7.2 复数的运算（教案）--北师大版《数学 拓展模块一下册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 下册》 第七章 复数 7.2 复数的运算 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “复数的运算”是复数章节的核心内容，核心知识点包括复数的加减乘除四则运算、共轭复数的运算性质，为后续学习复数的乘方、开方及复数的应用等内容提供了重要的运算基础。教材以实数的运算规则为逻辑主线，既衔接了学生对实数运算的认知，又深化了“从实数运算到复数运算”的类比迁移思维，提升学生用代数运算研究复数性质的能力。 五、学情分析 多数学生已具备实数的四则运算、多项式运算等基础知识，并且对“运算规则可迁移至新数系”的数学思想有明确感知，这为他们学习复数的运算打下了基础。但如果只采用纯公式推导的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易出现对复数的运算步骤理解不透彻的问题。因此可以通过实例讲解帮助学生掌握复数的运算知识，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握复数的加法、减法和乘法法则； 2.能运用复数的运算法则解决简单的复数化简、求值问题； 3.通过复数运算的探究与应用，深化对数系扩充的认知，提升数学运算能力，培养逻辑推理的核心素养。七、教学重点 1.写出复数对应的复平面内的点坐标和向量； 2.计算复数模的大小。 八、教学难点 根据复数已知条件写出其对应的复平面内的点坐标。 九、教学方法 案例法：通过案例来帮助学生理解复数的几何意义知识点，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对复数的几何意义知识点进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究充复数的几何意义知识点，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 同学们，在之前的内容中，我们学习了复数的概念和几何意义，接下来我们一起进行简单的回顾： 1.复数 形如的数叫作复数，其中叫作复数的实部，叫作复数的虚部. 2.复平面 通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面. 3.复数的模 设，则向量的模称为复数的模， 我们已经学习了实数的加法和减法运算，那么，复数如何进行加法和减法运算呢？ 通过生活举例分析推导出新知识点：复数的运算。 新知讲授 复数的运算 我们规定，两个复数，的和仍是一个复数，和的实部是这两个复数实部的和，和的虚部是这两个复数虚部的和，即 对于复数的减法，规定减法是加法的逆运算。 设复数为与的差，即，由规定得。 根据加法法则得 根据复数相等的定义，得 从而 由此可知，两个复数的差仍是一个复数，差的实部是这两个复数实部的差，差的虚部是这两个复数虚部的差. 容易验证，复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数，，，有 （1）交换律：. （2）结合律：. 探究发现 设复数和复数在复平面内对应的向量分别为和，如图所示. 根据平面向量的坐标运算，得. 这说明两个向量，的和就是与复数对应的向量. 因此，复数的加法可以按向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义. 总结复数的加法法则、减法法则。 案例分析 【例题】已知，，求，. 【解析】； . 【例题】计算. 【解析】 . 【例题】证明复数加法满足交换律. 【解析】 证明：设，，则 通过案例来帮助学生更好地理解复数的加法法则、减法法则。 新知讲授 我们已经知道复数的加法和减法运算，那么，复数的乘法又是怎么运算的呢？ 两个复数，，类比多项式的乘法，并利用，有 = = 因此，定义复数的乘法法则： 显然，两个复数的积仍然是复数。容易验证，复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即对任意复数，，，有 （1）交换律：。 （2）结合律：. （3）分配律：. 对于复数，定义它的乘方. 根据复数乘法的运算律，实数的正整数指数幂的运算法则对复数也成立，即对于复数，，和正整数，，有 ， ， . 对于有如下运算规律： ，，，， 一般地，对于任意自然数，有 ，，，. 总结复数的复数的乘法法则。 案例分析 【例题】计算. 【解析】 = == = 【例题】计算. （1）；（2）. 【解析】（1）= === == （2）= == == 通过案例来帮助学生更好地理解复数的乘法法则。 学以致用 【练习】（1）在复平面内，复数对应的点的坐标是，求 （2）设，，且，求． 【解析】（1）由题意知，， ∴， （2）∵，， ∴ ∴解得 ∴，， ∴． 【练习】已知复数与，试求它们的和与差． 【解析】解：根据复数的运算法则，可得 ， ． 【练习】已知复数，求：（1）（2）（3） 【解析】因为复数， 所以， ， . 同学们，我们完成了复数的运算相关知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.什么是复数的加减法法则？ 2.复数的加法满足哪些运算法则？ 3.复数的乘法法则是什么？ 同学们，刚刚我们完成了复数的运算相关知识点的学习，现在请同学们结合本节课所学知识点想一想：两个虚数的和与差仍然是一个虚数吗？ 答案：不一定。如：， ，， 可见两个虚数的和与差可能是一个虚数，也可能是一个实数． 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对复数的运算法则的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【解析】已知， 则， 故选：C. 【练习2】已知i为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为, 所以, 故选:B. 【练习3】已知是虚数单位，若为实数，则实数的值为（ ） A．1 B． C． D．0 【解析】∵是实数， ∴，即. 故选：C. 【练习4】计算:等于（ ） A． B． C． D． 【解析】. 故选：D. 【练习5】若复数，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以. 故选：D. 【练习6】若，则复数z等于（ ） A． B． C． D． 【解析】∵， ∴． 故选：A． 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 复数的加法法则： 复数的减法法则： 复数的乘法法则： 复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数，，，有 （1）交换律：. （2）结合律：. 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即对任意复数，，，有 （1）交换律：。 （2）结合律：. （3）分配律：. 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 复数的加法法则： 复数的减法法则： 复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数，，，有 （1）交换律：. （2）结合律：. 复数的乘法法则： 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即对任意复数，，，有 （1）交换律：。 （2）结合律：. （3）分配律：. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过实数运算类比引入复数的运算规则，多数学生能初步理解复数加减乘除的运算方法。但在课堂检测中也发现：个别学生在计算复数乘法时容易出现符号错误。因此在课后练习中，需增加复相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $