∴小虫爬到蜜糖A处的最短路径长为10 cm. 返回目录 教材知识整合 考 点 四 圆锥的展开图及其侧面积、全面积 侧面展开图 θ=·360°   圆锥侧面积 S侧=πrl 圆锥全面积 S全=⑥　　 　  πrl+πr2 返回目录 教材知识整合 基础自测 8.(2024杭州滨江区一模)圆锥的母线长为6,底面半径为2,则该圆锥的侧面积为　　　　(结果保留π).  9.(2024海宁三模)一个圆锥的侧面展开图如图28-10所示,则该圆锥的底面半径为 (　　) A. B.1 C.π D.2 12π 图28-10 B 返回目录 教材知识整合 正方体的展开图 考向一 (2024济宁)如图28-11是一个正方体的展开图,把展开图折叠成正方体后,有“建”字一面的相对面上的字是 (　　) A.人 B.才 C.强 D.国 例 1 D 图28-11 返回目录 高频考向探究 变式 (2024宜宾)如图28-12是正方体的表面展开图,将其折叠成正方体后,距顶点A最远的点是 (　　) A.点B B.点C C.点D D.点E 图28-12 B 返回目录 高频考向探究 几何体的三视图 考向二 (2024威海)下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的,其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是 (　　) 例 2 D 图28-13 返回目录 高频考向探究 1.(2024浙江2题)5个相同的正方体搭成的几何体如图28-14所示,这个几何体的主视图为 (　　) 考向精练 B 图28-14 图28-15 返回目录 高频考向探究 2.(2025浙江4题)底面是正六边形的直棱柱如图28-16所示,其俯视图是 (　　) 图28-16 图28-17 A 返回目录 高频考向探究 3.如图28-18,下列四个几何体中,其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是 (　　) 图28-18 D 返回目录 高频考向探究 4.(2025烟台)如图28-19是社团小组运用3D打印技术制作的模型,它的左视图是 (　　) 图28-19 图28-20 C 返回目录 高频考向探究 由三视图确定几何体 考向三 如图28-21是某几何体的三视图,则这个几何体是 (　　) 例 3 C 图28-21 图28-22 返回目录 高频考向探究 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成的,如图28-23是这个几何体的三视图,那么构成这个几何体的小正方体的个数是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 例 4 图28-23 A 返回目录 高频考向探究 与圆锥有关的计算 考向四 如图28-24是一个圆锥及其侧面展开图,则该圆锥的底面半径长为　　　　.  例 5 图28-24 [解析]根据题意得2πr=, 解得r=5. 5 返回目录 高频考向探究 某班学生表演课本剧,要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图28-25,这个圆锥的底面圆周长为20π cm,母线AB长为30 cm.为了使帽子更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),这条彩带的最短长度是(　　) A.30 cm B.30 cm C.60 cm D.20π cm 例 6 图28-25 B 返回目录 高频考向探究 [解析]该圆锥的侧面展开图如图,连结AA',过点B作BC⊥AA'于点C. ∵圆锥的底面圆周长为20π cm,∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20π cm. 设扇形的圆心角为n°,则=20π, 解得n=120,∴∠ABA'=120°, ∴∠BAA'=30°,∴AC=AB·cos 30°=30×=15(cm), ∴AA'=2AC=30 cm, ∴这条彩带的最短长度是30 cm. 返回目录 高频考向探究 $