专题13 等比数列的概念 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题13 等比数列的概念 一、知识梳理 （1）等比数列的概念 一般地，如果一个数列an从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时，就称这个数列为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，通常用字母q来表示． ＝q (n∈N*，q为非零常数)． （2）等比数列的通项公式 an＝a1 qn－1＝ am qn－m. 二、题型精练 题型1 等比数列的概念 【典例1】．下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【典例2】．若2，，8，成等比数列，则实数的值为（   ） A． B．4 C．4或 D．5或 【典例3】．已知等比数列的前3项之和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（ ） A．1 B． C．或1 D．2或 【典例4】．设是等比数列，若，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 题型2 等比数列的通项公式 【典例1】．在等比数列中，首项，公比，则其通项公式为（    ） A． B． C． D．​ 【典例2】．在等比数列中，已知，，则公比q等于（   ）. A． B． C．2 D． 【典例3】．正项等比数列满足，，则其通项公式（    ） A． B． C． D． 【典例4】．“”是“a，b，c成等比数列”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三、知识检测 1．在等比数列中，，则该数列的公比（    ） A． B． C．2 D．4 2．在等比数列中，已知，，则公比（    ） A． B． C． D． 3．“成等比数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知等比数列的通项公式为，则该数列的首项和公比q分别为（    ） A．2和2 B．2和3 C．6和 D．6和 5．已知数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知等比数列满足，，则公比（    ） A． B． C． D．2 7．在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．在等比数列中，首项为1，公比为，则第四项是___________ 9．三个数成等比数列，其中，，则______. 10．若数列满足，则数列的通项_____________． 11．等比数列中，若，则=______． 12．已知等比数列中，若，则n的最小值为________． 13．判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8 (3)1，，，，． 14．已知在数列中，，且．请写出数列的前4项，并写出数列的一个通项公式． 15．已知三个数成等比数列，这三个数的和为14，积为64，求这三个数. 16．数列中，，． (1)求的值； (2)求的通项公式. 17．已知等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求证：是等差数列. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 等比数列的概念 一、知识梳理 （1）等比数列的概念 一般地，如果一个数列an从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时，就称这个数列为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，通常用字母q来表示． ＝q (n∈N*，q为非零常数)． （2）等比数列的通项公式 an＝a1 qn－1＝ am qn－m. 二、题型精练 题型1 等比数列的概念 【典例1】．下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【答案】D 【分析】根据等比数列的概念即可求解. 【详解】对A，，，故不是等比数列，故A错误. 对B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列，故B错误. 对C，当时，不是等比数列，故C错误. 对D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列，故D正确. 故选：D． 【典例2】．若2，，8，成等比数列，则实数的值为（   ） A． B．4 C．4或 D．5或 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义即可求解． 【详解】若2，，8，成等比数列， 则，解得． 故选：A． 【典例3】．已知等比数列的前3项之和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（    ） A．1 B． C．或1 D．2或 【答案】C 【分析】由题意得出等式求解. 【详解】设前3项,得, 求得. 故选:C. 【典例4】．设是等比数列，若，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】B 【分析】先由等比数列，求出，再求出即可. 【详解】因为是等比数列，设公比为，又 则，所以， 则. 故选：B. 题型2 等比数列的通项公式 【典例1】．在等比数列中，首项，公比，则其通项公式为（    ） A． B． C． D．​ 【答案】A 【分析】根据等比数列通项公式即可求解. 【详解】因为在等比数列中，首项，公比， 所以通项公式为. 故选：A. 【典例2】．在等比数列中，已知，，则公比q等于（   ）. A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式求解. 【详解】∵，∴. 故选：A. 【典例3】．正项等比数列满足，，则其通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为是正项等比数列，所以， 又因为，，所以，故， 所以其通项公式为. 故选：B． 【典例4】．“”是“a，b，c成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用等比数列的定义，结合充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，当时，无法推出“a，b，c成等比数列”，即充分性不成立； 当a，b，c成等比数列时，有，即必要性成立； 所以“”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件. 故选：B. 三、知识检测 1．在等比数列中，，则该数列的公比（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列得通项公式即可求解. 【详解】由等比数列定义知，，又，， 即，解得. 故选：B. 2．在等比数列中，已知，，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式及已知，联立方程即可求解. 【详解】因为数列为等比数列， 设公比为q， 所以. 因为，， 所以， 解得， 所以等比数列的公比为2. 故选：A. 3．“成等比数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合等比中项的性质，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若成等比数列，则 ，即， 所以，故充分性成立； 若有，则，即， 所以成等比数列，故必要性成立； 故“成等比数列”是“”的充要条件. 故选：B. 4．已知等比数列的通项公式为，则该数列的首项和公比q分别为（    ） A．2和2 B．2和3 C．6和 D．6和 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式求基本量即可得解. 【详解】因为等比数列的通项公式为， 所以，. 故选：B. 5．已知数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的定义计算等比数列的公比，再求的值即可. 【详解】由，可得，又已知， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 6．已知等比数列满足，，则公比（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项求解即可. 【详解】因为等比数列满足，， 所以， 所以. 故选：B. 7．在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为等比数列中，， 则公比，所以， 故选：B． 8．在等比数列中，首项为1，公比为，则第四项是___________ 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式即可解得. 【详解】由题，设等比数列为，公比为， 则， 故答案为： 9．三个数成等比数列，其中，，则______. 【答案】 【分析】直接由等比中项的概念列式求解b的值. 【详解】因为a，b，c三个数成等比数列，又，， 所以，所以. 故答案为：. 10．若数列满足，则数列的通项_____________． 【答案】 【分析】根据等比数列的定义与通项公式即可解得. 【详解】因为，所以，则， 故数列是，的为比数列， 所以. 故答案为：. 11．等比数列中，若，则=______． 【答案】4 【分析】由等比数列的性质结合对数的运算性质即可得解. 【详解】因为在等比数列中，， 所以， 则为. 故答案为：4. 12．已知等比数列中，若，则n的最小值为________． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式建立不等式，利用指数函数的单调性解不等式，即可得到最小值. 【详解】因为等比数列中，当时， 则，根据指数函数的单调性，解得， 所以n的最小值为. 故答案为：. 13．判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8 (3)1，，，，． 【答案】(1)是等比数列 (2)不是等比数列 (3)是等比数列 【分析】根据等比数列的定义判断即可． 【详解】（1）根据等比数列的定义可知，所给数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列． （3）根据等比数列的定义可知，所给数列是首项为1，公比为的等比数列． 14．已知在数列中，，且．请写出数列的前4项，并写出数列的一个通项公式． 【答案】， 【分析】分别将代入中，依次求值，再由等比数列的定义确定该数列为等比数列，并写出其通项公式即可. 【详解】已知在数列中， ， 则 ， 且由得数列为公比为2的等比数列， 所以． 15．已知三个数成等比数列，这三个数的和为14，积为64，求这三个数. 【答案】这三个数为2，4，8或8，4，2. 【分析】按照等比数列的定义求解. 【详解】设这三个数分别为，a，， 则， 解得，或， 当时，所求的三个数分别为2，4，8； 当时，所求的三个数分别为8，4，2. 所以这三个数为2，4，8或8，4，2. 16．数列中，，． (1)求的值； (2)求的通项公式. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数列的递推公式即可求解. （2）将变式为，即，则数列是以为首项，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求出，即可求得的通项公式. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，  所以， 即，所以， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 则，所以. 17．已知等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求证：是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据对数的运算，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】（1）由题意得，设公比为，则，解得. 所以. （2）由（1）得，则. . 所以数列是首项为，公差为等差数列. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $