8.2 第一课时 矩形 （新课预习讲义）(知识点梳理+常考题型+巩固测试)-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

本讲义聚焦矩形这一核心知识点，系统梳理矩形的定义、性质（含平行四边形共性及四角直角、对角线相等等特性）、判定定理（定义法、对角线相等的平行四边形、三个直角的四边形），并关联平行线间距离的定义、性质及与矩形的联系，构建从平行四边形到矩形的知识支架。 资料题型丰富（16类），知识梳理含几何语言、易错点及公式，通过折叠问题培养空间观念，证明题提升推理能力，例题变式结合助力学生巩固。课中辅助教师授课，课后帮助学生查漏补缺，发展数学眼光与思维。

8.2 第一课时 矩形 新课预习讲义（苏科版） 💦 题型归纳 题型1矩形性质理解. 题型2利用矩形的性质求角度. 题型3根据矩形的性质求线段长. 题型4根据矩形的性质求面积. 题型5利用矩形的性质证明. 题型6求矩形在坐标系中的坐标. 题型7矩形与折叠问题. 题型8矩形的判定定理理解. 题型9证明四边形是矩形. 题型10添一条件使四边形是矩形. 题型11根据矩形的性质与判定求角度. 题型12根据矩形的性质与判定求线段长. 题型13根据矩形的性质与判定求面积. 题型14求平行线间的距离. 题型15利用平行线间距离解决问题. 题型16巩固测试（15题）. ☘ 重点知识●梳理 ◉ 【知识点一、矩形的定义】 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(如下图ABCD)。（矩形 = 特殊的平行四边形） ◉【知识点二、矩形的性质】（⭐重点） 1. 矩形具有平行四边形所有性质. 2.★矩形的特有性质: (1)角：四个角都是直角（90°）. 几何语言：∠A=∠B=∠C=∠D=90∘; (2) 对角线：对角线相等且互相平分 .几何语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD。 (3)对称性既是中心对称图形，又是轴对称图形. ◉【知识点三、矩形的判定】（⭐⭐重难点） 1.有一个角是直角的平行四边形（定义）； 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 ∠A=90∘，∴ 四边形 ABCD 是矩形。 2. 对角线相等的平行四边形； 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC=BD，∴ 四边形 ABCD 是矩形。 3.三个角都是直角的四边形. 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90∘，∴ 四边形 ABCD 是矩形。 ◉【知识点四、矩形证明题常用结论】（直接用） 1.矩形中对角线相等 ⇒ AC=BD; 2.对角线互相平分 ⇒ 分成的四个小三角形等腰; 3.有直角 ⇒ 可用勾股定理求边长 ◆ 证明思路： 1.先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等； 2.直接证三个角是直角 ◉【知识点五、易错点】（考试避坑） 1.对角线相等的四边形不一定是矩形,前提是平行四边形； 2.有一个直角的四边形不一定是矩形； 3.矩形对角线相等且平分，但不一定垂直。 ◉【 知识点六、矩形简单公式】 ◆ 周长：C=2（长+宽） ◆ 面积：S=长×宽 ◉【知识点七、求平行线间的距离】 1.定义;从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线段，这条垂线段的长度叫做这两条平行线之间的距离。 2.关键点：(1)必须是垂线段;(2)是长度，不是线段本身. 3.性质:两条平行线之间的距离处处相等。 几何语言：若 a∥b，AC⊥b，BD⊥b，则 AC=BD。 4.推论:平行线间的平行线段相等 如果两条线段都夹在两条平行线之间，并且互相平行，那么这两条线段相等。 几何语言：已知 a∥b，AB∥CD，则 AB=CD。 ◉【知识点八、平行线间距离与平行四边形、矩形的联系】 1.平行四边形的高 = 一组对边所在平行线之间的距离； 2.矩形中，一边长 = 另一组对边所在平行线之间的距离； 3.同底（等底）且在两条平行线之间的平行四边形⇒ 面积相等（因为高相等） ◉【知识点九、常见考点】 1.求平行线间的距离 → 找垂线段长度 2.证明线段相等 → 用 “平行线间距离处处相等” 或 “平行线间平行线段相等” 3.面积题：同底等高 ⇒ 面积相等 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1矩形性质理解 例1．下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查矩形的轴对称性、中心对称性及对角线的性质，需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的数量来确定答案． 【详解】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确； ∵矩形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确； 根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确； 矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误； 矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误； 综上，正确的说法有①②③，共3个， 故选：C． 变式1．如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在上，且，则旋转角等于___________度． 【答案】45 【分析】本题考查了矩形的性质，图形旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质．根据矩形的性质及图形旋转的性质可求得，是等腰直角三角形，据此即得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ，即旋转角等于45度． 故答案为：45． 变式2．在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，作一个以为对角线的矩形． (2)在图2中，作一个以为边，且面积为15的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，矩形的判定和性质． （1）根据矩形的判定作出图形； （2）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，四边形是矩形，即为所求； （2）解：如图2，或均符合要求． 题型2利用矩形的性质求角度 变式2．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，角的和差运算，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，再根据角的和与差运算即可解答． 【详解】解：∵将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． (1)由作法可知　　，　　； (2)求和的度数． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，， （2）根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质分别算出和，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点， ∴， 故答案为：；； （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 题型3根据矩形的性质求线段长 例3．如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若的面积为14，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得出，则可求出根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，， ∴，， 又的面积为14， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．如图，在矩形中，点在边上，平分．若，，则____________． 【答案】3 【分析】证明，即可解答． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2．如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，则的长 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）先运用菱形的性质结合得出，，再通过点是中点、推出四边形是平行四边形，等量代换推出四边形是平行四边形，最后通过证明平行四边形是矩形即可； （2）先通过菱形的性质推出为等边三角形，结合运用三线合一求出的值，再通过菱形的性质和矩形的性质推出的值，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴，． ∵点是中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵菱形，， ∴，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴． 由（1）得，四边形是矩形， ∴，． ∵在中，， ∴由勾股定理，． 故答案为：． 题型4根据矩形的性质求面积 例4．一个矩形的一条对角线长为4，两条对角线的一个交角为．则这个矩形的面积是（   ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合等边三角形的判定求出矩形的边长，再根据矩形面积公式计算面积． 【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分． ∴两条对角线的一半长均为． ∵两条对角线的一个交角为． ∴由两条对角线的一半和矩形的短边组成的三角形是等边三角形． ∴矩形的短边长为2． 设矩形的长边长为x，由勾股定理得： 解得（负根已舍去） ∴矩形的面积= 变式1．直径为的圆，平移到圆，则图中阴影部分面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质得到半圆的面积等于半圆的面积，再根据矩形的面积公式计算即可得到答案．解题的关键是掌握：平移不改变图形的形状和大小． 【详解】解：如图， ∵直径为的圆，平移到圆， ∴， ∴， 即图中阴影部分面积为． 故答案为：． 变式2．如图，某居民小区有一长方形土地，物业想在该长方形土地内修建宽度相等的小路（阴影部分），剩余部分是草坪．若小路的宽为，则草坪部分的面积为多少平方米？ 【答案】． 【分析】本题考查了平移的概念和性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键； 通过平移将土地内的小路变成“L”形，然后计算出草坪的长和宽就能计算出草坪的面积． 【详解】解：如图，通过平移可将小路转化为“”形图案， 则草坪部分转化为宽为，长为的长方形， 草坪部分的面积． 题型5利用矩形的性质证明 例5．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，故C符合题意， 而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故不符合题意 故选：C． 变式1．如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是__________°． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键． 根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 变式2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ． 于点E，于点F． ． ， ， ． 题型6求矩形在坐标系中的坐标 例6．如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，先求出的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，根据此规律写出的坐标即可． 【详解】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：D． 变式1．已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点．点在第一象限，且四边形是矩形． (1)使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，则四边形是矩形． (2)根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明：∵，___________， ∴四边形是平行四边形．（___________）（填推理的依据） ∵， ∴四边形是矩形，（___________）（填推理的依据） (3)若直线的表达式为，求点坐标及矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，有一个角为直角的平行四边形为矩形 (3)，矩形的面积为 【分析】（1）由题意作图即可； （2）根据矩形的判定定理即可求解； （3）根据直线表达式求出点A、B、C的坐标，再根据矩形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意作图如下： （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形） ∵， ∴四边形是矩形，（有一个角为直角的平行四边形为矩形） 故答案为：，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，有一个角为直角的平行四边形为矩形． （3）解：∵直线：与轴，轴分别交于点，， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为：． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到平行四边形和矩形的性质和判定、一次函数的性质、作图等． 题型7矩形与折叠问题 例7．如图，长方形中，，，如果将该长方形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】先证，设，则，在中，由勾股定理得到，代入计算得到，再根据面积的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为，选项A符合． 变式1．如图，在矩形中，，，E为边上一点，连接，将沿直线翻折，点D的对应点记作点F，且点F在对角线上．连接，与相交于点O，则______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理． 根据题意作出图形，根据折叠的性质得到，，，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，进而根据勾股定理得到，求出，则，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意作图如下， ∵将沿直线翻折，点D的对应点记作点F， ∴，，，， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 题型8矩形的判定定理理解 例8．下列结论中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形判定定理，故选项A正确，不符合题目要求； B、只有对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故选项B错误，符合题目要求； C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，符合菱形面积计算公式，故选项C正确，不符合题目要求； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，故选项D正确，不符合题目要求． 变式1．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 变式2．如图是由若干个边长为1的小等边三角形构成的钻石型网格，图中各点均在格点上，请按要求在网格中完成作图． (1)请在图1中画出一个以为边的矩形，要求点M和点N均在格点上． (2)请在图2中找到一个格点Q，连接，使得的面积被平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质，作图的应用与设计，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合钻石型网格是由若干个边长为1的小等边三角形构成的，以及根据矩形的判定作图即可； （2）连接，得出是的对角线的交点，再连接，与钻石型网格顶点交于，使得的面积被平分，即可作答． 【详解】（1）（1）如答图1所示即为所求（画出一种即可） （2）解：如答图2所示：点即为所求． 题型9证明四边形是矩形 例9．如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个四边形是（   ） A．梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】D 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形即可作答． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴该平行四边形是矩形． 变式1．如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 【答案】平行四边，矩 【分析】根据两组对边分别平行得到四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是矩形． 变式2．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知角相等推导出对角线相等，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明． 【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ 四边形 是平行四边形，且 ， ∴ 平行四边形 是矩形． 题型10添一条件使四边形是矩形 例10．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项能否判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴不能判定为矩形． 选项B： ∵是边长与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C： 是边与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D： ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故选：D． 变式1.如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由旋转的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，再结合矩形的判定定理即可得出结果． 【详解】解：∵将绕的中点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形， 故添加的条件为． 变式2．如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题主要考查矩形判定、菱形的性质，掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质可知，可证得，结合E为的中点，可利用证得结论； （2）证明时，四边形是矩形（根据对角线相等的平行四边形是矩形）即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形，证明如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形，E为中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 题型11根据矩形的性质与判定求角度 例11．如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，再结合矩形的判定和性质，正方形的判定进行分析判断，即可解题． 【详解】解：线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段， ， 四边形是矩形，且当时，四边形是正方形， ， 当旋转角度不确定时，不能推出， 故A、B、D结论正确，不符合题意，C结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 变式1．如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．    【答案】或或 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 变式2．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 题型12根据矩形的性质与判定求线段长 例12．如图所示，在四边形中，，点在边上，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理； 过A作于F，可得四边形是矩形，设，，在中，利用勾股定理列式，整体求出即可． 【详解】解：过A作于F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得：， ∴， 故选：C． 变式1．如图，在正方形中，，且，则的长_________ 【答案】 【分析】连接，由正方形性质可得，得，由，得四边形是矩形，得，得，即得答案． 【详解】解：连接， ∵在正方形中， 且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 变式2．如图，我校数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为3米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)4米； (2)小明需要后退1米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及矩形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为x米，则米，然后在中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）过E作于点M，证明四边形为矩形，得出米，，再由勾股定理得米，即可解决问题． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为4米； （2）解：如图，过E作于点M， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， 由勾股定理得：（米）， ∴米， ∴（米）， 答：小明需要后退1米． 题型13根据矩形的性质与判定求面积 例13．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 变式1．某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为______． 【答案】6 【分析】此题考查了矩形的判定和性质．先证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线相等，且相互平分， ∴四边形为矩形， ∵相邻两边的边长分别为，即矩形的长、宽分别为， ∴四边形的面积为 故答案为：6 变式2．如图，在四边形中，．将边绕点D按逆时针方向旋转得到，连接．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 过点D作于G，延长，过E作，垂足为F，由矩形的性质得到,求出．证明．则，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于G，延长，过E作，垂足为F， 则． ∵． ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，, ∴． 由旋转知，，， ∴， ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 题型14求平行线间的距离 例14．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 变式1．如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，，，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质解题即可． 【详解】解：∵，，， ∴（平行线之间的距离处处相等）， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为： 6． 变式2．如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 【答案】与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度．点到直线的距离为 【分析】两条平行线，其中一条直线上一点到另一条直线的距离即为两条平行线间的距离，据此结合的长度即可解答； 根据平行线间的距离处处相等即可得到点到的距离． 【详解】解：与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度，而题中且在上，∴的长度就是这两条平行线间的距离． 点到直线的距离同样是 ，由于，故同一条平行线上的任意点到另一条平行线的垂直距离相等，∵到的垂直距离为，那么到的垂直距离也必然是． 【点睛】本题考查两条平行线间的距离，掌握两条平行线间的距离的定义是解题的关键． 题型15利用平行线间距离解决问题 例15．将一个有角的三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得，则三角板的最大边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线之间距离处处相等，30度角的直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，，，根据30度角所对的直角边是斜边的一半得，以及运用勾股定理列式计算，得，即可作答． 【详解】解：过点作于点T，如图所示： 依题意，，， ∴，， ∴， ∵将一个有角的三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上， ∴ ∴ 故选：C 变式1．如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 【答案】，，， 【分析】根据“平行线之间的距离处处相等”以及“同底等高的两个三角形面积相等”即可解答． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴满足的点为，，，． 变式2．如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【分析】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． ✍ 巩固提升●综合测试 一、单选题 1．下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形． ∴矩形一定满足对边平行且相等，四个内角都是直角． ∴，，． 矩形的邻边不一定相等，只有特殊的矩形（正方形）才满足邻边相等，因此选项A不一定成立． 2．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 3．如图，在矩形中，E，F分别为，上的点，，连结，，过点D作，交的延长线于点G，连结．若要知道矩形的面积，则只需要知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C．四边形 D．四边形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由三角形的面积公式可求，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得，可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，故，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 6．如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】连接，先证四边形，是平行四边形，再证四边形是矩形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，结合，可得是等边三角形，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算出，再证，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，F是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形． 平行四边形中，， 四边形是矩形， ， 又 E是的中点， ， ， ，是等边三角形， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ，F是的中点， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度一般，能够综合应用上述知识是解题的关键． 二、填空题 7．把矩形放入平面直角坐标系中，对角线的交点为原点，若点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．根据矩形是中心对称图形，得出点与点关于点对称，即可求解． 【详解】解：矩形是中心对称图形，对角线的交点为原点， 点与点关于原点对称， 又点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 8．如图，在中，点在边上，，，当___________时，四边形是矩形． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，结合矩形的判定，可得． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形． 故答案是：． 9．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，可求得，得到，进而求得为等边三角形，得到． 【详解】∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∴，． ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 10．如图，在 的方格中，每个小正方形的边长都是1．若四边形的面积记作，四边形ECDF的面积记作，则与的大小关系是_________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形是判定及性质，平行四边形的判定及性质，由矩形及平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由方格得， ， ， 四边形是矩形， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________． 【答案】矩形 【分析】先根据角平分线的定义证明，，再根据平行线的性质证明，即可根据矩形的判定得出结论． 【详解】解：平分， ， 同理，， ， ， 同理， ， ， ， ， 四边形是矩形． 三、解答题 12．在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，小明同学进行了关于矩形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形是矩形．可利用证明三角形的全等和平行四边形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空． (1)尺规作图：在四边形中，过点A作的垂线，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，其中，，求证：四边形是矩形．（请补全下面的证明过程） 证明：，①_______， ， ，②_______， ∴， ∴③_______， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④_______是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形 【分析】（1）以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，适当长度为半径画弧，在上方交于一点，过点与该点，作射线交于点即可； （2）根据证明过过程，结合三角形全等的判定定理，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理完成填空即可． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）证明：如图，连接， ，①， ， ，②， ∴， ∴③， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形是矩形． 13．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等．图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②．在矩形中，，，．求的度数． 【答案】 【分析】先利用矩形的直角性质，结合已知角求出三角形的内角；再通过平行线的关系判定平行四边形，利用平行四边形的角相等传递角的关系，最终得到的度数 【详解】解：如图，设交于点，交于点，交于点，交于点． 四边形是矩形， ， ，． ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质与平行四边形的判定及性质，掌握矩形的直角性质、利用三角形内角和求角，及平行四边形的角相等传递角的关系是解题的关键． 14．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2) 【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定； （2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∴． ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵四边形的形状是菱形， ∴根据对称性，， ∴． 即四边形的面积为． 15．如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点P、Q运动的时间为t秒 (1)当_____时，四边形是矩形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)求以为对角线的正方形面积为时的值． 【答案】(1) (2)四边形为菱形，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键． （1）由矩形性质得出，，由已知可得，，，当时，四边形为矩形，据此列方程求解即可； （2）时，，得出，，四边形为平行四边形，在中，由勾股定理求出，得出，即可得出结论； （3）由正方形的对角线相等，面积等于两条对角线乘积的一半，可得，在中，，由此求出，再根据列出方程求解即可． 【详解】（1）∵在矩形中，，， ∴，， 由已知可得，，， 在矩形中，，， 当时，四边形ABQP为矩形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为矩形； 故答案为： （2）四边形为菱形；理由如下： ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 在中， ， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴当时，四边形为菱形； （3）∵正方形面积为224， ∴；即 如图所示：作于， 则，，， ∴ 在中，， ∴， ∴ 解得：； 综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为时t的值为或； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 第一课时 矩形 新课预习讲义（苏科版） 💦 题型归纳 题型1矩形性质理解. 题型2利用矩形的性质求角度. 题型3根据矩形的性质求线段长. 题型4根据矩形的性质求面积. 题型5利用矩形的性质证明. 题型6求矩形在坐标系中的坐标. 题型7矩形与折叠问题. 题型8矩形的判定定理理解. 题型9证明四边形是矩形. 题型10添一条件使四边形是矩形. 题型11根据矩形的性质与判定求角度. 题型12根据矩形的性质与判定求线段长. 题型13根据矩形的性质与判定求面积. 题型14求平行线间的距离. 题型15利用平行线间距离解决问题. 题型16巩固测试（15题）. ☘ 重点知识●梳理 ◉ 【知识点一、矩形的定义】 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(如下图ABCD)。（矩形 = 特殊的平行四边形） ◉【知识点二、矩形的性质】（⭐重点） 1. 矩形具有平行四边形所有性质. 2.★矩形的特有性质: (1)角：四个角都是直角（90°）. 几何语言：∠A=∠B=∠C=∠D=90∘; (2) 对角线：对角线相等且互相平分 .几何语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD。 (3)对称性既是中心对称图形，又是轴对称图形. ◉【知识点三、矩形的判定】（⭐⭐重难点） 1.有一个角是直角的平行四边形（定义）； 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 ∠A=90∘，∴ 四边形 ABCD 是矩形。 2. 对角线相等的平行四边形； 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC=BD，∴ 四边形 ABCD 是矩形。 3.三个角都是直角的四边形. 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90∘，∴ 四边形 ABCD 是矩形。 ◉【知识点四、矩形证明题常用结论】（直接用） 1.矩形中对角线相等 ⇒ AC=BD; 2.对角线互相平分 ⇒ 分成的四个小三角形等腰; 3.有直角 ⇒ 可用勾股定理求边长. ◆ 证明思路： 1.先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等； 2.直接证三个角是直角 ◉ 【知识点五、易错点】（考试避坑） 1.对角线相等的四边形不一定是矩形,前提是平行四边形； 2.有一个直角的四边形不一定是矩形； 3.矩形对角线相等且平分，但不一定垂直。 ◉【 知识点六、矩形简单公式】 ◆ 周长：C=2（长+宽） ◆ 面积：S=长×宽 ◉【知识点七、求平行线间的距离】 1.定义;从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线段，这条垂线段的长度叫做这两条平行线之间的距离。 2.关键点：(1)必须是垂线段;(2)是长度，不是线段本身. 3.性质:两条平行线之间的距离处处相等。 几何语言：若 a∥b，AC⊥b，BD⊥b，则 AC=BD。 4.推论:平行线间的平行线段相等 如果两条线段都夹在两条平行线之间，并且互相平行，那么这两条线段相等。 几何语言：已知 a∥b，AB∥CD，则 AB=CD。 ◉【知识点八、平行线间距离与平行四边形、矩形的联系】 1.平行四边形的高 = 一组对边所在平行线之间的距离； 2.矩形中，一边长 = 另一组对边所在平行线之间的距离； 3.同底（等底）且在两条平行线之间的平行四边形⇒ 面积相等（因为高相等） ◉【知识点九、常见考点】 1.求平行线间的距离 → 找垂线段长度 2.证明线段相等 → 用 “平行线间距离处处相等” 或 “平行线间平行线段相等” 3.面积题：同底等高 ⇒ 面积相等 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1矩形性质理解 例1．下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在上，且，则旋转角等于___________度． 变式2．在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，作一个以为对角线的矩形． (2)在图2中，作一个以为边，且面积为15的平行四边形． 题型2利用矩形的性质求角度 例2．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式1如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是________． 变式2．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． (1)由作法可知　　，　　； (2)求和的度数． 题型3根据矩形的性质求线段长 例3．如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若的面积为14，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式1．如图，在矩形中，点在边上，平分．若，，则____________． 变式2．如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，则的长 ． 题型4根据矩形的性质求面积 例4．一个矩形的一条对角线长为4，两条对角线的一个交角为．则这个矩形的面积是（   ） A．16 B． C． D． 变式1．直径为的圆，平移到圆，则图中阴影部分面积为_______． 变式2．如图，某居民小区有一长方形土地，物业想在该长方形土地内修建宽度相等的小路（阴影部分），剩余部分是草坪．若小路的宽为，则草坪部分的面积为多少平方米？ 题型5利用矩形的性质证明 例5．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是__________°． 变式2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 题型6求矩形在坐标系中的坐标 例6．如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 变式1．已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是_________． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点．点在第一象限，且四边形是矩形． (1)使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，则四边形是矩形． (2)根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明：∵，___________， ∴四边形是平行四边形．（___________）（填推理的依据） ∵， ∴四边形是矩形，（___________）（填推理的依据） (3)若直线的表达式为，求点坐标及矩形的面积． 题型7矩形与折叠问题 例7．如图，长方形中，，，如果将该长方形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 变式1．如图，在矩形中，，，E为边上一点，连接，将沿直线翻折，点D的对应点记作点F，且点F在对角线上．连接，与相交于点O，则______． 变式2．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 题型8矩形的判定定理理解 例8．下列结论中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 变式1．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 变式2．如图是由若干个边长为1的小等边三角形构成的钻石型网格，图中各点均在格点上，请按要求在网格中完成作图． (1)请在图1中画出一个以为边的矩形，要求点M和点N均在格点上． (2)请在图2中找到一个格点Q，连接，使得的面积被平分． 题型9证明四边形是矩形 例9．如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个四边形是（   ） A．梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 变式1．如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 变式2．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 题型10添一条件使四边形是矩形 例10．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 变式1.如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 变式2．如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 题型11根据矩形的性质与判定求角度 例11．如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 变式1．如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．    变式2．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 题型12根据矩形的性质与判定求线段长 例12．如图所示，在四边形中，，点在边上，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 变式1．如图，在正方形中，，且，则的长_________ 变式2．如图，我校数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为3米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 题型13根据矩形的性质与判定求面积 例13．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 变式1．某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为______． 变式2．如图，在四边形中，．将边绕点D按逆时针方向旋转得到，连接．求的面积． 题型14求平行线间的距离 例14．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 变式1．如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，，，，，则______． 变式2．如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 题型15利用平行线间距离解决问题 例15．将一个有角的三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得，则三角板的最大边的长为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 变式2．如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． ✍ 巩固提升●综合测试 一、单选题 1．下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 2．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，E，F分别为，上的点，，连结，，过点D作，交的延长线于点G，连结．若要知道矩形的面积，则只需要知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C．四边形 D．四边形 4．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 二、填空题 7．把矩形放入平面直角坐标系中，对角线的交点为原点，若点的坐标为，则点的坐标为___________． 8．如图，在中，点在边上，，，当___________时，四边形是矩形． 9．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____． 10．如图，在 的方格中，每个小正方形的边长都是1．若四边形的面积记作，四边形ECDF的面积记作，则与的大小关系是_________． 11．如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________． 三、解答题 12．在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，小明同学进行了关于矩形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形是矩形．可利用证明三角形的全等和平行四边形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空． (1)尺规作图：在四边形中，过点A作的垂线，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，其中，，求证：四边形是矩形．（请补全下面的证明过程） 证明：，①_______， ， ，②_______， ∴， ∴③_______， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④_______是矩形． 13．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等．图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②．在矩形中，，，．求的度数． 14．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 15．如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点P、Q运动的时间为t秒 (1)当_____时，四边形是矩形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)求以为对角线的正方形面积为时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $