专题14 等比数列的前n项和 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题14 等比数列的前n项和 一、知识梳理 （1）等比数列的前n项和 Sn＝ = (q≠1) 当q=1时，等比数列是一个常数列，其前n项和为 Sn＝n． （2）等比数列的相关性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． ①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. ②相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． ③若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． ④三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 二、题型精练 题型1 等比数列的前n项和 【典例1】．已知为等比数列，且，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】．若数列满足，且，则数列的前4项和为（   ） A．15 B．14 C． D． 【典例3】．在等比数列中，是其前n项和，已知公比，，则（    ）． A． B． C．4 D．2 【典例4】．已知等比数列 的公比为 2，且 ，则 （  ） A．3 B．9 C．10 D．17 【典例5】．已知是递增的等比数列，其前项和为，满足，若，则的最小值是（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 题型2 等比数列的相关性质 【典例1】．在等比数列中，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【典例2】．等比数列中，，，则（   ） A．15 B． C．9 D． 【典例3】．在各项均为正数的等比数列中，若，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．16 【典例4】．等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．已知为等比数列，，，则（   ） A．7 B．5 C． D． 2．正项等比数列中，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．36 D．128 3．已知等比数列的公比，且，，48成等差数列，则的前8项和为（   ） A．127 B．255 C．511 D．1023 4．已知等比数列的公比，且前项和为，则（    ） A． B． C． D． 5．某个等比数列共有项，若前项之和为15，后项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（    ） A．63 B．72 C．75 D．87 6．一个等比数列前n项的和为48，前项的和为60，则其前项的和为（    ） A．83 B．108 C．75 D．63 7． 等比数列10，10，10，…的前7项和是________. 8． 设是各项为正数的等比数列，且，则___________． 9． 已知数列是等比数列，，公比，则数列的前5项和为______. 10． 设是等比数列的前项和，若，则__________. 11． 在等比数列中，，，则________. 12． 设等比数列的前n项和，则的公比________. 13．在等比数列中， (1)已知，，，求q和； (2)已知，，，求q和； (3)已知，，，求和； (4)已知，，，求q和n. 14．在等比数列中，公比， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 15．已知数列的通项公式为，前n项和为． (1)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (2)若，求n的值． 16．设是等比数列，其前项的和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最小值． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 等比数列的前n项和 一、知识梳理 （1）等比数列的前n项和 Sn＝ = (q≠1) 当q=1时，等比数列是一个常数列，其前n项和为 Sn＝n． （2）等比数列的相关性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． ①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. ②相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． ③若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． ④三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 二、题型精练 题型1 等比数列的前n项和 【典例1】．已知为等比数列，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】因为为等比数列，且，， 所以. 故选：A. 【典例2】．若数列满足，且，则数列的前4项和为（   ） A．15 B．14 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的前n项和公式计算即可求解. 【详解】数列满足，则数列为的等比数列， ，则，解得， 则数列的前4项和为. 故选：C. 【典例3】．在等比数列中，是其前n项和，已知公比，，则（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】因为是等比数列，且公比，所以， 解得. 故选：D. 【典例4】．已知等比数列 的公比为 2，且 ，则 （  ） A．3 B．9 C．10 D．17 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为等比数列的公比为，且， 所以 故选：D. 【典例5】．已知是递增的等比数列，其前项和为，满足，若，则的最小值是（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，首项为，根据已知条件求出的值，进而得到等比数列的通项公式和求和公式，解不等式即可. 【详解】设等比数列的公比为，首项为， 因为，即， 解得：或， 又因为是递增的等比数列，所以， 所以， 由， 即，因为， 所以的最小值为7， 故选：B. 题型2 等比数列的相关性质 【典例1】．在等比数列中，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据等比数列下标和性质求解即可； 【详解】因为在等比数列中，， 所以， 故选：C 【典例2】．等比数列中，，，则（   ） A．15 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】等比数列中，，， 则，所以， 因为等比数列偶数项符号相同，所以， 故选：. 【典例3】．在各项均为正数的等比数列中，若，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】A 【分析】由等比数列的性质结合对数的运算法则求解即可. 【详解】为等比数列，且各项均为正数， 由，可得， 所以. 故选：A. 【典例4】．等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和的性质可知为等比数列即可得解. 【详解】因为，且为等比数列， 故为等比数列， 故，解得， 故选：B． 三、知识检测 1．已知为等比数列，，，则（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式以及等比数列的性质，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以由等比数列的性质可得， 解得：，或，， 当，时，即， 所以，，即； 当，时，， 所以，，即； 综上可得，. 故选：D． 2．正项等比数列中，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．36 D．128 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质，即可求解. 【详解】由题意知等比数列中，， 所以由等比数列的性质可得， 所以， 因为， 所以. 故选：B. 3．已知等比数列的公比，且，，48成等差数列，则的前8项和为（   ） A．127 B．255 C．511 D．1023 【答案】B 【分析】先由等差中项的性质结合等比数列的通项公式求解的值，再由等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】因为成等差数列，所以， 即，又因为， 所以，解得， 所以． 故选：B. 4．已知等比数列的公比，且前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式求解即可. 【详解】因为等比数列的公比， 所以，. 进而. 故选：A. 5．某个等比数列共有项，若前项之和为15，后项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（    ） A．63 B．72 C．75 D．87 【答案】A 【分析】根据等比数列片段和性质进行运算. 【详解】由题意知，； 又， 解得； 所以； 故选：A. 6．一个等比数列前n项的和为48，前项的和为60，则其前项的和为（    ） A．83 B．108 C．75 D．63 【答案】D 【分析】根据等比数列前项和的性质作答. 【详解】设等比数列前项的和为， 则48，，成等比数列， 即， 解得. 故选：D. 7．等比数列10，10，10，…的前7项和是________. 【答案】70 【分析】根据题意可知公比与首项即可求解前项和. 【详解】首项为10，公比为1的等比数列的前7项和是. 故答案为：70. 8．设是各项为正数的等比数列，且，则___________． 【答案】1 【分析】根据等比数列的性质，结合对数运算法则即可求解. 【详解】因为是各项为正数的等比数列，且， 所以， ， 故答案为：1． 9．已知数列是等比数列，，公比，则数列的前5项和为______. 【答案】31 【分析】根据题意，结合等比数列的前n项和公式，代入即可求解. 【详解】因为数列是等比数列，，公比， 所以. 故答案为：31. 10．设是等比数列的前项和，若，则__________. 【答案】90 【分析】根据题意，结合等比数列片段和的性质，即可求解. 【详解】因为是等比数列的前项和，且， 所以, 所以， 所以. 故答案为：90. 11．在等比数列中，，，则________. 【答案】1 【分析】根据等比数列的前项和即可求解. 【详解】.解得. 故答案为：1. 12．设等比数列的前n项和，则的公比________. 【答案】 【分析】根据等比数列前n项和求出前两项，即可求出公比. 【详解】因为， 所以公比. 故答案为：. 13．在等比数列中， (1)已知，，，求q和； (2)已知，，，求q和； (3)已知，，，求和； (4)已知，，，求q和n. 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【详解】（1）由题知，解得，所以 （2）若，则，故 由题知，解得或 （3）由题知，解得 （4）易知，所以由题知，解得 14．在等比数列中，公比， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求出，即可求出； （2）先由求出数列的通项公式，再由通项公式判断数列为等比数列，带入前n项和公式即可求解. 【详解】（1）因为为等比数列，， 所以，可得， 解得或（舍） ， 所以. （2）因为， ，， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列. 又因为， 所以. 15．已知数列的通项公式为，前n项和为． (1)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (2)若，求n的值． 【答案】(1)数列是等比数列，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义即可判断。 （2）根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）因为数列的通项公式为， 所以， 所以为常数， 所以数列是首项，公比的等比数列． （2）由（1）知数列是首项，公比的等比数列， 所以， 因为，即 即， 所以， 即. 16．设是等比数列，其前项的和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列的概念及前项的和定义即可求解； （2）利用等比数列前项的和公式及通项公式列不等式即可求解. 【详解】（1）设的公比为q，因为， 所以，所以，又， 所以，. （2）因为， 所以， 由，得， 即，因为，解得， 所以n的最小值为6. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $