7.1.2 复数的几何意义（教案）--北师大版《数学 拓展模块一下册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 下册》 第七章 复数 7.1.2 复数的几何意义 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “复数的几何意义”是复数章节的核心内容，核心知识点包括复数与复平面内点的一一对应关系、复数与平面向量的一一对应关系，为后续学习复数运算等内容提供了重要的数形结合基础。教材以平面直角坐标系为逻辑主线，既衔接了学生对平面向量、点的坐标表示的认知，又深化了“从代数形式到几何表示”的数形结合思维，提升学生用几何直观理解和研究复数的能力。 五、学情分析 多数学生已具备平面直角坐标系、平面向量的相关基础知识，并且对“数可以与图形建立对应关系” 的数学思想有明确认知，这为他们学习复数的几何意义打下了基础。但如果只采用纯坐标推导的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易出现对复平面的结构理解不透彻，以及混淆复数、复平面内的点、平面向量三者对应关系的问题。因此可以通过坐标标注、向量作图帮助学生掌握复数的几何意义，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握复数的几何意义； 2.能根据复数写出其对应的复平面内的点坐标和向量以及计算模的大小； 3.通过复数几何意义的探究与应用，深化对数系扩充和复数本质的认知，提升直观想象和逻辑推理能力，培养数学抽象的核心素养。 七、教学重点 1.写出复数对应的复平面内的点坐标和向量； 2.计算复数模的大小。 八、教学难点 根据复数已知条件写出其对应的复平面内的点坐标。 九、教学方法 案例法：通过案例来帮助学生理解复数的几何意义知识点，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对复数的几何意义知识点进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究充复数的几何意义知识点，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 同学们，在上一节内容中，我们学习了复数的有关概念，大家还记得复数的定义吗？接下来我们一起进行简单的回顾： 什么是复数？ 形如的数，叫作复数，其中叫作复数的实部，叫作复数的虚部.复数一般用小写字母，，表示. 复数的共轭复数. 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，可以用数轴上的点表示实数。那么，复数是由实部和虚部两个实数确定的，它有什么几何意义呢？ 分析： 根据复数相等的定义，我们知道，任何一个复数，都对应唯一的有序实数对，而有序实数对与平面直角坐标系内的唯一一个点对应，点的坐标为(如图所示)。 反之，由平面直角坐标系内的点确定的唯一有序实数对，如果分别是复数的实部和虚部，那么就对应唯一的复数。这样复数与平面直角坐标系内的点就建立了一一对应关系，即每一个复数都对应平面直角坐标系内的一个点，平面直角坐标系内的每一个点都对应一个复数. 通过生活举例分析推导出新知识点：复数的几何意义。 新知讲授 复数的几何意义 复数可以用平面直角坐标系内的点表示.这种通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，轴叫作实轴，轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外的都表示纯虚数. 建立了复平面，就建立了复平面内的点与复数的一一对应关系. 我们知道，在平面直角坐标系中，平面向量与有序实数对是一一对应的，而有序实数对与复数是一一对应的，因此，我们可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点表示复数，以原点为起点、点为终点作向量，那么，向量由点唯一确定；反之，点（复数）也可以由向量唯一确定.因此，复数与向量之间具有一一对应关系（复数与零向量对应），我们可以用向量来表示复数. 例如，要将复数用向量来表示，可先在复平面内画出表示复数的点，再连接，则向量就表示复数（如图所示）. 设，则向量的模称为复数的模，记作或.由向量模的定义可知. 如果，那么是一个实数，它的模（的绝对值）. 如果，那么是一个纯虚数，它的模（的绝对值）。 总结复数的几何意义。 案例分析 【例题】在复平面内分别画出表示下列复数的点，并分别求出它们的模. （1）；（2）； （3）；（4）。 【解析】在复平面内作图，如图所示。 （1）； （2）； （3）； （4）。 【例题】将复数，，，用向量表示。 【解析】如图所示，向量，，，分别表示复数，，，。 通过案例来帮助学生更好地理解复数的几何意义。 学以致用 【练习】用复平面内的点和向量表示复数：，，3，0. 【解析】如图所示，复数用点表示，向量为； 用点表示，向量为； 3用点表示，向量为； 0用原点表示，向量为. 【练习】已知复数，为虚数单位，． (1)若，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求a的取值范围． 【解析】（1）因为复数，为虚数单位，， 由题，，解得或． （2）在复平面内对应的点位于第四象限， ，得， 所以的取值范围是 同学们，我们完成了复数的几何意义相关知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.什么是复平面？ 2.如何计算向量的模？ 3.纯虚数的模如何计算？ 同学们，刚刚我们完成了复数的有关概念知识点的学习，现在请同学们结合生活中场景编一个复数，说说它在复平面内对应的点和向量，再计算出它的模。 举例：我编的复数是z=3+4i，结合座位定位：讲台在原点，实部a=3（讲台前方3米），虚部b=4（讲台左边2米，用正数表示左边）；对应复平面内的点(3,4)；对应向量是从原点指向(3,4)的向量；模是=5，也就是我到讲台的直线距离。 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对复数的几何意义的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为复数在复平面内对应的点为，且该点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 【练习2】已知为虚数单位，复数在复平面中对应的点是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于复数，其实部，虚部， ∴复数在复平面中对应的点的坐标是， 故选：D. 【练习3】若复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴上，则为（ ） A．2或 B．或 C．或 D．或​ 【解析】因为在复平面内对应的点在虚轴上，且， 所以复数为纯虚数，设， 由，可得，即，解得， 故. 故选：B. 【练习4】已知复数在复平面内对应的点在第四象限，虚部为，模为2，则复数为（ ） A． B．或 C． D． 【解析】设复数的实部为， 因为复数的模为2，虚部为，所以，解得， 又复数在复平面内对应的点在第四象限， ，则， . 故选：D. 【练习5】已知 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【解析】由得， , ，所以 ，则. 故选： C. 【练习6】若复数 z 满足，且实部为，则为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为复数 z 满足，且实部为 ， 设，则，解得， 所以. 故选：A. 【练习7】复数（，为虚数单位），在复平面内所对应的点在上，则（ ） A． B． C． D． 【解析】复数，在复平面对应点的坐标为， 所以在复平面内所对应的点在上， 则，解得， 所以复数，则， 故选：. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，轴叫作实轴，轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外的都表示纯虚数. 设，则向量的模称为复数的模，记作或.由向量模的定义可知. 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，轴叫作实轴，轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外的都表示纯虚数. 设，则向量的模称为复数的模，记作或.由向量模的定义可知. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过坐标与向量作图引入复数的几何意义，多数学生能初步理解复数与复平面内点、平面向量的对应关系法。但在课堂检测中也发现：个别学生由点坐标或向量还原复数时容易出现符号错误。因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $