7.3.1 离散型随机变量的均值（导学案）数学人教A版选择性必修第三册

7.3.1 离散型随机变量的均值 导学案 （1）通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值. （2）理解离散型随机变量均值的性质. （3）掌握两点分布的均值. （4）会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 1． 创设情境，引入新知 摸球中奖游戏 一个不透明盒子，里面装有10 个大小相同的球： 3 个红球：摸到得 10 元 5 个白球：摸到得 2 元 2 个黑球：摸到得 0 元 思考：若只摸一次，你一定能拿到多少钱？ 追问：1、有放回反复多次摸球，平均每次能拿到多少钱？ 2、这个 “平均值” 和随机变量的取值、概率有什么关系？ 教师：这就需要用到本节课要学习的知识------离散型随机变量的均值 2． 探究新知 引导： 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时, 直接使用分布列并不方便 . 例如, 要比较不同班级某次考试成绩, 通常会比较平均成绩; 要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此, 类似于研究一组数据的均值和方差, 我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差 , 它们统称为随机变量的数字特征. 设计意图：通过谈话直接点明本节课题，让学生感受数学源于生活，学习数学是有用的. 问题1：甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示？ 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 预设：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性． 假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为，，，．甲次射箭射中的平均环数为 ． 当足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于 ． 即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平． 同理，乙射中环数的平均值为 ． 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高． 定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表7.3-2所示， 表7.3-2 … … 则称 为随机变量X的均值（mean）或数学期望（mathematical expectation），数学期望简称期望． 牛刀小试： 练1：判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( ) （2）随机变量的均值反映了样本的平均水平．( ) （3）若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.( ) （4）若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1)．( ) （5）随机变量的均值与样本的平均值相同．( ) （6）离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.( ) （7）随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同.( ) （8）若X服从两点分布，则E(X)=np.( ) 预设：× × √ √ × × × × 思考：随机变量的均值本质是什么？有何作用？ 预设：本质：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数； 作用：均值综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3． 应用新知 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 预设：因为 ，． 所以 ． 即该运动员罚球1次得分X的均值是0.8． 思考：如果随机变量X服从两点分布，那么它的均值是多少？ 预设：随机变量X服从两点分布，分布列如下表： 所以，随机变量X的均值为： 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值． 预设：X的分布列为 ，． 因此 ． 方法总结： 求离散型随机变量X的均值的步骤 (1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值； (2)求出X取每个值时的概率； (3)写出X的分布列(有时也可省略)； (4)利用定义公式求出均值 注意：其中第（1）（2）两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重应用概率的相关知识． 牛刀小试： 练2：假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为.现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求： (1)的概率分布列； (2)均值. 预设：（1）随机变量的所有取值是 ， X 1 2 3 （2） 观察：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ 观察结果：观察上图可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的． 结论：事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动．随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值． 探究：如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化? 即E(X＋b)(其中 b为常数)分别与E(X)有怎样的关系? 预设：设的分布列为 ． 根据随机变量均值的定义 思考：用相同的方法，找出EX)(其中a为常数)与E(X)的关系 ． 证明如下： ． 结论：一般地，下面的结论成立： ． 总结：离散型随机变量的均值的性质 若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地: (1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身. (2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和. (3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积. 牛刀小试： 练3：1、若随机变量X的期望，则（    ） A．3 B．9 C．11 D．27 预设：，故选：C． 2、已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.3 则_________ 预设：易知，解得，所以， 可得. 例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示． 表7.3-3 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 预设：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立． ，， ，． 的分布列如表7.3-4所示． 表7.3-4 X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 的均值为 思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？请计算按ACB的顺序来猜歌. 预设：如果按ACB的顺序来猜歌,分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件， A,B,C相互独立; , , ; 、 X的分布列如下表所示： X的均值为E(X)=0×0.2+1000×0.48+4000×0.128+6000×0.192=2144. 通过计算所有顺序的均值，得出下表 结论：所以，按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大 例4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 预设：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，． 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此， ． 采用方案2，遇到大洪水，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此， ， 采用方案 3， ，，， 于是，， ， ． 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2． 辩证的理解该题结论：值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的． 一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”： 如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小．不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的． 4． 能力提升 类型一：求离散型随机变量的均值 例题1 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白粽个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取个． （）求三种粽子各取到个的概率． （）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望． 预设：（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有 P（A）＝＝. （2）X的可能取值为0,1,2，且 P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝ 综上知，X的分布列为： X 0 1 2 P 故E（X）＝0×＋1×＋2×＝ （个） 题型二：利用离散型随机变量的均值定义和性质求参 例题2 （1）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 预设：由分布列的性质可得，，所以，又因为， 所以，即， 联立方程，解得， 所以.故选：B. （2）已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则 . 预设：，，即，解得. 故答案为：4. 总结：根据均值的定义和性质，建立关于参数的方程（组），解方程（组）即可求参． 题型三：两点分布的均值 例题3若离散型随机变量的分布列为 则的数学期望（    ） A． B．或 C． D． 预设：由离散型随机变量的分布列，知：，解得，∴的数学期望. 故选：C. 题型四：离散型随机变量均值的实际应用 例题4 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故 障时间x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率． (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列． (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．． 预设：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝. (2)依题意得，X1的分布列为 X1 1 2 3 P X2的分布列为 X2 1.8 2.9 P (3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2．86(万元)， E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)． 因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车． 总结：常见实际问题中的均值问题 比如，在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计． 离散型随机变量均值的实际应用问题的解题“三步曲”： ①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； ②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； ③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论. 5． 课堂小结 作业1：完成教材：P66-67练习1、2、3题 P71习题7.3的2、3、4、6题； 作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量的均值》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.1 离散型随机变量的均值 导学案 （1）通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值. （2）理解离散型随机变量均值的性质. （3）掌握两点分布的均值. （4）会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 1． 创设情境，引入新知 摸球中奖游戏 一个不透明盒子，里面装有10 个大小相同的球： 3 个红球：摸到得 10 元 5 个白球：摸到得 2 元 2 个黑球：摸到得 0 元 思考：若只摸一次，你一定能拿到多少钱？ 追问：1、有放回反复多次摸球，平均每次能拿到多少钱？ 2、这个 “平均值” 和随机变量的取值、概率有什么关系？ 教师：这就需要用到本节课要学习的知识------离散型随机变量的均值 2． 探究新知 引导： 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时, 直接使用分布列并不方便 . 例如, 要比较不同班级某次考试成绩, 通常会比较平均成绩; 要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此, 类似于研究一组数据的均值和方差, 我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差 , 它们统称为随机变量的数字特征. 设计意图：通过谈话直接点明本节课题，让学生感受数学源于生活，学习数学是有用的. 问题1：甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示？ 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表7.3-2所示， 表7.3-2 … … 则称 _______________________________________________________ 为随机变量X的 （mean）或 （mathematical expectation），数学期望简称 ． 牛刀小试： 练1：判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( ) （2）随机变量的均值反映了样本的平均水平．( ) （3）若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.( ) （4）若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1)．( ) （5）随机变量的均值与样本的平均值相同．( ) （6）离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.( ) （7）随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同.( ) （8）若X服从两点分布，则E(X)=np.( ) 思考：随机变量的均值本质是什么？有何作用？ 3． 应用新知 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 思考：如果随机变量X服从两点分布，那么它的均值是多少？ 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值． 方法总结： 求离散型随机变量X的均值的步骤 (1)理解X的实际意义，写出X全部 ； (2)求出X取每个值时的 ； (3)写出X的分布列(有时也可省略)； (4)利用定义公式 求出均值 注意：其中第（1）（2）两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重应用概率的相关知识． 牛刀小试： 练2：假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为.现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求： (1)的概率分布列； (2)均值. 观察：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ 观察结果：观察上图可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的． 结论：事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动．随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值． 探究：如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化? 即E(X＋b)(其中 b为常数)分别与E(X)有怎样的关系? 思考：用相同的方法，找出EX)(其中a为常数)与E(X)的关系 结论：一般地，下面的结论成立： 总结：离散型随机变量的均值的性质 若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一_________函数.特别地: (1)当a=0时,E(b)= ,即常数的均值就是这个常数本身. (2)当a=1时,E(X+b)= ,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和. (3)当b=0时,E(aX)= ,即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积. 牛刀小试： 练3：1、若随机变量X的期望，则（    ） A．3 B．9 C．11 D．27 2、已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.3 则_________ 例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示． 表7.3-3 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？请计算按ACB的顺序来猜歌. 例4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 辩证的理解该题结论：值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的． 一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”： 如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小．不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的． 4． 能力提升 类型一：求离散型随机变量的均值 例题1 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白粽个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取个． （）求三种粽子各取到个的概率． （）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望． 题型二：利用离散型随机变量的均值定义和性质求参 例题2 （1）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． （2）已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则 . 总结：根据均值的定义和性质，建立关于 的方程（组），解方程（组）即可求参． 题型三：两点分布的均值 例题3若离散型随机变量的分布列为 则的数学期望（    ） A． B．或 C． D． 题型四：离散型随机变量均值的实际应用 例题4 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故 障时间x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率． (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列． (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．． 总结：常见实际问题中的均值问题 比如，在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计． 离散型随机变量均值的实际应用问题的解题“三步曲”： ① ，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； ②确定随机变量的 ，计算随机变量的 ； ③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的 . 5． 课堂小结 作业1：完成教材：P66-67练习1、2、3题 P71习题7.3的2、3、4、6题； 作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量的均值》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $