专题15 等差中项、等比中项 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题15 等差中项、等比中项 一、知识梳理 （1）等差中项 一般地，当三个数a，A，b成等差数列时，A称为a和b的等差中项． A＝ （2）等比中项 一般地，当a，G，b成等比数列时，G称为a和b的等比中项． G2＝ab 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 二、题型精练 题型1 等差中项 【典例1】．3和11的等差中项为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质计算即可. 【详解】根据等差中项公式，3和11的等差中项为. 故选：B. 【典例2】．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列中项的应用即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 是和的等差中项，得 ， 即，解得， 故选：. 【典例3】．“是的等差中项”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，结合充要条件即可求解. 【详解】由等差中项的定义，因为是的等差中项，所以，即. 又因为，可得，由等差中项的定义，则是的等差中项. 所以“是的等差中项”是“”的充要条件. 故选：C. 【典例4】．已知m和的等差中项是4，和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为m和的等差中项是4，则， 又和n的等差中项是5，则， 两式相加，得，即， 所以m和n的等差中项为. 故选：B. 题型2 等比中项 【典例1】．3 和 12 的等比中项为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】A 【分析】根据题意，结合等比中项的概念，即可求解. 【详解】3和12的等比中项为. 故选：A. 【典例2】．若两个数的等差中项是10，等比中项是8，则这两个数分别是（   ） A．2，18 B．9，27 C．5，15 D．4，16 【答案】D 【分析】根据等差中项与等比中项的性质求解即可. 【详解】设这两个数为. 则，解得或. 所以这两个数是4，16. 故选：D. 【典例3】．已知递增等差数列，且为与的等比中项，则公差（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列以及等比数列的通项公式求解即可 【详解】因为且为与的等比中项， 所以，解得或（舍）. 故选：D. 【典例4】．关于x的方程的两根的等比中项是（   ） A．2 B．1 C．或2 D．或1 【答案】D 【分析】先求出方程的解，再根据等比中项的性质即可求解. 【详解】因为方程的或， 设方程的两根的等比中项是， 则，解得或. 故选：D. 三、知识检测 1．已知m为实数，且成等差数列，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用等差中项的概念列式求得值. 【详解】∵成等差数列， ∴，解得：． 故选：C. 2．已知是正项等比数列，且与的等差中项为18，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用等比的性质及等差中项公式求解. 【详解】∵，∴，又，则， ∵与的等差中项为18，∴，即，得， ∵且，∴. 故选：C. 3．若等差数列中的前三项为，，，则该数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由等差中项求解a的值，再根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】∵等差数列中的前三项为，，， ∴， 整理可得，解得， ∴等差数列中的前三项为，，， 由此可知该等差数列的首项为1，公差为4， ∴该数列的通项公式是. 故选：A. 4．等比数列中，，，则（   ） A．10 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】由等比中项的性质即可得解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，解得， 又，所以. 故选：C. 5．设为实数，若三个数成等比数列，则公比为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据等比中项的性质及通项公式即可求解. 【详解】因为三个数成等比数列， 所以，故， 当时，公比， 当时，公比， 所以． 故选：A． 6．方程的两根的等比中项是（    ） A． B．和 C．和 D． 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质，结合韦达定理即可求解. 【详解】根据韦达定理得，两根之积为9，所以两根的等比中项为， 故选：B． 7．已知是与的等差中项，是与的等比中项，则（      ） A．13 B． C．3或 D．或13 【答案】D 【分析】根据等差数列，等比数列的性质即可求解. 【详解】因为是4与6的等差中项，则. 因为b是与的等比中项，则. 所以或. 故选：D. 8．若两数的等比中项为5，等差中项为6，则以这两数为根的一元二次方程是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差中项和等比中项的概念，及一元二次方程根和系数的关系，即可求解. 【详解】设两数为，因为两数的等比中项为5，等差中项为6， 所以， 所以以这两数为根的一元二次方程是. 故选：D. 9．数和12的等差中项是 _______，数16和4的等比中项是 _______． 【答案】 【分析】根据等差中项以及等比中项的定义及计算公式求解即可. 【详解】数和12的等差中项是： 数16和4的等比中项是： 故答案为；；． 10．和的等比中项为_____________ 【答案】 【分析】根据题意结合等比中项的定义即可得解. 【详解】设等比中项为，则， 解得， 故答案为：. 11．已知．若与的等差中项为，且与的等比中项为，则_____． 【答案】或 【分析】由等差中项和等比中项列式求解即可. 【详解】由题意得， 又． 故答案为：或. 12．已知等差数列的前三项分别为，则这个数列的通项公式为___________． 【答案】 【分析】由等差中项的应用列式求出，从而得出，由等差数列的通项公式可出结果. 【详解】∵等差数列的前三项分别为， ∴，解得． ∴，则公差， ∴数列是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴． 故答案为：． 13．在等比数列中，已知 ，则_____． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质即等比中项的概念即可求解. 【详解】由等比数列的性质知成等比数列， 可得＝， 故答案为：． 14．在等比数列中,,且与的等差中项为,求,,. 【答案】,,. 【分析】由等比中项的应用及等差中项的公式即可得解. 【详解】由题意得. 解得. ∵与的等差中项为. . 解得. . 解得. 所以,,. 15．在正项等比数列中，，且，的等差中项为． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合等比数列的通项公式列出方程组求出首项和公比，代入等比数列的通项公式即可得解. （）根据题意结合分组求和法即可得解. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 数列的通项公式为. （2）. 16．若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项． (1)求45和80的等比中项； (2)已知两个数和的等比中项是2k，求k． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据等比中项的性质求解即可. （2）根据题意得到，再解方程即可. 【详解】（1）设为45和80的等比中项，则，所以. 所以45和80的等比中项为 （2）两个数和的等比中项是， 所以，，， 解得或，此时，，满足题意， 所以或. 17．在等比数列中，已知，且是与的等差中项． (1)求的通项公式 (2)记的前项和为若，求． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1） 解：设公比为． 因为是与的等差中项， 所以， 所以， 解得，从而. 当时，； 当时，． 所以的通项公式为或. （2） 当，时，， 由，得 当，时，， 由，化简得，无解． 综上，． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 等差中项、等比中项 一、知识梳理 （1）等差中项 一般地，当三个数a，A，b成等差数列时，A称为a和b的等差中项． A＝ （2）等比中项 一般地，当a，G，b成等比数列时，G称为a和b的等比中项． G2＝ab 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 二、题型精练 题型1 等差中项 【典例1】．3和11的等差中项为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【典例2】．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（   ） A．1 B．2 C． D． 【典例3】．“是的等差中项”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4】．已知m和的等差中项是4，和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 题型2 等比中项 【典例1】．3 和 12 的等比中项为（    ） A． B．6 C． D．5 【典例2】．若两个数的等差中项是10，等比中项是8，则这两个数分别是（   ） A．2，18 B．9，27 C．5，15 D．4，16 【典例3】．已知递增等差数列，且为与的等比中项，则公差（    ） A． B．或 C．或 D． 【典例4】．关于x的方程的两根的等比中项是（   ） A．2 B．1 C．或2 D．或1 三、知识检测 1．已知m为实数，且成等差数列，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．已知是正项等比数列，且与的等差中项为18，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．若等差数列中的前三项为，，，则该数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 4．等比数列中，，，则（   ） A．10 B． C．8 D． 5．设为实数，若三个数成等比数列，则公比为（    ） A． B．2 C． D．4 6．方程的两根的等比中项是（    ） A． B．和 C．和 D． 7．已知是与的等差中项，是与的等比中项，则（      ） A．13 B． C．3或 D．或13 8．若两数的等比中项为5，等差中项为6，则以这两数为根的一元二次方程是 （   ） A． B． C． D． 9． 数和12的等差中项是 _______，数16和4的等比中项是 _______． 10． 和的等比中项为_____________ 11． 已知．若与的等差中项为，且与的等比中项为，则_____． 12． 已知等差数列的前三项分别为，则这个数列的通项公式为___________． 13． 在等比数列中，已知 ，则_____． 14． 在等比数列中,,且与的等差中项为,求,,. 15．在正项等比数列中，，且，的等差中项为． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为． 16．若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项． (1)求45和80的等比中项； (2)已知两个数和的等比中项是2k，求k． 17．在等比数列中，已知，且是与的等差中项． (1)求的通项公式 (2)记的前项和为若，求． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $