专题16 数列的应用 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题16 数列的应用 一、知识梳理 数列的应用： 等差数列与等比数列的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，如投资理财、货品堆积统计、企业调查、职场应聘等.我们可以通过建立数学模型，用等差数列和等比数列知识来解决这些实际问题． 二、题型精练 题型1 等差数列的应用 【典例1】．一长跑运动员进行常规训练，他的计划是：第一天跑1000米，第二天跑1200米，以后每一天都比前一天多跑200米，则该运动员在第9天按计划要跑（      ） A．2000米 B．2400米 C．2600米 D．2800米 【答案】C 【分析】将题干转换成等差数列，即可求解. 【详解】将题干转换成首项，公差的等差数列， 所以， 则该运动员在第9天按计划要跑2600米， 故选：C 【典例2】．某学校参加演出，需要把100名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多5名，则第一排应安排的人数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】分析可得数列是以5为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式即可得答案. 【详解】根据题意，设每一排站的演员数组成数列，则数列共5项， 因为从第二排起，每排比第一排多5名，所以数列是以5为公差的等差数列； 由，则，解得， 即第一排应安排10名演员. 故选：C 【典例3】．黑白两种颜色的正六边形地面砖块按如图所示的规律拼成若干个图案，则第5个图案中有白色地面砖（    ）    A．21块 B．22块 C．20块 D．23块 【答案】B 【分析】分析白色地面砖数是等差数列，根据首项和公差，即可得到第5个图案中有白色地面砖. 【详解】由题意可知，图案中的白色地面砖数构成等差数列， 其中，，则， 即第5个图案中有白色地面砖22块. 故选：B. 【典例4】．某中职校一个会议厅共有15排座位，第1排有20个座位，第2排起每排比前一排多2个座位，那么这个会议厅一共有座位（    ） A．480 B．490 C．500 D．510 【答案】D 【分析】根据题意知，此模型是等差数列模型，首项，公差，利用等差数列的前项和公式求出座位的总数即可. 【详解】由题意知，此模型是等差数列模型， 因为第1排有20个座位，第2排起每排比前一排多2个座位， 所以首项，公差， 所以. 故选：D. 【典例5】．中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长之和是37.5尺，芒种的晷影长是4.5尺，则冬至的晷影长是（    ） A．9.5尺 B．10.5尺 C．12.5尺 D．15.5尺 【答案】D 【分析】根据题意即可求解出该数列的首项和公差，从而求得冬至的晷影长. 【详解】从冬至起，晷影长依次记为，，，， ，根据题意，有， 根据等差数列的性质，有，而，设数列的公差为d， 则有，解得，故冬至的晷影长为15.5尺，因此选项D正确． 故选：D. 题型2 等比数列的应用 【典例1】．某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次，即由1个分为2个，经过4小时，这种细菌由1个可以分裂为（    ） A．255个 B．256个 C．511个 D．512个 【答案】B 【分析】由题意可得，细菌分裂的个数构成首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次，即由1个分为2个， 可得细菌分裂的个数构成首项为，公比为的等比数列， 因为每30分钟分裂一次，所以经过4小时，即， 所以.即经过4小时，这种细菌由1个可以分裂为个. 故选：B. 【典例2】．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．3盏 D．1盏 【答案】A 【分析】将每层塔的灯数看成等比数列，再由等比数列的前项和公式列方程求解出顶层的灯的数量，再由等比数列的通项公式求值即可. 【详解】由题意，设这个塔顶层有盏灯， 则每层塔的灯数为一个首项为，公比为2的等比数列， 且其前7项和为，所以， 解得，所以这个塔的最底层有（盏）． 故选：A. 【典例3】．某设备的出厂价为30万元，按每年5%的折旧率折旧，则5年后该设备的价值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干信息，结合等比数列的定义计算求解即可． 【详解】某设备的出厂价为30万元，按每年的折旧率折旧， 所以5年后该设备的价值为. 故选：D． 【典例4】．已知等差数列的公差和首项都不为0，且成等比数列，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】设出数列的首项和公差，通过题设条件求得和的数量关系，再将用前项和公式展开，整体代入即得. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由成等比数列得,即：， 解得：，. 故选：C. 三、知识检测 1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里 【答案】B 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式求解. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得，解得， ∴此人第二天走里. 故选：B． 2．已知两数的等差中项与等比中项均为，则以这两数为两根的一元二次方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差中项和等比中项的性质可得结果. 【详解】解：由题知设此一元二次方程的两个根为，即有， 故知此一元二次方程为. 故选：D. 3．在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质列式求解即可. 【详解】设该等差数列为，其公差为. 由已知得,即, 即. 解得. 所以甲所分小米的斤数是8. 故选：C. 4．某厂去年的产值记为1，计划在今后5年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每年的产值比上年增长10%，可得每年产值成等比数列,再根据前项和公式求年总产值. 【详解】由题意可知，每年的产值成等比数列， 其中，， 所以从今年起到第5年， 这个厂的总产值. 故选：D. 5．权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大量信息．“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量．已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则数列的前8项和为（    ） A．191 B．192 C．193 D．194 【答案】B 【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式、性质即可求解. 【详解】设后7项等比数列的公比为， 由题意可得：，， 解得：，所以， 所以数列的前8项和为 ， 故选：B. 6．在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意.如图所示，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则该地面前五圈石板的总数是（   ）． A．45 B．81 C．135 D．243 【答案】C 【分析】由题意可知各圈石板的数目符合等差数列，再根据等差数列的前n项和公式计算即可求解. 【详解】由题意可知，从第一圈到第九圈的石板数是首项为9，公差为9的等差数列， 设该等差数列为，即首项，公差， 因为等差数列的前n项和公式为， 所以该地面前五圈石板的总数是 . 故选：C. 7．某人于年元旦在银行存入一年期款a元，若按年利率x计算（不计利息税），则到年元旦可取款（    ）元 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意每年取款数构成等比数列，设存款数为首项，公比， 所以年元旦取款数为. 故选：A 8．一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则第年时这批设备的价值为_______. 【答案】 【分析】利用等比数列在实际问题中的应用求解即可. 【详解】该批设备每年的价值构成以a为首项，为公比的等比数列， 则第n年时这批设备的价值为. 故答案为：. 9．已知数列的前n项和为，且，且，则______． 【答案】2n 【分析】利用等差数列的基本公式即可求解. 【详解】由题，数列的前n项和为，且， 可知数列是等差数列， 故， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， 故， 故答案为：. 10．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第5天截取的长度是______米. 【答案】 【分析】设第n天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为，由等比数列计算，进而可求解出答案. 【详解】设第n天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为， 由题意，数列是首项为，公比为的等比数列， 则，故第5天截取的长度是米. 故答案为：. 11．如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石）块，则中层有扇面形石板_________块 【答案】 【详解】设上、中、下三层的石板块数分别为、、，由题意可知、、成等差数列， 所以，，解得. 故答案为：. 12．中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）. 【答案】6 【分析】根据题意分析，看成首项，公比的等比数列，已知，继而求出，即可得出答案. 【详解】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列， ，其公比，令数列的前n项和为， 则，而， 因此，解得， 所以此人在第六天行走的路程（里）. 故答案为：6 13．博纳影城的巨幕厅有20排座位，第一排有16个座位，然后每排增加2个座位，问： (1)巨幕厅的最后一排有多少个座位？ (2)现有698名中职学生去剧场观影，问该巨幕厅的座位是否够坐？ 【答案】(1)54 (2)该巨幕厅的座位有700个，698名中职学生去剧场观影，座位够坐. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式即可求解； （2）先利用等差数列前n项和公式求出巨幕厅共有多少座位，即可知道是否够坐. 【详解】（1）由题意可将题干转换为首项为16，公差为2 的等差数列， 则通项公式为（个）， 所以巨幕厅的最后一排有54个座位； （2）由（1）得，等差数列中，（个）， 所以该巨幕厅的座位有700个，698名中职学生去剧场观影，座位够坐. 14．已知等差数列满足，，等比数列，公比 (1)求数列和的通项公式 (2)若，求数列的前n项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出等差数列的首项和公差，即可求解的通项公式，可直接写出的通项公式. （2）分别求出和的前n项和，利用分组求和即可求解. 【详解】（1）因为为等差数列，，， 所以， 即，解得， 所以， 因为为等比数列，，公比， 所以. （2）， 所以 . 15．小明向银行贷款30万元，期限五年，计划分60期还清，第1期的还款额是6200元，假设从第2期开始，每一期的还款额都比前一期减少20元，设第n期的还款额为（元），前n期的还款总额为（元）（，）. (1)计算和的值，并求的表达式； (2)求的值. 【答案】(1)，， (2)336600 【分析】（1）分析每期还款金额是等差数列，首项为6200，公差为，即可求解； （2）根据等差数列的求和公式进行即可得解. 【详解】（1）根据题意，第1期的还款额是元， 从第2期开始，每一期的还款额都比前一期减少20元， 所以元，， 根据等差数列的通项公式，可知， . （2）， 即. 16．设某品牌建筑用某型号圆柱体钢筋堆放（横截面）按图所示放置.（长度不计） (1)以此规律，若第堆共有20100根钢筋，求的值； (2)设第110堆钢筋的数量为，使用方案如下：第1次用8根，第2次用16根…以后每一次使用的数量都是前一次的2倍.问：第110堆的钢筋能否使用9次?若有剩余或不足，求剩余或不足的数量是多少根? 【答案】(1) (2)能，有剩余，剩余数量是2017根 【分析】（1）根据第堆钢筋的数量从上到下成等差数列，由等差数列的前n项和公式求解即可. （2）根据每一次钢筋的使用数量成等比数列，利用等比数列与等差数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）第堆钢筋的数量从上到下成等差数列，首项为1，公差为1， 则第堆钢筋的总数为， 整理得，即， ∵是正整数，∴. （2）第110堆的钢筋可以使用9次，且有剩余，剩余的数量为2017根，理由如下： 第110堆钢筋的数量（根）， 由题意，每一次钢筋的使用数量成等比数列，公比为2，首项为8， 设使用9次钢筋的总数量为，则（根）， ∵，且（根）， ∴第110堆的钢筋可以使用9次，且有剩余，剩余的数量是2017根. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 数列的应用 一、知识梳理 数列的应用： 等差数列与等比数列的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，如投资理财、货品堆积统计、企业调查、职场应聘等.我们可以通过建立数学模型，用等差数列和等比数列知识来解决这些实际问题． 二、题型精练 题型1 等差数列的应用 【典例1】．一长跑运动员进行常规训练，他的计划是：第一天跑1000米，第二天跑1200米，以后每一天都比前一天多跑200米，则该运动员在第9天按计划要跑（      ） A．2000米 B．2400米 C．2600米 D．2800米 【典例2】．某学校参加演出，需要把100名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多5名，则第一排应安排的人数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例3】．黑白两种颜色的正六边形地面砖块按如图所示的规律拼成若干个图案，则第5个图案中有白色地面砖（    ）    A．21块 B．22块 C．20块 D．23块 【典例4】．某中职校一个会议厅共有15排座位，第1排有20个座位，第2排起每排比前一排多2个座位，那么这个会议厅一共有座位（    ） A．480 B．490 C．500 D．510 【典例5】．中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长之和是37.5尺，芒种的晷影长是4.5尺，则冬至的晷影长是（    ） A．9.5尺 B．10.5尺 C．12.5尺 D．15.5尺 题型2 等比数列的应用 【典例1】．某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次，即由1个分为2个，经过4小时，这种细菌由1个可以分裂为（    ） A．255个 B．256个 C．511个 D．512个 【典例2】．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．3盏 D．1盏 【典例3】．某设备的出厂价为30万元，按每年5%的折旧率折旧，则5年后该设备的价值为（   ） A． B． C． D． 【典例4】．已知等差数列的公差和首项都不为0，且成等比数列，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 三、知识检测 1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里 2．已知两数的等差中项与等比中项均为，则以这两数为两根的一元二次方程为（  ） A． B． C． D． 3．在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．某厂去年的产值记为1，计划在今后5年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 5．权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大量信息．“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量．已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则数列的前8项和为（    ） A．191 B．192 C．193 D．194 6．在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意.如图所示，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则该地面前五圈石板的总数是（   ）． A．45 B．81 C．135 D．243 7．某人于年元旦在银行存入一年期款a元，若按年利率x计算（不计利息税），则到年元旦可取款（    ）元 A． B． C． D． 8． 一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则第年时这批设备的价值为_______. 9． 已知数列的前n项和为，且，且，则______． 10． 现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第5天截取的长度是______米. 11．如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石）块，则中层有扇面形石板_________块 11． 中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）. 13．博纳影城的巨幕厅有20排座位，第一排有16个座位，然后每排增加2个座位，问： (1)巨幕厅的最后一排有多少个座位？ (2)现有698名中职学生去剧场观影，问该巨幕厅的座位是否够坐？ 14．已知等差数列满足，，等比数列，公比 (1)求数列和的通项公式 (2)若，求数列的前n项和 15．小明向银行贷款30万元，期限五年，计划分60期还清，第1期的还款额是6200元，假设从第2期开始，每一期的还款额都比前一期减少20元，设第n期的还款额为（元），前n期的还款总额为（元）（，）. (1)计算和的值，并求的表达式； (2)求的值. 16．设某品牌建筑用某型号圆柱体钢筋堆放（横截面）按图所示放置.（长度不计） (1)以此规律，若第堆共有20100根钢筋，求的值； (2)设第110堆钢筋的数量为，使用方案如下：第1次用8根，第2次用16根…以后每一次使用的数量都是前一次的2倍.问：第110堆的钢筋能否使用9次?若有剩余或不足，求剩余或不足的数量是多少根? 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $