专题10.5 二元一次方程组的计算（七大计算类型+真题演练+分层训练 共53题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题10.5 二元一次方程组的计算七大类型 （第十章 二元一次方程组） 【人教版七下●新教材】 重点难点 考点讲练 1 类型1 用指定的方法解方程组 1 类型2 用适当的方法解方程组 5 类型3 解三元一次方程组 9 类型4 换元法解二元一次方程组 15 类型5 整体代入法解二元一次方程组 20 类型6 叠加叠减法解系数较大的方程组 24 类型7 定义新运算解二元一次方程组 30 中考真题 实战演练 34 难度分层 闯关训练 37 基础夯实 能力提升 37 创新拓展 拔尖冲刺 43 类型1 用指定的方法解方程组 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法，熟练掌握代入消元法的步骤（变形、代入、求解、回代、写解）是解题的关键． （1）直接将方程组中已用含的式子表示的代入另一个方程，消去求出，再回代求出． （2）先将方程组中其中一个方程变形，用含的式子表示，再代入另一个方程消元，依次求出和的值． （3）先将方程组中系数较简单的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消去求出，再回代求出． （4）先将方程组中的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消元求解，再回代得到另一个未知数的值． 【规范解答】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得． 所以方程组的解为 （2）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （3）解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （4）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 【变式训练1】（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组： （1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【规范解答】（1）解： 由得，， 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 故该方程组的解为； （2）解： ，得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 故该方程组的解为． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）该方程组可以通过第一个方程，将用含的式子表示，再代入第二个方程消元求解； （2）该方程组中两个方程都含有，可以先将用含的式子表示，再代入另一个方程消元求解． 【规范解答】（1）解： 由①，得③． 把③代入②，得，解得：． 把代入③，得， 这个方程组的解为 （2）解： 由①，得③． 把③代入②，得．解得． 把代入③，得， ， 原方程组的解为 【考点剖析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，解题关键是通过变形，将一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程实现消元，进而求解． 【变式训练3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了用代入法解二元一次方程组，掌握代入法的步骤，即从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程消元求解是解题的关键． （1）先化简第二个方程，再从第一个方程中用表示，代入化简后的方程，消元求解． （2）从第一个方程中用表示，代入第二个方程，消去，解出后再求． 【规范解答】（1）解： 化简方程②： 由方程①得：， 代入方程③： 将代入，得： 方程组的解为 ． （2）解： 由方程①得：， 代入方程②： 通分计算： 将代入，得： 方程组的解为 ． 类型2 用适当的方法解方程组 【典例分析】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据加减消元法求解即可； （2）整理后根据加减消元法求解即可． 【规范解答】（1）解： 得， 解得：； 将代入得：， 解得：； ∴； （2）解：， 整理得， 得， 解得：； 将代入得：， 解得：； ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先对方程组中的方程进行化简整理，再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【规范解答】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． （2）解： 原方程组整理化简为：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东深圳·月考）解方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）采用加减消元法求解即可． （2）利用加减消元法求解即可． 【规范解答】（1）解：， ，即， ∴， 将代入中，即， 解得：， ∴． （2）解：， ，即， ，即， 解得：， 将代入①，即， 解得：， ∴． 【变式训练3】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)方程组的解为 (2)方程组的解为 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）根据加减消元法解方程组即可； 【规范解答】（1）， ①﹣②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． （2） 方程①化简为， 将和组成方程组得， ， ， 解出， 将代入得， 解出， 方程组的解为． 类型3 解三元一次方程组 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【规范解答】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 【变式训练1】（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了二元一次、三元一次方程组的简便解法，掌握整体代入、换元法、设比例系数法和加减消元法等技巧，是快速解方程组的关键． （1）观察到第一个方程可整理为，第二个方程含，用整体代入法简化计算； （2）方程组中重复出现和，用换元法设，转化为关于的方程组，简化运算； （3）连比形式的方程组，用设比例系数法，设，将用表示，代入第二个方程求解； （4）两个方程的系数差相等，用加减消元法先相减得到，再整体代入原方程快速求解． 【规范解答】（1）解： 将①代入②： 将代入①： 解得：​ （2）解：设 ， 方程组变为：​ ①+②： 代入②： 即 ， 解得 （3）解：设 ， 则, 代入： 代入得 ： （4）解： 由①-②得： 由①：， 代入③： ， ， 将代入③：， 解得： 【变式训练2】（2025八年级上·山东青岛·专题练习）解方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可； （3）方程组利用加减消元法求出解即可． 【规范解答】（1）解：， 将代入中得：， 解得：， 把代入中得：， ； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入中得：， 解得：， ； （3）解： ①②得：④， ③①得：⑤， ④⑤得：，即， 把代入④得：， 把，代入①得：， 则方程组的解为． 【变式训练3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）整理后，利用加减消元法解方程组即可； （3）根据解三元一次方程组的方法求解即可． 【规范解答】（1）解： 得：， 解得， 将代入得：， 原方程组的解为； （2）解： 去分母整理得：， 得：， 解得， 将代入得：， 原方程组的解为； （3）解： 得：， 解得， 得：， 将代入得， 原方程组的解为． 类型4 换元法解二元一次方程组 【典例分析】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【规范解答】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【规范解答】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，，方程组的解为 (2) (3) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【规范解答】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 【变式训练3】（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组，若设，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 令，代入原方程组求出、的值，进而建立二元一次方程组再求出，的值． 【规范解答】解：方程组，变形为 假设， 原方程组变形为， 解得， ∴，解方程组得， 故方程组的解为． 类型5 整体代入法解二元一次方程组 【典例分析】（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【规范解答】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． （1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可； （2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出 ，进而代入求值即可． 【规范解答】（1）解：把②变形得：， ③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解； （2）由①得： ③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入得： ． 【变式训练2】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 【答案】 【思路引导】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．模仿题干，利用整体代入法解方程组，即可作答． 【规范解答】解：， 先将看作一个整体， 则整理①，得③， 将③整体代入②，得， 解得． 把代入③得， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式训练3】（25-26七年级上·广西崇左·月考）（1）解方程组： （2）阅读材料；善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法 解：将方程②变形： 　　　 即③ 　　　 把方程①代入③得： 　　　 把代入①得 方程组的解为 请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）仿照小军的“整体代入”法求出方程组的解即可． 【规范解答】解：（1）， ②①得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）由②变形得：③， 把①代入③得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 类型6 叠加叠减法解系数较大的方程组 【典例分析】（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可． 【规范解答】（1）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是； （2）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是. 【考点剖析】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式训练1】（24-25八年级上·河北保定·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 【答案】(1)①；②； (2)． 【思路引导】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1）①、，所得方程两边都除以4，得：，再与方程①利用加减法求解即可；②、，所得方程两边都除以9，得：，再与方程①利用加减法求解即可； （2），所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【规范解答】（1）解：①； 得：， 两边除以4，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为：； ② 得：， 两边除以9，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 两边除以，得：， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建厦门·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以 ， ， ， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 【答案】(1) 原方程组的解是； (2) 原方程组的解是； (3) 原方程组的解是． 【思路引导】本题考查解二元一次方程组． （1），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （2），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （3），得，由，可得，从而可得，，可得，代入，可得，即可得原方程的解． 【规范解答】（1）解：， ，得， ∴ ， ，得 ， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （2）解：， ，得， ∴ ， ，得 ， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （3）解：， ，得， ∵， ∴， ∴ ， ，得 ， ，得， 将代入，得， ∴原方程组的解是． 【变式训练3】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）我们把关于、的两个二元一次方程与 叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组．例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组． (1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则______， ______； (2)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______； (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为______． (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请计算的值． 【答案】(1)；1 (2) (3) (4)2025 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并能灵活运用加减消元法计算． （1）根据题意，由定义可得，求出a，b的值即可； （2）根据题意，将代入得到，从而可得二元一次方程为，再根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （3）根据题意，使用加减消元法计算即可得解； （4）根据题意，方程组是共轭方程组，从而，解方程组即可得到，进而可得，然后代入计算即可解答． 【规范解答】（1）解：由定义可得， ， 故答案为：；1． （2）解：将代入， 得， 解得， 二元一次方程为， 这个方程的共轭二元一次方程是． 故答案为：． （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 方程组得解为， 故答案为：． （4）解：由定义可得， ， 方程组是共轭方程组， 得，， ，， ， ， 方程组的解是， ， ． 类型7 定义新运算解二元一次方程组 【典例分析】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”． (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． 【答案】(1)方程的“友谊解”有 (2) 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的解，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键． （1）根据“友谊解”的定义，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解； （2）解方程组求得，根据“友谊解”的定义得，即，在范围内列举正整数代入求解； 【规范解答】（1）解：由，得（x，y为正整数）， ∵，解得， ∴当时，；当时，；当时，， ∴方程的“友谊解”有，，． （2）解：有，理由： 由，解得（，，为正整数）， ∵，解得， ∴当时，，， ∴方程组有“友谊解”，且“友谊解”为． 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【规范解答】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）对于任意有理数，可以组成两个有理数对与． 我们规定：．例如：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对_______； (2)若有理数对，则________； (3)当满足等式中的x和y都是正整数时，求正整数的值． 【答案】(1)34 (2) (3)或或或． 【思路引导】本题考查了新定义下的有理数运算问题，解一元一次方程，二元一次方程． （1）根据题目中的法则即可运算； （2）根据法则表达出，再解方程即可； （3）根据法则得出，再根据x和y都是正整数，求出正整数的值即可． 【规范解答】（1）解： 故答案为：34； （2）解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：； （3）解：由， 得， 整理得，即， 和y都是正整数， 或或或． 【变式训练3】（2025八年级上·全国·专题练习）定义：关于，的二元一次方程（其中为互不相等的常数，且）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的"变更方程"组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的解法（加减消元法、代入消元法）、新定义的理解与应用、代数式的化简求值，熟练掌握“变更方程”的定义、二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）先根据“变更方程”定义写出原方程的变更方程，再联立方程组，用加减消元法求解． （2）先利用条件得出，联立原方程与变更方程求出解，将解代入新方程得到代数式关系，最后化简求值． 【规范解答】（1）解：方程的“变更方程”为， ， 得，， 将代入①得，， 解得， 方程组的解为； （2）解∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得 ，即， ， ∴． 【真题演练1】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 【真题演练2】（2025·山西·中考真题）（1）计算：     （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键； （1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可； （2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可． 【规范解答】解：（1）原式                ；                 （2）解：①+②，得，                 ．                   将代入②，得，                  ．                     所以原方程组的解是． 【真题演练3】（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【规范解答】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 【真题演练4】（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组．先化简，再利用加减消元法解答，即可求解． 【规范解答】解：原方程组可化为， 即， 得，， 解得：． 得，， 解得：． 所以原方程组的解为． 【真题演练5】（2024·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 【规范解答】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 基础夯实 能力提升 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键． 将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值． 【规范解答】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是， ∴，化简得：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得． ∴的值为3． 故选B． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【思路引导】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键． 根据加减消元法求解即可． 【规范解答】解：， 由，得， 解得：． 把代入，得， 解得：． 把，代入，得， 解得：． 故原方程组的解为． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【规范解答】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 4．（25-26七年级上·北京海淀·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有__个． 方案一：要消去，可以将； 方案二：要消去，可以将； 方案三：要消去，可以将； 方案四：要消去，可以将． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的加减消元法，关键是明确加减消元的核心：使待消去的未知数的系数互为相反数(相加消元)或相等(相减消元)． 【规范解答】解：方案一：要消去， 将得， 得， 两式相加得， 的系数不为0，无法消去，方案一错误； 方案二：要消去， 将得， 得， 两式相减得， 的系数不为0，无法消去，方案二错误； 方案三：要消去， 将得， 减去得， 的系数不为0，无法消去，方案三错误； 方案四：要消去，将得， 加上得，即， 的系数为0，成功消去，方案四正确； 综上，正确的方案只有1个， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）已知满足方程组，则_____． 【答案】 【思路引导】本题考查解二元一次方程，通过将第一个方程减去第二个方程，直接得到所求代数式的值． 【规范解答】解： 将第一个方程减去第二个方程： 简化得： 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【思路引导】本题考查已知二元一次方程组的解的情况求参数． 通过将两个方程相减，得到的表达式，再根据，即可得的取值范围． 【规范解答】解：， 得， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则______． 【答案】1 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键． 由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【规范解答】解：， 可得， 关于的方程组无解， 中， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 8．（25-26七年级下·安徽亳州·开学考试）（1）解方程； （2）解方程组． 【答案】（1）或；（2） 【规范解答】解：（1） 开方得 当时， 解得 当时， 解得 综上可知，或 （2） 得 得 解得 把代入①得 解得 所以原方程组的解为 9．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）按要求解下列方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：， 将代入得， 解得， 将代入，得， ； （2）解：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得 ． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【规范解答】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题的关键． 通过将方程组中的两个方程相减，可得，再结合题意可得，即可求解． 【规范解答】解：， 由，得， 又， ， ． 故选：C． 2．（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【规范解答】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 3．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键． 将方程组的解代入原方程组，求出a和b的值，再计算即可解答． 【规范解答】∵ 方程组的解为 ， ， 代入第一个方程： ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 代入第二个方程：， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值． 将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，代入代数式中求解即可． 【规范解答】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知关于、的方程组且，则______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组、利用加减消元法处理方程组，结合已知条件得到，建立关于的方程并求解． 【规范解答】解： 得：， 化简得：， 即， ， ， 解得： 故答案为． 6．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 7．（25-26七年级下·重庆·开学考试）解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 整理得 得，，解得， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为． 8．（25-26七年级下·重庆·开学考试）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组整理为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 9．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）方程组运用代入法解答即可； （2）根据“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”求出未知数的值即可． 【规范解答】（1）解：， 由①得， 把③代入②，得， 解得， 把代入③， 得， 方程组的解为 ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并，得， 系数化为1，得 ． 10．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【规范解答】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题10.5 二元一次方程组的计算七大类型 （第十章 二元一次方程组） 【人教版七下●新教材】 重点难点 考点讲练 1 类型1 用指定的方法解方程组 1 类型2 用适当的方法解方程组 2 类型3 解三元一次方程组 3 类型4 换元法解二元一次方程组 5 类型5 整体代入法解二元一次方程组 8 类型6 叠加叠减法解系数较大的方程组 11 类型7 定义新运算解二元一次方程组 15 中考真题 实战演练 17 难度分层 闯关训练 18 基础夯实 能力提升 18 创新拓展 拔尖冲刺 19 类型1 用指定的方法解方程组 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组： (1) (2) (2) (4) 【变式训练1】（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1) (2) 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式训练3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 类型2 用适当的方法解方程组 【典例分析】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列方程组： (1) (2) 【变式训练1】（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程组： (1) (2) 【变式训练2】（25-26八年级上·广东深圳·月考）解方程组： (1) ； (2)； 【变式训练3】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）解方程组： (1) ； (2)． 类型3 解三元一次方程组 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式训练1】（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) (2) (4) 【变式训练2】（2025八年级上·山东青岛·专题练习）解方程组 (1) (2) (3) 【变式训练3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解方程组： (1) (2) (3) 类型4 换元法解二元一次方程组 【典例分析】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【变式训练3】（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组，若设，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 类型5 整体代入法解二元一次方程组 【典例分析】（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【变式训练2】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 【变式训练3】（25-26七年级上·广西崇左·月考）（1）解方程组： （2）阅读材料；善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法 解：将方程②变形： 　　　 即③ 　　　 把方程①代入③得： 　　　 把代入①得 方程组的解为 请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组． 类型6 叠加叠减法解系数较大的方程组 【典例分析】（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 【变式训练1】（24-25八年级上·河北保定·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建厦门·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以 ， ， ， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 【变式训练3】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）我们把关于、的两个二元一次方程与 叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组．例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组． (1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则______， ______； (2)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______； (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为______． (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请计算的值． 类型7 定义新运算解二元一次方程组 【典例分析】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”． (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）对于任意有理数，可以组成两个有理数对与． 我们规定：．例如：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对_______； (2)若有理数对，则________； (3)当满足等式中的x和y都是正整数时，求正整数的值． 【变式训练3】（2025八年级上·全国·专题练习）定义：关于，的二元一次方程（其中为互不相等的常数，且）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的"变更方程"组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【真题演练1】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【真题演练2】（2025·山西·中考真题）（1）计算：     （2） 解方程组： 【真题演练3】（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是， 则关于x、y的方程组的解是________． 【真题演练4】（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 【真题演练5】（2024·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 能力提升 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级上·北京海淀·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有__个． 方案一：要消去，可以将； 方案二：要消去，可以将； 方案三：要消去，可以将； 方案四：要消去，可以将． 5．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）已知满足方程组，则_____． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 7．（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则______． 8．（25-26七年级下·安徽亳州·开学考试）（1）解方程； （2）解方程组． 9．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）按要求解下列方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 4．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 5．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知关于、的方程组且，则______． 6．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为__________． 7．（25-26七年级下·重庆·开学考试）解方程（组）： (1)； (2)． 8．（25-26七年级下·重庆·开学考试）解二元一次方程组： (1) (2) 9．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）解方程（组）： (1) (2) 10．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $