专题10 数列的概念及通项公式 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题10 数列的概念及通项公式 一、知识梳理 （1）数列的概念 按照一定次序排成的一列数称为数列；数列中的每一个数为这个数列的项． 数列的一般形式为，，，…，，…，简记作｛｝．其中，称为数列的首项， 称为数列的第n项，n称为项数． 项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列；所有项均为同一个数的数列叫做常数列． （2）数列的通项公式 一般地，当一个数列的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来表示时，这个式子就称为这个数列的通项公式．（不是所有的数列都有通项公式） 常见数列的通项公式： ①自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. ②奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. ③偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. ④平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. ⑤2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. ⑥乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． ⑦正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. ⑧重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. ⑨符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 二、题型精练 题型1 数列的概念 【典例1】．下列叙述正确的是（ ） A．数列与是相同的数列 B．数列可以表示为 C．数列是常数列 D．数列是递增数列 【典例2】．数列，则这个数列的前三项为（    ） A．1，4，9 B．2，4，9 C．2，6，11 D．2，1，4 【典例3】．已知数列，则17是这个数列的（    ） A． 第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【典例4】．下列各数中，是数列中的项的是（   ） A．22 B．33 C．41 D．57 题型2 数列的通项公式 【典例1】．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【典例2】．数列，，，……的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．已知数列的通项公式为：，则它的第5项为（   ） A． B． C． D． 【典例4】．数列中，，则此数列最大项的值是（    ） A． B．30 C．31 D．32 【典例5】．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．下列结论正确的是（    ）． A．数列的项数一定是有限的 B．数列是按照一定次序排列的一列数 C．数列中的各项均不能为零 D．如果一个数列前n项是递增的，那么这个数列一定是递增数列 2．数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 3．数列的通项公式为 ，则 最小的值的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．数列的通项公式是，则它的第7项是（   ） A．115 B．105 C．91 D．56 5．已知数列的通项公式为，则等于（   ） A．70 B．28 C．20 D．8 6．已知数列，3，，，，，那么9在此数列中的项数是（    ） A． B． C． D． 7．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（ ） A．1 B．6 C．10 D．20 8． 已知数列的通项公式是，则13是它的第______项. 9． 已知数列的通项公式为，若，则_____________． 10． 若一数列为2，7，14，23，，则该数列的第8个数是________． 11． ，，，，…一个通项公式为________________ 12． 已知数列的通项公式为，则________． 13．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数. (1)，，，； (2)，，，； (3)3，4，3，4； (4)6，66，666，6666. 14．已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3) 证明：不是这个数列中的项． 15．已知数列中，，. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式. 16．已知数列满足， (1)数列中有哪些项是负数？ (2)当为何值时，取得最小值？并求出此最小值． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 数列的概念及通项公式 一、知识梳理 （1）数列的概念 按照一定次序排成的一列数称为数列；数列中的每一个数为这个数列的项． 数列的一般形式为，，，…，，…，简记作｛｝．其中，称为数列的首项， 称为数列的第n项，n称为项数． 项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列；所有项均为同一个数的数列叫做常数列． （2）数列的通项公式 一般地，当一个数列的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来表示时，这个式子就称为这个数列的通项公式．（不是所有的数列都有通项公式） 常见数列的通项公式： ①自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. ②奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. ③偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. ④平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. ⑤2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. ⑥乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． ⑦正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. ⑧重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. ⑨符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 二、题型精练 题型1 数列的概念 【典例1】．下列叙述正确的是（ ） A．数列与是相同的数列 B．数列可以表示为 C．数列是常数列 D．数列是递增数列 【答案】D 【分析】根据数列的基本知识判断即可. 【详解】对于A，数列与不是相同的数列，故A错误； 对于B，数列可以表示为，故B错误； 对于C，数列是摆动数列，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确. 故选：D. 【典例2】．数列，则这个数列的前三项为（    ） A．1，4，9 B．2，4，9 C．2，6，11 D．2，1，4 【答案】B 【分析】将，，代入符合条件的通项公式即可. 【详解】由通项公式可知： ，； ，， ，， 这个数列的前三项为2，4，9； 故选：B． 【典例3】．已知数列，则17是这个数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【分析】由数列的通项公式，令求解即可. 【详解】已知数列， 令，解得， 则17是这个数列的第8项. 故选：B. 【典例4】．下列各数中，是数列中的项的是（   ） A．22 B．33 C．41 D．57 【答案】D 【分析】设，将选项中对应的数代入式中，求得n的值，若n为正整数，则为该数列的项. 【详解】对A：设，解得，所以22不是数列中的项，故A项错误； 对B：设，解得，所以33不是数列中的项，故B项错误； 对C：设，解得，所以41不是数列中的项，故C项错误； 对D：设，解得或（舍），所以57是数列中的项，故D项正确. 故选：D. 题型2 数列的通项公式 【典例1】．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【分析】利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答. 【详解】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 【典例2】．数列，，，……的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的规律得到通项公式即可； 【详解】因为数列，，，，……， 所以， 所以， 故选：B 【典例3】．已知数列的通项公式为：，则它的第5项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令即可得数列的第5项. 【详解】∵，∴数列的第5项. 故选：B． 【典例4】．数列中，，则此数列最大项的值是（    ） A． B．30 C．31 D．32 【答案】B 【分析】结合二次函数的性质，通过配方法即可求出最值. 【详解】， 所以当时，取得最大值， 又， 所以当或6时， 取最大值， 故选：B. 【典例5】．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知图形找出规律，得出第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数即可. 【详解】∵图①中火柴棒的个数， 图②中火柴棒的个数， 图③中火柴棒的个数， ∴第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为. 故选：C. 三、知识检测 1．下列结论正确的是（    ）． A．数列的项数一定是有限的 B．数列是按照一定次序排列的一列数 C．数列中的各项均不能为零 D．如果一个数列前n项是递增的，那么这个数列一定是递增数列 【答案】B 【分析】根据数列的分类、数列的定义、递增数列的定义可判断. 【详解】无穷数列的项数是无限的，故A错误； 由数列的定义可知，数列是按照一定次序排列的一列数，故B正确； 由数列的定义可知，数列中的项可以为0，例如，各项都是0的常数列，故C错误； 递增数列定义：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，这样的数列叫递增数列，如果一个数列前n项是递增的，不能确定从第项后是否递增，故D错误； 故选：B 2．数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察所给数列，寻找与项数的关系，即可得到通项公式. 【详解】因为数列各项正、负交替，故可用来调节， 又因为， 所以通项公式为. 故选：. 3．数列的通项公式为 ，则 最小的值的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意知：，可得时取最小值. 故选：B． 4．数列的通项公式是，则它的第7项是（   ） A．115 B．105 C．91 D．56 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式，将代入通项公式中即可求解. 【详解】因为数列的通项公式是， 所以它的第7项为. 故选：B. 5．已知数列的通项公式为，则等于（   ） A．70 B．28 C．20 D．8 【答案】C 【分析】利用数列的通项求出数列中的项，然后相乘即可. 【详解】由题可知，， 则； 故选：C. 6．已知数列，3，，，，，那么9在此数列中的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入通项公式中求值即可. 【详解】已知数列，3，，，， 所以， 由，即， 解得，即9是此数列的第项， 故选：C． 7．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（ ） A．1 B．6 C．10 D．20 【答案】C 【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：.故选：C 8．已知数列的通项公式是，则13是它的第______项. 【答案】4 【分析】利用的通项公式求解n即可. 【详解】将13代入数列的通项公式中，得，解得， 则13是数列中的第4项. 故答案为:4. 9．已知数列的通项公式为，若，则_____________． 【答案】 【分析】由分别将表示出来，根据已知列式可求解. 【详解】由题得 ， 解得 . 故答案为： 10．若一数列为2，7，14，23，，则该数列的第8个数是________． 【答案】79 【分析】根据题意可得数列的通项公式，进而可得结果. 【详解】由题意可得：， 可得. 所以. 故答案为：79. 11．，，，，…一个通项公式为________________ 【答案】 【分析】由观察法求数列的通项公式即可得解. 【详解】观察数列可知分母以项数与项数加的乘积的形式,且奇数项为负,偶数项为正. 所以通项公式为. 故答案为:. 12．已知数列的通项公式为，则________． 【答案】 【分析】将代入数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为数列的通项公式为， 所以， 故答案为： 13．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数. (1)，，，； (2)，，，； (3)3，4，3，4； (4)6，66，666，6666. 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用观察法写出通项公式即可. 【详解】（1）4个项都是分数，它们的分子依次为，，，， 分母是正奇数，依次为，，，， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. （2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列， 其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. （3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. （4）4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致， 依次可写为，，，， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. 14．已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3)证明：不是这个数列中的项． 【答案】(1)， (2)是这个数列中的第项 (3)证明见解析 【分析】（1）由数列的定义得到该数列的通项公式，从而求得其第10项和第31项； （2）将代入该数列的通项公式，从而得解； （3）将代入该数列的通项公式，从而得证. 【详解】（1）因为无穷数列，，，…，，…， 所以该数列的通项公式为， 则，. （2）因为， 将代入，得，解得或（舍去）， 所以是这个数列中的第项. （3）因为， 将代入，得，即，解得（负值舍去）， 又，故也不满足题意， 所以不是这个数列中的项. 15．已知数列中，，. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式. 【答案】(1)，，，. (2) 【分析】（1）注意递推关系式的特点，将已知条件代入，求出，以此类推，求出，，. （2）根据的取值猜想数列的通项公式. 【详解】（1）∵，， ∴， ， ， . （2）根据的取值，猜想：. 16．已知数列满足， (1)数列中有哪些项是负数？ (2)当为何值时，取得最小值？并求出此最小值． 【答案】(1)，，，， (2)当，3时，取得最小值，最小值为 【分析】（1）令，求出的值，再根据通项公式可求解； （2）根据二次函数的性质可求解． 【详解】（1）由题意，令，解得， ，数列中第1，2，3，4，5项为负数， 其中，，，，， 即数列中的负数为，，，，； （2）因为，， 所以当，3时，取得最小值，最小值为． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $